.α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει: x y x y x 6y 0 0 Β)Να βρείτε τους αριθμούς x,y ώστε x y x y 6 0 0.Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α,β με τους οποίους ισχύει : Α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι. Β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:.δίνεται η παράσταση: x 4 x x 4 x Α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Β)Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x. 4. α) Να δείξετε ότι: 0 4 Β)Να συγκρίνετε τους αριθμούς 0 και 6-0 5.Δίνεται η παράσταση x 4 6 x Α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την Β)Για x=5, να αποδείξετε ότι: 6 0 6. Δίνεται η παράσταση: x 4 x 4. Β)Αν x=4, να αποδείξετε ότι: 0 5. 8 5 για 4 4 7.Δίνεται η παράσταση: x x Β)Αν x=, να αποδείξετε ότι : 0 8.Δίνεται η παράσταση: 5 x 5 7
Β)Για x=4, να αποδείξετε ότι: 4 6 6 6 9.Δίνονται οι αριθμοί : και Β= Α) Να δείξετε ότι : Α-Β=4. Β)Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς:,,. 0.Δίνονται οι αριθμοί :,Β= 5 5 5 5 Α)Να δείξετε ότι: ia ) ii) AB 0 Β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Α και Β. x x x x 4 4 6 9.Δίνεται η παράσταση : x x A)Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η παράσταση Κ να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Β)Αν -<x<, να αποδείξετε ότι η παράσταση Κ είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x..δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις: 6 6 6 6, Β=, Γ= 6. Α) Να δείξετε ότι : Α+Β+Γ=. 6 Β)Να συγκρίνετε τους αριθμούς : και 6. Γ)Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας..δίνονται οι παραστάσεις : x και Β= x, όπου x πραγματικός αριθμός. Α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Β)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Β; Γ) Να δείξετε ότι, για κάθε x, ισχύει Α=Β. 4.Αν είναι 6 5, Β=,Γ= 5, τότε: Α) Να αποδείξετε ότι 5 Β)Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α, Β. 8
5.Αν είναι, Β=+ τότε : Α)Να αποδείξετε ότι : Β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6.Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ,δ με 0 και δ γ ώστε να ισχύουν : 4 και 4 Α)Να αποδείξετε ότι : α=β και δ=5γ. Β)Να βρείτε την τιμή της παράστασης 7. Έστω x,y πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει: 4 x 5 y x 4y Α)Να αποδείξετε ότι: y=x Β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης xy x y xy 8. Δίνεται η παράσταση : x 6, όπου x είναι πραγματικός αριθμός Α)Να αποδείξετε ότι: i) κάθε x, A=x-4 ii)για κάθε x<, A=8-x Β) Αν για τον x ισχύει ότι x, να αποδείξετε ότι : 9x 6 x 4 x 6 9.Δίνεται η παράσταση: x y με x,y πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει :<x<4 και <y<. Να αποδείξετε ότι: i )A=x-y+ ii)0<a<4 0.Για κάθε πραγματικό αριθμό x με την ιδιότητα 5<x<0. Α)να γράψετε τις παραστάσεις x5 και x 0 χωρίς απόλυτες τιμές. Β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:.δίνεται η παράσταση x x x5 x0 x5 x0 Α)Για <x<, να δείξετε ότι: Α=x- Β)Για x<, να δείξετε ότι η παράσταση Α έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του x) την οποία και να υπολογίσετε. 9
. Αν 0<α<, τότε : Α)να αποδείξετε ότι : Β)να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς : 0, α,, α,. Αν x και y να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιμή καθεμιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: i) x y ii)x y x iii) y 4.α)Αν α<0, να αποδειχθεί ότι : Β)Αν α<0, να αποδειχθεί ότι : 5.α) Αν, 0 να αποδειχθεί ότι: (). Β)Πότε ισχύει η ισότητα στην (); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 6.Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν 4 και -4 β -. Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: α)α-β β)α-αβ 7. Δίνονται οι παραστάσεις : 9 και Λ=α όπου α,β Α)Να δείξετε ότι : 6 9 Β)Να δείξετε ότι : για κάθε τιμή των α,β. Γ)Για ποιες τιμές των α,β ισχύει η ισότητα Κ=Λ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 8. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α,β με α>0 και β>0. Να αποδείξετε ότι: 40
4 ) 4 4 4 ) 6 9.Σε έναν άξονα τα σημεία Α, Β, Μ αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9, x αντίστοιχα. Α)Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων x5 και x 9 Β)Αν ισχύει x 5 x 9 i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii)με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό x, που παριστάνει το σημείο Μ. Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας. 0. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους 0 ισχύει η ανίσωση: Α)Να αποδείξετε ότι το είναι μεταξύ των α,β Β)Αν επιπλέον 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωμετρικά είτε αλγεβρικά. 4