Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilto 4 Ασκήσεις5 Ελάχιστο πολυώνυμο, κριτήριο διαγωνισιμότητας 46 Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών πινάκων 55 Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο βιβλίο Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, ISBN: , 0 Η eclass του μαθήματος υπάρχει στη διεύθυνση Εκδοχή 7//0

2 σκήσεις Ασκήσεις Πολυώνυμα Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: Συμβολισμός: Το σύνολο είναι το ή το Έστω (),() x p x[ ] x όπου p() x μονικό και ανάγωγο Δείξτε ότι ((),()) x px ή ((),())() x p x p x Βρείτε το 00 ( x, x ) και το 00 ( x, x ) Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο () x [ ] x 008 τέτοιο ώστε ()( x )( x ) x a Έστω () x [ ] x και a, b με a b Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ()x με το ()() x a x b b Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, b τέτοιες ώστε το πολυώνυμο ( x )( x ) να διαιρεί το x x ax bx 5 Έστω (),() x x [ ], x όπου () x 5 4 x x x,() x x x 6 x [ ] x Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους 6 Έστω (),() x x [ ], x όπου () x x x x,() x x x [ ] x Να βρεθούν οι πίνακες τέτοιοι ώστε ()() 0 7 Έστω (),() x x[ ] x με ((),()) x x Δείξτε ότι δεν υπάρχει τέτοιος ώστε ()() 0 8 a Βρείτε τις ρίζες στο του πολυωνύμου x x 6x 5 b Έστω m {0} Δείξτε ότι για κάθε c, ο m δεν είναι πολλαπλή ρίζα του 00 9 ()x x x c c Να βρεθούν όλες οι τιμές του a τέτοιες ώστε το πολυώνυμο x 0x a να διαιρεί το ( x )( x )( x 00) 9 Να βρεθούν όλα τα μονικά πολυώνυμα () x [ ] x βαθμού 4 τέτοια ώστε και 0 Έστω deg((), x x) x : μια γραμμική απεικόνιση με όπου είναι μια διατεταγμένη βάση του (() :,) 0 ( :,) 0, 0, και ((), x x) () x x x [ ] x Να βρεθεί ο πίνακας Έστω ένας διαγώνιος πίνακας, a, a και () x [ ] x Δείξτε ότι () 0 κάθε ai είναι ρίζα του ()x Έστω () x [ ] x με μη μηδενικό σταθερό όρο και τέτοιος ώστε () 0 Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος

3 σκήσεις Έστω 5 τέτοιος ώστε 0 Έστω () x 4 x x x x Δείξτε ότι () είναι αντιστρέψιμος 4 Το συμπέρασμα στο ερώτημα b ονομάζεται το Θεώρημα Παρεμβολής του Lagrage Έστω,, διακεκριμένα Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο [ όλων των πολυωνύμων βαθμού το πολύ και την απεικόνιση : [ x],(())((),,()) x a Δείξτε ότι η είναι γραμμική, - και επί b Δείξτε ότι για κάθε,, () x [ ] x τέτοιο ώστε (),,() a a c Βρείτε ένα πολυώνυμο ()x τέτοιο ώστε (),(),( ) d Δείξτε ότι το ()x x j () x j j του υποερωτήματος b δίνεται από ()() x a j j x, όπου I 5 Έστω και B 0 ()() a Δείξτε ότι () B 0() για κάθε () [ ] x x, όπου ()x είναι η παράγωγος του ()x 0 04 b Δείξτε ότι αν ()( I ) 0 I, τότε ()( B I ) B0 I j Δείξτε ότι για κάθε υπάρχει μη μηδενικό () x [ ] x βαθμού το πολύ τέτοιο ώστε () 0 7 Έστω, B και () x [ ] x με μηδενικό σταθερό όρο Δείξτε ότι αν B B 0, τότε ()()() B B 8 Έστω a,, a Θέτουμε e a a a, i,, (Για παράδειγμα, αν, τότε i t t ti t ti e a a a, e a a a a a a, e a a a ) Δείξτε ότι αν e 0 για κάθε i,,, τότε a 0 για κάθε i,, i 9 Έστω και () x [ ] x Δείξτε ότι αν det() 0 I, τότε det(()()) 0 I 0 Επαναληπτική Άσκηση Κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα aέστω (),(),() x x [ x] x Αν () x ()() x x, τότε () x () x ή () x () x bέστω (),(),() x x [ x] x με ()x ανάγωγο Αν () x ()() x x, τότε () x () x ή () x () x cέστω (),(),() x x [ x] x Αν () x () x και () x () x, τότε ()() x () x x dέστω (),(),() x x [ x] x Αν () x () x, () x () x και ((),()) x x, τότε ()() x () x x eγια κάθε (),(),() x x [ x] x ισχύει ((),())(()()(),()) x x x x x x Έστω (),() x x[ ] x και Αν ()() 0, τότε τα (),() x x δεν είναι σχετικά πρώτα gέστω και () x [ ] x Αν ο είναι άνω τριγωνικός (αντίστοιχα διαγώνιος), τότε και ο () είναι άνω τριγωνικός (αντίστοιχα διαγώνιος) hέστω, B και () x [ ] x Αν οι, B είναι όμοιοι, τότε οι (),() B είναι όμοιοι i Έστω, B και () x [ ] x θετικού βαθμού Αν οι (),() B είναι όμοιοι, τότε οι, B είναι όμοιοι i

4 σκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση: Αν ()((),()) x x p x, τότε () x () p x Επειδή το p() x είναι ανάγωγο, οι μόνοι διαιρέτες του είναι τα σταθερά πολυώνυμα και τα πολυώνυμα της μορφής cp() x, c {0} Άρα το ()x είναι σταθερό πολυώνυμο ή πολυώνυμο της μορφής cp() x, c Επειδή τα (),() x p x είναι μονικά, παίρνουμε () x ή ()() x p x Λύση: Παρατηρούμε ότι Άρα x x γιατί x () x ( )(()()() x x ) x x Σημείωση: Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ισότητα πολυωνύμων 4 a() x (() a)(()()()() x a x () a ) x a x a x a x, όπου a() x [ ] x και θετικός περιττός ακέραιος Έχουμε 00 ( x, x ) x Από αυτό έπεται ότι Πράγματι, έστω Άρα ( x, x )(,( x ) x ) Είδαμε πριν ότι d()( x,( x ) x ) οπότε d() x και επομένως d() x x x ( x,( x ) ) 00 Τότε d x x d x x 00 () και()( ) d x x d x x, () και()( ) 008 Υπόδειξη: Θεωρήστε βαθμούς στη σχέση ()( x )( x ) x 009 και εφαρμόστε την Πρόταση 4 a Υπόδειξη: πό την ταυτότητα διαίρεσης πολυωνύμων (βλ Θεώρημα ) υπάρχουν q(),() x r x [ ] x τέτοια ώστε deg() r x και ()()()()() x q x x a x b r x Θέστε στην τελευταία σχέση x a και στη συνέχεια x b για να προσδιορίστε το r() x Απάντηση: r() x ()()()() a b a b b a x a b a b 5 Λύση: Παρατηρούμε ότι ()( x x x x) x x x x x x( x )( x )( x )( x x ), x () x x x 6( )( x ), x δηλαδή έχουμε τις αναλύσεις των (),() x x σε γινόμενα ανάγωγων πολυωνύμων στο [ x] Από αυτές παίρνουμε (βλ Πρόταση και Ορισμός ) ((),()) x,((),())()() x x x x x Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο στα (),() x x για να δείξουμε ότι ((),()) x x Τότε, σύμφωνα με το σχόλιο μετά την Πρόταση 5, έχουμε ()() x x ((),())()() x x x x ((),()) x x 6 Λύση: Έστω ότι ()() 0 Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση βρίσκουμε ότι ((),()) x x x Από το Θεώρημα 6 έπεται ότι υπάρχουν (),() x x[ ] x με

5 σκήσεις 4 x ()()()() x x x x I ()()()() 0 I 7 Λύση: Έστω ότι υπάρχει τέτοιος ώστε ()() 0 Σύμφωνα με το Θεώρημα 6 υπάρχουν (),() x x[ ] x με ()()()() x x x x Τότε I ()()()() 0, άτοπο 8 a Υπόδειξη: Μια ρίζα είναι το Με τον αλγόριθμο διαίρεσης πολυωνύμων βρίσκουμε x x 6x5( x)( x x5) b Λύση: Έχουμε () x 00 x 9(00 x x 9) x και () m 0 γιατί m {0} Το ζητούμενο έπεται από την Πρόταση 0 c Απάντηση: a m(0), m m,,,4 9 Υπόδειξη: Επειδή το x είναι ανάγωγο πάνω από το, έχουμε ((), x x) x () x Επειδή x x ( x)( x), έχουμε x () x και x δεν διαιρεί το() x deg((), x x) x ή x () x και x δεν διαιρεί το() x Απάντηση: ( x )( x ), ( x )( x )(), x a a {} () x ( x )( x ), ( x )( x )(), x b b{} 0 Απάντηση: Σύμφωνα με την Πρόταση 4 έχουμε 4 (() :,)() ( πράξεις) 6 5 I Υπόδειξη: Δείξτε ότι πίνακας () είναι ο διαγώνιος πίνακας () a () () a Λύση: Αν () x a x a, 0 a0 0, τότε από () 0 έχουμε a a a I 0 0 (( a ))(( ai )) a a0 a0 ai I και συνεπώς ο είναι αντιστρέψιμος Λύση: Από x 5 ( x)( x 4 x x x)( x 4 x x )( x ) x και την υπόθεση παίρνουμε I ()()()() I 4 I 4 I I 4 και άρα ο I είναι αντιστρέψιμος 4 Υπόδειξη: Για το - βλ Πρόταση Για το επί υπενθυμίζουμε ότι dim [ x] dim 5 a Υπόδειξη: Δείξτε με επαγωγή στο ότι B για κάθε ακέραιο 0

6 σκήσεις b Λύση: Έστω ()( x )( x ) x και ()( x )( x ) x Τότε το ()x διαιρεί το ()x και, επειδή από την υπόθεση () 0, παίρνουμε () 0 Έχουμε () x 04( x )( ) x 05( )( x ) x Επειδή το ()x διαιρεί το ( x )( x) και το ( x )( x), έπεται ότι το ()x διαιρεί το ()() ()x Άρα () 0 Από το προηγούμενο υποερώτημα έχουμε () B 0 0() I,,,, 6 Υπόδειξη: Τα στοιχεία του διανυσματικού χώρου είναι γραμμικά εξαρτημένα γιατί το πλήθος τους είναι μεγαλύτερο του dim 7 Υπόδειξη: Αρκεί να δειχτεί ότι () B B για κάθε θετικό ακέραιο Δείξτε τη σχέση αυτή με επαγωγή στο 8 Λύση: Έχουμε την ισότητα πολυωνύμων ()()() x a x a x a x e x e x e Αν κάποιο a i ήταν αρνητικό, τότε το ai θα ήταν θετική ρίζα του πολυωνύμου στο δεξί μέλος, πράγμα άτοπο αφού οι συντελεστές του πολυωνύμου αυτού είναι θετικοί 9 Λύση: Επειδή η τιμή του πολυωνύμου ()() x για x είναι ίση με ()() 0, έχουμε ότι το x διαιρεί το ()() x, δηλαδή υπάρχει a() x [ ] x με ()()( x )() x a x Άρα και επομένως ()()()() I I a I I a I a det()() det()() det()det() 0 0 Λύση a Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι x x x b Σωστή Πράγματι, έστω ότι () x ()() x x και το ()x δεν διαιρεί το ()x Επειδή το ()x είναι ανάγωγο και δεν διαιρεί το ()x έχουμε ((),()) x x Από την Πρόταση 9 έχουμε () x () x c Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι ()()() x x x x d Σωστή Βλ Πρόταση 0 e Σωστή Πράγματι, έστω d ()((),()) x x x και ()(()()(),()) x x x x Τότε d ()() x και ()() x d ()()()() x x x x και d ()() x d ()(()()(),()) x x x x x x d()() x d x Επίσης, x x και ()() x d ()() x x και d ()() x x d ()((),()) x x x d()() x d x Δείξαμε ότι d()() x d x και d()() x d x Επειδή τα d (),() x d x είναι μονικά παίρνουμε d()() x d x Σωστή Πράγματι, βλ άσκηση 7 g Σωστή Βλ Παρατήρηση 4 h Σωστή Πράγματι, έστω ότι οι, B είναι όμοιοι, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε B P P Τότε έχουμε B ()() P P P P P P και επαγωγικά

7 σκήσεις 6 αποδεικνύεται άμεσα ότι B P P για κάθε θετικό ακέραιο Έστω () x a x a x a [ ] x Τότε 0 () B a B a B a I 0 a P P a P P a I 0 P ( a ) a a0i P P (), P δηλαδή ()() B P P, που σημαίνει ότι οι (),() B είναι όμοιοι i Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι, B,() x x Τότε ()() B (και άρα οι (),() B είναι όμοιοι), αλλά οι, B δεν είναι όμοιοι γιατί ο μόνος πίνακας όμοιος με το μηδενικό είναι ο μηδενικός

8 Ασκήσεις 7 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: Με V συμβολίζουμε έναν πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικό χώρο, όπου a Αληθεύει ότι το είναι ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης 4 4 :,(, x, y,)( z w, x w, y z,) z w x w ; Αληθεύει ότι το (, 0,, ) είναι ιδιοδιάνυσμα της ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης :,(, x,)( y z,x y x, y z x) y z ή c Έστω : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από () e e,() e, e όπου e { e, e} είναι η συνήθης βάση του Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της όταν i) και ii) Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος στο i) a Έστω Είναι το ιδιοδιάνυσμα του ; Είναι το 6 ιδιοτιμή του ; 5 5 b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Να βρεθούν οι πιθανές ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις a, b c V, 0 4 Έστω με () x x x x a Είναι ο αντιστρέψιμος; b Είναι ο ( )( I 4) I αντιστρέψιμος; c Υπολογίστε την ορίζουσα του 5I d Να βρεθεί το () x e Αληθεύει ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B B για κάποιο θετικό ακέραιο ; 5 Έστω, B, όπου ο είναι αντιστρέψιμος Δείξτε ότι ()() x x συμπέρασμα και χωρίς την υπόθεση ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση 7) 6 Έστω 7 Έστω και () x [ ] x B B (Σημείωση: Ισχύει το αντιστρέψιμος και ()( x ) x x x 0, οπότε 0 0 Δείξτε ότι ( ) ()( x )( x x) x 0 0 0

9 Ασκήσεις 8 a Δείξτε ότι αν το είναι ιδιοτιμή του, τότε το () είναι ιδιοτιμή του () b Έστω ότι Δείξτε ότι για κάθε ιδιοτιμή του () υπάρχει ιδιοτιμή i του τέτοια ώστε () i 8 Για ποια a το (,) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης :,(,)( x y,) x ay x y ; 9 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων a :,(, x,)(4 y z, x5, y ) z y z, b g :,(, x,)(4 y z, x5, y ) z y z 0 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων g : [ x] [ x],(())() g x x, h : [ x] [ x],(())() h x x, όπου ()x είναι η παράγωγος του ()x Έστω () a ij τέτοιος ώστε για κάθε j,,, ισχύει Έστω a Υπάρχει μη μηδενικό b Αν ο είναι αντιστρέψιμος και X τέτοιο ώστε X X i () b ij, τότε για κάθε j,, a 0 0 a 0 0 a 0 0 a 0 a ij Δείξτε τα εξής, ισχύει bij a Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι το ( )( x a x ) a0 b Δείξτε ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε το t είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις a Έστω ότι g g και v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της με v er g Τότε το g() v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της b Έστω v ένα ιδιοδιάνυσμα και της και της g Τότε για κάθε (),() x x[ ] x το v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της ()() g 5 Έστω δυο ιδιοτιμές μιας γραμμικής απεικόνισης : V V με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u, v Τότε a τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και i

10 Ασκήσεις 9 b για κάθε a, b {0}, το au bv δεν είναι ιδιοδιάνυσμα της 6 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του C Έστω Αποδείξτε ότι οι ακόλουθες ιδιότητες είναι ισοδύναμες a Ο είναι αντιστρέψιμος b O σταθερός όρος του () x είναι μη μηδενικός c Το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του 8 Έστω αντιστρέψιμος a Δείξτε ότι το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του b Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον και περιττός Δείξτε ότι το ή το είναι ιδιοτιμή του 44 9 Έστω τέτοιο ώστε () [ ], det,() 4 και μια ιδιοτιμή του είναι το i Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του 0 Ξέρουμε ότι όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο Αληθεύει ότι όμοιοι πίνακες έχουν τα ίδια ιδοδιανύσματα; Έστω αντιστρέψιμος Δείξτε ότι αν ο είναι όμοιος με τον, τότε το είναι άρτιος,, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι της μορφής ()(), x x j t Βρείτε τους ιδιόχωρους της γραμμικής απεικόνισης :,, όπου Θεωρούμε δυο διαγώνιους πίνακες a b, B a b Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες a Οι, B είναι όμοιοι b Υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε bi a () i για κάθε i,, c ()() x B x 4 a Έστω Δείξτε ότι ()( x ) x αν και μόνο αν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 b Να βρεθούν όλοι οι τέτοιοι ώστε () x x 5 Βρείτε το χαρακτηριστικό πoλυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του a b b b b a b b b b a b b b b a 6 Έστω a, b με a b Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

11 Ασκήσεις 0 ( ) ab 7 Έστω είναι το a()() x b b x a B ()() x x ) B 8 Έστω a,, a, b,, b 0 a a a b 0 a a b b 0 a b b b 0 και B Δείξτε ότι ( )()( x )() x x x (Συνεπώς αν, τότε και C aib j B Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση ή αλλιώς βρείτε το C () x και τις ιδιοτιμές του C 9 Έστω και Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Για κάθε ιδιοτιμή του, βρείτε τη διάσταση του -διανυσματικού χώρου X X X 0 Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και : V B V μια γραμμική απεικόνιση Έστω ότι, είναι δυο ιδιοτιμές της τέτοιες ώστε Θέτουμε V ()( Ker ) V και V ()( Ker ) V a Δείξτε ότι V ()() V{0 } V b Έστω x V ()() V Δείξτε ότι αν το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της, τότε x V () ή x V () B B Έστω, B, C και D Τότε B B a ()()() x x x C B B b ()()() x x x D ib ib c Αν οι ιδιοτιμές του είναι οι,,, τότε οι ιδιοτιμές του είναι οι,,, 0,,0 Έστω a, b Δίνεται ότι οι πίνακες, B a a b, B 0 0 b 0 0 Να βρεθούν οι a, b είναι όμοιοι, όπου Να βρεθεί τo χαρακτηριστικό πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης, όπου :,(, x,)(0, y z,) x y 4 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα

12 Ασκήσεις a Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B b Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B c Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή d Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή e Αν το είναι ιδιοτιμή του τότε το είναι ιδιοτιμή του I Αν το είναι ιδιοτιμή του, όπου, τότε το είναι ιδιοτιμή του g Αν ()() x x, όπου, B, τότε οι, B είναι όμοιοι B h Έστω ότι οι Α, Β είναι όμοιοι Τότε οι (),() B είναι όμοιοι για κάθε () x [ ] x i Υπάρχει με ιδιοτιμές τις 0,,, j Αν v είναι ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης : V V και v er, τότε το 0 είναι ιδιοτιμή της Έστω με ()( )( 5) : και διατεταγμένη βάση του με (,0,0) (,0,0) και ( :,) l Έστω Αν το είναι ιδιοτιμή του, τότε υπάρχει μη μηδενικό X με X X

13 Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση a Σύμφωνα με τον ορισμό της ιδιοτιμής, το είναι ιδιοτιμή της αν και μόνο αν υπάρχει μη 4 μηδενικό ( x, y, z,) w με ( x, y, z,) w (, x, y,) z w ( x, y, z,) w (, x, y,) z w ( x w, y z, z w,)( x w,, x,) y z w x w x y z y z w z x w w x w 0 z 0 z w 0 x w 0 x z w 0, y Παρατηρούμε ότι 4 Άρα το είναι ιδιοτιμη της (και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (0, y,0,0), όπου y 0 ) Υπολογίζοντας βρίσκουμε (, 0,, )(,,,) Από τη σχέση αυτή είναι σαφές ότι δεν υπάρχει με (,0,, )(,0,, ) Άρα το (,0,,) δεν είναι ιδιοδιανυσμα της b Έστω και (,,) z y z Έχουμε () x y0 ( x, y,)( z,,) x y () z x 0 y z x y () 0 z Το σύστημα () έχει μη τετριμμένη λύση ως προς x, y, z αν και μόνο αν 0 det 0 () det( ) det 0 ()(()() ) () 0 ()(()() ) 0 ()()() 0,, Άρα οι ιδιοτιμές είναι,, Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : y 0 y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις του x z 0 x y z 0 τελευταίου είναι x(, 0, ), x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη είναι τα x(,0, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : ()

14 Ασκήσεις x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι x y z 0 x y 0 λύσεις αυτού είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x z 0 που ισοδυναμεί με το x y 0 Οι λύσεις αυτού x z 0 x y z 0 είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} c Για (,) ( x,)()()( y x,) e y e xe ye y x Έστω Τότε x y έχουμε x y 0 ( x,)( y,) x y Ζητάμε μη μηδενικές λύσεις του συστήματος ως προς x, y x y 0 Έχουμε det( ) i) Έστω Τότε ( ) 0 για κάθε και άρα το παραπάνω σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση Άρα δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα της ii) Έστω Τότε το σύστημα έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν ( ) 0, δηλαδή αν x y 0 και μόνο αν i, i Άρα οι ιδιοτιμές είναι οι i, i Λύνοντας το σύστημα για τις x y 0 τιμές αυτές βρίσκουμε αντίστοιχα τα ιδιοδιανύσματα x( i,), x {0} και x( i,), x {0} Γεωμετρική ερμηνεία του i) Η παριστάνει στροφή κατά 90 ο στη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού Άρα δεν υπάρχει ευθεία U που διέρχεται από το (0,0) τέτοια ώστε () U Συνεπώς η δεν έχει ιδιοδιάνυσμα Λύση a Έχουμε Επειδή, το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Έχουμε det( 6) I4 det , γιατί στον τελευταίο πίνακα δυο γραμμές είναι ίσες Άρα το 6 είναι μια ιδιοτιμή του Α b Έχουμε U

15 Ασκήσεις 4 x () x det() det xi 0 4 x 0 x x 4 () det( x )( ) x x x και άρα οι ιδιοτιμές είναι, Ιδιoδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : Έχουμε x 0 x x 0 () I0 X 0 4 x0 4 4 x 0x 0 x 0 x x 0 και το τελευταίο σύστημα ισοδυναμεί με το x x 0 που έχει λύσεις τις x 0 x x 0 x, x, x x 0 x 0 Άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα x x 0 x, x, x, όπου τουλάχιστον ένα x 0 από τα x, x δεν είναι 0 Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x 0 x x x 0 () I0 X 0 4 x0 4 x 0x 0 x 0 x 4x 0 x x x 0 x x 0 x Οι λύσεις του τελευταίου συστήματος είναι x x, x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που x x αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα x x, x {0} x Λύση: Έστω ότι υπάρχει μια ιδιοτιμή λ της με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα v Τότε () v, v v 0 Επομένως a b ()(())()() v v v v v Οι πιθανές ιδιοτιμές έχουν ως εξής () v v v v Αφού v 0, έχουμε V ()() v v v v v Αφού v 0, έχουμε, οπότε, οπότε 0, c 0() 0 v 0 v Αφού v 0, παίρνουμε 0 4 Λύση a Όχι, γιατί ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του είναι 0 (βλ Πρόταση 5) b Έχουμε ()( )( x x ) x και άρα οι ιδιοτιμές του είναι 0,, Αφού το δεν είναι ιδιοτιμή του, έχουμε det( ) I 0 Όμοια det( 4) I 0 Άρα det(( )( I 4)) I det( )det( I 4)) 0 I και ο ( )( I 4) I είναι αντιστρέψιμος

16 Ασκήσεις 5 c Έχουμε det( 5) I det(( 5)( I )) I det( 5) I det( )(5)( I ) 600 d Επειδή 0,, είναι ιδιοτιμές του, οι 0,, είναι ιδιοτιμές του (Παράδειγμα 0 ) και επειδή ο είναι πίνακας αυτές είναι όλες οι ιδιοτιμές του Άρα ()( x )( x x 4) x e Υπόδειξη: Θεωρήστε ίχνη στη σχέση B B για να λάβετε 0 0, που είναι άτοπο 5 Λύση: Από τη σχέση () B B έπεται ότι οι B, B είναι όμοιοι και άρα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (βλ Πρόταση 8) 6 Λύση: Ξέρουμε ότι 0 det (Πρόταση 5) Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε det 0 Εργαζόμενοι με ρητές συναρτήσεις και χρησιμοποιώντας ιδιότητες οριζουσών έχουμε () x det xi det xi det I x det ( ) det x I det( ) det( x)() I 0 0 x x x ( )( ) 0 x 0 x x x ( ) ( ) x x x a Βλ Παράδειγμα 0 b Λύση: Είναι σαφές ότι ισχύει το ζητούμενο αν το ()x c είναι σταθερό πολυώνυμο, γιατί τότε () ci και κάθε ιδιοτιμή του ci είναι ίση με το c Ξέρουμε ότι ο έχει τουλάχιστον μια ιδιοτιμή Αν i είναι οποιαδήποτε ιδιοτιμή του, τότε () i Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι deg() x Έστω μια ιδιοτιμή του () με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα X Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας (βλ Θεώρημα 5) υπάρχουν c,,,, c 0, τέτοια ώστε ()()() x c x x Άρα έχουμε ()()() I c I I και από (()) 0 I X παίρνουμε c()() I 0 I X Επειδή X 0 και c 0, συμπεραίνουμε ότι κάποιος πίνακας i I έχει ορίζουσα ίση με 0 Άρα το i είναι ιδιοτιμή του Έχουμε () i Σημείωση: Βλ Θεώρημα 6 για ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα 8 Λύση Έστω Έχουμε (,)(,) έχει λύση ως προς αν και μόνο αν a a Παρατηρούμε ότι το τελευταίο σύστημα 9 Απάντηση a Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή 4 και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων είναι {( x,0,0) x 0} b Οι ιδιοτιμές είναι 4, i, i με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα {(,0,0) x x 0},{(0, x, i5) x0}, {(0, x, i 5) x 0} 0 Απάντηση a Οι ιδιοτιμές είναι 0, με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { ax bx c [ x] a b c 0,( a, b,)(0,0,0)} c, { bx [ x] b 0} b Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0, και το σύνολο των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων είναι { ax bx c [ x] a b 0, c 0} a Λύση: Αρκεί να δειχτεί ότι το είναι ιδιοτιμή του Παρατηρούμε ότι το είναι ιδιοτιμή του καθότι από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε t

17 Ασκήσεις 6 a i i t a i i Από την Πρόταση έπεται ότι το είναι ιδιοτιμή του b Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση, δείξτε ότι Υπόδειξη: a Χρησιμοποιείστε επαγωγή και το ανάπτυγμα ορίζουσας του det() xi b a a0 0 a a0 Υπόδειξη: Ένας τρόπος λύσης είναι να παρατηρήσουμε ότι ο πίνακας της άσκησης είναι ο ανάστροφος ενός πίνακα της προηγούμενης άσκησης και να εφαρμόσουμε την Πρόταση Απάντηση: ( )( x ) 4 Υπόδειξη για το b: Με τρόπο όπως στο Παράδειγμα 0, αποδεικνύεται ότι ()()() v, v όπου v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 5 Λύση: a Έστω ότι au bv 0, () όπου a, b Τότε επειδή η είναι γραμμική έχουμε 0(0)()()() au bv a u b b au bv δηλαδή, au bv 0 () Από την () παίρνουμε au bv 0 οπότε αφαιρώντας τη () παίρνουμε b() 0 v Επειδή v 0 (το v είναι ιδιοδιάνυσμα), έχουμε b() 0 και επειδή παίρνουμε b 0 Τότε από την () έχουμε au 0, οπότε a 0 αφού u 0 b: Έστω ότι υπάρχουν a, b, με ()() au bv au bv Έχουμε ()()() au bv a u b v au bv και άρα au bv au bv Από το προηγούμενο ερώτημα τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως παίρνουμε a a, b b Αν ήταν a 0 και b 0, τότε θα είχαμε, άτοπο από την υπόθεση Δείξαμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο της μορφής au bv, όπου a, b {0}, που είναι ιδιοδιάνυσμα της B 6 Υπόδειξη : Ο D είναι της μορφής D 0 C, όπου, B, C και ξέρουμε ότι ()()() x x x (βλ Πρόταση 4) Με πράξεις βρίσκουμε D C () x x x 4,()( )( x x5) x x C 7 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι ο σταθερός όρος του () x 5 και Πρόταση 6) 8 Υπόδειξη για το b: Στη λύση της άσκησης 6 είδαμε ότι ()( x )(det)() x είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του (Πρόταση x Δείξτε ότι από την προηγούμενη σχέση έπεται ότι αν ()()() x x x, i, τότε ()()() x x x Άρα αν,, είναι οι ιδιοτιμές του, τότε,, είναι πάλι οι ιδιοτιμές του (με ενδεχομένως άλλη σειρά) Χρησιμοποιήστε την εξής παρατήρηση: Αν X είναι

18 Ασκήσεις 7 ένα πεπερασμένο σύνολο με περιττό πλήθος στοιχείων και : X X X, τότε υπάρχει x X μια απεικόνιση τέτοια ώστε με () x x 9 Βλ Παράδειγμα μετά το Πόρισμα Απάντηση: Όχι γενικά Για παράδειγμα, οι πίνακες, 0 είναι όμοιοι, το 0 είναι ιδιοδιάνυσμα του πρώτου και όχι του δεύτερου (Αποδείξτε τους ισχυρισμούς αυτούς) Λύση: Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε det det() Αλλά det()( ) det, οπότε det( ) det Επειδή det 0, έχουμε ( ), δηλαδή ο είναι άρτιος, Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε ()() x x σύμφωνα με την Πρόταση 8, δηλαδή () x det() xi Αλλά det() det(())( xi ) det() xi det()() xi xi x Άρα ()() x x Από την τελευταία σχέση έπεται ότι αν () x x a x a x a 0, τότε ai 0 για κάθε περιττό i Άρα υπάρχει μονικό πολυώνυμο () x [ ] x βαθμού, τέτοιο ώστε ()() x x Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας υπάρχουν,,, τέτοια ώστε ()()() x x x Επίσης υπάρχουν,, τέτοια ώστε,, ()()()() x x x x Σημείωση: Μια άλλη λύση θα δούμε στις Ασκήσεις4 Απάντηση: Οι ιδιόχωροι είναι οι () t t V,( V ), Άρα δηλαδή το σύνολο των συμμετρικών πινάκων και το σύνολο των αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα Υπόδειξη: Οι συνεπαγωγές a b, b c είναι άμεσες Για τη c a, έστω ότι ()() x B x Τότε οι, B έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Οι ιδιοτιμές του είναι οι a, a,, a και οι ιδιοτιμές του B είναι οι b, b,, γιατί οι, B είναι διαγώνιοι πίνακες Άρα υπάρχει μετάθεση για κάθε i,, b i a () i O πίνακας είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης : () e a, e i,,, i i i όπου { e, e,, e } είναι μια διατεταγμένη βάση του Έχουμε b () e a e b e ()()()() i i i i i S Άρα ο πίνακας B είναι ο πίνακας της ίδιας γραμμικής απεικόνισης : διατεταγμένη βάση { e, e, e } του Συνεπώς οι, B είναι όμοιοι a b 4 Απάντηση για το b: c a, όπου ()(),() a bc τέτοια ώστε που ορίζεται από ως προς τη

19 Ασκήσεις 8 5 Υπόδειξη: Το () x μπορεί να υπολογιστεί με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών και στηλών του πίνακα xi (Για παράδειγμα, ξεκινήστε προσθέτοντας στην πρώτη στήλη του xi κάθε άλλη στήλη Στη συνέχεια μετατρέψτε τον πίνακα σε άνω τριγωνικό αφαιρώντας την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή) Απάντηση: Το χαρακτηριαστικό πολυώνυμο είναι ()( x )(( ))() x a b x a b, οι ιδιοτιμές είναι a ( ) b (με πολλαπλότητα ) και a b (με πολλαπλότητα ), και οι ιδιόχωροι είναι V () E E και V () E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του 6 Υπόδειξη: Πρώτα εφαρμόστε στον xi την ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών,,, και δείξτε αναπτύσσοντας την ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα ότι det()()det()( xi )() x, a xi a x b Στη συνέχεια, εργαζόμενοι με στήλες δείξτε ότι det()()det()( xi )() x, b xi b x a Από τις δυο σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο Σημείωση: Η δεύτερη σχέση προκύπτει άμεσα εφαρμόζοντας την πρώτη σχέση στον ανάστροφο του 7 Υπόδειξη: Δείξτε την εξής ισότητα ()() πινάκων 8 Λύση ος τρόπος Έστω B xi I 0 I 0 xi 0 xi B I B I 0 B xi a a xi και B b b Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας (())( Tr C ) ab a b Από την προηγούμενη άσκηση παίρνουμε x ()( )() x x B B B ()( )() x B ( )(())( x )(()), x Tr C x x Tr C δηλαδή ()( x C )(()) x x Tr C Άρα: Αν Tr() C 0, τότε υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0 (με πολλαπλότητα ) Αν Tr() C 0, τότε οι ιδιοτιμές είναι 0 (με πολλαπλότητα ) και Tr() C ab a b (με πολλαπλότητα ) a ος τρόπος Έστω και B b b Τότε από τον πολλαπλασιασμό a πινάκων έχουμε C x B και ο B είναι ο πίνακας (())( Tr C ) ab a b Επίσης

20 Ασκήσεις 9 C ()() B B TrC C Θεωρούμε ότι C Από C () TrC C έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του C, τότε 0 ή TrC Επειδή το άθροισμα των ιδιοτιμών του C είναι ίσο με TrC (Πρόταση 7), συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του C είναι οι 0,,0,TrC Άρα ()( x C )(()) x x Tr C Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του ()( x C )(()) x x Tr C προκύπτει με βάση την άσκηση 6 ii) του βιβλίου 9 Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του x x 0 xi 0 x x ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 x det() xi det( ) x det x 0 0 x 0 0 x 0 0 Αναπτύσσουμε τις δυο ορίζουσες στο δεξιό μέλος ως προς την τελευταία γραμμή και έχουμε det() xi det() det() x xi xi ( ) ( ) ( ) ( ) Με βάση την προηγούμενη σχέση, μια εύκολη επαγωγή στο δίνει det()( )( xi ) x x για κάθε, δηλαδή ()( x )( x ) x Άρα οι ιδιοτιμές είναι, και η καθεμιά έχει πολλαπλότητα Λύνοντας το σύστημα () 0 I X για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το σύνολο E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του Όμοια, για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το E E, E E,, E E Αν a ()() E () E 0, a E E a E E ai, τότε ae ae ae ae a E a E 0 και επειδή τα E,, E είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε a a a 0 Δηλαδή το E E, E E,, E E είναι γραμμικά ανεξάρτητο Επομένως είναι μια βάση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στο Όμοια, το σύνολο E E, E E,, E E είναι μια βάση του ιδόχωρου που αντιστοιχεί στο Άρα καθένας από τους ιδιόχωρους έχει διάσταση Σημείωση: Μπορεί να δοθεί άλλη λύση που βασίζεται στην παρατήρηση ότι I (άσκηση) 0 Λύση a v V ()()()() V 0 v 0 v v v v καθώς b Έστω x u v,(),() u V v V Έστω ότι το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της, δηλαδή x 0 V και () x x για κάποιο Επειδή ()()()() x u v u v u v έχουμε

21 Ασκήσεις 0 x u v u v u v ()()()() u v V V οπότε από το προηγούμενο υποερώτημα παίρνουμε ()() u0 v V Αν ήταν u 0 V και v 0 V, τότε θα είχαμε 0, άτοπο Άρα u 0 V ή v, οπότε αντίστοιχα ισχύει x v V () ή x u V () 0 V a Λύση: Με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών στον πίνακα C xi (αφαιρούμε τις γραμμές,,,v από τις γραμμές v, v,,v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B det() C det xi det B xi B () xi xi B xi B det B xi B xi Με στοιχειώδεις πράξεις στηλών στον τελευταίο πίνακα (προσθέτουμε στις στήλες,,,v τις στήλες v, v,,v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B B det det B xi B xi B xi () B xi B xi B xi B det det()det() B xi B xi 0 B xi ()() x x B B b Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του a c Προκύπτει άμεσα από το a για B Υπόδειξη: Από την Πρόταση 8 έχουμε ()() x x Απάντηση: a b 0 Απάντηση: () x x 4 Απάντηση a Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του 0 0 0, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το δεν είναι ιδιοτιμή του b Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του 0 0 0, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το δεν είναι ιδιοτιμή του a Λ Παράδειγμα: Ο δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) αφού το χαρακτηριστικό 0 πολυώνυμό του είναι το x b Σ Πράγματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 8 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα c Σ Έπεται από το Παράδειγμα 0 για και () x x Έχουμε () d Λ Παράδειγμα: 0 0 B

22 Ασκήσεις 0 e Λ Παράδειγμα: I 0 και B 0 Τότε ()()( x B) x x, αλλά οι, B δεν είναι όμοιοι γιατί αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με B P P, τότε B P IP I, άτοπο Σ Απόδειξη: Από την υπόθεση υπάρχει αντιστρέψιμος P με B P P Με μια άμεση επαγωγή αποδεικνύεται ότι B P P για κάθε θετικό ακέραιο (πως;) Έστω ότι () x a x ax a0 Τότε () B a B a B a I a P P a P P a P P P ( a )() a, a I P P P δηλαδή ()() B P P και άρα οι (),() B είναι όμοιοι g Λ Πράγματι, το πολυώνυμο () x από ρίζες στο h Σ Πράγματι, έχουμε v 0 και () v 0 0 v έχει βαθμό και άρα δεν μπορεί να έχει περισσότερες i Λ Έστω ότι υπάρχουν και με τις δοσμένες ιδιότητες Από (,0,0) (,0,0) έχουμε ότι το είναι μια ιδιοτιμή της και άρα είναι μια ιδιοτιμή του ( :,) σύμφωνα με την Πρόταση 6 Αλλά το δεν είναι ρίζα του j Σ Αφού το X με είναι ιδιοτιμή του, το X X ()( x )( x 5) x ( ) είναι ιδιοτιμή του Άρα υπάρχει μη μηδενικό

23 Ασκήσεις Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: Με V συμβολίζουμε έναν πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικό χώρο, όπου Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω γραμμικές απεικονίσεις είναι διαγωνίσιμες :,(, x,)( y z, x y, y z4), y z g :,(, x,)( y z, x y, y z4), y z h : [ x] [ x],(())() g x x ή Εξετάστε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι διαγωνίσιμοι Αν κάποιος πίνακας i είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί μία βάση του που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του i, ένας αντιστρέψιμος Pi με P P i i i a, b, c, d e 4 Έστω διαγωνίσιμος πίνακας a Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο ο () είναι διαγωνίσιμος διαγώνιο και ο πίνακας P P i i i είναι διαγωνίσιμος και γενικά για κάθε () x [ ] b Δείξτε ότι αν 0 για κάποιο θετικό ακέραιο, τότε 0 c Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε ο () είναι διαγωνίσιμος για κάθε () x [ ] x 0 d Αν ()( x ) να βρεθεί ο e Έστω X με X 0 για κάποιο θετικό ακέραιο Δείξτε ότι X 0 Έστω ότι ο είναι αντιστρέψιμος και Είναι δυνατό ο να είναι όμοιος με τον diag (,,,,) ; 4 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε, για κάθε ιδιοτιμή της Δείξτε ότι 5 Έστω V a Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του, μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του και η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του x

24 Ασκήσεις b Να εξεταστεί αν ο είναι διαγωνίσιμος και στην περίπτωση που είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε ο P P να είναι διαγώνιος 4 a 6 Έστω a Αποδείξτε ότι ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a b Έστω a Βρείτε αντιστρέψιμους πίνακες να είναι διακεκριμένοι διαγώνιοι πίνακες a b 7 Έστω c d P, Q τέτοιους ώστε οι a Δείξτε ότι αν () a d4 0bc, τότε ο είναι διαγωνίσιμος b Έστω ότι ο έχει μοναδική ιδιοτιμή Βρείτε το c Έστω ότι τουλάχιστον ένας από τους b, c είναι διάφορος του μηδενός Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν () a d4 0bc 8 a Έστω ένας διαγωνίσιμος πίνακας του οποίου οι ιδιοτιμές είναι μη αρνητικές Δείξτε ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B 0 b Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος και ότι δεν υπάρχει B τέτοιος ώστε B Έστω, P, τέτοιοι ώστε P P και είναι διαγώνιος, a Δείξτε ότι για κάθε,, έχουμε P b Έστω,, Βρείτε έναν ιδιοδιανύσματα τα P, όπου ()() με ιδιοτιμές τις,,,, Είναι ο μοναδικός; 0 Δείξτε ότι για κάθε ο παρακάτω πίνακας δεν είναι διαγωνίσιμος Να βρεθούν όλα τα a τέτοια ώστε η γραμμική απεικόνιση ακόλουθες περιπτώσεις a ( x, y,)( z x, az, y ay ), z b ( x, y,)( z ax y, z x ay,) z x y az Έστω ένας άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής P P και Q () P είναι η -στήλη του P και αντίστοιχα Q : να είναι διαγωνίσιμη στις

25 Ασκήσεις 4 *, 0 δηλαδή ο είναι άνω τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου είναι ίσο με Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν είναι διαγώνιος Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος 4 Να βρεθούν οι τιμές των a, b, c ώστε ο 0 0 a 0 b c να είναι διαγωνίσιμος 5 Να βρεθούν οι τιμές του a ώστε η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του 0 0 a 0 a 0 0 να είναι ίση με 6 Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε κάθε v V {0} είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της Δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε V 7 Έστω : V V ένας ισομορφισμός Δείξτε τα εξής a Αν το είναι μια ιδιοτιμή της, τότε 0 8 Έστω b Το είναι ιδιοτιμή της το c Για κάθε {0}, V ()() V του d διαγωνίσιμη : με διαγωνίσιμη είναι ιδιοτιμή της ( v, v,) v μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε υπάρχει διατεταγμένη βάση a Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη b Αληθεύει ότι η είναι διαγωνίσιμη; 0 0 ( :,) c Έστω ότι, 0 Δείξε ότι το v v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της 9 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση m a Δείξτε ότι er er και Im Im m για κάθε θετικό ακέραιο m b Δείξτε ότι V er Im c Αληθεύει το συμπέρασμα του a ή b χωρίς την υπόθεση ότι η είναι διαγωνίσιμη;

26 Ασκήσεις 5 0 Έστω m τέτοιος ώστε 0 για κάποιο m Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν a Α διαγωνίσιμος 0 b Tr 0 c det() 0 I d Έστω Τότε κάθε ιδιοτιμή του I είναι ίση με Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Αποδείξτε ότι αν ο Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο όμοιοι πίνακες Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο διαγωνίσιμοι πίνακες Δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι αν και μόνο αν ()() x x B 4 Για κάθε θετικό ακέραιο υπολογίστε τον, όπου Έστω a Υπολογίστε τη δύναμη, b Να βρεθεί ένας πίνακας B τέτοιος ώστε B c Πόσους πίνακες B μπορείτε να βρείτε τέτοιους ώστε B ; 6 Θεωρούμε την ακολουθία (), a,,, η οποία ορίζεται από τους όρους a, a 4 και τον αναδρομικό τύπο a a a,,4, Να βρεθεί ο γενικός όρος a συναρτήσει των a, a και 7 Θεωρούμε την ακολουθία (), 0,,, που ορίζεται από 0 0,,, (ακολουθία Fiboacci) Χρησιμοποιώντας διαγωνοποίηση πινάκων, δείξτε ότι 5 5 5, 0,,, 8 a Έστω διαγωνίσιμος τέτοιος ώστε για κάθε ιδιοτιμή του Δείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε B B b Δείξτε ότι δεν υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε 9 Έστω ότι Δείξτε ότι X Y, όπου B B I X {() a a 0, i }, j Y{() a 0, a } i j, ij ij ij ij αλλά το άθροισμα δεν είναι ευθύ Στη συνέχεια δείξτε ότι X, όπου {() a a 0, i } j ij ij 0 Έστω ότι Δείξτε ότι U V, όπου t t U { }, V { } Επίσης, δείξτε ότι v( v )( ) v v dim U, dim V

27 Ασκήσεις 6 Έστω ότι Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση, αποδείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση t :,, είναι διαγωνίσιμη Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμό της Αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση, ένας υπόχωρος U του V λέγεται -αναλλοίωτος αν () U U Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε τα ακόλουθα: a Αν g g, τότε κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Έστω ότι V W U, όπου W, U είναι ιδιόχωροι των, g αντίστοιχα Αν κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος, τότε g g Έστω, g : V V δυο γραμμικές συναρτήσεις τέτοιες ώστε η είναι διαγωνίσιμη και κάθε ιδιοδιάνυσμα της είναι ιδιοδιάνυσμα της g Δείξτε ότι g g 4 Έστω V ένας πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος και W, W υπόχωροι του V τέτοιοι ώστε V W W Έστω i : Wi Wi, i,, γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε ότι η απεικόνιση : V V,()() w w w w, όπου wi Wi, είναι καλά ορισμένη γραμμική απεικόνιση και ότι αν οι i είναι διαγωνίσιμες, τότε και η είναι διαγωνίσιμη 5 Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε ο πίνακας ab ab ab ab είναι μη μηδενικός a Δείξτε ότι ra b Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν Tr() 0 6 Δείξτε ότι ο πίνακας a b b b b a b b b b a b b b b a είναι διαγωνίσιμος 7 Έστω a και ( v, v,) v μια διατεταγμένη βάση του Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : που ορίζεται από () v,() v v v av,() v v a v av a Δείξτε ότι η δεν είναι διαγωνίσιμη b Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε 8 Έστω Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε όχι όλα είναι ίσα με 0 και aibi 0 Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα a a a b b b 0 i

28 Ασκήσεις 7 και δείξτε ότι αυτός δεν είναι διαγωνίσιμος 9 Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Δικαιολογήστε την απάντησή σας 4 4 a Υπάρχει διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση : τέτοια ώστε ()( x x) x και dim(im) b Για κάθε a, b, οι πίνακες 4 a b 4 είναι όμοιοι c Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση Αν είναι δυο ιδιοτιμές της, τότε η γραμμική απεικόνιση g :()()()(),()(), V V V V g u v u v είναι διαγωνίσιμη 40 Έστω με ra r Αποδείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι της μορφής ( ) x a x a r x 4 Έστω και, r ()() I I οι ιδιοτιμές του Δείξτε ότι αν, τότε κάθε θετικό ακέραιο, 4 Έστω με ra και Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a 0 0 a 0 0 a Ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 0 a b Tr() 0 ο Α είναι διαγωνίσιμος 4 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα 44 a Αν με ()( x )( ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 b Αν με ()( x )( ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 c Έστω με ()( x )( ) Τότε ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν dim(0) V d Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος e Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος Κάθε αντιστρέψιμος πίνακας είναι διαγωνίσιμος g Αν είναι διαγωνίσιμος, τότε υπάρχει μοναδικός αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος h Κάθε πολυώνυμο της μορφής x ax b [ x] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου διαγωνίσιμου i Κάθε πολυώνυμο της μορφής j Αν διαγωνίσιμου είναι διαγωνίσιμος και x ax b x [ ] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου, τότε 0 ()( x ) x 0

29 Ασκήσεις 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Απάντηση: Η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την Πρόταση 9 γιατί έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τις,, Για τη g μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 0 iii) Η g δεν είναι διαγωνίσιμη, γιατί οι ιδιοτιμές είναι οι,, και για τους αντίστοιχους ιδιόχωρους έχουμε dim() V dim() V H h είναι διαγωνίσιμη, γιατί από την απάντηση της άσκησης 0 των Ασκήσεων έχουμε V (0) { ax bx c [ x] a b c 0} και V () { bx [ x] b 0}, οπότε dim(0) V dim() V dim [ ] x Απάντηση a O δεν είναι διαγωνίσιμος αφού δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) b O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V () i,() V i i i Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P i i i i έχουμε P P diag( i,) i c O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0),() V Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P P diag(0,) d O δεν είναι διαγωνίσιμος καθώς υπάρχει μοναδική ιδοτιμή, το 0, και e O dim(0) V 4 ζητούμενη βάση του P P diag είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0, 0,) (0), 0,() V είναι η, 0, Για P 4 0 έχουμε 0 0 Λύση: Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας diag(,,) με P P Οι ιδιοτιμές του είναι οι,, a Επειδή ο είναι διαγώνιος, ξέρουμε ότι ο () είναι διαγώνιος για κάθε πολυώνυμο () x [ ] x (Εύκολα αποδεικνύεται ότι ()((),,()) diag Έχουμε P P P P P P για κάθε θετικό ακέραιο Με επαγωγή στο αποδεικνύεται ότι Πράγματι, η σχέση αυτή είναι προφανής αν Αν P P P P για κάποιο, τότε ()() P P P P P P P P P P P PP P P I P P P P P Μια

30 Ασκήσεις 9 Τώρα αν () x ax ax a0 [ ] x, έχουμε και ο () P () P P a a a a I P 0 a P P a P P a P P a P I P 0 a ()() P P () a P P a P P a I a a () a a I 0 0 είναι διαγώνιος Άρα ο P () P είναι διαγωνίσιμος b Από P P έχουμε P P Είδαμε πριν ότι P P για κάθε θετικό ακέραιο Έστω ότι 0 για κάποιο ακέραιο Τότε 0 Άρα diag(,,) PP 0 c Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε i 0 για κάθε i,, οπότε ο είναι αντιστρέψιμος και diag(,,) Από P P παίρνουμε P P P () P P P, δηλαδή P P diag(,,) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος και το ζητούμενο έπεται από το ερώτημα a 0 d Από ()( x ) x έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με Επειδή ο είναι διαγωνίσιμος, παίρνουμε ότι ο είναι όμοιος με τον πίνακα diag(,,,) I0, δηλαδή 00 υπάρχει αντιστρέψιμος P με P P I Τότε P() I P () PI P I e Έστω X 0, όπου X Άρα P P X 0, οπότε Έχουμε P P () P 0X P P P P y y 0 Έστω P X Από () P 0X, δηλαδή, παίρνουμε y y 0 y 0 0 ή y 0 y 0 0 ή y 0 y 0 y 0 y 0 y Δηλαδή έχουμε () P X και άρα X P() P X 0 0 Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας diag(,,) με P P Έχουμε PP και επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε (όπως στο c) P P Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον diag (,,,,) Επειδή όμοιοι πίανακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, παίρνουμε ότι το είναι ιδιοτιμή του Έχουμε PP P P P()( P,,) Pdiag P

31 Ασκήσεις 0 Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι,, Συνεπώς έχουμε για κάποιο i, δηλαδή x i i x δεν έχει πραγματική ρίζα, άτοπο 4 Λύση: Από την υπόθεση υπάρχει μια βάση,, i,, (Πρόταση ) Άρα i 0 Όμως το τριώνυμο u u του V και,,, i με () u i i u i ()(())()() u u u u u u, για κάθε i i i i i i i i i, i,, Άρα u,, u er( ) και επειδή τα u,, u παράγουν το V έχουμε er( ) V V V, δηλαδή V 5 Απάντηση: Έχουμε ()( x )( x 8) x οπότε οι ιδιοτιμές είναι - (με πολλαπλότητα ) και 8 (με πολλαπλότητα ) Οι ιδιόχωροι του είναι V ( ) { x 0 y x, y },(8) V { x x } 0 και αντίστοιχες βάσεις είναι τα σύνολα { 0, }, { } 0 Η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του είναι ίση με γιατί τα διανύσματα 0,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0 Ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα iv) Ένας P είναι ο P 0 0 σύμφωνα με την απόδειξη της Πρότασης 5 6 aλύση: Έχουμε () x x 7 x a Έστω 7 4( ) a a ) Έστω a Τότε 0 και το () x έχει δυο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 ) Έστω a Τότε 0 και το () x δεν έχει πραγματική ρίζα Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος 7 ) Έστω a Τότε 0 και () x x Για 7 έχουμε: dim()v ισούται με τη 7 0 διάσταση του διανυσματικού χώρου των λύσεων του x I, που είναι (πράξεις) y 0 Άρα ο Α δεν είναι διαγωνίσμος σύμφωνα με το Θεώρημα b Απάντηση: Με πράξεις βρίσκουμε V (),(6) V Άρα, αν P, έχουμε 0 P P 0 6 και αν Q, έχουμε 6 0 Q Q 0

32 Ασκήσεις 7 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό της προηγούμενης άσκησης Απάντηση για το b: a d 8 a Υπόδειξη: Αν P P είναι διαγώνιος, δείξτε ότι B, όπου P P 9 b Απάντηση: Από το a έπεται ότι ο είναι μοναδικός και () 0 ά Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Επειδή είναι τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου ισούται με, ο έχει μοναδική ιδιοτιμή το (με πολλαπλότητα ν) Ξέρουμε ότι dim()() V ra I Επειδή ο πίνακας I είναι σε κλιμακωτή μορφή, το ra του ισούται με το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του Άρα ra() I και dim()( V ) Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος (βλ πχ Θεώρημα 0 ή Πρόταση ) aλύση: Αν είναι ο πίνακας της ως προς τη συνήθη βάση του, τότε Έχουμε 0 a a ()()( x )( x ) x x και οι ιδιοτιμές της είναι,, Ξέρουμε ότι dim()() V m, dim()() V m σύμφωνα με το Θεώρημα Από το Θεώρημα 0 συμπεραίνουμε ότι διαγωνίσιμη dim() V dim() V dim() V Άρα dim() V ( ra ) ( I) ra I Επειδή 0 a I 0 0 0, 0 a 0 βλέπουμε ότι ra( ) I a 0 b Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό του a Εδώ έχουμε ()( )( x ) Απάντηση: Είναι διαγωνίσιμη για κάθε a Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ο είναι διαγωνίσιμος, τότε I

33 Ασκήσεις Λύση: Είδαμε στην άσκηση από Ασκήσεις, ότι ()( x )( ) x Χρησιμοποιώντας παραγώγους παρατηρούμε ότι Άρα το ((),())(( x ) x,( )( )) x x πολυώνυμο ()( x )( ) x έχει διακεκριμένες ρίζες στο σύμφωνα με την Πρόταση 0 και συνεπώς ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 4 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της άσκησης 0 Εδώ έχουμε διαγωνίσιμος dim() V Απάντηση: a 0 5 Απάντηση: a 0 6 Λύση: Έστω { v,, v } μια βάση του V Από την υπόθεση υπάρχουν,, τέτοια ώστε v v, i,, Άρα 7 () i i i ( v )() v () v v v v Από την άλλη μεριά, η υπόθεση δίνει ότι για κάποιο ( v )( v ) v v v v Άρα v v v v v Επειδή τα,, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε Δηλαδή () v i v i για κάθε i Επειδή τα v,, v παράγουν το V και η είναι γραμμική, παίρνουμε () v v για κάθε v V Πράγματι, αν v V, τότε υπάρχουν a i τέτοια ώστε v av av Επειδή η είναι γραμμική έχουμε ()() v a() v a( v ) a v a v a v a v v 8 a Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι ο πίνακας ( :,) είναι διαγώνιος b Απάντηση: Όχι αναγκαστικά Ένα αντιπαράδειγμα προκύπτει όταν 0 και Πράγματι, αν ο ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα γιατί κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 Αλλά τότε θα ήταν ίσος με το μηδενικό πίνακα B v,, v του V και υπάρχουν,, τέτοια ώστε () vi i, vi i,, Θέτουμε 9 Λύση: Από την Πρόταση υπάρχει βάση j j και B v j B j 0 B v B 0 Τότε έχουμε την ξένη ένωση B B B Άρα B B και V B B m m Έστω m ένας θετικός ακέραιος Τότε για κάθε i,, έχουμε () v v Επομένως ισχύει B m Ker και B Im m (γιατί;) Άρα m m B B dim er dim Im i i i m m Όμως ξέρουμε ότι dim er dim Im και συνεπώς η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα m Άρα B dim er και B dim Im m Αυτό σημαίνει ότι: το B είναι βάση του er m για κάθε m και το B είναι βάση της Im m για κάθε m (γιατί;) m m a Επειδή τα B, B δεν εξαρτώνται από το m έχουμε Ker Ker και Im Im b Από V B B έχουμε V er Im 0 Λύση: Από την υπόθεση έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 a Σωστό Αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος, τότε P P 0 0

34 Ασκήσεις b Σωστό Ξέρουμε ότι το Tr είναι το άθροισμα των ιδιοτιμών του (Πόρισμα 7) c Λάθος Το δεν είναι ιδιοτιμή του d Σωστό Αν είναι τέτοιο ώστε det() 0 I I, τότε det(()) 0 ιδιοτιμή του, και άρα από τημ υπόθεση I Υπόδειξη: Αν τα X,, X είναι μια βάση του και κάθε X i είναι ιδιοδιάνυσμα του, δείξτε ότι τα X, X είναι ιδιοδιανύσματα του B Υπόδειξη: Αν B Q Q και P P, τότε B () P Q P Q Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ()() x B x, τότε οι, B είναι όμοιοι με τον ίδιο διαγώνιο πίνακα 4 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 ) Έχουμε ()( x )( x ) x 0, οπότε οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι και (διπλή ρίζα) Για, οι λύσεις του συστήματος που είναι οι x 0 () 0 X 0 6 0x, 0 6 x 0 x x x, x, x αποτελούν τον ιδιόχωρο V ( ) της Επιλέγουμε το ιδιοδιάνυσμα p Για, οι λύσεις του συστήματος 0 x 0 () 0 X x 0 x 0 Είναι οι x 0 x x 0 x, x, x x 0 0 Επομένως για ο ιδιόχωρος V () παράγεται από τα p 0, p 0 0 p, p, p είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επειδή det 0 0, άρα αποτελούν βάση του 0 Άρα ο Α διαγωνοποιείται Θέτοντας 0 P 0 0 βρίσκουμε με πράξεις ότι Τα ιδιοδιανύσματα

35 Ασκήσεις 4 0 P 0 Ξέρουμε ότι ισχύει 0 0 P P Από την τελευταία σχέση έχουμε : 0( ) P P () πράξεις ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) 5 Απάντηση: Οι ιδιοτιμές είναι,, Βάσεις των ιδιόχωρων V ( ),(),() V V είναι αντίστοιχα τα διανύσματα 0, 0, 0 0 Έχουμε P P 0 0, όπου P a Άρα 0 0 P 0 0 P 0 0 Με πράξεις βρίσκουμε 0( ) 0 0 ( ) b Ως B μπορούμε να θέσουμε 0 0 B P 0 0( P πράξεις) c Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι κάθε εξίσωση της μορφής x a, όπου a {0}, έχει τρεις διακεκριμένες λύσεις στο, βλέπουμε ότι καθεμία από τις ιδιοτιμές,, έχει τρεις διακεκριμένες κυβικές ρίζες στο Επιπλέον αυτές οι 9 κυβικές ρίζες είναι ανά δύο διάφορες Άρα υπάρχουν τουλάχιστον 7 ανά δύο διάφοροι πίνακες B τέτοιοι ώστε B 6 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 )

36 Ασκήσεις 5 Έχουμε το σύστημα a a a a a a a a 0 a Θέτουμε 0 και παίρνουμε a a () a a Διαδοχικά έχουμε a a a a a a a4 a Από την τελευταία σχέση αρκεί να υπολογίσουμε τον Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι ()( x )( x ) x, οι ιδιοτιμές του Α είναι και, οπότε ο πίνακας διαγωνοποιείται Στην ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα p και στην αντιστοιχεί το p Θέτουμε P οπότε P 4 Άρα ( ) 0( ) ( ) P P, 0 ( ) 4 ( ) οπότε από την () προκύπτει ( ) ( ) a a a 4 Με αντικατάσταση των όρων a και a 4, έχουμε ( ) 5 a, 4 7 Υπόδειξη: Έχουμε, όπου 0, και άρα Υπολογίστε τον όπως στην προηγούμενη άσκηση διαγωνοποιώντας τον 8 b Λύση: Από B B I παίρνουμε B B I 0 και άρα κάθε ιδιοτιμή του B στο ικανοποιεί 0 Άρα ο B δεν έχει πραγματική ιδιοτιμή Όμως το πολυώνυμο B () x έχει πραγματικούς συντελεστές και περιττό βαθμό, οπότε έχει πραγματική ρίζα (Πρόταση 8), άτοπο 9 Απάντηση: Το άθροισμα δεν είναι ευθύ καθώς έχουμε ότι X Y {() a a 0, i } j {0} 0 Λύση Αν, τότε t t U V Άρα t U V Επίσης U V t t 0 0 Άρα το άθροισμα είναι ευθύ Αποδεικνύεται (άσκηση) ότι μία βάση του U είναι η { E i,, } { E E i j } και μια βάση του V είναι η ii ij ji { E E i j }, ij ji ij 0 ij

37 Ασκήσεις 6 όπου Eij Λύση Επειδή είναι ο πίνακας που έχει παντού 0 εκτός από τη θέση ( i,) j v( v )( v) v dim U v, v( v ) dim V όπου έχει Άρα βλέπουμε ότι οι πιθανές ιδιοτιμές είναι, Για τους ιδιόχωρους έχουμε V () U και V ( ) V (βλ άσκηση, από Ασκήσεις ) Άρα V ()( V) (από την προηγούμενη άσκηση) και συνεπώς η είναι διαγωνίσιμη Για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχουμε ()( x )( )( x ) x, Επειδή η είναι διαγωνίσιμη το Θεώρημα 0 ii) και η προηγούμενη άσκηση δίνουν ( ) dim() V, ( ) dim( V ), ( )( ) ()( x )( )( x ) x Σημείωση: Μια άλλη λύση μπορεί να δοθεί με βάση την παρατήρηση ότι a Λύση Αν v V (), τότε () v (())() g v v και άρα g(())() v g v, οπότε από την υπόθεση έχουμε g v, δηλαδή g()() v V Συνεπώς ο υπόχωρος V () είναι g -αναλλοίωτος Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε w W και u U έχουμε g g ()() w 0 g g u Λύση: Επειδή η είναι διαγωνίσιμη, υπάρχει βάση{ v,, v } του V και υπάρχουν,, τέτοια ώστε () vi i, vi i,, (Πρόταση ) Από την υπόθεση υπάρχουν,, με g() v, v i,, Άρα i i i g g ()(())(())()() v g v g v v g v i i i i i i i ()() v g v v 0, v i i i i i l i i i i δηλαδή g g () v i 0 για κάθε i,, Επειδή η απεικόνιση g g είναι γραμμική και το σύνολο { v,, v } παράγει το V, έπεται ότι ()() g0 g v για κάθε v V Άρα g g 0 4 Υπόδειξη: Σύμφωνα με την Πρόταση υπάρχει βάση Bi του Wi αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της i, i, Δείξτε ότι το B B είναι βάση του V αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της Άρα η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση 5 Υπόδειξη: a Δείξτε ότι κάθε δυο στήλες του είναι γραμμικά εξαρτημένες Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι a b b a και χρησιμοποιήστε το ότι ra() BCmi{ rab, rac } b Για τις ιδιοτιμές του Α, βλέπε άσκηση 8 από Ασκήσεις Χρησιμοποιήστε τη σχέση dim(0) V ra και το Θεώρημα