ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER Για το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σημάτων, για =, ±, ±, ±3, παρατηρούμε ότι m, T m d T,, m m T m Τα εκθετικά σήματα,, =, ±, ±,..., σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικά διάστημα [, + T], διάρκειας T = π/ω, καλούνται αρμονικά συσχετιζόμενα εκθετικά σήματα και σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο. Επομένως κάθε σήμα στο χρονικό αυτό διάστημα εκφράζεται o T T d Εξίσωση σύνθεσης Εξίσωση ανάλυσης

Στο ανάπτυγμα σε σειρά Fourir, η εξίσωση ανάλυσης αναλύει ένα σήμα στο διάστημα [, +T], ή στο διάστημα -, αν το σήμα είναι περιοδικό, σε ένα διακριτό φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτων με συχνότητες ω, με πλάτος α. d T T Όταν το σήμα είναι σήμα τάσης η μονάδα μέτρησης των συντελεστών Vols. είναι Με άλλα λόγια το ανάπτυγμα Fourir των περιοδικών σημάτων αναπαριστά περιοδικά σήματα με εκθετικά σήματα και με το τρόπο αυτό αποκαλύπτει το φασματικό του περιεχόμενο. Όταν το σήμα δεν είναι περιοδικό τότε ο μετασχηματισμός Fourir αναπαριστά το σήματα με εκθετικά σήματα και με το τρόπο αυτό αποκαλύπτει το φασματικό του περιεχόμενο. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός Fourir Αναλογικών Σημάτων 5-

Ο Μετασχηματισμός Fourir ή το φάσμα του Η συνάρτηση ω αποτελεί την εξίσωση ανάλυσης αναλύει ένα μη περιοδικό σήμα στο διάστημα, σ ένα συνεχές φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτων και είναι ο Μετασχηματισμός Fourir ΜF του σήματος. Ο μετασχηματισμός Fourir ω είναι η φασματική πυκνότητα πλάτους. d Όταν είναι σήμα τάσης, τότε ο συχνότητας. ω έχει μονάδα μέτρησης Vols ανά μονάδα d Η εξίσωση αποτελεί την εξίσωση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήμα στο πεδίο του χρόνου Ακριβέστερα, μετασχηματισμός Fourir είναι ο κανόνας εύρεσης της ω από την. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός Fourir Αναλογικών Σημάτων 5-3

Ο μετασχηματισμός Fourir παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. Με το μετασχηματισμό Fourir αναλύουμε μη περιοδικά σήματα με εκθετικά σήματα και με το τρόπο αυτό αποκαλύπτεται το φασματικό τους περιεχόμενο. Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του ορθογώνιου παλμού διάρκειας T. Απάντηση:,, αλλιώς T si T T T T T T Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός Fourir Αναλογικών Σημάτων 5-

f A A T A y A Y f f A 3 T A ˆ ˆ f 3 f A A T A 3 f Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός Fourir Αναλογικών Σημάτων 5-5

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ - ΣΕΙRA FOURIER Υπάρχουν Ν το πλήθος διαφορετικά μιγαδικά εκθετικά σήματα διακριτού χρόνου τα οποία σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο, δηλαδή, είναι ανά δύο ορθογώνια. m, m m,, m m m Τα περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου παριστάνονται με πεπερασμένα αθροίσματα. εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Το ζεύγος των εξισώσεων αυτών ορίζουν τη σειρά Fourir διακριτού χρόνου discr im Fourir sris DTFS του περιοδικού σήματος διακριτού χρόνου. Οι συντελεστέc καλούνται συντελεστές Fourir ή όπως θα δούμε φασματικές γραμμές. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

Να βρεθεί η παράσταση σε σειρά Fourir διακριτού χρόνου του περιοδικού ορθογώνιου κύματος Παράδειγμα, Απάντηση si, si,,, ή,,,,,, Περιβάλλουσα si / si / Το περιοδικό ορθογώνιο κύμα και το γινόμενο των συντελεστών της σειράς Fourir διακριτού χρόνου επί το πλήθος των δειγμάτων του περιοδικού ορθογώνιου κύματος για = και =. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Οι εξισώσεις σύνθεσης και ανάλυσης για το μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου discr im Fourir rsform DTFT Ω dω Ω Ω Ω εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Η εξισώση εκφράζει την ανάλυση του σήματος διακριτού χρόνου σε εκθετικά σήματα Ω τα οποία εκτείνονται σε ένα συνεχές φάσμα κυκλικών συχνοτήτων Ω περιορισμένο στο διάστημα Ω < π. Η συνάρτηση Ω είναι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου συχνά αναφέρεται και ως φάσμα του γιατί περιέχει την πληροφορία πως το συντίθεται από εκθετικά σήματα διαφορετικών συχνοτήτων. Το φασματικό περιεχόμενο στο απειροστό διάστημα συχνοτήτων [Ω, Ω + dω] είναι Ω και η συνεισφορά των συχνοτήτων [Ω, Ω + dω] έχει πλάτος ΩdΩ/π. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του αιτιατού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου Απάντηση u C Ω 8 8 Ω Ω Ω Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

Παράδειγμα Να υπολογιστεί το σήμα διακριτού χρόνου, του οποίου ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι ορθογώνιο περιοδικό κύμα. Ω,, Ω Ω Απάντηση si Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του τετραγωνικού παλμού διακριτού χρόνου Απάντηση,, si[ ] si[ ] Ω Ω Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του αιτιατού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου, και R Απάντηση cos Ω 8 6 6 8 Ω Η ακολουθία = όταν είναι πραγματικός αριθμός < και το φάσμα της. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου έχει δύο διαφορές από το μετασχηματισμό Fourir συνεχούς χρόνου οι οποίες οφείλονται στο γεγονός ότι τα εκθετικά σήματα διακριτού χρόνου είναι περιοδικά με περίοδο π. Ο Ω είναι περιοδικός ενώ ο ω όχι. Έτσι το ολοκλήρωμα στην εξίσωση σύνθεσης έχει πεπερασμένο διάστημα ολοκλήρωσης. Στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, οι χαμηλές συχνότητες περιγράφονται από διαστήματα μικρού εύρους κεντραρισμένα στην αρχή των συντεταγμένων, ενώ οι υψηλές συχνότητες είναι τοποθετημένες μακριά από την αρχή των αξόνων προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά του άξονα συχνοτήτων. Στην περίπτωση του διακριτού χρόνου η περιοδικότητα του μετασχηματισμού Fourir επιβάλλει μία διαφορετική εικόνα. Οι χαμηλές συχνότητες αντιστοιχούν με διαστήματα γύρω από τη θέση Ω =, ή λόγω της περιοδικότητας γύρω από τις θέσεις Ω = ± π. Οι υψηλές συχνότητες τοποθετούνται κοντά σε περιοχές όπου Ω = ± π ή Ω = ± + π. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

Στην περίπτωση του διακριτού χρόνου η περιοδικότητα του μετασχηματισμού Fourir επιβάλλει μία διαφορετική εικόνα. Οι χαμηλές συχνότητες αντιστοιχούν με διαστήματα γύρω από τη θέση Ω =, ή λόγω της περιοδικότητας γύρω από τις θέσεις Ω = ± π. Ω 3 3 Ω Οι υψηλές συχνότητες τοποθετούνται κοντά σε περιοχές όπου Ω = ± π ή Ω = ± + π. Ω 3 3 Ω Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Γραμμικότητα Χρονική μετατόπιση Ολίσθηση συχνότητας Άθροισμα Διαμόρφωση Ιδιότητες του ΜF διακριτού χρόνου b Ω b Ω Ω Ω DTFT Ω Ω m m DTFT DTFT DTFT Ω Ω Ω DTFT y Ω Y d Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

Συνέλιξη Αποδεκάτιση DTFT y ΩYΩ M M DTFT M Ω Διαφόριση στο πεδίο συχνότητας M M M DTFT d Ω dω Διαφορά DTFT Ω Ω Παρεμβολή M M M Ω Θεώρημα Prsvl E DTFT DTFT Ω E dω Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

Μετατροπή Σήματος από Αναλογικό σε Ψηφιακό Τα σύγχρονα συστήματα επικοινωνίας σε πολύ μεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήματα ψηφιακής μορφής, δηλαδή, σήματα που δημιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα περισσότερα σήματα στην πράξη είναι αναλογικά. Η μετάδοση των σημάτων αυτών σε ψηφιακή μορφή απαιτεί τα αναλογικά αυτά σήματα να μετατραπούν σε ψηφιακά. Η διαδικασία της μετατροπής αναλογικών σημάτων σε ψηφιακά ονομάζεται αναλογική σε ψηφιακή μετατροπή A/D log o digil covrsio ή κωδικοποιήσης κυματομορφής. Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές κωδικοποιήσης κυματομορφής, παλμοκωδική διαμόρφωση και η διαμόρφωση δέλτα. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

Παλμοκωδική Διαμόρφωση Η παλμοκωδική διαμόρφωση Puls Cod Modulio PCM είναι το απλούστερο σχήμα κωδικοποιήσης κυματομορφής. Ένας παλμοκωδικός διαμορφωτής παλμών αποτελείται από τρία βασικά μέρη: ένα δειγματολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. Σ Υ Σ Τ Η Μ Α PC M Δειγματολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής 5 6 7 8 9 3 3 5 6 7 8 9 3 3 Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

Δειγματοληψία αναλογικών σημάτων περιορισμένου εύρους-ζώνης T S TS TS S 3T T S 5T S 6TS S 7T S 8T Το σήμα α είναι ένα αργά μεταβαλλόμενο σήμα, και το κύριο φασματικό περιεχόμενό του βρίσκεται στις χαμηλές συχνότητες Το σήμα α είναι ένα σήμα με γρήγορες μεταβολές οι οποίες οφείλονται στην παρουσία συνιστωσών σε υψηλές συχνότητες T S TS 8T TS 3T S TS 5T S 6TS 7TS S Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγματοληψίας για το δεύτερο σήμα πρέπει να είναι σημαντικά μικρότερη. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

Αναλογική και Ψηφιακή συχνότητα Συχνότητα Δειγματοληψίας Έστω s είναι η ακολουθία η οποία προέρχεται από τη δειγματοληψία του συνημιτονοειδούς αναλογικού σήματος α = A cosω + θ με περίοδο δειγματοληψίας T s. s T s Acos T Acos T Αν Ω είναι η ψηφιακή κυκλική συχνότητα τότε s = A cosω + θ. Συγκρίνωντας τις δύο εκφράσεις του s έχουμε τις σχέσεις μεταξύ αναλογικών και ψηφιακών συχνότητων T s και s F Παρατηρούμε ότι η συχνότητα F είναι μία κανονικοποιημέμη ή σχετική συχνότητα. Η αναλογική συχνότητα f έχει μονάδα μέτρησης Hz ή c/sc ενώ η διακριτή F δεν έχει διαστάσεις. Επίσης η αναλογική κυκλική συχνότητα ω έχει μονάδα μέτρησης rd/sc ενώ η διακριτή Ω έχει μονάδα μέτρησης rd. Για να προσδιοριστεί η ψηφιακή συχνότητα F όταν δίνεται η αναλογική συχνότητα f πρέπει να είναι γνωστή η συχνότητα δειγματοληψίας f s. f f s s Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Η απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασμένου εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων Για τα συνημιτονοειδή σήματα συνεχούς χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι και f Για τα συνημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι και Παρατηρούμε ότι η συχνότητα του συνημιτονοειδούς σήματος το οποίο δειγματοληπτούμε πρέπει να βρίσκεται στην περιοχή F f T s s f s T s και fs fs f T T s s Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Η περιοδική δειγματοληψία ενός αναλογικού σήματος συνεχούς χρόνου οδηγεί στην απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής των αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασμένη εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων. Η μέγιστη αναλογική συχνότητα που μπορεί να δειγματοληπτηθεί με συχνότητα δειγματοληψίας f s είναι m T s και f m f s Θεώρημα δειγματοληψίας ή Θεώρημα του Sho Η συχνότητα f s με την οποία λαμβάνονται τα δείγματα ενός αναλογικού σήματος, πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη υψηλότερη αναλογική συχνότητα f m που περιέχεται στο σήμα, δηλαδή, f s f m Για να μη χαθεί πληροφορία θα πρέπει να παίρνουμε τουλάχιστον δύο δείγματα ανά περίοδο της μεγαλύτερης συχνότητας του αναλογικού σήματος. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Ο συνεχούς χρόνου μετασχηματισμός Fourir CTFT, ω, ή το φάσμα ενός αναλογικού σήματος είναι Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir είναι s Ts d d Αν το αναλογικό σήμα δειγματοληπτηθεί με περίοδο δειγματοληψίας T s παράγεται το σήμα διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου DTFT, s Ω, του σήματος διακριτού χρόνου s είναι s Ο αντίστροφος διακριτού χρόνου μετασχηματισμός Fourir είναι s s d Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

Δειγματοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σημάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων F Δειγματολήπτης Ts DTFT s Αποδεικνύεται ότι S T S T S S T S T S T S ή S T S T T S S T S T T S S T S Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου s Ω του δειγματοληπτημένου s σήματος διακριτού χρόνου είναι ένα άθροισμα αντιγράφων του μετασχηματισμού Fourir ω του αρχικού αναλογικού σήματος μετατοπισμένων κατά π/t s και πολλαπλασιασμένων επίσης με /T s, δηλαδή, Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Δειγματοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σημάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων S TS TS S TS TS TS S TS f f T S T s T s T s Το αναλογικό σήμα. Το περιορισμένου εύρους φάσμα του αναλογικού σήματος T s Ο όρος του φάσματος του δειγματοληπτημένου σήματος για = T s s s T s T S T S TS TS T s m Το διακριτό σήμα s. T s T s Το φάσμας του δειγματοληπτημένου σήματος για f s > f m Το φάσμα του αναλογικού σήματος διατηρείται στο φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος επομένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήματος από τα δείγματά του. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

Σεραφείμ Καραμπογιάς Δειγματοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σημάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων T s T s T s Το αναλογικό σήμα. Το περιορισμένου εύρους φάσμα του αναλογικού σήματος T s Ο όρος του φάσματος του δειγματοληπτημένου σήματος για = T s s T s s T S T S T S T S T s m 6 Το διακριτό σήμα s. T s T s Το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος για f s = f m Το φάσμα του αναλογικού σήματος διατηρείται οριακά στο φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος επομένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήματος από τα δείγματά του. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

Σεραφείμ Καραμπογιάς Δειγματοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σημάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων T s T s T s Το αναλογικό σήμα. Το περιορισμένου εύρους φάσμα του αναλογικού σήματος T s Ο όρος του φάσματος του δειγματοληπτημένου σήματος για = T s s T s s T S T S T S T S T s m Το διακριτό σήμα s. T s T s Το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος για f s < f m 6 Έχουμε το φαινόμενο της φασματικής επικάλυψης ή του χαμηλού ρυθμού δειγματοληψίας Το φάσμα του αναλογικού σήματος δε διατηρείται στο φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος επομένως δεν είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήματος από τα δείγματά του. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

T s s 6 T s T s Το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος για f s = f m Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου με απόκριση συχνότητας F H TS F είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήματος με τη βοήθεια της ˆ T S sic T T S S Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

T s s T s T s T s Το φάσμας του δειγματοληπτημένου σήματος για f s > f m Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου με απόκριση συχνότητας F H TS F όπου T S T S είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήματος με τη βοήθεια της ˆ T S sic T T S S Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

Γραφική ερμηνεία της ανακατασκευής του αναλογικού σήματος από τα δείγματά του T sic sic S T S T S sic T S sic 3 sic 3 T S T S T S T S T S T S 3T S TS 5TS 6TS 7TS 8TS 9TS Παρατηρούμε ότι για ακέραιο πολλαπλάσιο του T s, =, ±, ±, μόνο μία sic συνεισφέρει με πλάτος T s, ενώ για T s σεινεισφέρουν όλες. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

Παράδειγμα Το αναλογικό σήμα = cosπ δειγματοληπτείται με περίοδο δειγματοληψίας T s =, sc. T 3T T Ο μετασχηματισμός Fourir του σήματος = cos ω. Το σήμα = cos ω. s s s 5 s s T T 3T Ο μετασχηματισμός Fourir του δειγματοληπτημένου σήματος. Το δειγματοληπτημένο σήμα. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

Παράδειγμα Το αναλογικό σήμα = cosπ δειγματοληπτείται με περίοδο δειγματοληψίας T s = /3 sc. T T 3T Ο μετασχηματισμός Fourir του σήματος = cos ω. Το σήμα = cos ω. s s s 3 6 s s T T 3T Ο μετασχηματισμός Fourir του δειγματοληπτημένου σήματος. Το δειγματοληπτημένο σήμα. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

Εξίσωση σύνθεσης Ανάπτυγμα σε σειρά Fourir Σειρά Fourir o Εξίσωση ανάλυσης T T d Δειγματοληψία στο πεδίο συχνότητας αναλογικού σήματος F f f Αν δειγματοληπτήσουμε ομοιόμορφα το φάσμα f με περίοδο f f d T S T S d T S f έχουμε f T s d Το σήμα p T s είναι περιοδικό έτσι αναπτύσσεται σε σειρά Fourir p c f c T S T S p f d f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-33

παρατηρούμε ότι επομένως,...,,, f f f c T S Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-3 f S f T S p T f p c

A F f f f p p T S Ανάκτηση f Δειγματοληψία 6 TS f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-35

A F f f f p p T S Ανάκτηση f Δειγματοληψία 6 T S f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-36

A F f f f p p T S Ανάκτηση f Δειγματοληψία 6 T S f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-37

Αν = για > τ και επιλέξουμε T s > τ τότε δεν έχουμε χρονική αλλοίωση και το φάσμα του σήματος f μπορεί επιτυχώς να ανακατασκευαστεί από τα δείγματα του δf με τη βοήθεια της σχέσης: f f sic f f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-38

A F f f f p p T S Ανάκτηση f Δειγματοληψία T S T S 3 f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-39

A F f f f p p T S Ανάκτηση f Δειγματοληψία T S T S 3 f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

A F f f f p p T S Ανάκτηση f Δειγματοληψία TS 3 f f Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5- Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου F Δειγματοληψία στο πεδίο συχνότητας διακριτού σήματος Αν δειγματοληπτήσουμε ομοιόμορφα το φάσμα Ω σε Ν σημεία στο διάστημα Ω < π, δηλαδή, δω έχουμε για =,,,, l l p c Το σήμα είναι περιοδικό έτσι αναπτύσσεται σε σειρά Fourir l p l Εξίσωση σύνθεσης Εξίσωση ανάλυσης p c

παρατηρούμε ότι c,,,,... επομένως p c l l p Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-3

DTF p l lm p Ανάκτηση M Δειγματοληψία M M Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-

DTF Δειγματοληψία p Ανάκτηση Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

Μπορούμε λοιπόν να ανακατασκευάσουμε το σήμα από το σήμα p ως ή για p p R p, -, αλλιώς όπου R είναι ένα τετραγωνικό παράθυρο μήκους R,, - αλλιώς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι συνεχής περιοδική συνάρτηση με περίοδο π. Για να επεξεργαστούμε το μετασχηματισμό Fourir με ψηφιακά μέσα απαιτείται η μετατροπή του σε ακολουθία αριθμών πεπερασμένης ακρίβειας. Θα πρέπει λοιπόν να δειγματοληπτηθεί κατάλληλα ο μετασχηματισμός Fourir έτσι ώστε να είναι δυνατή η ανακατασκευή του από τα δείγματά του. Δίνεται η πεπερασμένου μήκους ακολουθία, δηλαδή, η = για. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου της ακολουθίας όπως είναι γνωστό είναι Ω, Ω Εάν δειγματοληπτήσουμε τη συνεχή συνάρτηση Ω σε M διακριτές κυκλικές συχνότητες που είναι πολλαπλάσιες της Ω s στο διάστημα Ω < π παίρνουμε τα δείγματα M s Ω s,,,..., M Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

Ο αριθμός των δειγμάτων που θα ληφθούν θα πρέπει να είναι κατάλληλος έτσι ώστε αφενός να είναι δυνατή η ανάκτηση του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου για κάθε τιμή της κυκλικής συχνότητας Ω αφετέρου να μην αυξηθούν η απαιτούμενη μνήμη και η ταχύτητα επεξεργασίας. Το θεώρημα δειγματοληψίας στο πεδίο συχνοτήτων αναφέρει ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου μπορεί να ανακτηθεί από τα δείγματά του M, =,,..., M- αρκεί το σήμα διακριτού χρόνου να είναι πεπερασμένης διάρκειας και να ισχύει M. στην περίπτωση αυτή ισχύει η συνθήκη yquis, δηλαδή, Για την οριακή περίπτωση όπου συχνότητες Ω Ω s s Disc Fourir Trsform, DFT της ακολουθίας. Ω s, δηλαδή, όταν ο Ω δειγματοληπτείται στις, =,,..., - έχουμε το διακριτό μετασχηματισμό Fourir,,,..., Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

Αποδεικνύεται ότι μπορούμε να ανακατασκευάσουμε την ακολουθία από τα δείγματα του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου με την,,,..., Η εξίσωση αυτή αποτελεί τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό Fourir ivrs DFT, IDFT. Οι δύο τελευταίες εξισώσεις αποτελούν του ζεύγος διακριτού μετασχηματισμού Fourir - σημείων. Οι ακολουθίες και Ν έχουν ίδιο μήκος και είναι περιοδικές με περίοδο. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-9

Παράδειγμα Δίνεται η -σημείων ακολουθία, 3, αλλιώς Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Ω και να γίνει η γραφική παράσταση του μέτρου του σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα Ω. Να βρεθεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir -σημείων της ακολουθίας. Απάντηση Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου της ακολουθίας είναι si 3 si / Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir -σημείων της ακολουθίας είναι {,,,} Σεραφείμ Καραμπογιάς Ω 3 Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

= [,,,,zros,-]; w = [::5]**pi/5; [] = frqz,,w; mg = bs; ph = gl; = [,,,,zros,-]; = df,; mg = bs; ph = gl*8/pi = =8 =6..8..6 6 8 6 - -..8..6 6 8 6 Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

Κυκλική ανάκλαση ακολουθίας Η κυκλική ανάκλαση μιας ακολουθίας μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια των υπολοίπων modulo ως - όπου ο συμβολισμός m διαβάζεται ως m modulo και σημαίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του m δια του και είναι,, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5 5 H ακολουθία -σημείων = όπου και < < 5 5 η ανάκλασή της η οποία δεν είναι ακολουθία -σημείων 5 5 η κυκλική ανάκλασή της η οποία είναι ακολουθία -σημείων. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

Κυκλική ολίσθηση ακολουθίαc Σεραφείμ Καραμπογιάς Η περιοδική επέκταση ανά δείγματα της πεπερασμένου μήκους ακολουθίας που έχει δείγματα στο διάστημα,,,..., - είναι η περιοδική ακολουθία ~ 5 5 5 H ακολουθία -σημείων = όπου και < < ~ 5 5 5 Η περιοδική επέκταση ανά δείγματα της πεπερασμένου μήκους ακολουθίας Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-53

Η ολίσθηση μετατόπιση της περιοδικής ακολουθίας κατά m δείγματα προς τα δεξιά δίνει την επίσης περιοδική ακολουθία m. ~ m m ~ 5 5 5 Η περιοδική επέκταση ανά δείγματα της πεπερασμένου μήκους ακολουθίας ~ 3 5 5 5 Η γραμμική ολίσθηση κατά 3 δείγματα προς τα αριστερά της περιοδικής επέκτασης ανά δείγματα της ακολουθίας. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-5

Η πεπερασμένου μήκους ακολουθία ~ ~ m, m R, αλλιώς όπου R είναι το ορθογώνιο παράθυρο μήκους, δηλαδή, R,, αλλιώς αποτελεί την κυκλική ολίσθηση M-σημείων της ακολουθίας. ~ 3 R 5 5 5 Η γραμμική ολίσθηση κατά 3 δείγματα προς τα αριστερά της περιοδικής επέκτασης ανά δείγματα της ακολουθίας. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-55

Η πεπερασμένου μήκους ακολουθία ~ ~ m, m R, αλλιώς όπου R είναι το ορθογώνιο παράθυρο μήκους, δηλαδή, R,, αλλιώς αποτελεί την κυκλική ολίσθηση M-σημείων της ακολουθίας. 3 R 5 5 5 Η κυκλικά ολισθημένη ακολουθία κατά 3 δείγματα προς τα αριστερά. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-56

Κυκλική συνέλιξη Η κυκλική συνέλιξη δύο ακολουθιών και, =,, - ορίζεται από τη σχέση y m m, m Η κυκλική συνέλιξη y έχει την ίδια μορφή με τη γραμμική συνέλιξη έχει όμως μήκος, όσο δηλαδή και το μήκος καθεμιάς από τις αρχικές ακολουθίες, και όχι μήκος - όπως συμβαίνει στην περίπτωση της γραμμικής συνέλιξης των δύο αυτών ακολουθιών. Η κυκλική συνέλιξη ονομάζεται επίσης και κυκλική συνέλιξη Ν-σημείων. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-57

Τα βήματα για τον υπολογισμό της κυκλικής συνέλιξης δύο ακολουθιών είναι. κυκλική ανάκλαση κατοπτρισμός της μιας ακολουθίας,. κυκλική ολίσθηση μετατόπιση της κατοπτρικής ακολουθίας, 3. πολλαπλασιασμός της μετατοπισμένης κατοπτρικής ακολουθίας με τη άλλη ακολουθία σημείο προς σημείο και. άθροιση των γινομένων. Τα βήματα αυτά επαναλαμβάνονται. Παράδειγμα Να προσδιοριστεί η κυκλική συνέλιξη -σημείων για τις ακολουθίες {3,,} {,,3, } Απάντηση y {,,, } Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-58

Ιδιότητες του διακριτού μετασχηματισμού Fourir Μερικές ιδιότητες του διακριτού μετασχηματισμού Fourir είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου. Υπάρχουν όμως και διαφορετικές ιδιότητες οι οποίες οφείλονται στο πεπερασμένο μήκος που έχουν τόσο όσο οι ακολουθίες όσο και ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir τους Γραμμικότητα Κυκλική ολίσθηση στο χρόνο Κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα Κυκλική συνέλιξη b b y Πολλαπλασιασμός Θεώρημα Prsvl Η ποσότητα E E ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας της ακολουθίας πεπερασμένης διάρκειας. Για περιοδική ακολουθία ονομάζεται φασματική πυκνότητα ισχύος. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-59

Παράδειγμα Με τη βοήθεια της ιδιότητας της κυκλικής συνέλιξης να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη - σημείων των ακολουθιών Λύση [3,,] [,,3, ] DFT {3,,,} DFT {,,3,} 6 8 [6,,, ] [,,, ], 6,,, 3,, 8 6, 8,, 8 [,,, ] Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

Η γραμμική συνέλιξη με τη βοήθεια του διακριτού μετασχηματισμού Fourir h H h h y Y H y h F Αν η εισόδου είναι ακολουθία -σημείων και η κρουστική απόκριση είναι ακολουθία - σημείων τότε η έξοδος του συστήματος είναι ακολουθία + - -σημείων. Οι ακολουθίες και h σχηματίζονται από τις ακολουθίες και h προσθέτοντας στοιχεία μηδενικής τιμής σε κάθε μία από αυτές, έτσι ώστε το μήκος τους να γίνει ίσο με +. H y h H F Η κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών και h είναι ισοδύναμη με τη γραμμική συνέλιξη των ακολουθιών και h. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

Παράδειγμα Η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος είναι h = [3,, ]. Με τη βοήθεια του διακριτού μετασχηματισμού Fourir να υπολογίσετε την έξοδο του συστήματος όταν η είσοδος είναι το σήμα = [,, 3, ]. Απάντηση y [3,8,,,, ] Παρατηρήσεις Αν προσδιορίσουμε την έξοδο του συστήματος χρησιμοποιώντας κυκλική συνέλιξη 5- σημείων προσδιορίζεται η ακολουθία [7, 8,,, ]. Η ακολουθία αυτή έχει προέλθει από την [3, 8,,,,] με αναδίπλωση του στοιχείου, δηλαδή, [7, 8,,, ] = [3+, 8,,, ]. Αν προσδιορίσουμε την έξοδο του συστήματος χρησιμοποιώντας κυκλική συνέλιξη - σημείων προσδιορίζεται η ακολουθία [,,, ]. Η ακολουθία αυτή έχει προέλθει από την [3, 8,,,, ] με αναδίπλωση των στοιχείων και, δηλαδή, [,,, ] = [3+, 8+,, ]. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Με τη βοήθεια της ιδιότητας της συνέλιξης μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο y ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου το οποίο έχει κρουστική απόκριση h, όταν γνωρίζουμε την είσοδό του. Παράδειγμα Δίνεται το γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα το οποίο έχει κρουστική απόκριση h = u Αν η είσοδος του συστήματος είναι το σήμα: = β u Να προσδιοριστεί η έξοδος του συστήματος. Απάντηση Αν β η είσοδος του συστήματος είναι Αν = β η είσοδος του συστήματος είναι y u b y u Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-63

Συστήματα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές h y Το σήμα εισόδου και το σήμα εξόδου y ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου ικανοποιούν μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές της μορφής y M b με y h Το σήμα εισόδου,, και το σήμα εξόδου, y, ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το άθροισμα της συνέλιξης. Η απόκριση συχνότητας του ΓΧΑ συστήματος είναι H M K M K b Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-6

Παράδειγμα σύστημα πρώτης τάξης Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, και χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διαφορών y - y- = με < Να βρεθούν η απόκριση συχνότητας, η κρουστική απόκριση του συστήματος και η απόκριση του συστήματος στο μοναδιαίο βήμα. Απάντηση Η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι H Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι h u Η απόκριση του συστήματος στο μοναδιαίο βήμα είναι y u Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-65

Παράδειγμα Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, και χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διαφορών Να βρεθούν η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του συστήματος. Αν η είσοδος του συστήματος είναι Να βρεθεί το σήμα εξόδου του συστήματος. Απάντηση y y 8 y 3 Η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι H Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι Το σήμα εξόδου του συστήματος είναι 3 u 8 u u h u u 8 u y Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-66

Παράδειγμα Δίνεται σύστημα διακριτού χρόνου του οποίου η σχέση μεταξύ των σημάτων εισόδου εξόδου περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών Να βρεθεί η κρουστική απόκριση, η απόκριση συχνότητας του συστήματος και να γίνει η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους. Απάντηση y Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι Η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι H Ω h H cos Η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους του συστήματος είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς Ω Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-67

Παράδειγμα Δίνεται σύστημα διακριτού χρόνου του οποίου η σχέση μεταξύ των σημάτων εισόδου εξόδου περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών Να βρεθεί η κρουστική απόκριση, η απόκριση συχνότητας του συστήματος και να γίνει η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους. Απάντηση y h Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι Η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι rg{ } Η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους του συστήματος είναι H Σεραφείμ Καραμπογιάς H Ω,5,5 3 H Ω,5,9 3,5,5 Ω Ω Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-68

Σε πολλές εφαρμογές πραγματικού χρόνου, η ακολουθία εισόδου ενός FIR φίλτρου έχει μεγάλο μήκος, παραδείγματος χάριν η ακολουθία που προέρχεται από σήμα ομιλίας ενός μικροφώνου, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μία ακολουθία απείρου μήκους. Η έξοδος του φίλτρου υπολογίζεται με τη βοήθεια γραμμικής συνέλιξης χρησιμοποιώντας ταχύ μετασχηματισμό Fourir ο οποίος θα έχει φυσικά μεγάλο μήκος. Επιπλέον δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός της εξόδου πριν επεξεργαστούμε όλα τα δείγματα της εισόδου, και αυτό δημιουργεί μεγάλη καθυστέρηση. Στις περιπτώσεις αυτές υπολογίζεται η επιμέρους έξοδοι του συστήματος όταν είναι γνωστό ένα τμήμα μπλοκ της ακολουθίας εισόδου με τη βοήθεια ταχύ μετασχηματισμού Fourir που τώρα έχει μικρό μήκος. Στη συνέχεια υπολογίζεται η έξοδος του φίλτρου με τη βοήθεια των επιμέρους εξόδων του φίλτρου. Τα παραπάνω επεξηγούνται με το παράδειγμα που ακολουθεί. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-69

Παράδειγμα Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου που έχει κρουστική απόκριση Αν η είσοδος του συστήματος είναι η ακολουθία να βρεθεί η έξοδος του συστήματος με τη βοήθεια κυκλικής συνέλιξης 6-σημείων. Λύση: h [,, ] [,,3,,5,6,7,8,9,] Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι ακολουθία =3-σημείων. Αν η ακολουθία εισόδου κατατμηθεί σε ακολουθίες =6-σημείων τότε είναι γνωστό ότι η γραμμική συνέλιξη κάθε υποακολουθίας με την κρουστική απόκριση θα είναι ακολουθία + -=8-σημείων. Αν χρησιμοποιηθεί κυκλική συνέλιξη =6-σημείων τότε τα πρώτα Ν +Ν +-Ν= στοιχεία κάθε ακολουθίας θα είναι εσφαλμένα λόγω του φαινομένου της επικάλυψης. [,,3,,5,6,7,8,9,] 3 Σεραφείμ Καραμπογιάς [,,,,3,] [3,,5,6,7,8] [7,8,9,,, ] Κάθε υποακολουθία επικαλύπτεται με την προηγούμενή της στους δύο πρώτους όρους. Στην τελευταία υποακολουθία έχουν προστεθεί μηδενικά ώστε να γίνει ακολουθία 6- σημείων. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

Η κυκλική συνέλιξη 6-σημείων κάθε υποακολουθίας, =, και 3 με την κρουστική απόκριση του συστήματος δίνει τις ακολουθίες y y y h [ 3, h [,,,,,],,,,] 3 3 h [7,8,,, 9, Από τις ακολουθίες y, =, και 3 διαγράφουμε τους δύο πρώτους όρους οι οποίοι λόγω της επικάλυψης είναι εσφαλμένοι και σχηματίζεται η ακολουθία ] y h [,,,,,,,,,, 9, ] Η ακολουθία αυτή είναι ίση με την γραμμική συνέλιξη. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir σε μορφή πινάκων,,,, DFT Αν εφαρμόσουμε την εξίσωση ανάλυσης του διακριτού μετασχηματισμού Fourir για =,,,..., - έχουμε τις εξισώσεις ή με μορφή πινάκων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7

ή με τη μορφή πινάκων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-73 αν είναι η οστη ρίζα της μονάδας τότε,,,, DFT και

ή με τη μορφή πινάκων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-7,, Ο πίνακας δίνεται από τη σχέση ο πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας και ονομάζεται πίνακας DFΤ

Η τελευταία σχέση πραγματοποιείται με τη βοήθεια του MATLAB χρησιμοποιώντας γινόμενο πίνακα επί διάνυσμα = * p - * pi / M. ^ * ; >> = ::; >> = ::; >> '* s = Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-75

Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir σε μορφή πινάκων IDFT Αν εφαρμόσουμε την εξίσωση σύνθεσης του διακριτού μετασχηματισμού Fourir για =,,,..., - έχουμε Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-76 * ή,

Ταχύς μετασχηματισμός Fourir Ο πίνακας ο οποίος χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourir είναι συμμετρικός. Αξιοποιώντας τη συμμετρία και τη περιοδικότητα των τιμών του πίνακα καταλήγουμε σε μεθόδους υπολογισμού του διακριτού μετασχηματισμού Fourir με αρκετά λιγότερες πράξεις. Έχουν αναπτυχθεί ένα πλήθος από διαφορετικούς αλγόριθμους που επιτυγχάνουν το σκοπό αυτό. Οι διαφορές τους βρίσκονται στο πλήθος και το είδος των πράξεων καθώς και στο μέγεθος της απαιτούμενης μνήμης. Θα αναφέρουμε τον αλγόριθμο των Cooly-Tuy, ο οποίο προτάθηκε το 965. Ο αλγόριθμος αυτός μπορεί να εφαρμοστεί σε ακολουθίες = -σημείων. Με το παράδειγμα που ακολουθεί θα παρουσιαστεί η δυνατότητα περιορισμού των απαιτούμενων πράξεων λόγω των ιδιοτήτων της συμμετρίας και της περιοδικότητας που παρουσιάζει ο πίνακας. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-77

3 3 9 6 3 6 3 3 3 Επειδή και έχουμε,, 9 6 3 Να βρεθεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir -σημείων της ακολουθίας = [,,, 3] Παράδειγμα Λύση Αν εφαρμόσουμε την εξίσωση ανάλυσης του διακριτού μετασχηματισμού Fourir, 3, για =,, και 3 και εκφράσουμε τιc εξισώσεις σε μορφή πινάκων έχουμε Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-78

3 3 3] [ ] [ 3 g g 3] [ ] [ 3 h h 3] [ ] [ 3 g g 3] [ ] [ 3 3 h h Εκμεταλλευόμενοι τη συμμετρία έχουμε Οι σχέσεις αυτές οδηγούν σε ένα αποτελεσματικό αλγόριθμο που έχει δύο βήματα 3 3 h h g g βήμα 3 h h g g h h g g βήμα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-79

Η ακολουθία -σημείων διαιρείται σε δύο ακολουθίες -σημείων με τις οποίες σχηματίζονται δύο διανύσματα στήλες ως 3 3 προσδιορίζεται ο DFT -σημείων για κάθε στήλη 3 p q κάθε στοιχείο του πίνακα πολλαπλασιάζεται με 3 p g h q g h g h g h 3 3 g h g h και τέλος προσδιορίζεται ο DFT -σημείων για κάθε γραμμή g h g h g h g h g g h h h g g h 3 Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

g βήμα g 3 h βήμα h 3 g g h 3 Σεραφείμ Καραμπογιάς g h g h g h h g 3 h 3 Διάγραμμα ροής διακριτού μετασχηματισμού Fourir τεσσάρων σημείων Η διάταξη των δειγμάτων του διακριτού μετασχηματισμού Fourir στην έξοδο είναι κανονική, δηλαδή,,, και Χ3, σε αντίθεση η διάταξη των δειγμάτων εισόδου είναι μη κανονική,,, και 3. Η διάταξη αυτή προκύπτει από τη κανονική διάταξη των δειγμάτων με αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση των δεικτών bi rvrsl. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι σε κάθε στάδιο οι έξοδοι μπορούν να αποθηκεύονται στις ίδιες θέσεις μνήμης, που ήταν αποθηκευμένες οι αντίστοιχες είσοδοι του σταδίου. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

Στη συνέχεια θα γενικεύσουμε τα συμπεράσματα του παραδείγματος Αρχικά, η ακολουθία των όρων χωρίζεται σε δύο ακολουθίες μήκους / η κάθε μία, τις g = και g = +, για =,,...,/- οι οποίες αποτελούνται από τους όρους με άρτιους και περιττούς δείκτες αντίστοιχα. Η εξίσωση ανάλυσης του διακριτού μετασχηματισμού Fourir γράφεται Σεραφείμ Καραμπογιάς Επειδή / / έχουμε G / G G G,,,..., Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

Επιπλέον επειδή και αν έχουμε,,,..., G G,,,..., Παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός του έχει εκφραστεί με τη βοήθεια δύο διακριτών μετασχηματισμών Fourir με πλήθος σημείων / ο καθένας. Η διαδικασία ανάλυσης που ακολουθήθηκε προηγουμένως μπορεί να συνεχιστεί και για τον υπολογισμό των δύο νέων διακριτών μετασχηματισμών Fourir G και G. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να φτάσουμε σε διακριτό μετασχηματισμό Fourir - σημείων που είναι εύκολο να υπολογιστεί. Σημειώνεται ότι ο ταχύς μετασχηματισμός Fourir δεν αποτελεί νέο μετασχηματισμό Fourir αλλά αποτελεί μία αποδοτική αλγοριθμική μέθοδο με την έννοια ότι ελαττώνει την υπολογιστική πολυπλοκότητα, δηλαδή, το συνολικό πλήθος πράξεων πολλαπλασιασμών και προσθέσεων. Πράγματι, η υπολογιστική πολυπλοκότητα του ταχύ μετασχηματισμού Fourir είναι της τάξεως log και όχι του διακριτού μετασχηματισμού Fourir. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-83

8 5 3 7 6 6 Σεραφείμ Καραμπογιάς 3 7 Διάγραμμα ροής διακριτού μετασχηματισμού Fourir οκτώ σημείων 5 6 3 5 6 7 Η διάταξη των δειγμάτων του διακριτού μετασχηματισμού Fourir στην έξοδο είναι κανονική, δηλαδή,,,,, 7. Σε αντίθεση η διάταξη των δειγμάτων εισόδου είναι μη κανονική, δηλαδή,,,, 6,, 5, 3, 7. Η διάταξη αυτή προκύπτει από την κανονική διάταξη των δειγμάτων με αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση των δεικτών bi rvrsl Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-8

Τέλος Ενότητας Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-85

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-86

Σημειώματα Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-87

Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Προχωρημένα θέματα επεξεργασίας σήματος. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opcourss.uo.gr/courss/di/ Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-88

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Criv Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://crivcommos.org/licss/by-c-s/./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-89

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Σειρά Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου 5-9