Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1

2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης και να διακρίνουν τις διαφορές από ένα αιτιοκρατικό πείραμα, ώστε να αντιληφθούν την ανάγκη εισαγωγής της έννοιας της πιθανότητας. Σημαντικό στοιχείο στη λύση των προβλημάτων πιθανοτήτων αποτελεί η "μετάφραση" μιας έκφρασης που είναι διατυπωμένη σε κοινή γλώσσα, σε έκφραση που είναι διατυπωμένη στη γλώσσα των συνόλων και αντίστροφα. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Πιθανότητες Όταν θα έχετε μελετήσει την ενότητα αυτή, θα μπορείτε να: Τα βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων. Τον τρόπο εύρεσης του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης. Τον κλασικό και τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας. Τους κανόνες λογισμού πιθανοτήτων. Λέξεις κλειδιά Πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος, σύνολα., δειγματικός χώρος, ενδεχόμενο 2

3 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Ο κλάδος των Μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο την έρευνα των νόμων που διέπουν τα τυχαία-στοχαστικά φαινόμενα και πειράματα ονομάζεται Θεωρία Πιθανοτήτων. Η σπουδαιότερη εφαρμογή της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η ανάπτυξη Στατιστικών Μεθόδων. Οι στατιστικές μέθοδοι μας επιτρέπουν να βγάλουμε συμπεράσματα για όσα δε γνωρίζουμε ενώ η Θεωρία Πιθανοτήτων μας επιτρέπει να υπολογίσουμε πόσο βέβαιοι πρέπει να είμαστε για τα συμπεράσματά μας. Βασικό χαρακτηριστικό των πειραμάτων είναι ότι οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιούνται δεν προκαθορίζουν το αποτέλεσμα αλλά μόνο το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων. Τα διάφορα προβλήματα (επιστημονικά, κοινωνικά, πολιτικά, κ.λπ.) συνδέονται με φαινόμενα ή με πειράματα τα οποία μπορούν να ταξινομηθούν σε δύο γενικές κατηγορίες: Στα αιτιοκρατικά ή προσδιοριστικά και στα τυχαία ή στοχαστικά (Πίνακας 1). 3

Πίνακας 1 4 Φαινόμενα - Αιτιοκρατικά - Προσδιοριστικά Ένα φαινόμενο/πείραμα θεωρείται αιτιοκρατικό-προσδιοριστικό όταν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες εκτελείται ή εμφανίζεται καθορίζουν σύμφωνα με την αρχή της αιτιότητας το αποτέλεσμα. Π.χ αν γνωρίζουμε το κεφάλαιο, το χρόνο και το επιτόκιο τότε γνωρίζουμε με βεβαιότητα και τον τόκο που πρέπει να εισπράξουμε στο συγκεκριμένο χρόνο ή αν γνωρίζουμε την κατανάλωση νερού και το κόστος ανά μονάδα κατανάλωσης τότε γνωρίζουμε με βεβαιότητα και το ποσό που πρέπει να πληρώσουμε. Ένα αιτιοκρατικό-προσδιοριστικό φαινόμενο είναι δυνατόν να περιγραφεί με ένα μαθηματικό μοντέλο δηλαδή με ένα μαθηματικό ανάλογο/μίμηση/ομοίωση του πραγματικού. Πειράματα Τυχαία-Στοχαστικά Ένα φαινόμενο/πείραμα θεωρείται τυχαίο-στοχαστικό όταν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες εμφανίζεται ή εκτελείται δεν καθορίζουν το αποτέλεσμα σύμφωνα με την αρχή της αιτιότητας. Το αποτέλεσμα αποδίδεται στην «τύχη». Η έννοια του «τυχαίου» συνδέεται με το πολυσύνθετο και το περιορισμένο της γνώσης των αιτίων που προκαλούν το αποτέλεσμα. Δηλαδή, υπάρχει «έλλειμμα» αιτιότητας. Μια ασφαλιστική εταιρεία, δε γνωρίζει με βεβαιότητα ούτε τον αριθμό ούτε το ύψος των αποζημιώσεων που θα πληρώσει τον επόμενο μήνα. Επίσης, δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα τον αριθμό των γεννήσεων που θα συμβούν την επόμενη εβδομάδα σε μια γεωγραφική περιοχή ή το αποτέλεσμα της θεραπείας ασθενών ηλικίας 30-40 ετών με ένα συγκεκριμένο φάρμακο ή την απόδοση μιας καλλιέργειας ή το ύψος των πωλήσεων μιας αυτοκινητοβιομηχανίας το επόμενο εξάμηνο. Ένα τυχαίο-στοχαστικό φαινόμενο δε μπορεί να περιγραφεί πλήρως με ένα μαθηματικό τύπο αφού η ζήτηση ενός προϊόντος οφείλεται, εκτός από την τιμή του, και σε άλλους παράγοντες. 4

5 2.1.1 Ορισμοί Πληθυσμός (Population) : Στη Στατιστική με τον όρο πληθυσμός εννοούμε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει ένα κοινό χαρακτηριστικό μιας ομάδας υποκειμένων (ατόμων, αντικειμένων, τόπων και γενικότερα οποιονδήποτε οντοτήτων) το οποίο μεταβάλλεται από υποκείμενο σε υποκείμενο (ή και στο ίδιο υποκείμενο π.χ. ως προς το χρόνο) και ενδιαφερόμαστε να το μελετήσουμε. Κάθε υποκείμενο επί του οποίου μετράμε/παρατηρούμε το κοινό χαρακτηριστικό λέγεται δειγματοληπτική/πειραματική μονάδα και το κοινό χαρακτηριστικό τους, μεταβλητή. Δείγμα (Sample) είναι ένα μέρος του πληθυσμού. Ένα πείραμα διαφέρει από την παρατήρηση ενός φαινομένου κατά το ότι ο ερευνητής που εκτελεί το πείραμα παρεμβαίνει ενεργά, επιβάλλοντας μια συγκεκριμένη μεταχείριση στα άτομα ή στα αντικείμενα επί των οποίων εξελίσσεται το πείραμα. Αντιθέτως, κατά την παρατήρηση ενός φαινομένου, μετράμε ή παρατηρούμε την κατάσταση των ατόμων ή των αντικειμένων επί των οποίων συμβαίνει το φαινόμενο χωρίς να προσπαθούμε να αλλάξουμε αυτή την κατάσταση με κάποια ειδική μεταχείριση. 2.2 Βασικές έννοιες της Θεωρίας των Πιθανοτήτων Τρείς είναι οι βασικές έννοιες της Θεωρίας των Πιθανοτήτων: η έννοια του πειράματος τύχης, η έννοια του απλού γεγονότος και η έννοια του δειγματικού χώρου του πειράματος τύχης. Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του. Αντίθετα τα πειράματα εκείνα κατά τα οποία η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνται καθορίζουν και το τελικό αποτέλεσμα λέγονται αιτιοκρατικά. Π.χ η ρίψη ενός ζαριού, ενός νομίσματος, οι κληρώσεις του ΛΟΤΤΟ κ.α. Τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης ονομάζονται απλά συμβάντα ω 1, ω 2 κ.τ.λ. Δειγματικός χώρος Ω ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων, που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης. Αν ω 1, 5

6 ω 2, ω 3,,ω ν είναι τα δυνατά αποτελέσματα (εξαγόμενα) ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,,ω ν }. Ο δειγματικός χώρος Ω ενός στοχαστικού πειράματος είναι είτε πεπερασμένος, είτε αριθμησίμως άπειρος, είτε μη αριθμήσιμος. Στις δύο πρώτες περιπτώσεις ο δειγματικός χώρος Ω καλείται γενικά διακριτός και στην τρίτη περίπτωση, μη αριθμήσιμος ή υπεραριθμήσιμος. Π.χ ο χρόνος που θα χρειαστεί ένας αθλητής να τρέξει μια απόσταση, το ύψος της βροχόπτωσης σε μία περιοχή σε δεδομένη χρονική περίοδο κ.ά.. Π.χ Ρίψη νομίσματος : Ω= Θα λέμε ότι το νόμισμα θα παρουσιάσει Κ ή Γ και αυτό το λέμε βεβαιότητα που ορίζουμε ίση με 1. Είναι λογικό να υποθέτουμε ότι το νόμισμα έχει τόση πιθανότητα να πέσει στη Γη με τη μια όψη όση και με την άλλη. Έτσι η θεωρητική πιθανότητα να έρθει Κ είναι 0.5 και να έρθει Γ είναι πάλι 0.5. Όμως 0.5 + 0.5 = 1 δηλαδή βεβαιότητα. Στην πράξη, εκτός αν ο αριθμός των ρίψεων είναι μεγάλος, η πρακτική κατανομή της πιθανότητας που προκύπτει είναι δυνατό να διαφέρει ουσιαστικά από το θεωρητικό αποτέλεσμα. Δείτε τώρα και εκτελέστε την προσομοίωση : «Η ρίψη ενός αμερόληπτου νομίσματος» http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_305_g_4_t_5.html?from=category_g_4_t_5.ht ml Όσο αυξάνετε τις ρίψεις τόσο πλησιάζετε στο θεωρητικό αποτέλεσμα. Ρίψη ζαριού: Ω= Η (ταυτόχρονη) ρίψη δύο ζαριών (6,1), (6,2),..., (6,6)............. (2,1), (2,2),..., (2,6), (1,1), (1,2),..., (1,6) Ω = {(1,1),(1,2),...,(6,6)} Δείτε τώρα και εκτελέστε την προσομοίωση : «Το κουτί με τους αριθμούς» http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_146_g_4_t_5.html?open=instructions&from=s earch.html?qt=propability 6

7 Όσο αυξάνετε τις ρίψεις τόσο πλησιάζετε στο θεωρητικό αποτέλεσμα. Η επιλογή ν αντικειμένων από μία παραγωγική διαδικασία και ο προσδιορισμός του αριθμού των ελαττωματικών αντικειμένων Δ.Α.: 0, 1, 2,..., v. Ω = {0,1,2,...,ν} Ο αριθμός των εκπεμπομένων σωματιδίων από μία τυχαία ραδιενεργό πηγή σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα Δ.Α.: 0, 1, 2,.... Ω = {0,1,2,...} Ο χρόνος λειτουργίας ενός λαμπτήρα φωτισμού που επιλέγεται τυχαία από ένα σύνολο λαμπτήρων. Ω = {t 0} = [0,+ ). Ενδεχόμενο ή γεγονός ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα του πειράματος τύχης. Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης τον ίδιο το δειγματικό χώρο Ω και το κενό σύνολο Ø. Επομένως ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Όταν έχει ένα μόνο στοιχείο του συνόλου Ω λέγεται απλό ενδεχόμενο, ενώ όταν έχει περισσότερα λέγεται σύνθετο. Το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο, ενώ το κενό σύνολο Ø λέγεται αδύνατο. Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου π.χ Α συμβολίζεται με Ν(Α). Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Για αυτό το λόγο τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν, = A B Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δεν μπορούν να συμβούν στην ίδια εκτέλεση ενός πειράματος. Για ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, p(α Β) = p(α) + p(β). Ενδεχόμενο Α = συμπλήρωμα του Α = Ω-Α p(β) = 1 p(α) Τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα συνήθως αποδεικνύονται με την «εις άτοπο απαγωγή». 7

8 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Α, Β ονομάζονται ανεξάρτητα εάν και μόνο αν p(α Β) = p(α) P(Β). Διαισθητικά, δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν το να συμβεί το ένα δεν κάνει περισσότερο ή λιγότερο πιθανό το να συμβεί το άλλο. Έστω E, F ενδεχόμενα. Τότε, η δεσμευμένη πιθανότητα του E δεδομένου του F, συμβολίζεται με p(e F), και ορίζεται ως p(e F) : p(e F)/p(F). Αυτή είναι η πιθανότητα να συμβεί το E, αν μας δοθεί η πληροφορία ότι το ενδεχόμενο F θα συμβεί (είναι γεγονός). Παράδειγμα: Ρίψη ενός νομίσματος και ρίψη ενός ζαριού. p(κ Γ) = p(k) p(γ) = 1/2 1/6 =1/12. Προσοχή!! Δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα; Αν p(α) > 0 και p(b) > 0 και P(Α Β) = p(α) p(b), τότε P(Α Β) 0, άρα Α Β Ø. Άρα ενώ τα Α και Β είναι ανεξάρτητα, δεν είναι ασυμβίβαστα. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα; Αν p(α)>0 και p(b)>0 και Α Β = Ø, τότε P(Α Β) = 0 p(α) p(b). Άρα ενώ τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, δεν είναι ανεξάρτητα. 2.3 Θεμελιώδεις πράξεις μεταξύ ενδεχομένων Ένωση Τομή Συμπλήρωμα Διαφορά 8

9 Το ενδεχόμενο Α Β ( Ένωση): Όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β ή διαφορετικά όταν πραγματοποιείται το Α ή το Β). Το ενδεχόμενο Α Β (Τομή): Όταν πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β ή διαφορετικά όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β). Το ενδεχόμενο Α (Συμπληρωματικό ή αντίθετο) :Όταν δεν πραγματοποιείται το Α. 9

10 Το ενδεχόμενο Α Β (διαφορά): Όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Ισχύει Α Β = Α Β Και (Α Β) (Α Β) = Α Και (Α Β) (Α Β) = Ø Το ενδεχόμενο (Α Β) (Β Α): Όταν πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α, Β ή διαφορετικά όταν πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β. Ισχύει (Α Β) (Β Α) = (Α Β ) (Β Α ) Το ενδεχόμενο (Α Β) : δεν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β. 10

11 Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα (Α Β = Ø ) : δεν έχουν κοινά στοιχεία. Α Β (υποσύνολο): Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β. 2.4 Ορισμός της Πιθανότητας Κατά καιρούς έχουν δοθεί διάφοροι ορισμοί για το τι είναι πιθανότητα από τους οποίους συνήθως αναφέρονται τρείς: 1) Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας 2) Η πιθανότητα σαν όριο της σχετικής συχνότητας 3) Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας 1) Κλασικός ορισμός της πιθανότητας : Σε πείραμα τύχης με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα ορίζουμε σαν πιθανότητα 11

12 του ενδεχομένου Α και συμβολίζουμε με Ρ(Α) το πηλίκο Ρ(Α) = ευνοϊκών περιπτώσεων πλήθος δυνατών περιπτώσεων = Meionekt mata 2) Σχετική συχνότητα ενδεχομένου Α : Χρησιμοποιείται μόνο για ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα Είναι το πηλίκο όπου του ενδεχόμενου Α σε ν το πλήθος των εκτελέσεων του πειράματος. Η σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου είναι ίση με την πιθανότητα του. Ιδιότητες της f όπου λ το πλήθος απλών ενδεχομένων : i) 0 f i 1, i = 1, 2, 3,, λ ii) f 1 + f 2 + f 3 + + f λ = 1 Ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα : Είναι τα στοιχειώδη ενδεχόμενα των οποίων οι σχετικές συχνότητες τείνουν στον ίδιο αριθμό, όσο το πλήθος των δοκιμών αυξάνει απεριόριστα. Για αντίθετα ενδεχόμενα ισχύει : Ρ( Α ) = 1 Ρ(Α) Αν Α Β τότε ισχύει : Ρ(Α) Ρ(Β) Ισχύει ανεξαρτήτως του αν έχουμε ισοπίθανα ή μη ισοπίθανα ενδεχόμενα. 3) Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας Έστω Ω = {ω 1, ω 2,, ω ν } ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Για μη ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα, Πιθανότητα του στοιχειώδους χρησιμοποιούμε ενδεχόμενου τον ω i ονομάζουμε αξιωματικό ορισμό έναν αριθμό p(ω i ) της πιθανότητας. 12

13 που να έχει τις ιδιότητες 0 p(ω i ) 1 p(ω 1 ) + p(ω 2 ) +... + p(ω ν ) = 1 Αν Α = {α 1,α 2,,ακ} Ø τότε Ρ(Α) = p(α 1 ) + p(α 2 ) + + p(α κ ) και Ρ(Ø) = 0 Ισχύει ανεξαρτήτως του αν τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ή δεν είναι ισοπίθανα Απλός προσθετικός νόμος : Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου ισχύει : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Για αντίθετα ενδεχόμενα ισχύει : Ρ( Α ) = 1 Ρ(Α) Ισχύει ανεξαρτήτως του αν τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ή Προσθετικός νόμος: δεν είναι ισοπίθανα Αν Α, Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου τότε Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) ενδεχόμενα είναι ή δεν είναι Αν Α Β τότε ισχύει : Ρ(Α) Ρ(Β) ισοπίθανα Τρεις μορφές του προσθετικού νόμου Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ισχύει ανεξαρτήτως του αν τα Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ή δεν είναι ισοπίθανα Από διάγραμμα Venn ισχύουν Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) Α Β = Α Β άρα και ίσες πιθανότητες Ρ( (Α Β) (Β Α)) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) + Ρ(Β) Ρ(Β Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) 2 Ρ(Α Β) (Α Β) = Α Β άρα και ίσες πιθανότητες (Α Β) = Α Β άρα και ίσες πιθανότητες 13

14 2.5 Μεθοδολογία ασκήσεων Για να βρούμε το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης, το οποίο ολοκληρώνεται σε περισσότερες από μία φάσεις, φτιάχνουμε δεντροδιάγραμμα. Όταν το πείραμα ολοκληρώνεται σε δύο φάσεις μπορούμε να φτιάξουμε πίνακα διπλής εισόδου. Όταν θέλουμε μία πρόταση να την αποδώσουμε στη γλώσσα των ενδεχομένων, φτιάχνουμε το διάγραμμα του Venn. Χρήσιμες ιδιότητες α) Α (Α Β) και Β (Α Β) β) (Α Β) Α και (Α Β) Β γ) (Α Β) (Α Β) δ) (Α Β) Α και (Β Α) Β ε) (Α Β) (Α Β) και (Β Α) (Α Β) στ) Α Β τότε (Α Β) = Α και (Α Β) = Β (διάγραμμα Venn) ζ) Α Β, Β Α ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α Β, Α Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα και η ένωσή τους είναι το Α η) (Α Β) = Α Β και (Α Β) = Α Β Παραδείγματα λυμένων ασκήσεων Γνωρίζοντας ότι οι παραπάνω έννοιες είναι αρκετές και ίσως τις συγχέετε, θα προσπαθήσουμε να τις συνδέσουμε με συγκεκριμένα παραδείγματα, ώστε να γίνουν εύκολα κατανοητές. Έπειτα θα χρειαστεί να λύσετε τις ασκήσεις που βρίσκονται στο LINK : «Ασκήσεις στις πιθανότητες», με σκοπό να εμπεδώσετε την ύλη. 1. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος στα παρακάτω πειράματα τύχης i) Ρίχνουμε ένα νόμισμα και βλέπουμε την πάνω όψη του ii) Ρίχνουμε ένα ζάρι και βλέπουμε την πάνω όψη του Λύση i) Ω = {κ, γ } κ = κεφάλι, γ = γράμματα ii) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 14

15 2. Ρίχνουμε ένα ζάρι και στην συνέχεια ένα νόμισμα. i) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος ii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α : το ζάρι έδειξε 5 iii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Β : το νόμισμα έδειξε κορώνα Λύση 1 ος τρόπος λύσης i) Δεντροδιάγραμμα Ω = {1Κ,1Γ, 2Κ,2Γ, 3Κ,3Γ, 4Κ, 4Γ, 5Κ, 5Γ, 6Κ,6Γ } 2 ος τρόπος λύσης Πίνακας διπλής εισόδου Κ Γ 1 1Κ 1Γ 2 2Κ 2Γ 3 3Κ 3Γ 4 4Κ 4Γ 5 5Κ 5Γ 6 6Κ 6Γ 15

16 ii) Α = {5Κ, 5Γ} iii) Β= {1Κ, 2Κ, 3Κ, 4Κ, 5Κ, 6Κ} 3. Εξετάζουμε τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά ως προς το φύλλο και την σειρά γέννησης τους. Να βρεθούν i) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος και τα ενδεχόμενα ii) Ενδεχόμενο Α : Το πρώτο παιδί κορίτσι iii) Ενδεχόμενο Β : Το μεσαίο παιδί αγόρι iν) Ενδεχόμενο Γ : Τουλάχιστον ένα κορίτσι ν) Ενδεχόμενο, : Ακριβώς δύο αγόρια νi) Ενδεχόμενο Ε : Το πολύ δύο κορίτσια Να βρείτε επίσης τα ενδεχόμενα Α, Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β, Β Α και (Α Β ) (Β Α ) Λύση Δεντροδιάγραμμα i) Ω = { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ } ii) Α ={ ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ} 16

17 iii) Β ={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ } iν) Γ={ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ } ν) Δ = { ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ } νi) Ε = {ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ } Επιπλέον έχουμε ότι: A = Αγόρι, Κ = κορίτσι Α ={ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ} Β ={ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ } Α Β={ ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ } Α Β = { ΚΑΑ, ΚΑΚ } Α Β = {ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ } Α Β ={ ΚΚΚ, ΚΚΑ } Β Α ={ ΑΑΑ, ΑΑΚ } και (Α Β ) (Β Α )={ΚΚΚ, ΚΚΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ } 4. Με την βοήθεια ενός διαγράμματος Venn να απαντήσετε αν είναι σωστή ή λάθος η ισότητα (Α Β ) (Α Β) = Α Απάντηση Είναι σωστή γιατί 17

18 5. Με την βοήθεια ενός διαγράμματος Venn να αν είναι σωστές ή λάθος οι ισότητες : Β ( Α Β ) = Ø και Β ( Α Β ) = (Α Β) Λύση Είναι σωστές γιατί 18

19 6. Ρίχνουμε διαδοχικά το ένα κατόπιν του άλλου δύο ζάρια. i) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α : Η πρώτη ρίψη να είναι μικρότερη της δεύτερης Β : Το άθροισμα των ενδείξεων να είναι μεγαλύτερο του 10 Γ : Ίδια ένδειξη και στις δύο ρίψεις iii) Επίσης να βρείτε τα ενδεχόμενα Α Β, Β Γ, (Α Β) Γ, (Β Γ) Α Λύση 2 ο 1 ο 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (2,1) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (3,1) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (4,1) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (5,1) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (6,1) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) i) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος φαίνεται στον παρακάτω πίνακα διπλής εισόδου: ii) Α = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4),(2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5),(4,6),(5,6)} Β = { (5,6), (6,5),(6,6)} Γ= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5), (6,6)} iii) Α Β = {(5,6)}, Β Γ = {(6,6)} (Α Β) Γ = {(5,6), (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} (Β Γ) Α = {(5,6)} 19

20 7. Μία κάλπη περιέχει 4 μπάλες, δύο μαύρες Μ1, Μ2 και δύο κόκκινες Κ1, Κ2. Εξάγουμε από την κάλπη 2 μπάλες. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος όταν η εξαγωγή γίνεται i) Ταυτόχρονα ii) Εξάγουμε τις μπάλες την μία μετά την άλλη χωρίς επανατοποθέτηση iii) Εξάγουμε τις μπάλες την μία μετά την άλλη με επανατοποθέτηση. Λύση i) Επειδή η εξαγωγή γίνεται ταυτόχρονα, δεν μπορούμε να μιλάμε για προτεραιότητα στην εξαγωγή, επομένως, ο δειγματικός χώρος θα αποτελείται από όλα τα διμελή υποσύνολα που μπορούμε να σχηματίσουμε με τις παραπάνω μπάλες. Άρα # ={ (Μ1,Μ2), (Μ1,Κ1),(Μ1,Κ2), (Μ2,Κ1),(Μ2,Κ2),(Κ1,Κ2) } ii) Όταν η εξαγωγή γίνεται διαδοχικά χωρίς επανατοποθέτηση, ο δειγματικός χώρος θα αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη με διαφορετικά πρώτα μέλη.,δηλαδή { (Μ1,Μ2), (Μ1,Κ1), (Μ1,Κ2), (Μ2,Μ1), (Μ2,Κ1), (Μ2,Κ2), (Κ1,Μ1), (Κ1,Κ2), (Κ2,Μ1), (Κ2,Μ2), (Κ2,Κ1) } iii) Όταν η εξαγωγή γίνεται με την σειρά και με επανατοποθέτηση τότε ο δειγματικός χώρος θα είναι ο του δεύτερου ερωτήματος μαζί με τα ζεύγη(μ1,μ1),(μ2,μ2), (Κ1,Κ1),(Κ2,Κ2), αφού τώρα μπορεί και στην πρώτη και στην δεύτερη εξαγωγή να βγάλουμε την ίδια μπάλα. 8) Με την βοήθεια του παρακάτω διαγράμματος Venn χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) 20

21 Α Β, Β Α, Γ Β,,Δ Γ, (Γ Δ,) Α, (Γ Δ) Β, (Γ Δ,) Α (Β Γ) = Β, (Β Γ) Δ = Α, (Α Β) = Β, (Α Β) =Β, Β Δ =Δ, (Γ Δ) Α = Α, (Γ Α) Α = Α, (Γ Β) Α = Γ Λύση Για κάθε οριζόντια σειρά έχουμε Λ, Σ, Σ, Λ, Σ, Σ, Σ, Σ, Λ, Λ, Σ, Σ, Σ, Λ, Σ 8) Έστω Ω το σύνολο των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων, και ήταν Ε 1,Ε 2,Ε 3 Ε 4 τα σύνολα των πρωτοετών, δευτεροετών, τριτοετών και τεταρτοετών Ευελπίδων, αντιστοίχως. Επί πλέον, έστω Θ το σύνολο των σπουδαστριών και Α το σύνολο των αλλοδαπών σπουδαστών. Εκφράστε με λόγια τι ακριβώς αναπαριστούν τα ακόλουθα σύνολα : (Ε 1 Ε 2 ) Θ ΘΑ Ε 1 Θ Α Ε 3 ΘΑ και ( Ε 1 Ε 2 ) ΑΘ Απάντηση. 21

22 Έχουμε (Ε 1 Ε 2 )'Θ = το σύνολο όλων των Γ ετών και Δ ετών σπουδαστριών, ΘΑ' =το σύνολο των μη αλλοδαπών σπουδαστριών όλων των ετών, Ε 1 Θ Α = το σύνολο των Α ετών αρρένων αλλοδαπών σπουδαστών, Ε 3 ΘΑ' = το σύνολο των Γ ετών μη αλλοδαπών σπουδαστριών και (Ε 1 Ε 2 )ΑΘ = το σύνολο των Α ετών και Β ετών αλλοδαπών σπουδαστριών. 9. Υποθέτουμε ότι οι ομάδες αίματος A, B,O, AB κατανέμονται στον πληθυσμό σε ποσοστά 40% 14%, 42% και 4%, αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι ένας ασθενής με ομάδα αίματος Α μπορεί να λάβει αίμα μόνο από τις ομάδες Ο και Α, και ένα άτομο της ομάδας Β μπορεί να δώσει αίμα μόνο σε ασθενείς της ομάδας Β και ΑΒ. Αν υποθέσουμε ότι ένας εθελοντής αιμοδότης έρχεται να δώσει αίμα για ασθενή της ομάδας Α, τότε η πιθανότητα όπως το αίμα είναι συμβατό πόση είναι ; Απάντηση P({A,O}) = P({A}) + P({O}) = 0.40 + 0.42 = 0.82 = 82%. Επίσης, αν ένα άτομο της ομάδας Β δώσει αίμα, τότε το αίμα του είναι συμβατό για το 18% του πληθυσμού, αφού P({B, AB}) = P({B}) + P({AB}) = 0.14 + 0.04 = 0.18 = 18%. 10) Ας θεωρήσουμε μία σειρά τριών γεννήσεων σ ένα μαιευτήριο και το ενδεχόμενο Β της γέννησης ενός τουλάχιστο αγοριού. Υποθέτοντας ότι η γέννηση αγοριού είναι εξίσου πιθανή με τη γέννηση κοριτσιού, να υπολογισθεί η πιθανότητα P(B). Απάντηση Παρατηρούμε ότι το συμπληρωματικό του ενδεχομένου Β είναι το ενδεχόμενο B της γέννησης κοριτσιού και στις τρεις περιπτώσεις. Η πιθανότητα P(B ) υπολογίζεται πιο εύκολα από την P(B). Συγκεκριμένα, ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει 8 ισοπίθανα δειγματικά σημεία από τα οποία μόνο ένα ανήκει στο B και έτσι 22

23 P(B ) = και παίρνουμε P(B) = 1- P(B )= 1- = 11. Έστω ότι από μία κληρωτίδα η οποία περιέχει 10 σφαιρίδια αριθμημένα από το 0 μέχρι το 9 κληρώνεται κάθε εβδομάδα ένας αριθμός. Μετά από κάθε κλήρωση το εξαγόμενο σφαιρίδιο επανατοποθετείται στην κληρωτίδα. Ας θεωρήσουμε το στοχαστικό πείραμα 3 (διαδοχικών) κληρώσεων. Να υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου όπως ο μεγαλύτερος αριθμός που θα κληρωθεί είναι το 5. Απάντηση Το ενδεχόμενο, ο μεγαλύτερος αριθμός που θα κληρωθεί να είναι το 5 μπορεί να παρασταθεί ως η διαφορά A B του ενδεχομένου Α αφού ο μεγαλύτερος αριθμός που θα κληρωθεί είναι ένας από τους αριθμούς {0,1,2,3,4,5} και του ενδεχομένου Β αφού ο μεγαλύτερος αριθμός που θα κληρωθεί είναι ένας από τους αριθμούς {0,1,2,3,4}. Παρατηρούμε ότι B A και P(A B) = P(A) P(B). Ο αριθμός των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω των 3 διαδοχικών κληρώσεων είναι ίσος με N(Ω) = 10 3.Έχουμε τον αριθμό των διατάξεων των 10 αριθμών {0,1,2,...,9} ανά 3 με επανάληψη, ενώ ο αριθμός των στοιχείων του ενδεχομένου Α είναι ίσος με Ν(Α) = 63 και ο αριθμός των διατάξεων των 6 αριθμών {0,1,2,3,4,5} ανά 3 με επανάληψη. Ομοίως Ν(Β) = 5 3 και έτσι P(A B) = = 0.091= 9,1% Τώρα προσπαθήστε να λύσετε τα παραδείγματα και μόνοι σας. Αν δεν τα καταφέρατε, μην απογοητεύεστε αφού σίγουρα χρειάζεται χρόνος. Δείτε τα ξανά. Ωστόσο αποφύγετε να προχωρήσετε στην επίλυση των ασκήσεων προτού κατανοήσετε τα παραπάνω! 23

24 24