ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ευαγγελία Α. Αραμπατζή

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ευαγγελία Α. Αραμπατζή Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 5

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ευαγγελία Α. Αραμπατζή Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 7 η Ιουλίου 5. Ν. Καραμπετάκης Ο. Κοσμίδου Ε. Αντωνίου Καθηγητής Α.Π.Θ. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Επικ. Καθηγητής ΑΤΕΙΘ Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 5

Ευαγγελία Α. Αραμπατζή Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Coyrght Ευαγγελία Α. Αραμπατζή, 5. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rghts reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.

Αφιερωμένο στους γονείς μου, Αθανάσιο και Σοφία

v

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία εξετάζουμε την διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων με την βοήθεια των θεμελιωδών πινάκων που προκύπτουν από το ανάπτυγμα Laurent του αντίστροφου πίνακα. Θα δώσουμε σταδιακά όλους τους ορισμούς και θεωρήματα για να γίνει κατανοητή, ως προς τον αναγνώστη, η μεθοδολογία. Στη συνέχεια, θα κάνουμε μια εφαρμογή για να δείξουμε πόσο σημαντικός είναι ο υπολογισμός της διαίρεσης πολυωνυμικών πινάκων στην θεωρία ελέγχου. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται βασικοί ορισμοί των πινάκων, πολυωνύμων και του υπολογισμού του αντιστρόφου πίνακα και των θεμελιωδών πινάκων. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο για την διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων, ενώ στο τρίτο κεφάλαιο κάνουμε εφαρμογή του συγκεκριμένου αλγορίθμου στον υπολογισμό ενός ελεγκτή για την σταθεροποίηση ενός συστήματος πολλών εισόδων-εξόδων. Όλα τα παραπάνω συνοδεύονται με παραδείγματα και αναλυτική μεθοδολογία. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Πολυωνυμικοί πίνακες, Αντίστροφος πίνακας, Ανάπτυγμα Laurent, Θεμελιώδεις πίνακες, Διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων. v

v

ABSTRACT In ths aer we study the dvson of olynomal matrces. The dvson s erformed n ths terms of the fundamental matrces of the nverse As () comng from ts Laurent exanson. We gve all the necessary defntons and theorems n order to have a better understandng of the methodology. The whole theory s mlemented wth an examle from the Control Systems Theory. In the frst secton we resent basc defntons that concern of matrces, olynomals and the calculaton of the fundamental matrces of the nverse of a olynomal matrx. In the second secton the dvson of the olynomal matrx s examned whereas n the thrd chater secton, an alcaton of the dvson algorthm s roosed n Control Systems Theory. KEY WORDS Polynomal matrces, Inverse matrx, Laurent exanson, Fundamental matrces, Dvson of olynomal matrces. x

x

Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... v ABSTRACT... x Κεφάλαιο... Εισαγωγικές έννοιες.... Πίνακες.... Πολυώνυμα... 3.3 Πολυωνυμικοί πίνακες... 3.4 Smth Mc-Mllan μορφή στον C... 4.5 Smth Mc-Mllan μορφή στο s=... 7.6 Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός πολυωνυμικού πίνακα A(s)....7 Υπολογισμός του αναπτύγματος Laurent του αντιστρόφου ενός πολυωνυμικού πίνακα... 6 Κεφάλαιο... 3 Διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων... 3. Ευκλείδεια διαίρεση... 3. Δεξιά και αριστερή διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων... 4.3 Διαίρεση ενός πολυωνυμικού πίνακα A(s) με έναν πρωτοβάθμιο πολυωνυμικό πίνακα της μορφής (si-a)... 8.4 Διαίρεση ενός πολυωνυμικού πίνακα A(s) με έναν πολυωνυμικό πίνακα της μορφής (se-a)... 3.5 Διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων και άλλα αποτελέσματα... 34 Κεφάλαιο 3... 45 Διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων και εφαρμογές... 45 3. Εισαγωγικές έννοιες... 45 3. Κανονικότητα κατά γραμμή (στήλη) ενός πολυωνυμικού πίνακα... 45 3.3 Πολυωνυμική κλασματική έκφραση πολυωνυμικού πίνακα... 49 x

3.4 Επανατοποθέτηση πόλων ενός γραμμικού πολυμεταβλητού συστήματος με δυναμική απόκριση εξόδου... 5 Βιβλιογραφία... 59 x

Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε κάποιες βασικές έννοιες, αναγκαίες για την κατανόηση των επομένων ενοτήτων. Θα δώσουμε τους ορισμούς των πινάκων, των πολυωνύμων, πολυωνυμικών πινάκων, της Smth-McMllan μορφής στο s, του αναπτύγματος Laurent και του αντιστρόφου ενός πολυωνυμικού πίνακα, καθώς και θα παρουσιάσουμε παραδείγματα για την εμπέδωση θεωρημάτων και μεθοδολογιών.. Πίνακες Έστω F ένα σώμα. Μια ορθογώνια διάταξη στοιχείων a (,,..., n, j,,..., m) ενός σώματος F, j a a a a A a a a a a m m n n nm (.) θα λέγεται πίνακας. Ο παραπάνω πίνακας θα λέμε ότι είναι διάστασης n m, ότι έχει δηλαδή n γραμμές και m στήλες. Αν έχουμε n m, τότε λέμε ότι ο πίνακας είναι τετραγωνικός. Συμβολίζουμε με M ( F) το σύνολο των n m πινάκων με στοιχεία από το σώμα F. nm Συγκεκριμένα, αν ο πίνακας μας είναι τετραγωνικός θα γράφουμε M ( F ). n Ορισμός.. [3] Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται μοναδιαίος αν όλα τα στοιχεία στην κυρία διαγώνιο είναι και τα υπόλοιπα. Τον πίνακα αυτόν θα τον συμβολίζουμε με I n. Ορισμός.. [3] Έστω A M ( F). Ονομάζουμε βαθμίδα του πίνακα A τον μεγαλύτερο nm αριθμό από γραμμικά ανεξάρτητες στήλες (γραμμές) του A. Συμβολίζεται με rank( A ). Συμβολίζουμε την ορίζουσα ενός πίνακα A M ( F) με det( A ) ή με A. Η ορίζουσα είναι πάντα αριθμός και περιέχει κάποιες πληροφορίες για τον πίνακα. Υπολογίζεται από τον n

j τύπο det( A) ( ) det( Aj ), όπου A j προκύπτει αν αφαιρέσουμε από τον A την j γραμμή και την στήλη j και det[ a ] a. j j Ορισμός.3. [3] Ένας πίνακας A M ( F) λέγεται ομαλός (non-sngular) αν ισχύει A n και ιδιόμορφος (sngular) αν ισχύει A. Ορισμός.4. [3] Έστω A M ( F). Ο ανάστροφος πίνακας του A είναι ένας νέος nm πίνακας που προκύπτει αν τις γραμμές του A τις κάνουμε στήλες του καινούριου πίνακα. Συμβολίζεται με T A. Ορισμός.5. [3] Ένας πίνακας A M ( F) θα λέγεται συμμετρικός αν ισχύει η σχέση A T A και αντισυμμετρικός αν ισχύει η σχέση n A T A. Ορισμός.6. [3] Αν για τον πίνακα A του M ( F ) υπάρχει ένας πίνακας B M ( F), ώστε να ισχύει η σχέση n AB In BA, τότε ο πίνακας B λέγεται αντίστροφος πίνακας του n A και συμβολίζεται με A. Ένας τρόπος υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα είναι με τον τύπο A adj( A), A j T και adj( A) είναι ο πίνακας που περιέχει στοιχεία της μορφής adj( A) (( ) A j ) και ο οποίος λέγεται προσαρτημένος πίνακας. A A A ( A B) B A A (.) Ιδιότητες οριζουσών: [] Έστω οι πίνακες A, B M ( F) για τους οποίους ισχύει A B B A A B A B n A A (.3) A A T A. n A, F Ορισμός.7. [] Έστω A M ( F). Το πολυώνυμο A In λέγεται χαρακτηριστικό nm πολυώνυμο του πίνακα A. Θα το συμβολίζουμε με c( ). Μας βοηθάει να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A.

3. Πολυώνυμα Ένα πολυώνυμο με συντελεστές από το σώμα F θα γράφετε στην μορφή: a a a a F.,,,..., m με deg f f () s m m f ( s) a s a s... a m, (.4) Ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης του πολυωνύμου. Συμβολίζεται m. Θα λέμε ότι το πολυώνυμο είναι σταθερού ή μηδενικού βαθμού αν ισχύει a. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό και είναι το f( s). Ορισμός.8. [] Ένα πολυώνυμο θα λέγεται κανονικό (regular) αν ο συντελεστής της μεγαλύτερης δύναμης είναι. Ορισμός.9. [] Θα λέμε ότι το πολυώνυμο f λέγεται πολυώνυμο μηδενιστής του πίνακα A Mn ( F ) αν ισχύει η σχέση f( A). Θεώρημα Cayley-Hamlton. [] Κάθε πίνακας τετραγωνικός πίνακας A M ( F) ικανοποιεί την χαρακτηριστική εξίσωση. Επομένως, ca ( ) όπου c( ) A In το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A. Ορισμός.. [] Ένα κανονικό πολυώνυμο ( ), το οποίο είναι πολυώνυμο μηδενιστής n του A, και έχει το μικρότερο βαθμό λέγεται ελάχιστο πολυώνυμο του A..3 Πολυωνυμικοί πίνακες Ένας πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι πολυώνυμα με συντελεστές πάνω στο σώμα F θα λέγεται πολυωνυμικός πίνακας στο σώμα F. a ( s) a m( s) A( s) [ aj ( s)],..., n, aj ( s) F[ s]. (.5) j,..., m a n( s) anm( s) Η διάσταση του πολυωνυμικού πίνακα θα είναι n m. Το σύνολο των πολυωνυμικών nm πινάκων με διάσταση n m πάνω στο σώμα F θα συμβολίζεται με Fs [ ]. Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με το σώμα των πραγματικών αριθμών. Ένας πολυωνυμικός πίνακας As () μπορεί να γραφτεί και ως n n A() s A s A s A n (.6) όπου ο αριθμός n θα είναι ο βαθμός του As () και θα συμβολίζεται με deg A( s) n, δεδομένου ότι A.

4 Ορισμός.. [] Ένας τετραγωνικός πολυωνυμικός πίνακας A( s) [ s] θα λέγεται ομαλός (regular) αν ισχύει rank A. Ορισμός.. [] Ένας πολυωνυμικός πίνακας A( s) [ s] θα λέγεται ευαδικός (monc) αν ο πίνακας του μεγιστοβάθμιου όρου του είναι ο μοναδιαίος πίνακας. Ορισμός.3. [] Ένας πολυωνυμικός πίνακας U( s) [ s] θα λέγεται αντιστρέψιμος (unmodular) (ή [] s -αντιστρέψιμος) αν υπάρχει ένας ˆ ( ) [ ] U s s, τέτοιος ώστε U( s) Uˆ ( s) I. Επίσης, αν ισχύει det U( s) a, a. Ορισμός.4. [] Δύο πολυωνυμικοί πίνακες A( s), A( s) [ s] m ονομάζονται αντιστρέψιμοι ισοδύναμοι (unmodular equvalent), αριστερά αντιστρέψιμοι ισοδύναμοι (left unmodular equvalent), δεξιά αντιστρέψιμοι ισοδύναμοι (rght unmodular equvalent) εάν και μόνο εάν υπάρχουν αντιστρέψιμοι πίνακες UL [] s και U [] m m R s L R L R τέτοιοι ώστε: A ( s) U ( s) A ( s) U ( s), A ( s) U ( s) A ( s), A ( s) A ( s) U ( s) (.7) Οι παραπάνω εξισώσεις ορίζουν σχέσεις ισοδυναμίας στο [] s m. Συμβολίζουμε με E την πρώτη σχέση ισοδυναμίας και έστω A( s), A( s) [ s] m δυο αντιστρέψιμοι ισοδύναμοι πίνακες. Συμβολίζουμε την ισοδυναμία αυτών των δυο πινάκων ως [ A( s), A( s)] E. Η E - σχέση ισοδυναμίας για έναν καθορισμένο πολυωνυμικό πίνακα As () συμβολίζεται με [ As ( )] E. Ορισμός.5. [] Έστω A( s) ( s) m και ns () ( s) : t( s) t( s), n( s), d( s) [ s], d( s) ds () Τότε πίνακας As () ονομάζεται (πραγματικός) ρητός πίνακας. (.8).4 Smth Mc-Mllan μορφή στον C Σε αυτή την παράγραφο θα δώσουμε τον ορισμό της Smth-McMllan μορφής ενός πολυωνυμικού πίνακα στον. Θα δείξουμε πως υπολογίζεται και θα δώσουμε παραδείγματα.

5 Ορισμός.6. [] Δυο ρητοί πίνακες A( s), A( s) ( s) m ονομάζονται ισοδύναμοι στο C (equvalent n C), αριστερά ισοδύναμοι στο C (left equvalent n C), δεξιά ισοδύναμοι στο C (rght equvalent n C ) εάν και μόνο εάν υπάρχουν αντιστρέψιμοι πίνακες A ( s) A ( s) A ( s) A ( s), A ( s) A ( s) A ( s), A ( s) A A ( s) (.9) L R L R Θεώρημα.7. [] Έστω A( s) ( s) m με rank ( ) A( s) r, r mn{, m}. Τότε ο As () είναι ισοδύναμος στο με έναν διαγώνιο πίνακα S As ( ) που έχει την μορφή: ( s) ( s) r ( s) SA( s) ( s) blockdag,,...,, r, mr ( s) ( s) r ( s) s (.) όπου τα ( s), ( s) [ s] έχουν ως μεγιστοβάθμιο συντελεστή την μονάδα, είναι πρώτα μεταξύ τους και ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: ( s) / ( s) r (.) ( ) / ( ) s s r (.) Ο διαγώνιος ρητός πίνακας S As ( ) ονομάζεται Smth-McMllan μορφή του As () στο. Ορισμός.8. [] Οι ρητές συναρτήσεις ( s) / ( s) : f ( s), αποτελούν ένα πλήρες σύνολο αναλλοίωτων στην κλάση ισοδυναμίας E των ισοδύναμων ρητών πινάκων στο και τις ονομάζουμε αναλλοίωτες ρητές συναρτήσεις (nvarant ratonal functons) του As (). Ορισμός.9. [] Έστω A( s) ( s) m. Ορίζουμε ως μηδενικά (zeros) του As () στο μηδενικά των πολυωνύμων ( s),. Ορίζουμε ως πόλους (oles) του As () στο τα τα μηδενικά των πολυωνύμων ( s),. Ένας τρόπος για να υπολογίσουμε την Smth-McMllan μορφή στο A( s) ( s) m είναι να γράψουμε τον ρητό πίνακα As () στην εξής μορφή: ενός ρητού πίνακα Ns () As () (.3) ds () όπου ds () το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών των στοιχείων t ( s) n ( s) / d ( s) του As () και N( s) [ s] m. Στην συνέχεια βρίσκουμε την Smth j j j

6 μορφή στο του Ns, () έστω SN ( s) blocdag [ n ( s), n ( s),..., nr ( s), r, mr ]. Τα n ( s),, όπου = ευαδικός μέγιστος κοινός διαιρέτης όλων των οριζουσών του Ns. () Διαιρούμε κάθε n ( s), r με το ds () έτσι ώστε να απλοποιηθούν οι κοινοί παράγοντες. Στην συνέχεια παίρνουμε n( s) ( s) (.4) d( s) ( s) οπότε έχουμε την τελική Smth-McMllan μορφή στο του As (). Παράδειγμα. Θα υπολογίσουμε την Smth-McMllan μορφή του As () στο. υπολογίζω ότι d( s) ( s )( s ) και s s s ( s) As () s s ( s ) ( s ) ( s ) Ns (). ( s)( s) Υπολογίζω την Smth μορφή του Ns () στο,,, det N( s) ( s ) ( s ) ( s ), επομένως n ( s) και n s s s s ( ) ( ) ( ) ( ). Άρα ( s ) ( s ) ( s ) S N ( s ) οπότε η Smth-McMllan μορφή του As () στο θα είναι S As ( ) ( s)( s). ( s)( s)

7.5 Smth Mc-Mllan μορφή στο s= Σε αυτή την παράγραφο θα δώσουμε τον ορισμό της Smth-McMllan μορφής ενός πολυωνυμικού πίνακα στο s. Θα δείξουμε πως υπολογίζεται και θα δώσουμε παραδείγματα. Για τον υπολογισμό θα πρέπει πρώτα να δώσουμε τον ορισμό του (). Έστω K ένα σώμα. Μια διακριτή εκτίμηση του K είναι η απεικόνιση τέτοια ώστε για όλα τα μη μηδενικά στοιχεία x, y K : K, ( xy) ( x) ( y) (.5) ( x y) mn{ ( x), ( y)} (.6) Αν έχουμε t( s) n( s) / d( s) ( s) όπου n( s), d( s) [ s], d( s) ορίζουμε την απεικόνιση ( ) : ( s) { } μέσω των σχέσεων ( t( s)) : deg d( s) deg n( s) t( s) (.7) ( t( s)) : t( s) (.8) Από τα παραπάνω φαίνεται ότι η απεικόνιση () ικανοποιεί τις παραπάνω σχέσεις, οπότε είναι και αυτή μια διακριτή εκτίμηση του () s. Άρα για μη μηδενικά t ( s), t ( s) ( s) έχουμε ότι ( t( s)) : ( t ( s)) ( t ( s)) (.9) ( t ( s) t ( s)) mn{ ( t ( s)), ( t ( s))} (.) () ( ) (.) Παράδειγμα. Αν t( s) ( s ) / s( s 4) τότε ( ts ( )). Λήμμα.. [] Κάθε t( s) n( s) / d( s) ( s) μπορεί να γραφτεί ως ts () s q n () s d () s (.) όπου q : ( t( s)) και n( s), d( s) [ s] με deg n( s) deg d( s). Ορισμός.. [] Αν q θα λέμε ότι η ts () έχει μηδενικό στο s της τάξης q και αν q τότε λέμε ότι η ts () έχει πόλο στο s της τάξης q.

8 Εάν ( ts ( )) τότε η ts () λέγεται κανονική ρητή συνάρτηση (roer) και αν η ανισότητα είναι αυστηρή τότε η ts () λέγεται αυστηρά ρητή συνάρτηση (strctly roer) στο s. Το σύνολο των κανονικών ρητών συναρτήσεων το συμβολίζουμε με r () s. Τα μοναδιαία στοιχεία u( s) ( s) είναι οι κανονικές ρητές συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχει r u () s τέτοιο ώστε u( s) u( s). Είναι δηλαδή συναρτήσεις που δεν περιέχουν μηδενικά και στο s και είναι της μορφής u( s) n( s) / d( s) ( s), όπου deg n( s) deg d( s). Τα μοναδιαία στοιχεία του r () s λέγονται δικανονικά στοιχεία (broer). r Ορισμός.. [] Έστω A( s) ( ) r s. Ο As () λέγεται r () s αντιστρέψιμος ( r () s unmodular) ή δικανονικός εάν και μόνον αν υπάρχει A( s) ( ) r s τέτοιο ώστε A( s) A( s) I (.3) m m Ορισμός.3. [] Έστω A( s) ( s), A( s) ( s). Τότε τα A() s και A () s ονομάζονται ισοδύναμα στο άπειρο αν υπάρχουν δικανονικοί πίνακες A ( s) ( s) και A ( s) ( s) mm τέτοιοι ώστε R r A ( s) A ( s) A ( s) A ( s) (.4) L R L r Αν τα A() s και A () s είναι ισοδύναμα στο άπειρο τότε αυτό συμβολίζεται: ( A ( s), A ( s)) E ή A ( s) ~ A ( s)( E ) (.5) Η κλάση ισοδυναμίας E : As () E είναι το σύνολο m A( s) { A ( s) A A ( s) A( s) A ( s) ό E L R mm A ( s) ( s), A ( s) ( s) ί ά} L r R r (.6) rm Έστω A( s) ( s), ranka( s) r και ας είναι το S () ( ) s As η Smth-McMllan μορφή του As () στο s, τέτοιο ώστε S ( s) blockdag s, s,, s,,,, s s q q qk A( s) qˆ ˆ r, m r k q r (.7)

9 όπου k r και q ˆ,,, q k r, τέτοιο ώστε q q q k να είναι οι τάξεις των πόλων του As () στο s και qˆ ˆ ˆ r qr qk είναι οι τάξεις των μηδενικών του As () στο s. Έστω q, υποθέτουμε ότι As () είναι μη-κανονικός και k A() s A s A s A s A A s A s (.8) k k k είναι το ανάπτυγμα Laurent στο s του As () όπου Ak, k και A k, l,,. Μπορεί να αποδειχτεί ότι k q. Πόρισμα.4. [] Έστω A( s) ( s) rr και η γραφή του ως πολυωνυμικός πίνακας k A() s A s A s A s A (.9) k k k A,,,,, k. Έστω S () ( ) s As είναι όπως στην (.7), τότε k q, επομένως A() s A s A s A s A (.3) q q q q Πόρισμα.5. [] Έστω A( s) ( s) rr και γράφεται ως πολυώνυμο στην μορφή (.8), με ranka() s r και το S () ( ) s As δίνεται από την σχέση (.7), r m. Ας είναι qˆ και r υποθέτουμε ότι ο As () έχει το λιγότερο ένα μηδενικό στο s της τάξης q ˆr. Ας είναι A () s H s H s H s H H s H s H s (.3) το ανάπτυγμα Laurent του A () s στο s, όπου rr H, j, j,,,, H και H j για όλα τα j,,,. Τότε qˆr (.3) A s H s H s H s H H s H s (.33) qˆr qˆr () qˆr qˆr Ορισμός.6. [] Οι συντελεστές H j, j στην παραπάνω σχέση λέγονται θεμελιώδεις πίνακες του πολυωνυμικού πίνακα As (). rm Θεώρημα.7 [] Έστω A( s) ( s), rank A( s) r. Ας είναι A( s) ~ SAs ( )( E ). Τότε m η απεικόνιση g : ( s) ; A( s) ( q, q,..., q r ) είναι αμετάβλητη για το E.

Επίσης η απεικόνιση : ( ) m m f s ( s) ; A( s) S As ( ) είναι μια κανονική απεικόνιση από τον E στον () s m και S As ( ) είναι μια κανονική μορφή από τον E στον () s m. Για να υπολογίσουμε την Smth-McMllan μορφή του As () στο s κάνουμε τα εξής βήματα. Υπολογίζουμε τα ( A), που είναι το μικρότερο () ανάμεσα από τα () των οριζουσών του As () τάξης k, k k r. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις ρητές συναρτήσεις f () s s f () s s f s s ( A) ( A) ( A) ( A) r ( A) r( A) r () ( A) : και τέλος υπολογίζουμε το SA( s) blockdag [ f( s), f ( s),..., fr ( s), r, mr ]. (.34) Παράδειγμα 3. Έστω ο As () As () s s 4s 3 άρα έχουμε ( A) :, ( A ) mn{,,, }, ( A) και με f s s s s () ( A) ( A) ( ) f s s s s () ( A) ( A) ( ) q, q και Smth-McMllan μορφή στο s την εξής: S As ( ) s. s Παρατηρούμε δηλαδή ότι ο As () έχει έναν πόλο τάξης στο s και ένα μηδενικό τάξης qˆ q.,

.6 Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός πολυωνυμικού πίνακα A(s) Θα υπολογίσουμε τον αντίστροφο του πολυωνυμικού πίνακα As () με βάση τους συντελεστές του προσαρτημένου πίνακα και της διακρίνουσας του As (), όπως στο [8]. q q Έστω ό πολυωνυμικός πίνακας A( s) A s A s A s A, rank A( s) r. Παρατηρούμε ότι A( s) Iz ( Iz A( s)) Iz A( s), όπου q A Iz A() s Iz Aq s A s A q q (.35) Με την χρήση του αλγόριθμου Leverrer που ισχύει για σταθερούς πίνακες μπορεί να υπολογιστεί ο αντίστροφος του πίνακα As (), θεωρώντας ως σταθερό τον πίνακα Iz A() s ή αλλιώς τον A. Ο ένας τρόπος για τον υπολογισμού του αντιστρόφου είναι η χρήση των αναδρομικών σχέσεων της παρακάτω σχέσης: R( s) Ir ( s) tr A R ( s) AR ( s) I r, ( s) tr ( ) AR s R ( s) AR ( s) Ir, 3( s) tr AR ( s) 3 (.36) σχέση: Rr ( s) ARr ( s) r Ir, r ( s) tr ARr ( s) r Οι πίνακες ( ) [ ] r R s s r,,,, r μπορούν να υπολογιστούν από την παρακάτω R ( s) A ( s) A ( s) A ( s) I (.37) r Οι πίνακες R () s δεν είναι άλλο παρά πίνακες συντελεστών των δυνάμεων του z, αλλά εξαρτώνται από το ίδιο το s. Εφόσον οι πίνακες δεν εξαρτώνται από το z, για λόγους απλότητας θεωρούμε ότι z. Άρα η σχέση (.35) γράφεται ως εξής: q A A() s Aq s A s A (.38) Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του αντιστρόφου πίνακα του As () είναι με τον υπολογισμό των πινάκων R () r s, r () s, οι οποίοι ορίζονται παρακάτω. Βλέπουμε ότι το R () s και το () s μπορεί να γραφτεί ως εξής: q k R ( s) R s,,,, r k q k ( s) s,,,, r k k k (.39)

όπου R k, k είναι σταθεροί πίνακες συντελεστών των δυνάμεων του k s αντίστοιχα. Οι πίνακες συντελεστές Rr, k() s και οι συντελεστές rk () s ορίζονται από τις σχέσεις ( r) q R( s) R ( s) adja R s r r, k k rq ( s) ( s) det[ A( s)] s r k rk k k (.4) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.39) στην αναδρομική σχέση (.36), λαμβάνοντας υπόψη την σχέση (.38) και εξισώνοντας τους συντελεστές των δυνάμεων του s και στις δυο μεριές κάθε εξίσωσης, έχουμε τις εξής αναδρομικές εξισώσεις που μας δίνουν τα, k, R, k,,,, r, k,,,, q. Ο αλγόριθμος υπολογισμού του αντιστρόφου A(s) Αρχικά: R Ir (.4) Οριακές συνθήκες: Rk για k q και,,, r (.4) k Α. αναδρομική σχέση για το () s :, k () s tr AjR, k j αν ( ) k,,,( ) q j για,,, r. (.43) k Β. αναδρομική σχέση για το R () s : R, k () s AjR, k j, kir αν k,,,( ) q j για,,, r. (.44) Τέλος: R R k,,,( r ) q k r, k k,,, rq k r, k (.45) Φαίνεται λοιπόν ότι ο αλγόριθμους του αντίστροφου είναι δισδιάστατος αλγόριθμος καθώς εξαρτάται από δυο ανεξάρτητες μεταβλητές k., Παράδειγμα 4. Θα υπολογίσουμε τον αντίστροφο του πολυωνυμικού πίνακα As () με τον παραπάνω τρόπο. Έστω ότι 3 s 3 ( ) A s s s s s A3 A A A

3 Παρατηρούμε ότι q 3, r 3, άρα θέλουμε να υπολογίσουμε τα R( s) 3( s). Από τις οριακές συνθήκες έχουμε ότι R I3. Για να υπολογίσουμε τους πίνακες R και τα θα δείξουμε αναλυτικά πως τα υπολογίζουμε, μέσω των αναδρομικών σχέσεων, μόνο για. k Από την σχέση λοιπόν, k () s tr AjR, k j για ( ) k,,,( ) q και,,, j έχουμε ότι k tr[ A R ] tr[ A ] 3,, k tr[ A R A R ],,, k tr[ A R A R A R ],,,, k 3 tr[ A R A R A R A R ],3,3,, 3, k Στη συνέχεια από την σχέση R, k () s AjR, k j, kir για k,,,( ) q και j,, έχουμε ότι k R A R I, 3 k R, A R, A R,, I 3 k R, A R, A R, A R,, I 3 k 3 R,3 A R,3 A R, A R, A3 R,,3 I 3 Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε τα 3, καθώς και τους πίνακες,,,,3,4,5,6

4 R R,, R,3 R,4 R, R,5 R,6 Τέλος 3, 3, 3, 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 μπορούμε να βρούμε το. Επομένως 6 k 3 4 5 6, k,,,,3,4,5,6 k R( s) R ( s) R s R R s R s R s R s R s R s s s s 3 4 s s s ( s) ( s) s 9 3 3, k k k 3 4 s s s s s s s s s 3 4 5 6 7 8 9 3, 3, 3, 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 Άρα s () 3 4 s s. A( s) R( s) s Παράδειγμα 5. Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας s s 4s 3 4 3 B() s s s B B B Με q, r. Άρα χρειάζεται να υπολογίσουμε τα R() s και () s. Επομένως έχουμε ότι,,,,3 R, R, R, R,3 3 4,,,,3,4,5,6

5 R( s) R ( s) R R s R s R s 3,,,,3 ( s) ( s) s 3 s s 4 s 4s 3 s Άρα B s s. s () ( s)( s3) s ( ) R( s) Παράδειγμα 6. Στον παραπάνω πίνακα Bs () θα βρούμε τον αντίστροφο πίνακα με τους πίνακες από την σχέση (.36) που αναφέρουμε παραπάνω. Έστω ότι B( s) ( ) s s 4s 3 B s τότε θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τα R() s και () s. Άρα R I και ( s) tr B s. Από τις αναδρομικές σχέσεις (.36) έχουμε ότι R ( s) BR ( s) I s 4s 3 s ( s) tr BR( s) ( s ) Επομένως B s s, πράγμα που μας δίνει τον ίδιο ( s)( s3) s ( ) R ( s) () s αντίστροφο με την προηγούμενη μέθοδο.

6.7 Υπολογισμός του αναπτύγματος Laurent του αντιστρόφου ενός πολυωνυμικού πίνακα Θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το ανάπτυγμα Laurent του As () με βάση τους πίνακες A,,,, q. Γνωρίζουμε ότι A s A s adj A s s R s (.46) ( ) det ( ) ( ) r( ) r( ) ή ισοδύναμα ότι s A s R s (.47) r( ) ( ) r( ) Αντικαθιστώντας τα () Rr s, r () s και A () s από την (.39), (.4) και (.3) αντίστοιχα στην (.47) και εξισώνοντας τους πίνακες συντελεστές κάθε δύναμης του s, έχουμε τις εξής σχέσεις: r, rq H r, rq H r, rqh (.48) r, rq H q r, rq Hq r,( r) q ( ) H r, rq H q r, rq H q r,( r) q ( ) H Rr,( r) q r, rq H q r, rq H q r,( r) q ( ) H Rr,( r) q (.49) H H H R r, rq rq r, rq rq r, r, r, rq H rq r, rq H rq r,h Rr, r, rq H rq r, rq Hrq r,h (.5) H H H r, rq rq r, rq rq r, Οι εξισώσεις της (.48) μπορούν να γραφτούν σε μορφή πινάκων, ως εξής: r, rq I n H I I H I I H r, rq n r, rq n r,( r) q( ) n r, rq rq n (.5) Η πρώτη σχέση μας δίνει H. Από την στιγμή που έχουμε ήδη ορίσει H, r, rq έχουμε. (.5) r, rq Ομοίως, αν πάρουμε την δεύτερη εξίσωση της σχέσης (.5), λαμβάνοντας υπόψη την (.5) και ότι H, έχουμε ως αποτέλεσμα ότι. (.53) r, rq

7 Κάνοντας παρόμοιες παρατηρήσεις για τις υπόλοιπες εξισώσεις της (.5) καταλήγουμε στα εξής αποτελέσματα:, rq, rq,,( r ) q ( ) (.54) r, Λαμβάνοντας υπόψη την (.54) μπορεί η (.4) μπορεί να ξαναγραφτεί ως: ( r ) q k () s s (.55) r k Το οποίο είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του As (). Επομένως καταλήγουμε στο παρακάτω πόρισμα., k Πόρισμα.8. [8] Ας έχουμε τον πολυωνυμικό πίνακα As () όπως στην (.3). Τότε ο βαθμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του αντίστροφου πίνακα του As () είναι ( r) q (.56) Χρησιμοποιώντας την (.54), η εξίσωση (.49) μπορεί να γραφτεί ως πίνακας στην μορφή: όπου PH R (.57) r,( r) q In r,( r) q ( ) In r,( r) q I n P r, In r, In r,( r) q In r,in r, In r,( r) q I n H Rr,( r) q H Rr,( r) q H R H [( r) ] Rr, H [( r) ] R r, (.58) Εφόσον R (δες.45) και H από τις πρώτες παραπάνω εξισώσεις r,( r ) q έχουμε ότι r,( r ) q. (.59)

8 Επομένως ο τετραγωνικός Toeltz πίνακας P στην (.57) είναι πάντα ομαλός. Άρα μπορούμε να βρούμε μια μοναδική λύση H ( r) q P R που προσδιορίζει τον πρώτο πίνακα H,,,, [( r ) q ]. Λόγω της μορφής Toeltz του P, ο αντίστροφος P όπου μπορεί να γραφτεί ως d r,( r) q D di d I r d I r r P d( r) q I r d( r) qi r dir (.6) και (.6) j j d j ( ) r,( r) q r,( r) q ( ) r,( r) q ( ) r,( r) q ( j) r,( r) q r,( r) q ( ) r,( r) q ( j) r,( r) q r,( r) q( j) for j r q r,( r) q r,( r) q( ),,,( ) (.6) Χρησιμοποιώντας την (.6), η (.59) δίνει την εξής εξίσωση: H P R (.63) που δίνει τους πρώτους ( r) q πίνακες H,,,, [( r ) q ]. Οι πίνακες H, j [( r ) q ], [( r ) q ],,, μπορούν να υπολογιστούν αναδρομικά j από τις εξισώσεις (.5), οι οποίες, με βάση την (.54), μπορούν να γραφτούν σε μορφή πίνακα ως εξής: H H H H 3 r, r, r,( r) q Η πρώτη εξίσωση του (.64) μας δίνει ότι H H [( r) q ] [( r) q ] r, r, r,( r ) q [( r ) q ] (.64) H H H (.65)

9 Στην (.65) ξέρουμε ότι οι πίνακες Hk, k,,, [( r ) q ]. Επίσης, από την (.6) είναι γνωστό ότι ως εξής: r,( r ) q. Επομένως η (.65) μπορεί να λυθεί για H H H... r, r, [( r) q ] r,( r) q r,( r) q r,( r) q ( ) r,( r) q Αν πάρουμε την δεύτερη εξίσωση της (.64) έχουμε ότι H [( r) q ] H H H... r, r, [( r) q ] 3 r,( r) q r,( r) q r,( r) q ( ) r,( r) q H [( r) q ] H [( r) q ] (.66) (.67) Ο γενικός τύπος των αναδρομικών σχέσεων των πινάκων H, k [( r ) q ], [( r ) q ],..., δίνεται από το παρακάτω μοντέλο k ARMA: για k,,..., ό ( r ) q. H (.68) r, [ k ] H [ k ] rm, Παράδειγμα 7. Θα υπολογίσουμε το ανάπτυγμα Laurent του αντίστροφου πίνακα του s s 4s 3 4 3 N() s s s N N N Παρατηρούμε ότι q, r, άρα σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο ψάχνουμε τους πίνακες R( s), ( s ). Από τις αρχικές συνθήκες έχουμε ότι R I βρίσκουμε ότι:,,,,,,,3,4 R, R, R, 3 4 Άρα R( s) R ( s) s 4s 3 s και ( s) ( s) ( s ).. Επομένως

Επομένως Ns () s ( s)( s3) s. Θα βρούμε την Smth Mc-Mllan μορφή του Ns. () Υπολογίζουμε τα και f ( s) s, f ( s) s. Άρα προκύπτει ο πίνακας S N( s) s και παρατηρούμε ότι. Καταλήγουμε λοιπόν να υπολογίσουμε τον πίνακα Αυτό που πρέπει ουσιαστικά να λύσουμε είναι και d, d, s,i H R,,I,I H R, I I H R,,,,, H P di di P R di d I di di ( ), d H, όπου 3,, ( ) 4,,, H H 4 4 Δηλαδή H H H, άρα Υπολογίζουμε ότι ( r) q, άρα για να βρούμε τους αναδρομικούς πίνακες χρησιμοποιούμε τον τύπο H H., [ k] k, k H

4 k H 4 3 8 k H 8 3 4 k H 6 6 4 5 κ.ο.κ. Παράδειγμα 8. Θα βρούμε τους θεμελιώδεις πίνακες και στην συνέχεια το ανάπτυγμα Laurent του πολυωνυμικού πίνακα 3 s s 3 A() s s s s s A3 A A A Βλέπουμε ότι q 3, r. Η Smth-McMllan μορφή του πίνακα είναι S As ( ) 3 s Επομένως qˆ. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τους πίνακες R() s και () s, με τον τρόπο που δείξαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Έχουμε λοιπόν ότι 3,,,,3,,,,3,4,5,6 s 3 και R, R, R, R,3 Άρα 3 s s Rs () s και ( s) 3 s s ( s )( s ). Έτσι A s 3 s s ( s )( s ). s () s ( ) R( s) Υπολογίζουμε τον πίνακα,i H R,3,I,I H R,.,I,I,I H R, I I I H R,,,,

Επειδή P H R H P R, βρίσκουμε τον πίνακα P di di di, di di di d3i di di di όπου d, d ( ), 3,,, d,, 7,,,,,, d ( ) 5. P 3,,,,, 3 3 R 7 3 7 3 5 7 3 5 7 3 Επομένως H 3 H, άρα 3 7 5 H H 7,,, H H H H 5 Εφόσον, θα υπολογίσουμε τους πίνακες H, για k,,...,, [ k ] H[ k ],, 8 3 k H 3 H [ ],, 63 k H 4 H [ ],, κ.ο.κ.

3 Κεφάλαιο Διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε στο κύριο μέρος αυτής της εργασίας. Θα δώσουμε ορισμούς και μια ολοκληρωμένη εικόνα για το πώς γίνεται η διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων.. Ευκλείδεια διαίρεση Έστω ab,. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας c τέτοιος, ώστε να ισχύει a bc. Θα λέμε ότι ο a είναι διαιρετέος του b, ή ότι ο a είναι πολλαπλάσιο του b. Επίσης θα λέμε ότι ο b είναι διαιρέτης του a, ή ότι ο b διαιρεί τον a. Θα γράφουμε b a και αν ο b δεν διαιρεί τον a, b a. Θεώρημα.. [4] Έστω a, b, b. Τότε, υπάρχει μοναδικό ζεύγος ( qr, ) τέτοιο, ώστε a bq r r b. Απόδειξη. Αρχικά πρέπει να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός τέτοιου ζεύγους ακεραίων ( qr, ). Ας υποθέσουμε ότι b. Θεωρούμε το σύνολο A { a bx / x } και έστω S το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών που περιέχονται σε αυτό και S. Πραγματικά, ο ακέραιος c a b( a ) είναι στοιχείο του A. Επιπλέον, καθώς b, έχουμε c a b( a ) a b a a ( b ). Άρα c S. Το S είναι μη κενό, επομένως σύμφωνα με την πρόταση της αρχής της καλής διάταξης, θα έχει μοναδικό ελάχιστο στοιχείο. Υπάρχει άρα q τέτοιο, ώστε ο ακέραιος r a bq, ώστε να είναι το ελάχιστο στοιχείο του S. Αν r b, τότε r b a bq b a b( q ), δηλαδή r b S. Επειδή b, έχουμε r b r, που αντιβαίνει το γεγονός ότι το r είναι ελάχιστο στοιχείου του S. Επομένως ισχύει ότι r b. Υποθέτουμε ότι b. Τότε, σύμφωνα με τα παραπάνω, υπάρχουν qr, με r b και a b q r ( q) b r. Έτσι δείξαμε ότι για κάθε ab, με b υπάρχει ζεύγος ( qr, ) τέτοιο, ώστε a bq r r b (.)

4 Στη συνέχεια για να αποδείξουμε την μοναδικότητα του ζεύγους ( qr, ), υποθέτουμε ότι υπάρχουν δυο ζεύγη ( q, r ),( q, r ) τέτοια, ώστε a bq r bq r r, r b (.) Επομένως r r b q q r r b, από όπου b qq b. Συνεπώς, έχουμε qq και άρα q q. Τότε r a bq a bq r. Άρα q r q r (, ) (, ). Ο παραπάνω ακέραιος q ονομάζεται πηλίκο της διαίρεσης του a δια του b και ο φυσικός r υπόλοιπο.. Δεξιά και αριστερή διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων Στην ενότητα αυτή θα αναφερθούμε στην πιο γενική μορφή διαίρεσης πολυωνυμικών πινάκων. Η παρακάτω ανάλυση και απόδειξη έχει παρθεί από το βιβλίο του Gantmacher [3]. Έστω As () και Bs () δύο τετραγωνικοί πολυωνυμικοί πίνακες διάστασης n. Θεωρούμε τον ομαλό As (): m m m B( s) B s B s B, B (.3) n n m A( s) A s A s A, A (.4) Θα λέμε ότι οι πολυωνυμικοί πίνακες Qs () και Rs () είναι το δεξιό (ή από δεξιά) πηλίκο και δεξιό (ή από δεξιά) υπόλοιπο, αντίστοιχα, της διαίρεσης του Bs () με το As () αν B( s) Q( s) A( s) R( s), deg R( s) n ή R( s) (.5) Ομοίως, θα λέμε ότι οι πολυωνυμικοί πίνακες Qs ˆ( ) και Rs ˆ( ) είναι το αριστερό (ή από αριστερά) πηλίκο και το αριστερό (ή από αριστερά) υπόλοιπο, αντίστοιχα, της διαίρεσης του Bs () με τον As () αν B( s) A( s) Qˆ ( s) Rˆ ( s), deg Rˆ( s) n ή Rˆ( s) (.6) Θα δούμε παρακάτω ότι δεν αρκεί στην διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων η αναφορά σε πηλίκο και υπόλοιπο, αλλά απαιτούνται οι προσδιορισμοί από δεξιά ή από αριστερά. Αυτό συμβαίνει γιατί, σε σχέση με το θεμελιώδης θεώρημα της θεωρίας αριθμών και της διαίρεσης πολυωνύμων, οι πίνακες δεν αντιμετατίθενται, σε αντίθεση με τους αριθμούς και τα πολυώνυμα.

5 Θεώρημα.. [3] Η αριστερή και δεξιά διαίρεση τετραγωνικών πολυωνυμικών πινάκων είναι πάντα δυνατή και μοναδική, δεδομένου ότι ο διαιρέτης είναι ομαλός πολυωνυμικός πίνακας. Απόδειξη. [3] Αν m n τότε ισχύει ότι Qs ( ) και R( s) A( s). Αν m n, τότε εργαζόμαστε στην (.5) με ανάλογο τρόπο όπως την διαίρεση πολυωνύμων: διαιρούμε τον m μεγιστοβάθμιο όρο Bs του Bs () με τον μεγιστοβάθμιο όρο As του As () και δημιουργείται η σχέση n mn () B( s) B A s A( s) B ( s), () deg B ( s) m (.7) Έστω ότι () () deg B ( s) m. Τότε μπορούμε να γράψουμε τον A () () s στην μορφή: Αν () m () () () m () () m () () () () m B ( s) B s B s B, B, m m. (.8) n, τότε επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία για τον () () m() n () B () () s : () B ( s) B A s A( s) B ( s), deg B ( s) m (.9) () () () m () () m () () () () () m B ( s) B s B s B, B, m m. (.) () Ο βαθμός των () () B( s), B ( s), B ( s ), ελαττώνεται και σε κάποια φάση καταλήγουμε στο υπόλοιπο Rs, () του οποίου ο βαθμός είναι λιγότερος από το n. Επομένως προκύπτει ότι () B( s) Q( s) A( s) R( s) (.) mn () m n όπου, Q( s) B A s B A s. (.) Θα αποδείξουμε την μοναδικότητα της δεξιάς διαίρεσης πολυωνυμικών πινάκων. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν, εκτός των Qs () και Rs, () άλλοι δυο πολυωνυμικοί πίνακες Q * () s και R * () s, τέτοιο ώστε B( s) Q( s) A( s) R( s) και * * B( s) Q( s) A( s) R ( s), όπου ο βαθμός του R * () s και Rs () είναι μικρότερος του As (), μικρότερος του n. Εξισώνοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι * * Q( s) Q ( s) A( s) R ( s) R( s). (.3) Αν ισχύει ότι Q s * ( ) Q ( s), τότε ο βαθμός στο δεξί μέλος της () θα προκύπτει από το άθροισμα των βαθμών του As () και Q s, γιατί A, επομένως θα είναι το * ( ) Q ( s) λιγότερο ίσος με n. Πράγμα αδύνατο καθώς ο βαθμός των πολυωνύμων στο δεξί μέλος της (.3) είναι μικρότερος από n. Άρα, σημαίνει ότι Q s * ( ) Q ( s) καθώς και R s * ( ) R ( s), που

6 * * Q( s) Q ( s), R( s) R ( s). (.4) Ομοίως γίνεται η απόδειξη της ύπαρξης και μοναδικότητας του αριστερά πηλίκου και υπολοίπου. Παράδειγμα 9. Θα βρούμε το δεξί πηλίκο και δεξί υπόλοιπο της διαίρεσης του Bs () από το As (). Έστω οι πολυωνυμικοί πίνακες s s s 3s 3 3 s s s s 3 B() s s s s B B B και s s s s s A() s s s A A A παρατηρούμε ότι A, B και deg B( s) 3,deg A( s). Οπότε ξεκινάμε να υπολογίζουμε s () s s B A sa s s s s s s s s s s s s s s s s 3 s s s 3 3 () s s s s s s s ( ) ( ) ( ) B s B s B A sa s s s s 3s 3s s 3 s s s s 3s 3 s () () B B Άρα B ( s) B A A( s) B ( s) () () () B () 3 s A A() s s s s s 3s s 3s 3s 3s s s s s s s

7 B ( s) B ( s) B A A( s) () () () 3s s 3s 3s 3s s s s 3s s s s 3s s Rs () s 3s () s 3 s 3 και Q() s B A s B A Βρήκαμε έτσι το δεξί πηλίκο και υπόλοιπο. Παράδειγμα. Θα κάνουμε τώρα την αριστερή διαίρεση του παραπάνω πολυωνυμικού πίνακα Bs () από τον As (). Τα βήματα που κάνουμε είναι τα ίδια με το παραπάνω παράδειγμα. Οπότε έχουμε s s s 3s 3 3 s s s s 3 B() s s s s B B B s s s s s A() s s s A A A παρατηρούμε ότι A, B και deg B( s) 3,deg A( s). Οπότε ξεκινάμε να υπολογίζουμε s s s s s s A() s A B s s s s s s s s s s s s s 3 s s s 3 3 () s s s s s s ( ) ( ) ( ) B s B s A s A B s s s s 3s s s s s s s 3s 3 s () () B B Άρα B ( s) A( s) A B B ( s) () () ()

8 A() s A B s s s () s s s s s s s s s s 3s B ( s) B ( s) A( s) A B () () () s s s s s s 3s s 3s s Rs ˆ( ) s () και ˆ( ) s s Q s A Bs A B..3 Διαίρεση ενός πολυωνυμικού πίνακα A(s) με έναν πρωτοβάθμιο πολυωνυμικό πίνακα της μορφής (si-a) Η διαίρεση ενός πολυωνυμικού πίνακα με έναν πολυωνυμικό πίνακα ου βαθμού, εκτός του ότι είναι μια απλή διαδικασία, έχει πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Θεωρούμε τον πολυωνυμικό πίνακα διάστασης n F( s) F s F s F ( F ). (.5) m m m Το συγκεκριμένο πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως εξής m F( s) s F s F F ( F ). (.6) m m Για ένα μέγεθος s, και οι δυο παραπάνω τύποι μας δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Παρόλο αυτά, αν αντικαταστήσουμε το s με έναν πολυωνυμικό πίνακα A διάστασης n, τότε τα αποτελέσματα της αντικατάστασης στους παραπάνω τύπους θα είναι, εν γένει, διαφορετική. Αυτό συμβαίνει καθώς οι δυνάμεις του A δεν μετατίθενται με τους συντελεστές F, F,, F m. Ορίζουμε τις σχέσεις F( A) F A F A F Fˆ ( A) A F A F F, (.7) m m m m m ονομάζουμε με F( A ) την δεξιά τιμή και F ˆ ( A ) την αριστερή τιμή του Fs, () όταν αντικαταστήσουμε τον A στο s. Διαιρούμε το Fs () με το διώνυμο sin A. Σε αυτήν την περίπτωση το δεξί υπόλοιπο Rs () και το αριστερό υπόλοιπο Rs ˆ( ) δεν θα εξαρτώνται από το s. Για να προσδιορίσουμε το δεξί υπόλοιπο διαιρούμε όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα: m

9 m m F() s Fs Fs Fm οπότε καταλήξαμε ότι F s ( si A) ( F A F ) s F s m m m n [ F s ( F A F ) s ]( si A) ( F A F A F ) s F s m m m m3 n 3 [ F s ( F A F ) s m m F A F A F ]( si A) m m m m m FA FA Fm. R F A F A F F A m m m ( ). n (.8) ομοίως R ˆ F ˆ( A). Θεώρημα.3. (Γενικευμένο θεώρημα Bezout). [3] Όταν ο πολυωνυμικός πίνακας Fs () διαιρείται από δεξιά από το διώνυμο sin A, τότε το υπόλοιπο είναι F( A ); όταν διαιρείται από αριστερά, το υπόλοιπο είναι F ˆ ( A ). Από το θεώρημα αυτό προκύπτει το επόμενο συμπέρασμα. Πόρισμα.4. [3] Ο πολυωνυμικός πίνακας Fs () διαιρείται από το διώνυμο sin A από δεξιά (από αριστερά) χωρίς υπόλοιπο αν και μόνον αν F( A) ( F ˆ( A) ). Παράδειγμα. Θα κάνουμε την διαίρεση του πίνακα Fs, () που γράφουμε παρακάτω, με τον πολυωνυμικό πίνακα πρώτου βαθμού Bs. () Αναλύουμε το Bs () και έχουμε B() s si Από τα προηγούμενα θεωρήματα γνωρίζουμε ότι το δεξί υπόλοιπο ισούται με R( s) F( A). Θα τα υπολογίσουμε και στην συνέχεια θα κάνουμε και μια επαλήθευση. s s s s s, οπότε F() s s s F( A) 5 Rs () 5 Επομένως F( s) Q( s) B( s) R( s). Για να βρούμε το Qs () λύνουμε την εξίσωση και έχουμε A

3 Q s F s B s R s B s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s ( s )( s ) ( s )( s ) 5 ( s )( s ) ( s )( s ) s s s s 5 s ( s )( s ) ( s )( s ) s s 3 Επαλήθευση: F( s) Q( s) B( s) R( s) s s 5 s3 s 5 s s s s s Επομένως εφαρμόσαμε το γενικευμένο θεώρημα Bezout για την δεξιά διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων. Με όμοιο τρόπο γίνεται και αριστερή διαίρεση. Θα υπολογίσουμε τώρα το ανάπτυγμα Laurent του αντιστρόφου του πολυωνυμικού πίνακα Bs () του προηγούμενου παραδείγματος. Παράδειγμα. Ο Bs () του προηγούμενου παραδείγματος γράφεται ως εξής s B() s si s s A B B Παρατηρούμε ότι q, r. Πρώτα υπολογίζουμε τα R( s), ( s ) : ( s) 3 ( s) ( s) ( s),,,,3 ( s) ( s) 3 ( s) ( s) ( s) ( s) ( s),,,,3,4,5,6 R, R, R, R,3 s Rs () s και ( s) s 3s, επομένως Bs () Υπολογίζουμε την Smth-McMllan μορφή στο s του Bs: () s ( s )( s ). s

3,,, άρα f( s) s, f( s) s, επομένως s SB( s) s άρα q, r,. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ανάπτυγμα Laurent:,I H R, I I H R,,, όπου H P R. di D P di di με d, d, H H επομένως, 3 3 H, H με, άρα για k, έχουμε ότι 3 H 3 (H 3 H ) 4, κ.ο.κ. H ( ) 3,,, [ k ] H[ k ],

3.4 Διαίρεση ενός πολυωνυμικού πίνακα A(s) με έναν πολυωνυμικό πίνακα της μορφής (se-a) Ας είναι E, A [ s] nn με χαρακτηριστικό πολυώνυμο το () (.9) n n s se A s s n Ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής μπορεί να μην απαραίτητα μονάδα, αλλά μπορεί να είναι μηδέν. Υποθέτουμε ότι se A, και ( se A) είναι ομαλός πίνακας. Ο προσαρτημένος πίνακας Bs () ορίζεται από το Bs () ( se A) se A (.) Ο προσαρτημένος πίνακας έχει την μορφή n n B() s Bs Bs B n (.) όπου nn B k. Η κανονικότητα μας εξασφαλίζει την μοναδικότητα του αναπτύγματος Laurent k se A s Hks k ( ) (.) όπου είναι η μέγιστη τάξη μηδενικών στο s του ( se A). Αν ισχύει το E I, k έχουμε ότι H, k και H A, k. k Θεωρούμε τον πολυωνυμικό πίνακα, Ορίζουμε μπορούμε να γράψουμε όπου k m m F() s Fs Fs F m nn, F, F k. F[ H ] H F H F H F (.3) k k k km m F( s) ( se A) Q( s) R( s) (.4) Q( s) F[ H ] s F[ H ] s m m F[ H ] s F[ H ] s F[ H ] m m m Q s Q s Q s Q m m m m (.5) και το υπόλοιπο είναι R( s) EF[ Hm ] (.6)

33 Οπότε μπορούμε να εκφράσουμε το θεώρημα Bezout. Θεώρημα.5 [7] Όταν ένας πολυωνυμικός πίνακας Fs () διαιρείται από τα αριστερά από τον ομαλό πίνακα ( se A), το υπόλοιπο δίνεται από την (.6), όπου το H k ικανοποιεί την (.). Όμοια γίνεται η διαίρεση από δεξιά με το ( se A). Θεωρώντας το F( s) ( s) I se A I, καταλήγουμε στο θεώρημα Cayley-Hamlton. Θεώρημα.6. [7] Υποθέτουμε ότι το ( se A) είναι κανονικός με H k να δίνεται από την σχέση (.) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο να δίνεται από την (.9). Τότε ( H ) H H H, k n k (.7) k k k n kn Το θεώρημα Cayley-Hamlton ισχύει για την περίπτωση που k n. Στην περίπτωση που E I, η ποσότητα [ ] γίνεται με το γνωστό θεώρημα Cayley-Hamlton. H n Θεώρημα.7. [7] Έστω το ( se A) να είναι ομαλός και με χαρακτηριστικό πολυώνυμο όπως στην (.9) και τα προσαρτημένου πίνακα δίνονται από H k από την (.). Τότε οι πίνακες συντελεστών του B [ H ] H H H, k,..., n (.8) k k k n kn Τα αποτελέσματα αυτά μας δίνουν πεπερασμένες εκφράσεις για τον προσαρτημένο πίνακα αν είναι se A H s (.9) n ( ) [ () s n ] ή se A s H (.3) n ( ) ( ) () s όπου τα relatve πολυώνυμα Tschrnhausen υπολογίζονται αναδρομικά από το n() s (.3) ( s) s ( s), n,..., (.3) n n ( s) s( s) s n (.33) ( s) s ( s) s n,,..., (.34) Σημειώνουμε ότι ( s) n s ( s). (.35) Δες παράδειγμα 5.

34.5 Διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων και άλλα αποτελέσματα Θα δείξουμε τώρα πως γίνεται η διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων με την χρήση του αναπτύγματος Laurent και με την βοήθεια των θεμελιωδών πινάκων, όπως στο [6]. Θα παραθέσουμε ορισμούς και πορίσματα, καθώς και παραδείγματα. Ας είναι ( ) [ ] qq A s s ( A( s) [ s] ) και B( s) [ s] q ομαλός πίνακας, ώστε B( s) B s B s B [ s] B (.36) m m q m A( s) A s A s A [ s] A m n (.37) n n q q n q Ένας πρώτος τρόπος για να προσδιορίσουμε το αριστερό πηλίκο Qs () και υπολοίπου Rs () δίνεται παρακάτω. Θεώρημα.8. [6] Όταν ένας πολυωνυμικός πίνακας Bs () διαιρείται από αριστερά από με τον πολυωνυμικό πίνακα As (), τότε το αριστερό πηλίκο Qs () και το αριστερό υπόλοιπο Rs () δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις Qs ( ) ό έ A( s) B( s) (.38) R( s) B( s) A( s) Q( s) (.39) Ομοίως γίνεται ο υπολογισμός για την δεξιά διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων. Παράδειγμα 3. Θα κάνουμε την αριστερή διαίρεση του πολυωνυμικού πίνακα Bs () με τον As (), σύμφωνα με τον τρόπο του θεωρήματος.8. Έστω s Bs () s s και s As () s Υπολογίζουμε τον αντίστροφο πολυωνυμικό πίνακα As () s s s και στην συνέχεια θέλουμε να βρούμε το πολυωνυμικό μέρος του πολυωνυμικού πίνακα A s ( ) B( s), που θα ισούται με τον Qs () A s ( ) B( s) s s s s s s s s s s s s s s s

35 s επομένως Qs () και R( s) B( s) A( s) Q( s) αριστερό υπόλοιπα, αντίστοιχα. είναι το αριστερό πηλίκο και Λόγω του γεγονότος ότι ο πολυωνυμικός πίνακας As () είναι ομαλός έχουμε την ύπαρξη μοναδικού αναπτύγματος Laurent k A () s H s (.4) k στο s, με την μεγαλύτερη τάξη άπειρων μηδενικών του As (). Έχουμε δείξει τρόπο υπολογισμού των θεμελιωδών πινάκων και έχουμε το εξής λήμμα: k H k, οπότε ορίζουμε τα εξής: B[ H ] H B H B H B (.4) k k k km m A[ H ] A H A H A H (.4) k k k n kn A T [ H ] H A H A H A (.43) k k k kn n A[ B[ H ]] A B[ H ] A B[ H ] A B[ H ] (.44) k k k n kn B[ A[ H ]] A[ H ] B A[ H ] B A[ H ] B (.45) k k k km m Λήμμα.9. Α) A[ B[ H ]] B[ A[ H ]] k k Απόδειξη. Α) Β) n T n A[ H] A [ H] Iq n Iq n (.44) A[ B[ H ]] A [ H B H B H B ] k k k k m m A [ H B H B H B ] k k k m m A [ H B H B H B ] n k n k n k mn m [ A H A H A H ] B k k n k n [ A H A H A H ] B k k n k n [ A H A H A H ] B k m k m n k mn m (.4,.45) B[ A[ H k ]]

36 Β) Μπορεί να αποδειχτεί εξισώνοντας του συντελεστές των δυνάμεων του s του δεξιού και αριστερού μέρους στην εξίσωση A ( s) A( s) I ( A ( s) A( s) I ). q q Θεώρημα.. [6] Όταν ένας πολυωνυμικός πίνακας Bs () διαιρείται από αριστερά από τον ομαλό πολυωνυμικό πίνακα As (), τότε το πηλίκο και το υπόλοιπα δίνονται αντίστοιχα από τους τύπους: m m Q( s) B[ H ] s (.46) R( s) A B[ H ] s n n (.47) j m j j Απόδειξη. Από το θεώρημα.8 έχουμε ότι το αριστερό πηλίκο Qs () δίνεται από: Qs ό έ A s B s ( ) ( ) ( ) m k mk ό έ H ks Bks k k m m [ H B ] s [ H B H B ] s [ H B H B H B ] m m m B H s B H s B H m m [ ] [ ] [ m] m το υπόλοιπο δίνεται από τον τύπο: BH [ ] s m R s B s A s Q s B s B s B m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( m) ( A s A s A )([ H B ] s [ H B H B H B ]) n n m n m m m m m ( Bs Bs Bm ) mn mn { A[ B[ H ]] s A[ B[ H ]] s A[ B[ H mn]] n ή.9 n m m AjB[ H m j ] s } ( Bs Bs Bm ) j B[ A[ H ]] s B[ A[ H ]] A B[ H ] s n mn n mn j m j j Παρόλο, από το Λήμμα.9 έχουμε ότι: B[ A[ H ]] B[ A[ H ]] B[ A[ H ]] n B[ A[ H ]] B,,, m n m (.48) (.49)

37 Επομένως, από την σχέση (.48) και (.49) Μπορούμε να ελέγξουμε ότι R s B s B s B m m ( ) ( m) n m m n ( Bs Bs Bm AjB[ H m j ] s ) j s n AjB[ H m j ] j n (.4,.47) n m ό έ [ A ( s) R( s)] H A B[ H ] s n [ H [ A B[ H m] A B[ H m]] H A B[ H m]] s [ H [ A B[ H ] A B[ H ]] H A B[ H ]] mn n m n m n {[ H A ] B[ H m]} s {[ H A H A ] B H m n [ H A] B[ H m]} s n n m mn m n T T n m m T n m m [ ] {[ H A H A ] B[ H ] [ H A ] B[ H ]} T A [ H ] B[ H ] s { A [ H ] B[ H ] A [ H ] B[ H ]} s ή.9 T { A [ H ] B[ H ] A [ H ] B[ H ]} (.43) επομένως το A ( s) R( s) εξαλείφεται στο s, το οποίο αποδεικνύει το θεώρημα. Παράδειγμα 4. Θα κάνουμε την αριστερή διαίρεση του Ds () από τον Ns. () s s 5s 8s 4 s 5 8 4 3 D() s s s s 3 D D D D3 s s 4s 3 4 3 N() s s s N N N Οι θεμελιώδεις πίνακες του Ns () υπολογίστηκαν στο παράδειγμα 6, απλά επειδή χρησιμοποιούμε σε αυτήν την μέθοδο άλλα όρια για το ανάπτυγμα Laurent θα αλλάξουν οι δείκτες των πινάκων. Επομένως έχουμε ότι H H H H

38 4 8 6 H3 H4 H5 4 8 6 Επομένως το αριστερό πηλίκο υπολογίζεται από τον τύπο 3 Q( s) D[ H ] s D[ H ] s D[ H ] s D[ H ] s D[ H ] s D[ H ] 3 4 3 3 D[ H ] H D H D H 3D H 4D3 D[ H] HD H D H D H 3D3 D[ H] HD HD H D H D3 5 D[ H] HD HD HD H D3 8 4 D [ H 3] H D 3 H D H D H D 3 4 3 Επομένως το αριστερό πηλίκο είναι Qs () 3 s 5s 8s 4 s 4s 3. Για να βρούμε το αριστερό υπόλοιπο της διαίρεσης χρησιμοποιούμε τον τύπο: R( s) N D[ H ] s N D[ H ] s N D[ H ] N D[ H ] j j 4 j 4 5 4 D[ H4] H4D H3D HD HD3 D [ H 5] H D 5 H D 4 H D 3 H D 3 Άρα το αριστερό πηλίκο της διαίρεσης είναι το Rs () s. Πόρισμα.. [6] Σε περίπτωση που A() s se A As A, με det[ E ] όχι απαραίτητα ίσον με το μηδέν, τότε το αριστερό υπόλοιπο της διαίρεσης του Bs () με το As () είναι σύμφωνα με το θεώρημα. ίσον με R( s) A B[ H ] EB[ H ] (.5) m m το οποίο συμπίπτει με το αποτέλεσμα στην ενότητα.3.

39 Παράδειγμα 5. Θα κάνουμε την αριστερή διαίρεση του πολυωνυμικού πίνακα Bs () από τον As () που είναι πρώτου βαθμού ( se A). Έστω s s s B() s s s B B B και s A() s s s A A Βλέπουμε ότι A. Υπολογίζουμε τον αντίστροφο s s A() s H s H s s s s H H As (). Από τους τύπους μπορούμε να υπολογίσουμε το αριστερό πηλίκο και υπόλοιπο της διαίρεσης. Με όμοιο τρόπο γίνεται η δεξιά διαίρεση. ( ) [ ] [ ] [ ] Q s B H s B H s B H [ H B ] s [ H B H B ] s s R( s) A B[ H ] A [ H B H B H B ] 3 3 Πόρισμα.. [6] Το παραπάνω θεώρημα είναι ανεξάρτητο από την ομαλότητα του πίνακα συντελεστών A, μπορούμε δηλαδή να έχουμε πολυωνυμικό πίνακα της μορφής (.37) με det[ A ]. Σε περίπτωση που det[ A ] ο μεγαλύτερος εκθέτης του αναπτύγματος Laurent A () s δεν είναι αλλά n και έτσι έχουμε το αριστερό πηλίκο και το υπόλοιπο της παραπάνω διαίρεσης από τους εξής τύπους αντίστοιχα

4 και Q( s) [ H B ] s [ H B H B ] s mn mn n n n [ H B H B H B ] (.4) m m n mn m mn mn m [ n] [ n] [ m] [ ] n B H s B H s B H B H s R( s) A [ H B H B H B ] s n m m n mn [ A [ H B H B H B ] m m n mn n A [ H mb H mb H nbmn]] s [ A [ H B H B H B ] (.4) mn mn n m A [ H B H B H B ]] n m m n mn A B[ H ] s [ A B[ H ] A B[ H ] s n m m [ A B[ H ] A B[ H ]] mn n m s n AjB[ H m j ] j n m n Πόρισμα.3. [6] Το As () είναι αριστερός διαιρέτης του Bs () αν και μόνον αν το αριστερό υπόλοιπο της διαίρεσης του Bs () από το As () είναι μηδέν ή ισοδύναμα αν και μόνο αν n R( s) AjB[ H m j ] s j n (.4) n A [ H mb H mb HBm ] s [ A [ H B H B H B ] m m m n A [ H mb H mb HBm ]] s [ A [ H B H B H B ] mn mn n m A [ H B H B H B ]] n m m m (.5) ή ισοδύναμα αν και μόνον αν οι συντελεστές των δυνάμεων του s στην (.5) είναι μηδέν, για παράδειγμα αν ισχύει A [ H B H B H B ] m m m A [ H B H B H B ] A [ H B H B H B ] m m m m m m ή A [ H B H B H B ] A [ H B H B H B ] mn mn n m n m m m

4 A Hm Hm H B A A H H H B m m A A A H H H B n n mn mn n m (.5) Επομένως η παραπάνω σχέση είναι απαραίτητη προϋπόθεση για τον As () να είναι αριστερός διαιρέτης του Bs. () Όμοια αποτελέσματα έχουμε όταν η διαίρεση γίνεται από δεξιά από το As (). Στην περίπτωση που ο A είναι μη ιδιόμορφος, τότε ο πρώτος πίνακας της παραπάνω σχέσης είναι μη ιδιόμορφος, άρα έχουμε ότι Hm H m H B H H H B m m H H H B mn mn n m (.53) Γράφοντας το B( s) ( s) I det[ A( s)] I καταλήγουμε στο Cayley-Hamlton θεώρημα σε όρους θεμελιωδών πινάκων q H k όπως στο (.4). q Θεώρημα.4. [6] Υποθέτουμε ότι ο As () είναι ομαλός με H k να δίνονται από την σχέση (.4) και l l det[ A( s)] s s l, ό nq l n. Τότε Απόδειξη. Έχουμε ότι Αντικαθιστώντας το ( H ) H H H, k l & k l n (.54) k k k l kl Adj[ A ( s)] A ( s) ( s) A ( s) Adj[ A ( s)] (.55) det[ As ( )] A () s από την (.4) και εξισώνοντας του συντελεστές α) των αρνητικών δυνάμεων του s στην (.55) και β) τις δυνάμεις του s μεγαλύτερες του m έχουμε το αποτέλεσμα που θέλουμε. Φαίνεται λοιπόν από την (.55) ότι ο As () είναι αριστερός διαιρέτης του () s και επομένως από το Πόρισμα. έχουμε ότι

4 A H I l Hl H q A A H I l Hl H q A A A H H H I n n ln ln n m q Adj A [ ( s)] είναι το αριστερό πηλίκο της αριστερής διαίρεσης του () s Iq με το As () και επομένως μπορεί να γραφτεί σύμφωνα με το Θεώρημα. ως ή ισοδύναμα Adj[ A ( s)] [ H ] s [ H H ] s n n [ H H H ] n n n n n n [ H] s [ H ] s [ H n] [ H n] s Adj[ A ( s)] H [ s s s ] n n nl l H [ s s s ] n n nl l H s s n n [ n] H [ s ] n H [ ] n n () sh (.56) (.57) Επομένως καταλήγουμε στο επόμενο θεώρημα. Θεώρημα.5 [6] Ο προσαρτημένος πίνακας As () εκφράζεται με όρους θεμελιωδών πινάκων H k από την σχέση m A ( s) ( s) H (.58) qs () όπου qs () είναι η ορίζουσα του As () όπως ορίζεται στην (.54) και,,,..., m είναι τα πολυώνυμα Tschrnhausen όπως ορίστηκαν παραπάνω. Υποθέτουμε τώρα ότι ο A είναι ομαλός πίνακας. Χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι A Iq, αλλιώς, αντί να κάνουμε την αριστερή διαίρεση του Bs () από το As () μπορούμε να κάνουμε την διαίρεση του A B() s από το A A() s π.χ.

43 A B( s) A A( s) Qˆ ( s) Rˆ ( s) (.59) άρα το αριστερό πηλίκο και υπόλοιπο του Bs () από το As () θα είναι αντίστοιχα Q( s) Qˆ ( s) και R( s) Rˆ ( s). Οπότε μπορούμε να δηλώσουμε το γενικευμένο θεώρημα Bezout. Θεώρημα.6. [6] Αν είναι A Iq τότε το αριστερό πηλίκο και υπόλοιπο της διαίρεσης του Bs () από το As () θα είναι αντίστοιχα: mn mn Q() s Ys Ys Y m n (.6) R() s Y s Y s Y (.6) n n mn mn m όπου Y ορίζονται σύμφωνα με την ακόλουθη αναδρομική σχέση Y B (.6) mn( j, mn) Y B A Y (.63) j j j max(, jn) Απόδειξη. Για να προσδιορίσουμε το αριστερό υπόλοιπο χρησιμοποιούμε τον συνήθη τρόπο της διαίρεσης B( s) A( s) B s ( B A B ) s mn m ( ) m B A B s Bm A s B s B A B s mn mn ( )[ [ ] ] [ [ ]] m B A B A B A B s Bm A s Y s Y s Y mn mn ( )[ mn] [ Y s Y s Y ] n n mn mn m Παρόλο αυτά, det[ A ]. Επομένως, As () είναι σε ελαττωμένη μορφή στήλης ( γραμμής) και η -οστή γραμμή βαθμού ( n ) είναι μεγαλύτερη από την -οστή στήλη βαθμού Rs () που είναι το πολύ n. Έτσι, το θεώρημα. A ( s) R( s) εξαλείφεται στο s το οποίο αποδεικνύει το Παράδειγμα 6. Θα χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες του παραδείγματος. Τότε Y B

44 Y B AY Y B AY s Επομένως Q() s Ys Y και R() s Y, είναι το αριστερό πηλίκο και αριστερό υπόλοιπο αντίστοιχα. Επιπρόσθετα υποθέτουμε ότι εφαρμόζοντας το Θεώρημα.6 έχουμε ότι Αντικαθιστώντας το qn qn B( s) ( s) det[ A( s)] s s q n και R( s) Y s Y s Y (.64) B για I q και n n mn mn m Y j και από τις σχέσεις (.6), (.63) έχουμε μια εναλλακτική μορφή του γενικευμένου θεωρήματος Cayley-Hamlton.

45 Κεφάλαιο 3 Διαίρεση πολυωνυμικών πινάκων και εφαρμογές 3. Εισαγωγικές έννοιες Για να κάνουμε την εφαρμογή της διαίρεσης πολυωνυμικών πινάκων που θέλουμε, πρέπει πρώτα να αναφερθούμε σε απαραίτητες έννοιες προς κατανόηση της εφαρμογής. Θα συμβολίσουμε με s, ( s), r ( s), r ( s) [] m m m m το σύνολο των m πινάκων με στοιχεία στο σύνολο των πολυωνυμικών, ρητών, κανονικών ρητών, αυστηρά κανονικών ρητών αντίστοιχα και με συντελεστές από το σώμα των πραγματικών. Επίσης με [ s], ( s), ( s), ( s) mm mm mm mm r r σύνολα, των οποίων τα στοιχεία είναι ομαλοί πίνακες. θα συμβολίζουμε τα υποσύνολα από τα αντίστοιχα Ορισμός 3.. [] Έστω A( s) ( s) m, ο πίνακας As () λέγεται κανονικός ρητός πίνακας m (roer ratonal) αν lm A( s) E, ή αν όλα τα στοιχεία a () s του As () είναι s κανονικές ρητές συναρτήσεις, δηλαδή αν a ( s) n( s) / d( s) τότε deg d( s) deg n( s). j j Ορισμός 3. [] Έστω A( s) ( s) m, ο πίνακας As () λέγεται αυστηρά κανονικός (strctly m roer) αν lm As ( ), ή αν όλα τα στοιχεία a () s του As () είναι αυστηρώς s κανονικά, δηλαδή αν a ( s) n( s) / d( s) τότε deg d( s) deg n( s). j j 3. Κανονικότητα κατά γραμμή (στήλη) ενός πολυωνυμικού πίνακα Στην παράγραφο αυτήν θα αναφερθούμε στους ορισμούς κανονικών κατά γραμμές (στήλες) (row (column) roer) πολυωνυμικών πινάκων και θα δείξουμε πως υπολογίζεται. Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας A( s) [ s] m, rank ( ) A( s) mn{, m} τότε θα s γράφουμε τα διανύσματα γραμμών a s a s a s a s s, ή τα ( ) [ ( ), ( ),..., ( )] [ ] m m,