Σειρά Α. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Σειρά Α Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Α.1. Να σχεδιαστούν τα τμήματα ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ με μήκη αντίστοιχα ίσα με 2, 4, 6 μονάδες μέτρησης, και να τοποθετηθούν έτσι ώστε να σχηματίσουν τραπέζιο με βάσεις ΑΒ, ΕΖ και ύψος ΓΔ. Στη συνέχεια να βρείτε τη μεσοπαράλληλο του τραπεζίου σε διάφορες θέσεις των βάσεων. Α.2. Να κατασκευαστούν γωνίες ίσες με φ 30, θ 55, ω 80 και στη συνέχεια οι γωνίες και. Κατόπιν θεωρήστε ότι η φ μεταβάλλεται και παρατηρήστε την ταυτόχρονη μεταβολή των α και β. Α.3. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με δεδομένα τα στοιχεία: 100, Β 30, 7. και να μετρηθούν οι άλλες πλευρές του. Αν η μεταβάλλεται, σε κατάλληλο διάστημα, και τα άλλα μένουν σταθερά, εμφανίστε το ίχνος ή το γεωμ. τόπο του σημείου Γ. Α.4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ να σχεδιαστεί το ορθικό τρίγωνο ΔΕΖ και να μετρηθούν οι γωνίες του, όπως και το εμβαδόν του. Στη συνέχεια να επαληθευτεί η ιδιότητα που λέει πως τα ύψη του αρχικού τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού (σε διάφορες θέσεις των κορυφών). Α.5. Να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά ίση με 5 μ.μ. Κατόπιν κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο με βάση την ΑΒ εντός και εκτός του τετραγώνου. Αν είναι Ε η τρίτη κορυφή του τριγώνου μελετήστε το τρίγωνο ΓΔΕ. Α.6. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ίσες με ΑΒ=5μ.μ και ΓΔ=8 μ.μ. Ενώστε το μέσον της ΑΔ με τις κορυφές Β και Γ και υπολογίστε, χρησιμοποιώντας το λογισμικό τους λόγους των εμβαδών των τριών τριγώνων που σχηματίζονται και σχολιάστε. Α.7. Να κατασκευαστεί ένας κύκλος και μια διάμετρος ΑΟΒ αυτού. Κατόπιν να οριστεί τυχαία ένα σημείο Γ του κύκλου, η ακτίνα ΟΓ, να μετρηθούν οι γωνίες ΒΟΓ και ΒΑΓ και να βρεθεί ο λόγος τους. Ο λόγος αυτός να εμφανιστεί στην επιφάνεια σχεδιασμού και να ε- πηρεάζεται από τις κινήσεις του σημείου Γ. Μετακινήστε το Γ και σχολιάστε αυτό που παρατηρείτε. Δώστε στο Γ αυτόματη κίνηση. Α.8. Να κατασκευαστούν τα τρία ακόλουθα πολύγωνα: α) κανονικό εξάγωνο, β) κανονικό ε- πτάγωνο και γ) κανονικό εντεκάγωνο με μήκος πλευράς 5 μ.μ. Α.9. Να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο ΑΒΓ και μία ευθεία που να μην τέμνει το τρίγωνο. Να βρεθεί το συμμετρικό του τριγώνου αυτού Α Β Γ ως προς άξονα την ευθεία αυτή. Μετά να περιστραφεί το τρίγωνο γύρω από το μέσον του τμήματος ΑΑ, και να διαπιστωθεί ότι εν γένει δεν συμπίπτει με το συμμετρικό του. Δώστε διαφορετικά χρώματα στο αρχικό και στο συμμετρικό τρίγωνο και φροντίστε όταν περιστρέφεται το συμμετρικό να φαίνεται μόνο αυτό που περιστρέφεται. Διερευνήστε αν υπάρχουν περιπτώσεις που τα τρίγωνα συμπίπτουν και αλλάξτε θέσεις στον άξονα. Α.10. Σχηματίστε τρεις κύκλους με κέντρα Κ, Λ, Μ που να εφάπτονται εξωτερικά στα Α, Β, Γ. Διαπιστώστε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ΚΛΜ. Α.11. Να επαληθευτεί η πρόταση: Αν από τυχαίο σημείο Μ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε καθέτους προς τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ οι οποίες ορίζουν στις πλευρές αυτές αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε και Ζ τότε τα Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. ( Ευθεία του Simson) 1

Α.12. Θεωρείστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, τον εγγεγραμμένο κύκλο του (Κ, ρ) και τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του (Κ, ρ ) που εφάπτεται στην πλευρά α. Ονομάστε Δ, Ε, Ζ και Δ, Ε, Ζ τα σημεία επαφής των δύο κύκλων με τις ευθείες ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. Διαπιστώστε ότι ισχύουν: AZ = AE = τ α, ΒΔ = ΒΖ = τ β, ΓΔ = ΓΕ = τ γ, ΑΖ = ΑΕ = τα, ΖΖ = ΕΕ = α, ΔΔ = β γ, όπου τ η ημιπερίμετρος Α.13. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ, Κ το έγκεντρο (κέντρο εγγεγραμμένου κύκλου) και Λ το περίκεντρο (κέντρο περιγεγραμμένου κύκλου). Να βρεθούν τα ομοιόθετα του τριγώνου αυτού ως προς το Κ και το Λ για διάφορους λόγους ομοιοθεσίας. Στη συνέχεια γεμίστε το εσωτερικό των τριγώνων που θα προκύψουν με χρώμα διαφορετικό από του αρχικού τριγώνου. Α.14. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ να κατασκευαστεί η ευθεία του Euler και να διαπιστωθεί η σχέση: 2 όπου,, το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Α.15. Σε ένα τρίγωνο να κατασκευαστεί ο κύκλος των εννέα σημείων (κύκλος του Euler) και να διαπιστωθεί η σχέση:, όπου R, e R οι ακτίνες αντίστοιχα του κύκλου του κύκλου του Euler και του περιγεγραμμένου κύκλου. Α.16. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο,, όπως στο σχήμα, ο οποίος να κυλίεται επί του τμήματος ΑΒ. Σχήμα Α.16 Αυτό σημαίνει να ισχύει πάντοτε η σχέση: AM M. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε το ίχνος του σημείου Σ ώστε να φανεί η λεγόμενη κυκλοειδής καμπύλη, η οποία είναι ο γ. τόπος του σημείου Σ. Α.17. Να κατασκευαστεί με τη μέθοδο της γραμμής ίχνους η καρδιοειδής που δίνεται στο σχήμα και έχει εξίσωση: 1 φ 2α Σχήμα Α.17 Α.18. Να κατασκευαστεί το διπλανό σχήμα και να περιστραφεί γύρω από το Ο κατά τυχαία γωνία Σχήμα Α.18 2

Σειρά Β Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Β.1. Να ορίσετε ένα σημείο Ο στο οριζόντιο επίπεδο. Φέρτε την κάθετη ευθεία στο οριζόντιο επίπεδο στο σημείο Ο και ορίστε ένα σημείο Α σ αυτήν. Κατόπιν ορίστε μια ευθεία (ε) στο οριζόντιο επίπεδο και έστω Β ένα τυχαίο σημείο της (ε). Σχεδιάστε το επίπεδο που περνάει από την ΟΑ και περιέχει το Β. Φέρτε την ΟΒ και την ΑΒ και μετρήστε τις γωνίες που σχηματίζονται, για διάφορες θέσεις του Β. Σχολιάστε. Β.2. Να κατασκευάσετε ένα επίπεδο παράλληλο προς το οριζόντιο και σε απόσταση 5 εκατοστών και το μεσοπαράλληλο επίπεδο μεταξύ αυτών. Στη συνέχεια ορίστε ένα σημείο στο οριζόντιο επίπεδο και ένα σε κάποιο από τα άλλα, φροντίζοντας να μην είναι στην ίδια κάθετο. Βρέστε τα σημεία τομής της ευθείας που ορίζουν τα δύο σημεία με τα τρία επίπεδα και υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων της που ορίζονται μεταξύ των επιπέδων. Τι παρατηρείτε; Β.3. Κατασκευάστε δύο ευθείες (ε), (ζ) στο οριζόντιο επίπεδο, που να τέμνονται κάθετα στο σημείο Α. Από τυχαίο σημείο Β της (ε) φέρνουμε ευθεία κάθετο στο οριζόντιο και ορίζουμε ένα σημείο της Γ. Μελετήστε το τρίγωνο ΑΒΓ, για διάφορες θέσεις του Β. Β.4. Ορίστε στο οριζόντιο επίπεδο δύο ευθύγραμμα τμήματα α, β και μετρήστε τα. Κατόπιν κατασκευάστε κύκλο στο οριζόντιο επίπεδο με συγκεκριμένο κέντρο και ακτίνα ίση με το μήκος του α. Στη συνέχεια με βάση τον κύκλο αυτό και ύψος το μήκος του β κάντε ένα ορθό κυκλικό κώνο. Μεταβάλετε τα τμήματα α, β και παρακολουθήστε τους κώνους που σχηματίζονται. Β.5. Να κατασκευαστεί σημείο Α κείμενο στο οριζόντιο επίπεδο και ευθεία (κ) κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο στο σημείο Α και σημείο Β στην ευθεία (κ). Στη συνέχεια να κατασκευαστεί μια τυχαία ευθεία (ε) που να κείται στο οριζόντιο επίπεδο και η οποία να μη διέρχεται από το σημείο Α. Η ευθεία (ε) και το σημείο Β ορίζουν επίπεδο. Στο επίπεδο αυτό φέρτε την ευθεία που περνάει από το Β και είναι κάθετη στην (ε) και την τέμνει έστω στο Γ. Φέρτε την ΑΓ και εξετάστε πως τέμνει την (ε), στις διάφορες επιλογές του Β. Β.6. Να κατασκευαστεί το διπλανό σχήμα δηλαδή ένας ανοιχτός από πάνω κύβος. Β.7. Να κατασκευαστεί κύλινδρος με άξονα κάθετο στο οριζόντιο επίπεδο και ύψος ίσο με δοθέν μήκος h. Κατόπιν σχηματίστε τον κώνο που έχει βάση την μία βάση του κυλίνδρου και κορυφή τυχαίο σημείο της άλλης βάσης του κυλίνδρου. Στη συνέχεια υ- πολογίστε το λόγο των όγκων των δύο στερεών στις διάφορες θέσεις της κορυφής Σχήμα Β.6 του κώνου. Β.8. Σχεδιάστε ένα παράλληλο επίπεδο με το οριζόντιο επίπεδο. Στη συνέχεια σχεδιάστε δυο ευθείες μία στο ένα επίπεδο και μία στο άλλο ώστε να είναι σίγουρα ασύμβατες. Κατόπιν κατασκευάστε την κοινή κάθετο αυτών και επιβεβαιώστε ότι ικανοποιεί την απαιτούμενη ιδιότητα (δηλαδή ότι είναι κάθετος και προς τις δύο). 3

Β.9. Να κατασκευαστεί επίπεδο πλάγιο προς το οριζόντιο επίπεδο και ευθεία (ε) κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο από σημείο της κοινής τομής των δύο επιπέδων. Κατόπιν σχηματίστε ένα κύκλο (Κ,ρ) στο πλάγιο επίπεδο, ένα τυχαίο σημείο Α στην ευθεία (ε) και τον κώνο με βάση τον κύκλο (Κ,ρ) και κορυφή το σημείο Α. Υπάρχει περίπτωση ο κώνος να είναι ορθός κυκλικός κώνος; Ερευνήστε. Β.10. Να κατασκευαστεί κύβος που να εδράζεται σε ένα πλάγιο επίπεδο σε σχέση με το οριζόντιο. Στη συνέχεια προεκτείνετε κάθε μία από τις κάθετες (προς το πλάγιο επίπεδο) πλευρές και βρέστε τα σημεία τομής τους με το οριζόντιο επίπεδο. Τι μορφή έχει το σχήμα που σχηματίστηκε. Βρέστε το λόγο του εμβαδού της βάσης του κύβου προς το εμβαδόν του σχήματος που δημιουργήθηκε. Β.11. Θεωρήστε ένα κύβο ΑΒΓΔΚΛΜΝ με την πλευρά ΚΛΜΝ στο οριζόντιο επίπεδο. Με κορυφές Α, Γ σχηματίστε δύο ίσες τριγωνικές πυραμίδες που να έχουν βάσεις τις πλησιέστερες κορυφές του κύβου στα Α και Γ αντίστοιχα. Χρωματίστε με διαφορετικά χρώματα τις δύο πυραμίδες και το πρίσμα που απομένει αν αφαιρεθούν οι πυραμίδες. Β.12. Να κατασκευαστεί το διπλανό σχήμα, το οποίο προέκυψε από ένα κανονικό δωδεκάεδρο. Μετρήστε τις έδρες του (E), τις ακμές του (A) και τις κορυφές του (Κ) και επαληθεύστε τον τύπο του Euler: 2 Β.13. Να κατασκευάσετε ένα κανονικό τετράεδρο και στη συνέχεια να κατασκευάσετε την εγγεγραμμένη και την περιγεγραμμένη σφαίρα. Στη συνέχεια βρείτε τους Σχήμα Β.12 όγκους των τριών στερεών σχημάτων και βρέστε τις σχέσεις μεταξύ τους. Β.14. Να κατασκευάσετε μία σφαίρα και να εγγράψετε ένα κανονικό τετράεδρο σ αυτήν. Στη συνέχεια σχηματίστε άλλο κανονικό τετράεδρο περιγεγραμμένο στη σφαίρα. Στη συνέχεια βρείτε τους όγκους των τριών στερεών σχημάτων και βρέστε τις σχέσεις μεταξύ τους. Δίνεται ότι το ύψος του εγγεγραμμένου κανονικού τετραέδρου σε σφαίρα ακτίνας R είναι 4R/3. Σχήμα Β.15 Β.15. Να κατασκευαστεί ένας τυχαίος ορθός κώνος και ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο επίπεδο της βάσης του, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Κατασκευάστε ακόμα έναν κύκλο C2 στην επιφάνεια του κώνου αυτού και παράλληλο προς τη βάση του κώνου αυτού. Στη συνέχεια να κατασκευάστε ένα τόξο Α Β που το μήκος του να είναι ίσο με το μήκος του τμήματος ΑΒ. Β.16. Σχηματίστε ένα κύκλο με ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σ αυτόν που να εδράζεται σε επίπεδο πλάγιο προς το οριζόντιο. Από σημείο Α που δεν βρίσκεται ούτε στο οριζόντιο ούτε στο πλάγιο επίπεδο προβάλατε τον κύκλο και το τρίγωνο στο οριζόντιο επίπεδο και σχολιάστε. Βρείτε τους λόγους των αντίστοιχων σχημάτων και σχολιάστε. 4

Σειρά Γ Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Γ.1. Να σχεδιαστεί ένα οριζόντιο τμήμα ΑΒ, με δοσμένο μήκος ίσο με 6 μονάδες μέτρησης και δύο γωνίες ίσες με 80,55. Κατόπιν μεταφέρετε τις δύο γωνίες ώστε η μία να έχει κορυφή το Α και η άλλη το Β. Υπολογίστε τα άλλα στοιχεία του τριγώνου που σχηματίζεται, το εμβαδόν του και την ημιπερίμετρο. Επαληθεύστε τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδόν. Γ.2. Να κατασκευαστούν τα τμήματα 2, 4, 6 μονάδες μέτρησης, ώστε να είναι διαδοχικά. Το πρώτο να έχει γωνία κλίσης ως προς τον οριζόντιο άξονα 20, το δεύτερο να σχηματίζει με το πρώτο γωνία 30, και το τρίτο με το δεύτερο 60. Κλείστε την πολυγωνική γραμμή και υπολογίστε την κλίση της τελευταίας ως προς τον οριζόντιο άξονα. Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με τη βοήθεια των δύο τριγώνων που ορίζονται. Γ.3. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με δεδομένα τα στοιχεία: A 30, B 70, AB 5 μ.μ. Κατασκευάστε το ύψος τη διάμεσο και τη διχοτόμο από το Α. Μετρήστε στη συνέχεια τα άλλα στοιχεία του τριγώνου και τα τρία μήκη που κατασκευάσατε. Σημειώστε της τομές Κ, Λ της διχοτόμου από το Α με τις διχοτόμους (εσωτερική και εξωτερική) της γωνίας Β και υπολογίστε το μήκος της ΚΛ. Γ.4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ σχεδιάστε το ορθικό τρίγωνο (με κορυφές τις τομές των υψών με τις απέναντι πλευρές). Στη συνέχεια να κατασκευάσετε τον περιγεγραμμένο κύκλο και να σημειώσετε με Ο το κέντρο του κύκλου αυτού. Φέρτε τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ και τα ύψη του ορθικού τριγώνου και βρέστε σχέσεις μεταξύ τους (παραλληλίες, καθετότητες, ισότητες, αναλογίες κλπ.) Γ.5. Να κατασκευαστεί ένα κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ με πλευρά ίση με 3 μ.μ. Στη συνέχεια πάρτε το τρίγωνο ΟΑΒ (Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου) και φέρετε το ύψος του, Με κέντρο Ο και ακτίνα το ύψος σχηματίστε κύκλο. Βρέστε θεωρητικά τον λόγο των εμβαδών των δύο κύκλων και επαληθεύστε το. Γ.6. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ίσες με ΑΒ=6μ.μ και ΑΔ=4μ.μ. Στη συνέχει πάρτε ένα τυχαίο σημείο Ε στην ΓΔ και σχηματίστε το τρίγωνο ΕΑΒ, του οποίου να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν και εμφανίστε αυτές τις ποσότητες δίπλα από το σχήμα. Κατόπιν δώστε κίνηση στο Ε και σχολιάστε τις μεταβολές των δύο ποσοτήτων. Γ.7. Σχεδιάστε ένα κύκλο και πάρτε 6 σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ. Πάρτε δύο διαδοχικά σημεία, παραλείψτε ένα και μετά τα επόμενα δύο, και σχηματίστε το ζεύγος ευθειών που ορίζεται. Συνεχίστε κυκλικά. Σχηματίζονται τρία ζεύγη ευθειών (π.χ. ένα τέτοιο ζεύγος είναι οι ευθείες ΓΔ, ΖΑ). Βρέστε τα σημεία τομής των τριών ζευγών και εξερευνήστε. Γ.8. Να κατασκευάσετε ένα λ 1 = 3,10 τρίγωνο ΑΒΓ και να επιλέξετε ένα σημείο Ο και Α' έναν αριθμό. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε Α ένα ομοιόθετο του τριγώνου ΑΒΓ καθώς και του Ο εσωτερικού του με κέντρο το σημείο Ο και Β Γ Γ' λόγο τον αριθμό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σχήμα Γ.8 5 Β'

Γ.9. Στο Σχήμα παριστάνεται η κατασκευή της μεσοκαθέτου (ε) ενός τμήματος ΑΒ με τη βοήθεια της τομής δύο ίσων κύκλων ακτίνας ίσης α (ε) με α και κέντρα τα σημεία Α και Β. Ζητείται να αναπαραχθεί το σχήμα με όλες του τις λεπτομέρειες (τόξα, ονοματολογία, αποκρύψεις κλπ). Α Μ Β Γ.10. Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με μεγάλη βάση την ΑΒ και μικρή την ΓΔ. Στη Σχήμα Γ.9 συνέχεια να προεκτείνετε τις μη παράλληλες πλευρές ΑΔ, ΒΓ και να ονομάσετε με Κ το σημείο τομής αυτών. Επίσης να ονομάσετε με Λ το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου αυτού. Στη συνέχεια να φέρετε την ευθεία που ενώνει τα σημεία Κ, Λ και να σημειώσετε με Μ, Ν τα σημεία τομής της ευθείας αυτής με τις βάσεις ΓΔ, και ΑΒ του τραπεζίου. Τέλος να διαπιστώσετε με μετρήσεις και υπολογισμούς ότι η τετράδα (ΚΛΜΝ) είναι αρμονική. Γ.11. Πάρτε ένα τμήμα ΑΒ=10 και ένα τυχαίο σημείο Μ στην ΑΒ. Κατασκευάστε δύο κύκλους με ακτίνες ίσες με ΑΜ, ΒΜ αντίστοιχα. Να κατασκευαστούν οι δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες όπως και οι δύο κοινές εσωτερικές εφαπτόμενες των δύο κύκλων. Να διαπιστωθεί ότι το κοινό σημείο των εξωτερικών εφαπτομένων, το κοινό σημείο των εξωτερικών εφαπτομένων και τα δύο κέντρα αποτελούν αρμονική τετράδα. Γ.12. Να κατασκευαστεί ο κύκλος του Euler καθώς και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος στη γωνία Α ενός τριγώνου ΑΒΓ και να διαπιστωθεί ότι οι δύο αυτοί κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά (Θεώρημα Feuerbach). Γ.13. Να κατασκευαστεί το συμμετρικό ενός τριγώνου ΑΒΓ ως Γ' προς κέντρο στο σημείο Α και Β' Σ στη συνέχεια να περιστραφεί το ΑΒΓ γύρω από το Α ώστε να συμπέσει με το συμμετρικό του, Α Ο Μ Ν μέγεθος ΜΟΣ = 46 σύμφωνα με μια περιστροφή που Β θα έχει επιλεγμένη γωνία τη γωνία ΜΟΣ του ημικυκλίου που εμ- Σχήμα Γ.13 Γ φανίζεται δεξιά στο σχήμα. Γ.14. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ και στη συνέχεια ένα ίσο τετράγωνο Α Β Γ Δ έτσι ώστε οι πλευρές ΑΒ, Α Β να τέμνονται στο Ε και οι απέναντι πλευρές ΓΔ, Γ Δ να τέμνονται στο Ζ. Έστω Η,Θ τα σημεία τομής των άλλων δύο ζευγών ομόλογων πλευρών. Σχηματίστε τις ευθείες ΕΖ, ΗΘ και διερευνήστε τη σχετική τους θέση. Γ.15. Να σχεδιαστεί το γεωμετρικό όργανο του σχήματος 5, όπως είναι (χωρίς να φαίνονται ενώσεις κλπ). Σχήμα Γ.15 Γ.16. Κατασκευάστε ένα σταθερό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ και δύο μεταβλητά σημεία Α, Β ε- κτός του πενταγώνου. Να κατασκευάσετε το ομοιόθετο του πενταγώνου του σχήματος 6, ώστε η κορυφή Α να αντιστοιχίζεται με την Α και η Β με την Β. Στη συνέχεια μετρήστε το λόγο ομοιοθεσίας και επαληθεύσατε ότι ο λόγος των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι λ 2 οπουδήποτε και αν πάρουμε τα Α, Β. 6

Γ.17. Σχεδιάστε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τις ημιευθείες ΑΒ, ΑΓ και ΑΔ. Διαλέξτε ένα αριθμό λ (π.χ. λ=2) και μεταφέρετε τα Β, Γ, Δ επί των ημιευθειών ώστε αν Β, Γ, Δ τα νέα σημεία να ισχύει ΑΒ /ΑΒ=λ και ομοίως για τα ΑΓ και ΑΔ. Σχεδιάστε το τετράπλευρο ΑΒ Γ Δ και υπολογίστε (μετρήστε) πόσες φορές είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του αρχικού τετραπλεύρου. Σχολιάστε. Γ.18. Να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να χρωματιστεί το εσωτερικό του, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα Ο Α Η Β Γ Ζ Ε Σχήμα Γ.18 Στη συνέχεια το εσωτερικό του τριγώνου να περιστραφεί γύρω από ένα τυχαίο σημείο Ο του επιπέδου του κατά μία επιλεγμένη γωνία ίση με τη γωνία: EZH. Γ.19. Να κατασκευάσετε ένα εργαλείο που να κατασκευάζει τον κύκλο του Euler. Περιγράψτε τη διαδικασία και αποθηκεύστε το αρχείο. Στη συνέχεια λειτουργείστε και αντιγράψτε την τελική εικόνα του σχήματος. Σειρά Δ Δράσεις με το παράγωγος λογισμικό Geogebra Δ.1. Να κατασκευαστεί η οικογένεια ευθειών με εξίσωση: 2, 1,5 Χρησιμοποιήστε τη δυνατότητα ίχνους για εμφάνιση της οικογένειας. Σχολιάστε αυτό που συμβαίνει. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την εντολή «Ακολουθία[k x / 10-2, k, 1, 50]» και εξηγήστε τι παριστάνει. Δ.2. Να κατασκευαστεί η διπαραμετρική οικογένεια ευθειών με εξίσωση:, 1,5 2,5 Χρησιμοποιήστε τη δυνατότητα ίχνους για εμφάνιση της οικογένειας. Θεωρήστε πολλές τιμές του λ για δύο-τρεις τιμές του b και σχολιάστε αυτό που συμβαίνει. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τις εντολές «Ακολουθία[k x / 10-2, k, 1, 50]», «Ακολουθία[k x / 10 +1, k, 1, 50]», «Ακολουθία[k x / 10 +5, k, 1, 50]» και εξηγήστε τι παριστάνουν. Δ.3. Να κατασκευαστεί η οικογένεια κύκλων με εξίσωση:, 2,5 Χρησιμοποιήστε δρομέα για το r και χρησιμοποιήστε ή όχι το ίχνος για να δείτε την οικογένεια. Δώστε αυτόματη κίνηση στο δρομέα και κατάλληλο χρώμα σε κάποιο αντικείμενο ώστε να πάρετε ένα κόκκινο δίσκο σαν CD. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την ε- ντολή «Ακολουθία[x² + y² = (r / 5)², r, 10, 25]» και σχολιάστε. 7

Δ.4. Να κατασκευαστεί η έλλειψη: 1, 1,5 Βρέστε το σημείο της έλλειψης Μ που έχει τετμημένη 1 και φέρτε την εφαπτομένη της έλλειψης στο Μ. Με ίχνος ενεργό στην εφαπτομένη κινήστε τον δρομέα α. Εξηγήστε γιατί εμφανίζεται μία δέσμη ευθειών Δ.5. Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: έτσι ώστε η καμπύλη να είναι με παχιά γραμμή με κάποιο χρώμα που σας αρέσει και να φαίνονται οι ασύμπτωτες με διακεκομμένες γραμμές σε άλλο χρώμα. Κατασκευάστε δρομέα b με τιμές από 1 έως 20 και ορίσατε τα σημεία Μ (σημείο της συνάρτησης με τετμημένη b), Ν (σημείο της οριζόντιας ασυμπτώτου με τετμημένη b) και το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ. Μετρήστε το μήκος του ΜΝ, και βάλτε το στην επιφάνεια. Δώστε κίνηση στο δρομέα και παρατηρήστε τη μεταβολή του μήκους ΜΝ. Σχολιάστε. (φροντίστε να φαίνονται τα Μ, Ν σε όλη την κίνηση του δρομέα). Δ.6. Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: έτσι ώστε η καμπύλη να είναι με παχιά γραμμή με κάποιο χρώμα που σας αρέσει και να φαίνονται οι ασύμπτωτες με διακεκομμένες γραμμές σε άλλο χρώμα. Κατασκευάστε δρομέα b με τιμές από 1 έως 20 και ορίσατε το σημείο Α που να είναι στον άξονα των y με τεταγμένη b. Φέρτε την οριζόντια από το Α και τα σημεία τομής τηςm με τον αριστερό κλάδο της συνάρτησης και N με την ευθεία x=-1/2. Μετρήστε το μήκος του ΜΝ, και βάλτε το στην επιφάνεια. Δώστε κίνηση στο δρομέα και παρατηρήστε τη μεταβολή του μήκους ΜΝ. Σχολιάστε. (φροντίστε να φαίνονται τα Μ, Ν σε όλη την κίνηση του δρομέα). Δ.7. Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: έτσι ώστε η καμπύλη να είναι με παχιά γραμμή με κάποιο χρώμα που σας αρέσει και να φαίνονται οι ασύμπτωτες με διακεκομμένες γραμμές σε άλλο χρώμα. Φέρτε την ευθεία y=1/3 και βρείτε τα σημεία τομής της με την καμπύλη. Υπολογίστε το εμβαδόν των χωρίων που ορίζονται από τις κάθετες στα σημεία τομής, την καμπύλη και τον άξονα των x. Δ.8. Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: 2, 0 2, 0 1 1 1, 1 φροντίζοντας να διακρίνονται με διαφορετικά χρώματα οι τρεις κλάδοι. Να γραφεί επίσης η συνάρτηση ως λεζάντα στο σχήμα, χρησιμοποιώντας το ενσωματωμένο πρόγραμμα Latex. Δ.9. Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: ln, 1 και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν Εα κάτω από την καμπύλη μέχρι τον άξονα και από 0 έως α, όπου το α να το ορίσετε με δρομέα. Κατόπιν βρέστε το σημείο με συντεταγμένες (α, Εα). Βρέστε με ίχνος ή ως γεωμετρικό τόπο την καμπύλη που κινείται το σημείο αυτό και σχολιάστε Δ.10. Να γραφεί κύκλος με εξίσωση, όπου η ακτίνα να δίνεται με δρομέα. Να γραφεί στην επιφάνεια λεζάντα με σχετικό κείμενο και με την εξίσωση του κύκλου, με τέτοιο τρόπο, ώστε όταν μεταβάλλεται η ακτίνα να μεταβάλλεται και η εξίσωση. (χρησιμοποιήστε μέσα από τη δυνατότητα κειμένου Latex, κάποιο «αντικείμενο»). 8

Δ.11. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: ημ x, 5, 5 φροντίζοντας ο άξονας των x να έχει μονάδα μέτρησης π. Σημειώστε στο σχήμα τη συνάρτηση και στο γράφημα τα σημεία μεγίστου και ελαχίστου με διάστικτες λεπτές γραμμές. Βρέστε την παράγωγό της και σημειώστε τα σημεία τομής με τον άξονα των x. Στα σημεία αυτά φέρτε καθέτους στο άξονα των x και στα σημεία που αυτές τέμνουν την φέρτε καθέτους και σχολιάστε. Δ.12. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: ημ, 5, 5, 6, 6 φροντίζοντας ο άξονας των x να έχει μονάδα μέτρησης π. Σημειώστε στο σχήμα τη συνάρτηση και στο γράφημα τα σημεία μεγίστου και ελαχίστου με διάστικτες λεπτές γραμμές. Βρέστε την παράγωγό της και σημειώστε τα σημεία τομής με τον άξονα των x. Στα σημεία αυτά φέρτε καθέτους στο άξονα των x και στα σημεία που αυτές τέμνουν την φέρτε καθέτους και σχολιάστε. Δ.13. Δίνεται η συνάρτηση:, 0,. Να βρεθεί με το λογισμικό του Geogebra το ολοκλήρωμα:, όπου μια παράμετρος με 1 5. Ειδικότερα να δείξετε τις διάφορες τιμές του ολοκληρώματος μεταβάλλοντες το. Σχήμα Δ.13 Δ.14. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το σημείο τομής των διαμέσων του. Να ορίσετε δρομέα λ μεταξύ του -5 και +5.Στη συνέχεια να βρείτε το ομοιόθετο του τριγώνου ΑΒΓ με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο Μ και λόγο την τιμή λ του δρομέα. Αν 0.5 τί παρατηρείτε; Δ.15. Να κατασκευαστεί η σπείρα του Θεόδωρου του Κυρηναίου, ή του Θεαίτητου, που κατασκευάζει τις ρίζες των αριθμών 1 έως 17. Να υπολογιστεί, επίσης, το άθροισμα των «επίκεντρων» γωνιών του σχήματος. Μπορούμε να συνεχίσουμε και για μεγαλύτερους αριθμούς, αλλά ο Θεόδωρος σταμάτησε στο 17. Γιατί άραγε; Σχολιάστε. Σχήμα Δ.15 9

Σειρά Ε Γενικές δράσεις Επιλέξτε το πλέον κατάλληλο λογισμικό και υλοποιείστε τις παρακάτω δράσεις: Ε.1. Να κατασκευάσετε την κοινή εξωτερική εφαπτομένη δύο κύκλων και στη συνέχεια να κατασκευάσετε μια μακροεντολή ώστε όταν την εφαρμόζετε να εμφανίζονται όλα τα βήματα της κατασκευής. Ε.2. Να κατασκευαστεί το στερεό του σχήματος, που προκύπτει αποκόπτοντας από έ- ναν κύβο μία τριγωνική πυραμίδα. Ε.3. Να κατασκευάσετε το μιγαδικό αριθμό 2, όπου η γωνία θ να μεταβάλλεται μεταξύ του 0 και 360. Σχήμα Ε.2 Χρησιμοποιήστε ίχνος ή γεωμετρικό τόπο για να φανεί η καμπύλη στην οποία κινείται. Ε.4. Να κατασκευάσετε το διπλανό σχήμα και να δώσετε κίνηση στην κυκλική μπάλα ώστε να κινείται περιοδικά μεταξύ των δύο άκρων της τεθλασμένης γραμμής. Σχήμα Ε.4 Ε.5. Δίνεται κύκλος C(K,r) και ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=3μ.μ. Να ορίσετε στον κύκλο αυτό τόξο με αρχή ένα δοθέν σημείο και μήκους ίσου με το Α Β μήκος του τμήματος ΑΒ. Σχήμα Ε.5 Ε.6. Να κατασκευαστεί το σχήμα Ε.6, όπου το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και τα τρία τρίγωνα είναι ισόπλευρα, με εμβαδά,,, όπως σημειώνεται στο σχήμα. Στη συνέχεια να επαληθευτεί η σχέση: Σχήμα Ε.6 Ε.7. Δείτε μέσα από ένα δυναμικό περιβάλλον το γεγονός ότι οι κύκλοι της οικογένειας: 2 4 2 5 4 3 0, εφάπτονται σε δύο σταθερές ευθείες. 10

Ε.8. Να κατασκευαστεί το σχήμα Ε.8, όπου το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και τα τρία ημικύκλια έχουν ως διαμέτρους τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, και εμβαδά,,, όπως σημειώνεται στο σχήμα. Στη συνέχεια να επαληθευτεί η σχέση: Σχήμα Ε.8 Ε.9. Να κατασκευαστεί το διπλανό σχήμα. Σχήμα Ε.8 Ε.10. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα: ln όπου 0 5. Στη συνέχεια να βρεθεί το γράφημα της συνάρτησης. Ε.11. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: 2 3, 1 4. Να βρεθεί το άθροισμα το γινόμενο και το πηλίκο αυτών. Ε.12. Να βρεθούν τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ενός τριγώνου ως προς τις τρεις πλευρές του τριγώνου. Ε.13. Να κατασκευαστεί το διπλανό σχήμα όπου ΑΒΓ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο Α και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι η περιστροφή του ΑΒΓ γύρω από τον άξονα ΑΒ κατά μια κυρτή γωνία. Σχήμα Ε.13 Ε.14. Να περιστραφεί το τρίγωνο (Τ) στο Σχήμα Ε.14 γύρω από τον άξονα ΑΒ και να οδηγηθεί μέσω του τριγώνου (Τ0) στο τρίγωνο (Τ ) του ιδίου επιπέδου. Σχήμα Ε.14 11

Ε.15. Να περιστραφεί το εσωτερικό τετράγωνο ΚΛΜΝ γύρω από το κέντρο Ο του τετραγώνου ΑΒΓΔ κατά τη θετική φορά και από τη θέση (α) να οδηγηθεί στη θέση (β). Στη συνέχεια να βρεθεί ο λόγος:. Σχήμα Ε.15 (α) (β) Ε.16. Να κατασκευαστεί ένα κανονικό τετράεδρο ΟΑΒΓ όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα και στη συνέχεια να το περιστρέψετε γύρω από τον άξονα που ορίζουν τα σημεία ΒΓ ώστε το τετράεδρο αυτό να στηρίζεται επί του επιπέδου (Π) με την έδρα (ΟΒΓ). Ε.17. Να κατασκευάσετε ένα κεκλιμένο επίπεδο με τη χρήση ενός ορθογωνίου τριγώνου, όπως φαίνεται στο α- κόλουθο σχήμα και στη συνέχεια να τοποθετήσετε έναν κυκλικό τροχό ο οποίος θα ο- λισθαίνει σ αυτό το κεκλιμένο επίπεδο, όπου το κέντρο το κύκλου θα ξεκινά από το σημείο Α και θα καταλήγει στο σημείο Β. Α Σχήμα Ε.16 Β Σχήμα Ε.17 12