Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1."

Σπύρο Βιλαέτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός λ 0 λ λ

2 . Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y για τους οποίους ισχύει : () (x y) x x 6 ( γ) 9 7 () y x ) () (x y) () και x y () () () προκύπτει x x () () προκύπτει y 4 y x x 6 ( x ) x x 6 () και x (4) (4) x 4 x ή x Για x, η () γίνεται 6 8 άτοπο Για x, η () γίνεται ( ) 6 4 που ισχύει Άρα η ζητούµενη τιµή του x είναι. γ) 9 7 () y 9 και 7 y 9 x 54 και 7 y x 45 και 7 y x 5 και 7 y

3 . Στο µιγαδικό επίπεδο να σηµειώσετε τις εικόνες και τις διανυσµατικές ακτίνες των µιγαδικών αριθµών :,,,, 4, 4, 5, 0. y x Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, που ικανοποιούν τις σχέσεις : Το πραγµατικό µέρος του z είναι ίσο µε µηδέν. Το φανταστικό µέρος του z είναι ίσο µε µηδέν. γ) Το πραγµατικό µέρος του z είναι ίσο µε το φανταστικό του µέρος. Είναι τα σηµεία του άξονα y y Είναι τα σηµεία του άξονα x x γ) Είναι τα σηµεία της διχοτόµου ης ης γωνίας των αξόνων.

4 4 5. Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που σηµειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσµα στη µορφή α β. ( 4 6) (7 ) ( ) (6 4) γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) δ) ( )(4 5) ε) (6 ) στ) (4 ) (4 ) ζ) ( )( ) ( 4 6) (7 ) ( ) (6 4) γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) δ) ( )(4 5) ε) (6 ) 8 8 στ) (4 ) (4 ) ζ) ( )( ) ( )( ) 6 7

5 5 6. Να γράψετε τους παρακάτω µιγαδικούς στη µορφή α β.. 6 γ) δ) ( ) ε) ( ) ( )( ) 6 4 ( ) 0 γ) 0 δ) ( ) στ) 6 ε) ( )( ) ( )( ) στ) 6 (6 )( ) ( )( )

6 6 7. Να βρείτε τους x, y R, για τους οποίους ισχύει : ( ) () x y ( ) x y γ) ( )(x y) (x y) ( ) () x y 9 4 x y x y 5 x x 5 x x και 0 αδύνατο. Είναι ( )( ) ( )( ) Η δοσµένη ισότητα γίνεται. x y x y x y ( )( ) I x 5 και y 5 γ) ( )(x y) (x y) ( )(x y) (x y) (x y) ( ) (x y) ( ) ( ) x y x και y 0 x και y 0

7 7 8. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Είναι άρα άρα άρα άρα 46 4 άρα άρα Εποµένως Είναι 4 άρα άρα άρα 4 75 Άρα άρα Ποιος είναι ο z, όταν : z 5 7 z 4 9 γ) z 4 δ) z ε) z στ) z 0 z 5 7 z 4 9 γ) z 4 δ) z ε) z στ) z 0

8 8 0. Με ποιες συµµετρίες µπορούν να προκύψουν από την εικόνα του µιγαδικού z οι εικόνες των µιγαδικών z, z και z. Η εικόνα του z είναι συµµετρική της εικόνας του z ως προς τον άξονα x x. Η εικόνα του z είναι συµµετρική της εικόνας του z ως προς την αρχή Ο. Η εικόνα του z είναι συµµετρική της εικόνας του z ως προς τον άξονα y y.. Αν z αριθµός, ενώ ο z και z z φανταστικός αριθµός. Παρατηρούµε ότι z z, άρα, να δείξετε ότι ο z z είναι πραγµατικός z z z z Re( z ) που είναι πραγµατικός και z z z z Im( z ) που είναι φανταστικός.

9 9. Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις : z z 6 z z γ) z z δ) z z Έστω z z z 6 y 6 y Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία της ευθείας που έχει εξίσωση y. z z ( ) (x y ) x xy y x xy y 4xy 0 xy 0 x 0 ή y 0. Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία των δύο αξόνων x x και y y. γ) z z (x y ) ( ) x xy y ( x xy x xy y x xy y x y x x y ή x y Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία των δύο διχοτόµων των τεσσάρων τεταρτηµορίων. δ) z z x y () x y x y x x. Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία της ευθείας που έχει εξίσωση x. y y )

10 0. Να λύσετε στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών τις εξισώσεις : x x 0 x x 0 γ) x x 9 8, x ± ± ή 4 8, x ± 8 ± ± γ) Περιορισµός : x 0 x x x x x x 0 4, x ± 4. Αν µια ρίζα της εξίσωσης x βx γ 0, όπου β, γ R, είναι, να βρείτε τις τιµές των β και γ. ρίζα της εξίσωσης ( ) β( ) γ 0 (9 4) β β γ β β γ 0 (0 β γ) (4 I 0 0 β γ 0 και 4 β 0 0 β γ 0 και β 0 γ 0 και β γ 6 και β

11 Β ΟΜΑ ΑΣ. Αν α, β, γ και δ είναι πραγµατικοί αριθµοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκο είναι πραγµατικός αριθµός. αβ ( α( γ δ) Είναι γδ ( γδ)( γ δ) Άρα, ( αγβδ) γ δ αβ γδ R βγ αδ γ δ ( αγβδ ) ( βγ αδ) γ δ ( βγ αδ) γ δ 0 βγ αδ 0 αβ γδ. Αν z, να βρείτε την τιµή της παράστασης z z z 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) z z z z. Να βρείτε την τιµή της παράστασης ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 Άρα ( ) 0 ( )

12 4. Πόσες διαφορετικές τιµές µπορεί να πάρει η παράσταση ν ν ; Είναι ν 4κ υ µε υ 0,,, Όταν υ 0, δηλαδή ν 4κ, τότε ν 0. Οπότε ν ν Όταν υ, δηλαδή ν 4κ, τότε ν. Οπότε ν ν 0 Όταν υ, δηλαδή ν 4κ, τότε ν. Οπότε ν ν Όταν υ, δηλαδή ν 4κ, τότε ν. Οπότε ν ν 0. Εποµένως, η παράσταση µπορεί να πάρει τρεις διαφορετικές τιµές 5. Να λύσετε την εξίσωση z Έστω z. z z x y ( ) x y (x x x x x x x x z x xy y y ) (y xy) 0 y 0 και y xy 0 y 0 και y( x) 0 y 0 () και (y 0 ή x 0) Για y 0, η () γίνεται x x 0 x( x) 0 x 0 ή x Εποµένως z ή z 0 Για x 0 δηλαδή x δηλαδή x, η () γίνεται 4 y 0 Εποµένως z ± y 4 y ±

13 5. Να λύσετε την εξίσωση z Έστω z. z z x y ( ) x y x y z x x y x(y ) (y ) x x y x y (x x x y ) ( y x y y y ) 0 x x x y 0 και y x y x( x y ) 0 και y( y y 0 x ) 0 (x 0 ή x y 0) και (y 0 ή y x 0) Όταν x 0 και y 0, τότε z Όταν x 0 και x 0 x 0 Εποµένως και και y x 0 y 0 y x 0 και y ± z 0 ± ± Όταν x y 0 και y 0 x 0 και y 0 x και y 0 x ± και y 0 Εποµένως z ± 0 ± Όταν x y 0 x y 0 και και x ( x ) 0 x 9 x 0 y x 0 y x και και y x y x 8 x 4 0 αδύνατη διότι x R

14 4 6. Έστω ο µιγαδικός z µε z 0. Να δείξετε ότι ο και ότι. Έστω z z z x y x y x y (x y) (x y) (x y)(x y) z z x xy y x xy y x x y y (x y ) R. (x y ) x y x y x y x x y x y και y x είναι πραγµατικός y x 0 x και 0 y που ισχύουν y 7. Να αποδείξετε ότι (α β ) 0 (β α ) 0 0, όπου α, β R (α β ) α αβ (β α ) β βα β () α () Από τις (), () (α β ) (β α ) [(α β ) 5 ] [(β α ) (α β ) 0 (β α ) 0 (α β ) 0 (β α ) ]

15 5 8. Για ένα µιγαδικό z να αποδείξετε ότι : Ο z είναι πραγµατικός, αν και µόνο αν z z Ο z είναι φανταστικός, αν και µόνο αν z z Αν z z z z u Έστω z z z και z z και z. z, να αποδείξετε ότι ο αριθµός z z είναι πραγµατικός, ενώ ο αριθµός v x y y 0 y 0 z x πραγµατικός z z (x y) x 0 x 0 z y φανταστικός z z u z z z z z z v z z z z z z ( u z z v ( u πραγµατικός. v φανταστικός. είναι φανταστικός.

16 6 9. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει Re ( z z ) 5 Re(z) Περιορισµός : z 0 Έστω z, τότε z x y z z x y Re ( z ) Άρα Re ( z ) x x z 5 Re(z) x x 5x z x 4x x 4x 0 x ( 4) 0 x 0 ή 4 0 x 0 ή 4 x 0 ή x y 4 x 0 ή x Άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι ο άξονας y y εκτός της αρχής Ο, µαζί µε τον κύκλο που έχει κέντρο το Ο και ακτίνα. y ( )

17 7 9. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει Im ( z z ) Im(z) Περιορισµός : z 0 Έστω z, τότε z x y z z x y Άρα Im ( z z ) y y Im ( z z ) y Im(z) y y y 4y 0 y (4 ) 0 y 0 ή 4 0 y 0 ή 4 y 0 ή x y 4 y 0 ή x Άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι ο άξονας x x εκτός της αρχής Ο, µαζί µε τον κύκλο που έχει κέντρο το Ο και ακτίνα. y ( )

Σχετικά έγγραφα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε