Κρίσιµο φορτίο λυγισµού επίπεδων πολυώροφων πλαισίων Ω/Σ. Χαρίτων Ξενίδης, ρ Πολιτικός Μηχανικός, Επικ. Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών ΑΠΘ Τριαντάφυλλος Μακάριος, ρ Πολιτικός Μηχανικός, όκιµος Ερευνητής Ι.Τ.Σ.Α.Κ. Λέξεις κλειδιά: Κρίσιµο φορτίο Λυγισµού, Λυγισµός πλαισίων Ω/Σ, Φαινόµενα ης Φαινόµενα Ρ-. Τάξης, ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Κατά τον έλεγχο επιρροής των φαινοµένων Ρ- στις κατασκευές, οι διατάξεις τόσο του ελληνικού κανονισµού σκυροδέµατος (ΕΚΩΣ-000) όσο και του ελληνικού αντισεισµικού κανονισµού (ΕΑΚ-000) παρουσιάζουν σοβαρά προβλήµατα εφαρµοσιµότητας. Στην παρούσα ανακοίνωση δίνονται σχέσεις που υπολογίζουν το κρίσιµο φορτίο λυγισµού σε επίπεδα πολυώροφα πλαίσια από οπλισµένο σκυρόδεµα. Με τη βοήθεια του κρίσιµου φορτίου λυγισµού ενός πλαισίου µπορεί να εκτιµηθεί απευθείας, και σε κάθε περίπτωση, η σοβαρότητα ή όχι της επήρειας τέτοιων φαινοµένων. Για τους σκοπούς της εργασίας αυτής πραγµατοποιήθηκαν εκτεταµένες παραµετρικές αναλύσεις επίπεδων πολυώροφων πλαισίων προς εύρεση του κρίσιµου φορτίου λυγισµού τους. Από την αξιολόγηση των αποτελεσµάτων προτείνονται κατάλληλες σχέσεις που δίνουν, µε επαρκή για την πράξη ακρίβεια, το κρίσιµο φορτίο λυγισµού των πλαισίων απευθείας από τα ελαστικά και γεωµετρικά χαρακτηριστικά τους, χωρίς να απαιτείται προηγουµένως άλλη επίλυση. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το φαινόµενο του λυγισµού στα κτίρια, παρά τις ερευνητικές προσπάθειες που έγιναν στο παρελθόν, συνεχίζει να απασχολεί έντονα τη διεθνή επιστηµονική κοινότητα. Το κρίσιµο φορτίο λυγισµού σηµαίνει την έναρξη της αστάθειας στο φορτιζόµενο φορέα. Πρώτος ο Euler υπολόγισε το κρίσιµο φορτίο λυγισµού µε κλειστές µαθηµατικές εξισώσεις στην περίπτωση απλών δοκών µε διάφορες συνθήκες στήριξης στα άκρα τους. Η επέκταση όµως αυτών των κλειστών εξισώσεων στα πολυώροφα πλαίσια είναι αδύνατη, µε αποτέλεσµα να εφαρµόζονται προσεγγιστικές µέθοδοι υπολογισµού. Λόγω της δυσκολίας υπολογισµού του κρίσιµου φορτίου λυγισµού των φορέων, συνηθίζεται να γίνεται έλεγχος των λεγόµενων «φαινοµένων ανωτέρας τάξεως» χρησιµοποιώντας απλούστερες διαδικασίες (Neuss & Maisson-1984, Penelis-1968, Rutenberg-198). Οι διατάξεις των σύγχρονων αντισεισµικών κανονισµών αποσκοπούν στην υποβάθµιση των φαινοµένων δεύτερης τάξης κατά τη σεισµική απόκριση των πολυώροφων κτιρίων, όπως είναι η επήρεια των φαινοµένων Ρ- και η καµπύλωση των κατακόρυφων στοιχείων τους. Τα φαινόµενα Ρ- δηµιουργούν πρόσθετες οριζόντιες δυνάµεις στις στάθµες των ορόφων, εξαιτίας των ροπών ης τάξης που αναπτύσσονται από τα αξονικά φορτία βαρύτητας στα κατακόρυφα στοιχεία δυσκαµψίας της κατασκευής. Επίσης, η καµπύλωση των κατακόρυφων στοιχείων επιβαρύνει πάντοτε τα αποτελέσµατα της απόκρισης, αφού οι εξισώσεις ισορροπίας για τα φαινόµενα Ρ- γράφονται επί του παραµορφωµένου άξονα των στοιχείων. Αποτέλεσµα τόσο της επήρειας των φαινοµένων Ρ- όσο και της καµπύλωσης των κατακόρυφων στοιχείων είναι η αύξηση της σχετικής µετατόπισης των άκρων τους. Ο Ευρωκώδικας Νο8 αλλά και ο ΕΑΚ-000 προσπαθούν να αντιµετωπίσουν την επιρροή τέτοιων φαινοµένων µε τη χρησιµοποίηση του δείκτη σχετικής µεταθετότητας θ. Ο δείκτης όµως αυτός είναι ακατάλληλος για την πλειονότητα των κατασκευών και ειδικότερα για όλα τα πλαίσια πλην των διατµητικών (Αναστασιάδης κ.α. 001).
Προς αποφυγή του φαινοµένου του λυγισµού των φορέων, συνυπολογιζοµένων και των φαινοµένων ης τάξης, προτείνεται η χρήση του δείκτη ευστάθειας θ e που ορίζεται από το λόγο Ρ/Ρ cr, όπου Ρ το συνολικό κατακόρυφο φορτίο της κατασκευής και Ρ cr το κρίσιµο φορτίο λυγισµού της κατασκευής (Παρασκευόπουλος κ.α. 001, Αναστασιάδης κ.α. 001). Όµως για τον υπολογισµό του δείκτη ευστάθειας θ e, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η εύρεση του κρίσιµου φορτίου λυγισµού Ρ cr του φορέα. Στην παρούσα εργασία δίνονται σχέσεις υπολογισµού του κρίσιµου φορτίου λυγισµού για επίπεδα πολυώροφα πλαίσια και παρουσιάζονται σχετικά αποτελέσµατα ύστερα από µία εκτεταµένη παραµετρική ανάλυση. Τα πλαίσια αυτά διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: (α) πολυώροφα πλαίσια µε προεξάρχουσα τη διατµητική παραµόρφωση, (β) πολυώροφα πλαίσια µε προεξάρχουσα την καµπτική παραµόρφωση και (γ) πολυώροφα πλαίσια µε µικτή (καµπτικοδιατµητική) παραµόρφωση. Για τις δύο πρώτες κατηγορίες δίνονται κατάλληλες προσεγγιστικές σχέσεις υπολογισµού του κρίσιµου φορτίου λυγισµού Ρ cr των πλαισίων απευθείας από τα ελαστικά και γεωµετρικά χαρακτηριστικά τους, ενώ για τη τρίτη κατηγορία τα αποτελέσµατα είναι µεν ικανοποιητικά χρειάζεται όµως συστηµατικότερη διερεύνηση για την εξαγωγή τελικών συµπερασµάτων. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ. Για τους σκοπούς της εργασίας χρησιµοποιήθηκε το πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων SAP000v8.00. Η αξονική θλιπτική φόρτιση µειώνει τη δυσκαµψία του στοιχείου ενός φορέα µε αποτέλεσµα την εµφάνιση της γεωµετρικής µη-γραµµικότητας. Με τη διαδοχική αύξηση του συνολικού κατακόρυφου φορτίου, κάποια στιγµή θα εµφανιστεί σε κάποιο διαγώνιο όρο του µητρώου δυσκαµψίας αρνητικός αριθµός ή µηδέν, µε συνέπεια να διακοπεί η επίλυση διότι το µητρώο δυσκαµψίας δε θα είναι πια θετικά ορισµένο. Η τιµή του φορτίου αυτού αποτελεί το κρίσιµο φορτίο λυγισµού Ρ cr του φορέα. Αν ο µηδενισµός του όρου εµφανιστεί σε ένα µητρώο δυσκαµψίας στοιχείου τότε αναφερόµαστε σε τοπικό λυγισµό περιορισµένης έκτασης, ενώ αν εµφανιστεί στο γενικό µητρώο δυσκαµψίας του συστήµατος τότε αναφερόµαστε σε λυγισµό του κτιρίου. Στην παρούσα εργασία τα αποτελέσµατα αναφέρονται πάντοτε στο µικρότερο, από τα δύο, φορτίο λυγισµού. Οι διάφοροι παράµετροι που επηρεάζουν το κρίσιµο φορτίο λυγισµού Ρ cr των επίπεδων πολυώροφων πλαισίων αποµονώθηκαν, εξετάσθηκαν χωριστά και είναι: (α) ο αριθµός των ορόφων Ν, (β) ο λόγος a hc όπου a είναι η πλευρά του υποστυλώµατος που ανήκει στο επίπεδο κάµψης του στοιχείου και hc είναι το ύψος του ορόφου, E I (γ) ο λόγος ρ = b! b που χρησιµοποιείται στα επίπεδα πλαίσια µε προεξάρχουσα E Ic hc διατµητική παραµόρφωση, (δ) η στατική εκκεντρότητα e του φορέα, δηλαδή η απόσταση του ελαστικού κέντρου του φορέα από την συνισταµένη των κατακόρυφων φορτίων, (ε) Η ποσότητα των τοιχωµάτων στα µικτού ή καµπτικού τύπου πλαίσια. Όλες οι παραπάνω παράµετροι συνδέθηκαν κατάλληλα µεταξύ τους στις παρακάτω προτεινόµενες σχέσεις υπολογισµού του κρίσιµου φορτίου λυγισµού των φορέων και υπολογίστηκαν απευθείας από τα ελαστικά και γεωµετρικά χαρακτηριστικά τους, χωρίς να απαιτείται προηγουµένως άλλη επίλυση (παράγρ. 5..1 και 5..).
3 ΤΥΠΟΙ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΠΟΛΥΩΡΟΦΩΝ ΠΛΑΙΣΙΩΝ. Τα επίπεδα πολυώροφα πλαίσια διακρίνονται ανάλογα µε τον τύπο της καθ ύψος παραµόρφωσής τους σε καµπτικού, διατµητικού και µικτού τύπου παραµόρφωσης. Συνεπώς, σε κάθε εξεταζόµενο πολυώροφο πλαίσιο πρέπει να προηγηθεί εκτίµηση της σύζευξης της καµπτικής και της διατµητικής λειτουργίας του. Για το σκοπό αυτό µπορούν να χρησιµοποιηθούν παράµετροι διαφορετικού βαθµού ακριβείας εκ των οποίων αναφέρουµε τις ακόλουθες δύο: Α. Η παράµετρος της ποσότητας των τοιχωµάτων σε πλαίσια από Ω/Σ. Πρόκειται για απλή και εµπειρική παράµετρο η οποία παριστάνει το λόγο του εµβαδού της διατοµής των τοιχωµάτων προς την επιφάνεια των υπερκείµενων ορόφων (κατά τρόπο ανάλογο µε αυτόν που προβλεπόταν από τον πρώτο ελληνικό αντισεισµικό κανονισµό του 1959). Ύστερα από σχετική διερεύνηση σε επαρκή αριθµό πλαισίων προέκυψε ότι αν το συνολικό εµβαδόν της διατοµής των τοιχωµάτων A w σε κάθε όροφο είναι µεγαλύτερο από το 1/1500 του αθροίσµατος A f, i των εµβαδών των υπερκείµενων ορόφων, τότε στο πλαίσιο κυριαρχεί η καµπτική παραµόρφωση. Αναλυτικότερα προέκυψε ότι αν ισχύει: A, A f i w τότε έχουµε αµιγή καµπτική παραµόρφωση, 150 A, A f i w τότε έχουµε κυρίως καµπτική παραµόρφωση, 1500 A A, f, i > A f i w τότε έχουµε µικτή παραµόρφωση µε ισχυρή σύζευξη της 1500 8000 καµπτικής και διατµητικής λειτουργίας, A A, f, i > A f i w τότε έχουµε µικτή παραµόρφωση µε κυριαρχία της 8000 18000 διατµητικής παραµόρφωσης, A w 0 & I b >> Ic τότε έχουµε αµιγή διατµητική παραµόρφωση. Β. Η παράµετρος λ H. Θεωρείται η ακριβέστερη παράµετρος για τη διάκριση του τύπου ενός πλαισίου. Το µέγεθος αυτό δεν είναι εµπειρικό και προκύπτει από τη µελέτη των συνεχών συστηµάτων, όπου Η το ολικό ύψος του πλαισίου και λ = G As E I ( G As η διατµητική δυσκαµψία της διατοµής του διατµητικού υποσυστήµατος και E I η καµπτική δυσκαµψία της διατοµής του καµπτικού υποσυστήµατος). Όταν λ H 1 το σύστηµα χαρακτηρίζεται ως κυρίως καµπτικό, όταν λ H 15 το σύστηµα χαρακτηρίζεται διατµητικό και όταν 1 < λ H < 15 το πολυώροφο σύστηµα είναι µικτό. Ειδικότερα, όταν 1 < λ H < 6 στο µικτό σύστηµα το καµπτικό υποσύστηµα είναι εντονότερο, ενώ όταν 6 < λ H < 15 στο µικτό σύστηµα το διατµητικό υποσύστηµα είναι εντονότερο. Στην παρούσα εργασία έγινε διερεύνηση και συσχετίστηκε προσεγγιστικά το µέγεθος λ H µε το «διαιρέτη» του αθροίσµατος A f, i των εµβαδών των υπερκείµενων ορόφων ώστε να προκύψει το συνολικό εµβαδόν της διατοµής των τοιχωµάτων A w σε κάθε όροφο. Η συσχέτιση αυτή φαίνεται στον πίνακα 1. Πίνακας 1: Συσχέτιση του µεγέθους λ H και του διαιρέτη που αποδίδει το A w λ H 0 0.3 0.5 0.7 1 6 15 0 ιαιρέτης 150 500 800 1000 1500 8000 18000 3000 - Στο σηµείο αυτό κρίνεται σκόπιµο να αναφερθούµε διεξοδικά στον υπολογισµό του µεγέθους λ H. Ξεκινώντας από τη µόρφωση του συνεχούς διατµητικού υποσυστήµατος, υποκαθιστούµε
το επίπεδο πολυώροφο πλαίσιο µε ένα υποστύλωµα διατµήσεως. Για το σκοπό αυτό αποχωρίζουµε πρώτα µία στάθµη µαζί µε τα υποστυλώµατά της µέχρι το µέσον του επάνω και κάτω ορόφου (κοντά στο σηµείο µηδενισµού των ροπών των υποστυλωµάτων, σχήµα 1) ενώ θεωρούµε ότι η δυσκαµψία των δοκών κατανέµεται οµοιόµορφα στο ύψος ( hc + hc ) της εξεταζόµενης στάθµης. Αν Q = Q i είναι η συνολική τέµνουσα που αναπτύσσεται στα i υποστυλώµατα για οριζόντια µετατόπιση δ της κορυφής της στάθµης ως προς την βάση της, τότε η γωνία κλίσης της χορδής των υποστυλωµάτων είναι γ = δ hc. Στη συνέχεια προσοµοιώνουµε την εξεταζόµενη στάθµη µε ένα στοιχείο διατµητικού υποστυλώµατος του οποίου η διατοµή διαθέτει ισοδύναµη διατµητική δυσκαµψία G As και εµφανίζει την ίδια, µε το πλαίσιο, γωνία ολίσθησης γ = Q ( G A s ). Κατά συνέπεια, η ισοδύναµη διατµητική δυσκαµψία της διατοµής του διατµητικού υποστυλώµατος είναι G A s = hc Q δ. Για τον υπολογισµό της ισοδύναµης διατµητικής δυσκαµψίας G As πρώτα υπολογίζονται οι τέµνουσες δυνάµεις Q i, εξαιτίας της καταναγκασµένης µοναδιαίας µετατόπισης ( δ = 1) και ακολούθως υπολογίζεται η συνισταµένη Q = Q i των τεµνουσών δυνάµεων (σχήµα ). Τέλος, i από τη σχέση G A s = hc Q δ υπολογίζεται άµεσα το ζητούµενο µέγεθος. Εναλλακτικά µε την παραπάνω διαδικασία, για τον υπολογισµό του G As, µπορούµε να εφαρµόσουµε και άλλες κατάλληλες προσεγγιστικές σχέσεις (Anastassiadis, 1991). Σχήµα 1: Μόρφωση του συνεχούς µοντέλου του διατµητικού υποσυστήµατος. Σχήµα : Υπολογισµός της ισοδύναµης διατµητικής δυσκαµψίας του πλαισίου.
4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΛΥΓΙΣΜΟΥ. 4.1 είκτης ευστάθειας θ e πλαισίου. Ως δείκτης ευστάθειας θ e ενός πλαισίου ορίζεται ο λόγος του συνολικού κατακόρυφου φορτίου λειτουργίας Ρ στη βάση του φορέα προς το κρίσιµο φορτίο λυγισµού P cr : P θ e = (1) Pcr Ο δείκτης ευστάθειας θ e ενός πλαισίου αποτελεί χαρακτηριστικό στοιχείο του φορέα, είναι ανεξάρτητος της οριζόντιας φόρτισης (µέσα στο πλαίσιο ισχύος της γραµµικής ευστάθειας) και εξαρτάται αποκλειστικά από τα γεωµετρικά και ελαστικά χαρακτηριστικά του φορέα καθώς και από την κατανοµή της κατακόρυφης φόρτισης. Στην περίπτωση που ο δείκτης ευστάθειας θ e ενός πλαισίου δεν υπερβαίνει το 0.10 τότε µπορεί να παραλείπεται ο έλεγχος σε φαινόµενα Ρ-. Στην περίπτωση που 0.10< θ e 0.0 τότε τα φαινόµενα Ρ- µπορούν να λαµβάνονται προσεγγιστικά υπόψη µέσω προσαύξησης κατά 1/(1-θ) όλων των µεγεθών απόκρισης 1 ης τάξης. Τέλος, το θ e δεν πρέπει να υπερβαίνει το 0.0 σε καµία περίπτωση. 4. είκτης σχετικής µεταθετότητας θ κατά ΕΑΚ-000 Η συνεισφορά των φαινοµένων ης τάξης στην ευστάθεια του συστήµατος γίνεται ολοένα και σηµαντικότερη ανάλογα µε το βαθµό πλαστικοποίησης του φορέα υπό σεισµική δράση. Μάλιστα η συνεισφορά αυτή γίνεται κρίσιµη λίγο πριν την εµφάνιση της κατάρρευσης και ενώ ο φορέας έχει ήδη υποστεί εκτεταµένη πλαστικοποίηση. Για το λόγο αυτό οι σύγχρονοι αντισεισµικοί κανονισµοί επιδιώκουν, από τη γραµµική ελαστική ανάλυση, τη συγκράτηση των φαινοµένων ης τάξης σε πολύ χαµηλά επίπεδα ώστε να υποβαθµιστεί σε σηµαντικό βαθµό η δράση τους στην περίπτωση που εµφανιστεί η εκτεταµένη πλαστικοποίηση του φορέα. Πράγµατι, σύµφωνα µε την παράγρ. 4.1.. του ΕΑΚ-000, ο δείκτης σχετικής µεταθετότητας θ δίνεται από την εξίσωση (): N θ = ολ () Vολ h c όπου N ολ, V ολ είναι αντίστοιχα οι συνολικές αξονική και τέµνουσα δύναµη των κατακόρυφων στοιχείων του ορόφου, h c είναι το ύψος του ορόφου και είναι η υπολογιστική σχετική µετακίνηση των πλακών του ορόφου. Σύµφωνα µε τον ΕΑΚ-000, όταν σε κάθε όροφο ο δείκτης θ δεν υπερβαίνει το 0.10 τότε µπορεί να παραλείπεται ο έλεγχος σε φαινόµενα Ρ-. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι όταν θ 0.10 τότε η επιρροή των φαινοµένων Ρ- σε κάθε όροφο προκαλεί περιορισµένη αύξηση της απόκρισης, η οποία ισοδυναµεί σε ποσοστό κάτω του 10% των µεγεθών απόκρισης 1 ης τάξης. Στην περίπτωση που 0.10<θ 0.0 επιτρέπεται να λαµβάνονται υπόψη τα φαινόµενα Ρ- προσεγγιστικά µέσω προσαύξησης κατά 1/(1-θ) όλων των µεγεθών απόκρισης 1 ης τάξης. Το θ δεν επιτρέπεται να υπερβαίνει το 0.0 σε καµία περίπτωση σύµφωνα µε τον ΕΑΚ-000, ενώ σύµφωνα µε την προηγούµενη έκδοση του αντισεισµικού κανονισµού (ΝΕΑΚ-199) το αντίστοιχο όριο ήταν 0.30. Όµως, η εξίσωση () που δίνει τον υπόψη δείκτη θ ισχύει µόνο για έναν µονώροφο στύλοπρόβολο. Έτσι, η επέκταση της εφαρµογής της στα πολυώροφα διατµητικού τύπου επίπεδα πλαίσια χωρίς καµπτικά τοιχώµατα είναι καταχρηστική όταν µάλιστα από το µονώροφο δίστηλο πλαίσιο αρχίζει ο δείκτης θ να παρουσιάζει τις πρώτες αποκλίσεις. Επίσης σηµαντικό
µειονέκτηµα της εξίσωσης () είναι το γεγονός ότι για την εφαρµογή της απαιτείται να διενεργηθεί στατική επίλυση για τον υπολογισµό των V ολ και. Η παραπάνω εξίσωση () δεν ισχύει σε µικτά συστήµατα (καµπτικοδιατµητικής παραµόρφωσης καθ ύψος) λόγω της καµπτικής λειτουργίας των τοιχωµάτων. Επίσης δεν ισχύει σε χωρικά ασύµµετρα συστήµατα επειδή στην περίπτωση αυτή δεν είναι καθορισµένη µονοσήµαντα η εξεταζόµενη σχετική µετακίνηση ορόφου (σχετική µετακίνηση στο κέντρο βάρους του ορόφου όπως πρότεινε ο ΝΕΑΚ-199 ή σχετική µετακίνηση σε περιµετρικό πλαίσιο του ιδίου ορόφου όπως προτείνει ο ΕΑΚ-000 ή σχετική µετακίνηση σε κάποιο άλλο σηµείο). Τέλος, η υπόψη εξίσωση () δεν ισχύει στην περίπτωση εφαρµογής του δυναµικού φασµατικού υπολογισµού, επειδή δεν έχει φυσική έννοια ο όρος V ολ και κατά συνέπεια δεν µπορεί να υπολογισθεί. ηλαδή, γίνεται έµµεσα αποδεκτό από τον ΕΑΚ-000 ότι στην περίπτωση ενός µη-κανονικού πλαισίου, στο οποίο είναι υποχρεωτική η εφαρµογή του δυναµικού φασµατικού υπολογισµού, θα πρέπει για τον έλεγχο των φαινοµένων ης τάξης να γίνει στατικός υπολογισµός, έτσι ώστε να καταστεί δυνατός ο υπολογισµός του δείκτη σχετικής µεταθετότητας θ. 4.3 Κριτήριο αµεταθετότητας πλαισίων κατά ΕΚΩΣ-000 Σύµφωνα µε τον ΕΚΩΣ-000 όταν στους φορείς ικανοποιούνται οι παρακάτω σχέσεις 3 και 4 τότε τα εξεταζόµενα πλαίσια θεωρούνται «αµετάθετα», δηλαδή επιτρέπεται να χρησιµοποιείται η στατική ανάλυση 1 ης τάξης αγνοώντας τα φαινόµενα ης τάξης. Σηµειώνεται όµως ότι ο µεµονωµένος έλεγχος σε φαινόµενα ης τάξης των επιµέρους υποστυλωµάτων είναι υποχρεωτικός να γίνεται σε κάθε περίπτωση. ( E I ) 0.0 + 0.10 n ( E I ) 0. 60 H Nολ c για n 3 (3) H Nολ c για n 4 (4) όπου n είναι ο αριθµός των ορόφων, H το ολικό ύψος της κατασκευής, E I c είναι η συνολική δυσκαµψία των διατοµών των κατακόρυφων στοιχείων (τοιχώµατα και υποστυλώµατα µη διακοπτόµενα καθ ύψος) και N ολ είναι το άθροισµα όλων των κατακόρυφων φορτίων λειτουργίας στη βάση του κτιρίου. 4.4 Κριτήριο αµεταθετότητας πλαισίων µε βάση την παράµετρο λ H. Στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας έγινε επίσης διερεύνηση µε στόχο να εκτιµηθεί το µέγεθος της παραµέτρου λ H που πρέπει να διαθέτει ένας πολυώροφος φορέας ώστε να χαρακτηρίζεται µε ασφάλεια ως «αµετάθετος». Χρησιµοποιώντας ως κριτήριο ότι «η επιρροή των φαινοµένων Ρ- σε κάθε όροφο δεν πρέπει να επιβαρύνει πάνω από 10% την απόκριση της ανάλυσης 1 ης τάξης» προέκυψε ότι για να είναι ο φορέας «αµετάθετος» πρέπει να ισχύει λ H 0.70. Σε διαφορετική περίπτωση το πλαίσιο θεωρείται «µεταθετό», σύµφωνα µε τον ΕΚΩΣ-000. Στην τελευταία περίπτωση τα φαινόµενα ης τάξης είναι σηµαντικά και χρειάζεται περισσότερη διερεύνηση για την αντιµετώπιση του προβλήµατος. Λαµβάνοντας υπόψη το συσχετισµό του µεγέθους πίνακα 1, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε προσεγγιστικά το «διαιρέτη» για τον χαρακτηρισµό ή όχι ενός πλαισίου ως «αµετάθετου». Ύστερη από σχετική διερεύνηση προέκυψε ότι όταν το συνολικό εµβαδόν της διατοµής των τοιχωµάτων σε κάθε όροφο είναι µεγαλύτερο από το 1/1000 του αθροίσµατος των εµβαδών των υπερκείµενων ορόφων τότε το πλαίσιο θεωρείται «αµετάθετο». Σε διαφορετική περίπτωση το πλαίσιο θεωρείται «µεταθετό», τα φαινόµενα ης λ H και του «διαιρέτη» που φαίνεται στον τάξης αρχίζουν να γίνονται σηµαντικά και χρειάζεται περισσότερη διερεύνηση για την αντιµετώπιση του προβλήµατος.
5 ΚΡΙΣΙΜΟ ΦΟΡΤΙΟ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ. 5.1 Κρίσιµο φορτίο λυγισµού µεµονωµένων υποστυλωµάτων κατά Euler. Το κρίσιµο φορτίο λυγισµού ενός υποστυλώµατος κατά τον Euler αναφέρεται σε ιδεατή ράβδο, στην οποία καταστρώθηκε η διαφορική εξίσωση των βυθίσεων της ελαστικής γραµµής και προέκυψε η λύση της, για διάφορες συνθήκες στήριξης: π E I Πρόβολος Pcr = ( H) π E I Αµφιαρθρωτός στύλος Pcr = Μονόπακτος στύλος Αµφίπακτος στύλος Pcr = Pcr = ( H) π E I ( 0.7 H) π E I ( 0.5 H) όπου E I η καµπτική δυσκαµψία της διατοµής, και Η το µήκος του υποστυλώµατος. Χαρακτηριστικό γνώρισµα των παραπάνω σχέσεων είναι ότι µεταβάλλεται ο συντελεστής του ολικού µήκους Η του υποστυλώµατος, δηλαδή το µήκος λυγισµού της ράβδου. 5. Κρίσιµο φορτίο λυγισµού πλαισίων Το επίπεδο πολυώροφο διατµητικό πλαίσιο µπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ως ένας κατακόρυφος πρόβολος µε σταθερή διατοµή καθ ύψος. Άρα, για τον προσεγγιστικό υπολογισµό του κρίσιµου φορτίου λυγισµού του πλαισίου και αφού προηγουµένως υποκαταστήσουµε τον πραγµατικό φορέα µε έναν ισοδύναµο πρόβολο, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κάποια από τις παραπάνω σχέσεις του Euler, µε κατάλληλα τροποποιηµένο µήκος λυγισµού. Ανάλογες ερευνητικές προσπάθειες µε διαφορετική όµως µεθοδολογία έγιναν και στο παρελθόν (Macleod & Zalka-1996, Zalka & Macleod-1996). Έτσι, το κρίσιµο φορτίο λυγισµού των πολυώροφων επίπεδων πλαισίων θα µπορούσε να δίνεται από τη γενική σχέση 5: π E I Pcr = ολ ( v H) όπου v ο συντελεστής που δίνει το µήκος λυγισµού του ιδεατού υποκατάστατου προβόλου. Το ιδεατό υποστύλωµα, που υποκαθιστά το πολυώροφο πλαίσιο ολικού ύψους Η, θεωρείται ότι έχει ύψος Η ίσο µε το ολικό ύψος του αρχικού πλαισίου, διαθέτει το ίδιο µέτρο ελαστικότητας Ε µε αυτό του αρχικού πλαισίου και έχει σταθερή καθ ύψος διατοµή µε ροπή αδράνειας I ολ περί οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδο κάµψης του πλαισίου. Παραδεχόµαστε ότι η ροπή αδράνειας I ολ ισούται µε το άθροισµα των ροπών αδράνειας όλων των υποστυλωµάτων µιας στάθµης, συνήθως στη βάση του πλαισίου. Έτσι, θεωρούµε ότι όλοι οι παράµετροι που επηρεάζουν το πρόβληµα του λυγισµού ενός πλαισίου λαµβάνονται υπόψη µέσω του συντελεστή v. Για τον υπολογισµό του συντελεστή v διενεργήθηκε εκτεταµένη παραµετρική ανάλυση αποµονώνοντας τις διάφορες παραµέτρους που τον επηρεάζουν, όπως ήδη αναφέρθηκε στην παράγραφο, ενώ όπως προέκυψε µπορεί να δοθεί από την ακόλουθη σχέση 6: (5)
( v ) v = λ1 vo = λ1 o1 + vo (6) Με το µέγεθος λ 1 λαµβάνεται υπόψη η σχετική δυσκαµψία των δοκών σε σχέση µε τους στύλους σε µία στάθµη του πλαισίου. Με το µέγεθος v o1 λαµβάνεται υπόψη η λυγηρότητα των υποστυλωµάτων των ορόφων αναλόγως του λόγου a hc, όπου a είναι η πλευρά του υποστυλώµατος που ανήκει στο επίπεδο κάµψης του στοιχείου και h c είναι το ύψος του ορόφου. Τέλος, το µέγεθος v o λαµβάνει υπόψη την επιρροή του αριθµού Ν των ορόφων του πλαισίου. Αξιολογώντας τα αποτελέσµατα της παραµετρικής ανάλυσης προέκυψε η παρακάτω µεθοδολογία ανάλογα µε τον τύπο του πλαισίου και του αριθµού των ορόφων που διαθέτει. 5..1 Κρίσιµο φορτίο λυγισµού πλαισίων µε προεξάρχουσα διατµητική παραµόρφωση E I Στα διατµητικού τύπου πλαίσια, υπολογίζεται πρώτα ο συντελεστής ρ = b! b, όπου Ε E Ic hc είναι το µέτρο ελαστικότητας του υλικού του φορέα, E I b! b είναι το άθροισµα όλων των λόγων E I b! b όλων των δοκών ενός ορόφου ( I b,! b είναι η ροπή αδράνειας και το µήκος της κάθε δοκού, βλ. σχήµα 1), E I c h c είναι το άθροισµα όλων των λόγων E I c h c όλων των υποστυλωµάτων ενός ορόφου ( I c, h c είναι η ροπή αδράνειας και το µήκος του κάθε υποστυλώµατος, βλ. σχήµα 1). Στο σχήµα 3 παρουσιάζεται η µεταβολή του συντελεστή v µε την αύξηση του αριθµού των ορόφων και του λόγου a hc. Από τα αποτελέσµατα της διερεύνησης φαίνεται ότι στα διατµητικού τύπου επίπεδα πλαίσια η επιρροή της στατικής εκκεντρότητας e δεν έχει ιδιαίτερη σηµασία, σε αντίθεση µε τα καµπτικού τύπου πλαίσια (βλ. παράγρ. 5..). Σχήµα 3: Μεταβολή του συντελεστή v µε την αύξηση του αριθµού των ορόφων και του λόγου a hc. Περίπτωση Α: Αριθµός Ορόφων Ν 5. Το µέγεθος λ 1 δίνεται από τις ακόλουθες εξισώσεις των καµπύλων του σχήµατος 3:
λ 1 = 0.30 +.58 ρ 1. 11 ρ για ρ 1. 40, λ 1 = 0.001 ρ + 1.70 για ρ > 1. 40 Αν προκύψει σε κάποια περίπτωση λ 1 >. 50 τότε τίθεται λ 1 =. 50. Το µέγεθος v o1 δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση των καµπύλων του σχήµατος 3: a a a vo1 = 0.306 0.48 + 11.0 h c h για 0.05 0. 0 c hc Τιµές µε λόγο a h c > 0. 0 δηλώνουν πλαίσια που δεν ανήκουν στην κατηγορία των διατµητικών συστηµάτων. Το µέγεθος v o δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση των καµπύλων του σχήµατος 3: v 0.056 N o = 0.56 N + 1.41 Περίπτωση Β: Αριθµός Ορόφων Ν 6. λ 1 = 0.0 + 3.56 ρ 1. 40 ρ για ρ 1. 40, λ 1 = 0.001 ρ +.4 για ρ > 1. 40 Αν προκύψει σε κάποια περίπτωση λ 1 > 3. 50 τότε τίθεται λ 1 = 3. 50. a a a vo1 = 0.306 0.48 + 11.0 h c h για 0.05 < 0. 30 c hc v o = 0.03 ( 5 N) Αν προκύψει σε κάποια περίπτωση v o 0. 7 τότε τίθεται v o = 0. 7. Σηµειώνεται ότι στην περίπτωση που Ν 6 ο συντελεστής v o προκύπτει πάντοτε αρνητικός. 5.. Κρίσιµο φορτίο λυγισµού πλαισίων µε προεξάρχουσα καµπτική παραµόρφωση Στο σχήµα 4 παρουσιάζεται η µεταβολή του συντελεστή v µε την αύξηση του αριθµού των ορόφων και του λόγου a hc. Παρατηρούµε εδώ ότι στα καµπτικού τύπου επίπεδα πλαίσια η επιρροή της στατικής εκκεντρότητας e έχει σηµασία για αριθµό ορόφων µέχρι 5. Στο σχήµα 4 φαίνεται η επιρροή της στατικής εκκεντρότητας (εκφρασµένη σε ποσοστό του ολικού µήκους L του πλαισίου). Περίπτωση Α: Αριθµός Ορόφων Ν 5. Το µέγεθος v o1 δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση των καµπύλων του σχήµατος 4: a v o1 = 1.161+ 0.90 hc Το µέγεθος v o δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση των καµπύλων του σχήµατος 4:
v o = 5.68 1.58 N + 0.17 N Η στατική εκκεντρότητα e επηρεάζει τα καµπτικού τύπου πλαίσια µέχρι πέντε ορόφους. Οι παραπάνω σχέσεις αποδίδουν την περιβάλλουσα των καµπύλων του σχήµατος 4 για την µέγιστη εκκεντρότητα e = 0.50 L και έτσι η στατική εκκεντρότητα e απαλείφεται από τις υπόψη σχέσεις. Σχήµα 4: Μεταβολή του συντελεστή v µε την αύξηση του αριθµού των ορόφων και του λόγου a hc. Περίπτωση Β: Αριθµός Ορόφων Ν 6. Το µέγεθος v o1 δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση των καµπύλων του σχήµατος 4: a v o1 = 1.161+ 0.90. hc Το µέγεθος v o δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση των καµπύλων του σχήµατος 4: v o ( 5 N) = 0.05. Αν προκύψει σε κάποια περίπτωση v o 0. 70 τότε τίθεται v o = 0. 70. Σηµειώνεται ότι στην περίπτωση που Ν 6 ο συντελεστής v o προκύπτει πάντοτε αρνητικός. Τέλος, στα καµπτικά πλαίσια το µέγεθος λ 1 δίνεται προσεγγιστικά από τον επόµενο πίνακα. Για περιπτώσεις µε διαφορετικό αριθµό ορόφων είναι επαρκής η γραµµική παρεµβολή. Πίνακας : Τιµές µεγέθους λ 1. Τοιχώµατα συζευγµένα µε πλάκα διαφράγµατος Τοιχώµατα συζευγµένα µε συνήθη πλακοδοκό Τοιχώµατα συζευγµένα µε δοκούς άπειρης ρ.αδραν. 10-ώροφα 5-ώροφα Μονώροφα 0.60 0.85 1.00.50 1.75 1.00 35.00 3.00 1.50
5..3 Κρίσιµο φορτίο λυγισµού πλαισίων µε µικτή παραµόρφωση Στην περίπτωση αυτή, υπολογίζεται πρώτα το κρίσιµο φορτίο λυγισµού των δύο υποσυστηµάτων και στη συνέχεια µε κατάλληλη παρεµβολή και ανάλογα µε την τιµή της παραµέτρου λ H (ή και του ποσοστού των τοιχωµάτων) εκτιµάται το κρίσιµο φορτίο λυγισµού. Η διαδικασία αυτή έδειξε ότι, σε περιορισµένο αριθµό πλαισίων που µελετήθηκαν, τα αποτελέσµατα µπορούν να θεωρηθούν ικανοποιητικά, χρειάζεται όµως συστηµατικότερη διερεύνηση η οποία βρίσκεται σε εξέλιξη. Προς το παρόν, η µοναδική αξιόπιστη λύση είναι η χρήση ειδικού προγράµµατος Η/Υ για τον υπολογισµό του κρίσιµου φορτίου λυγισµού Pcr του φορέα ενώ στη συνέχεια υπολογίζεται ο δείκτης ευστάθειας θ e από τη σχέση (1). 6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία δόθηκαν σχέσεις υπολογισµού του κρίσιµου φορτίου λυγισµού των επίπεδων πολυώροφων πλαισίων απευθείας από τα ελαστικά και γεωµετρικά χαρακτηριστικά τους χωρίς να απαιτείται προηγουµένως άλλη επίλυση. Το κρίσιµο φορτίο λυγισµού υπολογίζεται σε κάθε περίπτωση από τις εξ. 5 και 6, ενώ ως κριτήριο για την αποφυγή των φαινοµένων λυγισµού προτείνεται ο δείκτης ευστάθειας θ e του πλαισίου (εξ.1). Αποµονώθηκαν και εξετάσθηκαν οι διάφοροι παράµετροι που επηρεάζουν το κρίσιµο φορτίο λυγισµού όπως είναι ο αριθµός των ορόφων Ν, ο λόγος a hc, ο λόγος ρ για τα επίπεδα πλαίσια µε προεξάρχουσα τη διατµητική παραµόρφωση, η στατική εκκεντρότητα e του φορέα και η ποσότητα των τοιχωµάτων στα καµπτικού τύπου πλαίσια. Τέλος, έγινε διάκριση του τύπου παραµόρφωσης των πλαισίων χρησιµοποιώντας την ποσότητα των τοιχωµάτων ή το αδιάστατο µέγεθος λ H. 7 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Anastassiadis, K. (1991): Calcul Statique des Contreventements par la Method des Trois Pivots. Theorie et applications., Annales de I I.T.B.T.P., No 498. Αναστασιάδης, Κ. Αβραµίδης, Ι.Ε. Αθανατοπούλου, Α. (001): Κριτικές παρατηρήσεις επί του Ευρωκώδικα 8 Παράγραφοι 3 και 4 [Draft No1 of pren 1998-1/ May 000], o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας, Θεσσαλονίκη. MacLeod, I.A. Zalka, K.A. (1996): The global critical load ratio approach to stability of building structures, The Structural Engineer, vol.74, No 15. Neuss, C. Maisson, B. (1984): Analysis for P- effects in Seismic Response of Buildings, Computer and Structures, vol.19, No3. Παρασκευόπουλος, Η.Α. - Κουρίδης, Α.Μ. - Αθανατοπούλου, Α.- Αναστασιάδης, Κ. (001): Αξιολόγηση των διατάξεων του ΕΑΚ000 για τα φαινόµενα ης τάξης, o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας, Θεσσαλονίκη. Penelis, G. (1968): Die Knichung raumlicher einstockiger Rahmentrager, Der Bauingenieur, 43, Heft 7. Rutenberg, A. (198): Simplified P-Delta analysis for asymmetric Structures, J. of the Struct. Div., ASCE, vol. 108,No ST9. Zalka, K.A. - MacLeod, I.A. (1996): The equivalent column concept in stability analysis of buildings, The Structural Engineer, vol.74, No 3 & 4.