Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 5 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 5 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ασκήσεις

Ο ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΟΡΜΗ ΣΩΜΑΤΟΣ Ορμή ενός σώματος είναι το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την ταχύτητα του p m. Το μέτρο της ορμής και το μέτρο της ταχύτητας είναι ποσά ανάλογα ενώ η κατεύθυνση της ορμής είναι πάντα ομόρροπη με την κατεύθυνση της ταχύτητας. Μονάδα της ορμής (στο S.I.) είναι : Kg. m/s ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 υ p ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Μεταβολή της ορμής Δ p είναι η διανυσματική αφαίρεση της τελικής από την αρχική ορμή του σώματος Δ p = p - p. Ο υπολογισμός της μεταβολής της ορμής γίνεται από τη σχέση Δ p = p +(- p ), δηλαδή η διανυσματική αφαίρεση μετατρέπεται σε διανυσματική πρόσθεση. I) Αρχική και τελική ορμή ομόρροπα διανύσματα Δ p = p - p + p αρχ +Δp μέτρο μεταβολής ορμής : Δp = p τελ - p αρχ +p τελ διεύθυνση μεταβολής ορμής: ίδια διεύθυνση με την αρχική και τελική ορμή. II) Αρχική και τελική ορμή αντίρροπα διανύσματα Δ p = + p αρχ -p τελ -Δp III) Αρχική και τελική ορμή κάθετα διανύσματα p - p μέτρο μεταβολής ορμής : Δp = p τελ - p αρχ (αλγεβ) Δp = -p τελ - p αρχ Δp = -( p τελ + p αρχ ) διεύθυνση μεταβολής ορμής: ίδια διεύθυνση με την αρχική και τελική ορμή. Δp - p αρχ φ p τελ p αρχ Δ p = p - p Δ p = p + (- p ) μέτρο μεταβολής ορμής : Δp = διεύθυνση μεταβολής ορμής: εφφ = p p p p tel όπου φ η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της μεταβολής Δp με τη διεύθυνση της αρχικής ορμής. IV) Γενική περίπτωση: Αρχική και τελική ορμή μη παράλληλα διανύσματα (υπό γωνία θ) ος τρόπος Αναλύουμε την αρχική και τελική ορμή σε άξονες χχ και ψψ και υπολογίζουμε την μεταβολή της ορμής σε κάθε άξονα χωριστά Δp X =p τελ(χ) - p αρχ(χ) και Δp ψ = p τελ)ψ) - p αρχ(ψ). Στη συνέχεια υπολογίζουμε την συνολική μεταβολή της ορμής Δp από το πυθαγόρειο θεώρημα γιατί οι συνιστώσες Δp X και Δp ψ είναι πάντα κάθετες. Δηλαδή : p μέτρο μεταβολής ορμής : Δp = p p και διεύθυνση μεταβολής ορμής: εφφ = p

ος τρόπος Δp φ θ - p αρχ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Δ p = p - p Δ p = p + (- p ) μέτρο μεταβολής ορμής : 0 Δp = p p p (80 ) Δp = p tel p ptel p p διεύθυνση μεταβολής ορμής: p (80 ) εφφ = p p (80 ) ή από τον νόμο των ημιτόνων : p tel p όπου φ η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της μεταβολής Δp με τη διεύθυνση της αρχικής ορμής. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ dp Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που δείχνει dt πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ορμή του και ταυτίζεται με τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκείται dp στο σώμα, δηλαδή = Σ F. dt dp p p m m (Απόδειξη: = = = m. d = m. dt dt dt dt dt = m. = Σ F ) Μονάδα του ρυθμού μεταβολής της ορμής είναι : Kg. m/s ή Ν. ΣΎΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΛΙΚΗ ΟΡΜΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ Σύστημα σωμάτων είναι ένα πλήθος σωμάτων που μελετάμε χωριστά από τα υπόλοιπα σώματα που υπάρχουν (περιβάλλον). Εσωτερικές δυνάμεις του συστήματος είναι οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων του συστήματος. Εξωτερικές δυνάμεις του συστήματος είναι οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα του συστήματος από άλλα σώματα που δεν ανήκουν στο σύστημα. Μονωμένο σύστημα είναι το σύστημα στο οποίο τα σώματα που το αποτελούν δεν δέχονται εξωτερικές δυνάμεις από το περιβάλλον ή εάν δέχονται εξωτερικές δυνάμεις αυτές έχουν συνισταμένη μηδέν. Ορμή συστήματος είναι η διανυσματική πρόσθεση όλων των ορμών των σωμάτων που αποτελούν το σύστημα, δηλαδή : αποτελούν το σύστημα. P ή P = P + P +..+ P N = ή ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΙΚΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ I) Ομόρροπες ορμές + p p +p ολ p τελ p αρχ P ή = P + P όπου Ν το πλήθος των σωμάτων που P ή = P + P μέτρο ορμής συστήματος: P ολ = p + p διεύθυνση ορμής συστήματος: ίδια διεύθυνση με τις ορμές των σωμάτων p και p. -p P ολ + p II) Αντίρροπες ορμές P ή = P + P μέτρο ορμής συστήματος: P ολ = p +( - p ) P ολ = p - p διεύθυνση ορμής συστήματος: ίδια διεύθυνση με τις 3

ορμές των σωμάτων p και p. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 III) Κάθετες ορμές p φ P ολ p P ή = P + P μέτρο ορμής συστήματος: P ολ = p p p διεύθυνση ορμής συστήματος: εφφ = p όπου φ η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της ορμής του συστήματος με τη διεύθυνση της ορμής p. IV) Γενική περίπτωση: Μη παράλληλες ορμές (υπό γωνία θ) ος τρόπος P ή = P + P μέτρο ορμής συστήματος: p θ φ P ολ = p p p p διεύθυνση ορμής συστήματος: p εφφ = p p p όπου φ η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της ορμής του συστήματος με τη διεύθυνση της ορμής p. (80 ) ή από τον νόμο των ημιτόνων : p P ος τρόπος Αναλύουμε την ορμή του ενός σώματος p και την ορμή του άλλου σώματος p σε άξονες χχ και ψψ και υπολογίζουμε την συνολική ορμή του συστήματος σε κάθε άξονα χωριστά P ολ(χ) = p (χ) p (χ) και P ολ(ψ) = p (ψ) p (ψ). Στη συνέχεια υπολογίζουμε την συνολική ορμή του συστήματος από το πυθαγόρειο θεώρημα γιατί οι συνιστώσες P ολ(χ) και P ολ(ψ) είναι πάντα κάθετες. Δηλαδή : ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΛΙΚΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ Όταν το σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο, δηλαδή η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων σε κάθε σώμα του συστήματος είναι μηδέν, τότε η συνολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή :Αρχή Διατήρησης της Ορμής P ολ P ή =σταθερή. ΡΟΥΣΕΙΣ Κρούση στη μηχανική Κρούση ονομάζουμε την επαφή δύο ή περισσοτέρων σωμάτων κατά τη διάρκεια της οποίας αναπτύσσονται ισχυρές δυνάμεις, με αποτέλεσμα να συμβαίνουν απότομες αλλαγές στην κινητική κατάσταση των σωμάτων που συγκρούονται. Η διάρκεια της κρούσης είναι πολύ μικρή, για αυτό και οι δυνάμεις που αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια της κρούσης είναι πολύ ισχυρές. Κρούση στην ατομική και πυρηνική φυσική ή σκέδαση Στην ατομική και πυρηνική φυσική κρούση ή σκέδαση ονομάζεται κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου στο οποίο ηλεκτρικά φορτισμένα σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο χωρίς τα σωματίδια αυτά να έρχονται σε επαφή μεταξύ τους. Για παράδειγμα, όταν ένα σωμάτιο α (πυρήνας He) κινείται προς ένα αρχικά ακίνητο πυρήνα, η δύναμη αλληλεπίδρασης γίνεται πολύ ισχυρή 4

όταν τα δύο σωμάτια πλησιάσουν σε μικρή απόσταση μεταξύ τους, με αποτέλεσμα την απότομη αλλαγή της κινητικής τους κατάστασης. Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΙΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο πολύ μικρής διάρκειας, οι ωθήσεις των εξωτερικών δυνάμεων - αν υπάρχουν - είναι αμελητέες κατά τη διάρκεια της κρούσης. Το σύστημα των σωμάτων που συγκρούονται μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο για τη χρονική διάρκεια της κρούσης επομένως η ορμή του συστήματος διατηρείται, δηλαδή η ολική ορμή του συστήματος λίγο πριν την κρούση είναι ίση με την ολική ορμή του συστήματος λίγο μετά. Άρα σε κάθε κρούση: η ορμή ενός συστήματος σωμάτων, κατά τη διάρκεια της κρούσης, παραμένει σταθερή P () = P ( ) Σημείωση: Ώθηση είναι το φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως το γινόμενο της συνισταμένης δύναμης που δέχεται ένα σώμα επί το χρόνο που ασκείται αυτή η δύναμη και ισούται με την μεταβολή της ορμής του σώματος, δηλαδή = p. Επομένως όταν σ ένα σώμα ασκείται δύναμη τότε δέχεται ώθηση και μεταβάλλεται η ορμή του. ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Κατά τη σύγκρουση δύο σωμάτων σε πραγματικές συνθήκες, ένα μέρος (μικρό ή μεγάλο) της μηχανικής τους ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα. Επειδή η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι πολύ μικρή, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κατά τη διάρκεια της κρούσης η θέση των σωμάτων στο χώρο δε μεταβάλλεται (βρίσκονται στο ίδιο ύψος λίγο πριν και λίγο μετά την κρούση) επομένως και η δυναμική βαρυτική τους ενέργεια δε μεταβάλλεται. Κατά συνέπεια, η οποιαδήποτε μεταβολή στη μηχανική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται οφείλεται σε μεταβολή της κινητικής τους ενέργειας. ΔΕ ΜΗΧ = ΔU ΒΑΡ +ΔΚ ΔΕ ΜΗΧ = ΔΚ (αφού ΔU ΒΑΡ=0) ΕΙΔΗ ΚΡΟΥΣΕΩΝ I) Ανάλογα με τη διεύθυνση που κινούνται τα σώματα πριν την κρούση τους Ανάλογα με τη διεύθυνση που κινούνται τα σώματα πριν την κρούση τους, οι κρούσεις διακρίνονται σε κεντρικές (ή μετωπικές), έκκεντρες (ή πλαγιομετωπικές) και πλάγιες. Κεντρική (ή μετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Στην περίπτωση της κεντρικής κρούσης δύο σφαιρών, τα διανύσματα των ταχυτήτων των σφαιρών πριν και μετά την κρούση βρίσκονται στην ίδια ευθεία, η οποία είναι η διάκεντρος των σφαιρών. Έκκεντρη (ή πλαγιομετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται έχουν την ίδια διεύθυνση (παράλληλες), χωρίς όμως να βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Πλάγια ονομάζεται η κρούση κατά την οποία οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση έχουν τυχαίες διευθύνσεις (μη παράλληλες). Στην περίπτωση αυτή, και μετά την κρούση τα σώματα κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις. ΙI) Ανάλογα με τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται 5

Ελαστική. Στην ιδανική περίπτωση της κρούσης όπου η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων παραμένει σταθερή η κρούση ονομάζεται ελαστική. Δηλαδή: Ελαστική ονομάζεται η κρούση στην οποία η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται παραμένει σταθερή. Ανελαστική. Στην περίπτωση όπου η κινητική ενέργεια του συστήματος δε διατηρείται, αλλά χάνεται ένα μέρος της σε θερμότητα, η κρούση χαρακτηρίζεται ανελαστική. Δηλαδή: Ανελαστική ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται αποδίδεται στο περιβάλλον με τη μορφή θερμότητας. Πλαστική κρούση. Πλαστική ονομάζεται η ανελαστική κρούση που οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων, δηλαδή στη δημιουργία συσσωματώματος. ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε κάθε Ελαστική κρούση ισχύει: I) Η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) P () = P ( ) p =- p Δηλαδή η διατήρηση της ορμής του συστήματος συνεπάγεται ότι η μεταβολή της ορμής του ενός σώματος είναι αντίθετη της μεταβολής της ορμής του άλλου σώματος. Απόδειξη P () = P ( ) p + p = p + p p - p = p - p -( p - p ) = p - p - p = p ή p = - p II) Η διατήρηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος K = K ΔΚ = -ΔΚ Δηλαδή η διατήρηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος συνεπάγεται ότι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του ενός σώματος είναι αντίθετη της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του άλλου σώματος (αφού η συνολική κινητική ενέργεια δεν αλλάζει, όση κινητική ενέργεια χάνει το ένα σώμα τόση θα κερδίζει το άλλο σώμα). Απόδειξη K = K K + = K + K - K = -( K - K ) = - -ΔΚ = ΔΚ ή ΔΚ =- ΔΚ Κεντρική Ελαστική κρούση δύο σωμάτων Δύο σφαίρες Σ και Σ με μάζες m και m κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ και υ αντίστοιχα (έστω ομόρροπες). Οι σφαίρες συγκρούονται μεταξύ τους κεντρικά και ελαστικά. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής και την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας για το σύστημα των σφαιρών, μπορούμε να υπολογίσουμε τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων υ και υ των σφαιρών μετά την κρούση τους. Από την αρχή διατήρησης της ορμής (θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά προς τα δεξιά) : P, P, m υ + m υ = m υ + m υ m υ - m υ = m υ - m υ m (υ -υ ) = m (υ -υ ) () Από την διατήρηση της κινητικής ενέργειας : K = K - mυ + mυ = mυ + mυ mυ - mυ = mυ - mυ m (υ -υ ) = m (υ -υ ) m (υ -υ ). (υ +υ ) = m (υ -υ ) (υ +υ ) () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () προκύπτει : 6

υ +υ = υ + υ (3) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Οι εξισώσεις () και (3) αποτελούν σύστημα πρωτοβάθμιων εξισώσεων με αγνώστους τις ταχύτητες υ και υ. Από την επίλυση του συστήματος των παραπάνω δύο εξισώσεων (με δύο αγνώστους) προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις, με τις οποίες υπολογίζουμε τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων υ και υ : m m m m m m m m m m m m m m ή ή = = ( m ( m m ) m m m ) m m m ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α] Στους παραπάνω τύπους αντικαθιστούμε πάντα τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων. Αν για παράδειγμα πριν από την κρούση η σφαίρα Σ κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου υ =0m/s, στους τύπους αντικαθιστούμε υ = -0m/s. β] Εάν μια σφαίρα είναι αρχικά ακίνητη πριν από την κρούση τότε αντικαθιστούμε στους τύπους την ταχύτητα της ίση με μηδέν (αν η σφαίρα Σ είναι αρχικά ακίνητη τότε υ =0 m/s). γ] Κατά τον υπολογισμό των ταχυτήτων των σφαιρών υποθέσαμε ότι οι σφαίρες μετά την κρούση τους κινούνται προς την κατεύθυνση που έχουμε θεωρήσει ως θετική. Αν μετά τις πράξεις προκύψει αρνητική τιμή για κάποια από τις ταχύτητες υ ή υ, τότε αυτό σημαίνει ότι η σφαίρα αυτή μετά την κρούση της κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση (αρνητική). δ] Από τη σχέση (3) υ -υ = -υ +υ υ -υ = - (υ υ ) Δηλαδή οι διαφορές των αλγεβρικών τιμών των ταχυτήτων των σφαιρών πριν και μετά την ελαστική τους κρούση είναι αντίθετες. Για παράδειγμα εάν η σφαίρα Σ έχει πριν από την κρούση μεγαλύτερη ταχύτητα από την σφαίρα Σ κατά 5m/s, μετά την κρούση η ίδια σφαίρα Σ θα έχει μικρότερη ταχύτητα από τη σφαίρα Σ κατά 5m/s. Διερεύνηση στην Κεντρική Ελαστική κρούση δύο σωμάτων Α) Εάν οι μάζες των σωμάτων που συγκρούονται είναι ίσες δηλαδή m = m = m, τότε οι σχέσεις (4) και (5) γίνονται : ( m m ) m m = = = m m m = ( m m ) m m m = m = m Δηλαδή τα σώματα μετά την κρούση ανταλλάσσουν ταχύτητες και επειδή οι μάζες τους είναι ίσες ανταλλάσσουν και ορμές και κινητικές ενέργειες. Β) Εάν το ένα σώμα πριν από την κρούση είναι ακίνητο (θεωρώντας ότι το σώμα μάζας m είναι ακίνητο άρα υ = 0 και το σώμα μάζας m κινείται στη θετική κατεύθυνση υ > 0) τότε οι σχέσεις (4) και (5) γίνονται: m (4) (5) 7

m m m 0 m m m m m m m m m m m 0 m m m m m m m i) Εάν οι μάζες των σωμάτων που συγκρούονται είναι ίσες δηλαδή m = m = m, τότε : =0 και = δηλαδή τα σώματα, όπως και στη γενική περίπτωση, ανταλλάσσουν ταχύτητες με αποτέλεσμα το αρχικά κινούμενο να σταματά και το αρχικά ακίνητο να αποκτά την ταχύτητα του άλλου. ii) Εάν το κινούμενο σώμα έχει μεγαλύτερη μάζα από το ακίνητο δηλαδή m > m, τότε: m m m m > 0 (επειδή m -m >0) δηλαδή το σώμα μάζας m συνεχίζει να κινείται προς την θετική κατεύθυνση που είχε και πριν την κρούση. m m m > 0 δηλαδή το σώμα μάζας m αρχίζει να κινείται προς την θετική κατεύθυνση. Άρα και τα δύο σώματα κινούνται προς την ίδια (αρχική) θετική κατεύθυνση. iii) Εάν το κινούμενο σώμα έχει μικρότερη μάζα από το ακίνητο δηλαδή m < m, τότε: m m < 0 (επειδή m -m <0) δηλαδή το σώμα μάζας m αλλάζει κατεύθυνση κίνησης m m πηγαίνοντας προς τα αρνητικά. m m m > 0 δηλαδή το σώμα μάζας m αρχίζει να κινείται προς την θετική κατεύθυνση. Άρα τα δύο σώματα κινούνται με αντίθετες κατευθύνσεις. iv) Εάν το κινούμενο σώμα έχει μάζα πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του ακίνητου δηλαδή m >> m, τότε θεωρούμε τη μάζα m αμελητέα (m 0) και οι ταχύτητες μετά την κρούση γίνονται: m m m m m m m m m m m Δηλαδή το κινούμενο σώμα μάζας m συνεχίζει να κινείται με την ίδια σχεδόν ταχύτητα ενώ το σώμα μάζας m εκτοξεύεται με ταχύτητα διπλάσια από την ταχύτητα που είχε αρχικά το σώμα μάζας m. v) Εάν το κινούμενο σώμα έχει μάζα πολύ μικρότερη από τη μάζα του ακίνητου δηλαδή m << m, τότε θεωρούμε τη μάζα m αμελητέα (m 0) και οι ταχύτητες μετά την κρούση γίνονται: m m m m m m - m m m 0 0 m 8

Δηλαδή το κινούμενο σώμα μάζας m κινείται με την ίδια σχεδόν ταχύτητα αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση ενώ το σώμα μάζας m εξακολουθεί να παραμένει ακίνητο. Ελαστική Κρούση σφαίρας με τοίχο i) Η σφαίρα προσπίπτει με ταχύτητα κάθετη στον τοίχο. Η κρούση είναι ελαστική γ αυτό η κινητική ενέργεια του συστήματος σφαίρατοίχος διατηρείται, αλλά επειδή ο τοίχος είναι συνεχώς ακίνητος διατηρείται η κινητική ενέργεια της σφαίρας επομένως διατηρείται και το μέτρο της ταχύτητας της. Κ ΠΡΙΝ = Κ ΜΕΤΑ. m. =. m. υ αρχ = υ τελ Η ορμή του συστήματος σφαίρα-τοίχος δεν διατηρείται επειδή ο τοίχος δέχεται εξωτερική δύναμη από τη Γη κατά την διάρκεια της κρούσης. Ο τοίχος δεν μεταβάλλει την ορμή του αφού παραμένει ακίνητος άρα η μεταβολή της ορμής του συστήματος είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας P = p ί Η σφαίρα ανακλάται κάθετα στον τοίχο γι αυτό η μεταβολή της ορμής της είναι (θεωρώντας θετική φορά την αρχική φορά κίνησης): Δp = p τελ - p αρχ Δp = -m. υ - m. υ Δp = -m. υ ii) Η σφαίρα προσπίπτει με ταχύτητα που σχηματίζει γωνία με τον τοίχο. -p τελ + p αρχ Επειδή η κρούση είναι ελαστική διατηρείται η κινητική ενέργεια της σφαίρας άρα διατηρείται και το μέτρο της ταχύτητας της. Κ ΠΡΙΝ = Κ ΜΕΤΑ. m. =. m. υ αρχ = υ τελ υ = υ () Η σφαίρα δέχεται δύναμη από τον τοίχο κατά τον άξονα χχ (η δύναμη που ασκεί ο τοίχος είναι πάντα κάθετη σ αυτόν) γ αυτό η ορμή της σφαίρας στον άξονα χχ μεταβάλλεται ενώ η ορμή της στον άξονα ψψ δεν μεταβάλλεται. F p X 0 X 0 p X 0 p X p X t θπ F p = 0 = 0 p = 0 p = p = () t Γωνία πρόσπτωσης θ π: είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της αρχικής ταχύτητας και της καθέτου στο σημείο πρόσπτωσης. Γωνία ανάκλασης θ α: είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της τελικής ταχύτητας και της καθέτου στο σημείο πρόσπτωσης. Από το σχήμα : ημθ Π = και ημθ α = από τις σχέσεις () και () συνεπάγεται ότι ημθ Π = ημθ α θ π = θ α θα θα θπ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε κάθε Ανελαστική κρούση ισχύει: I) Η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) P () = P ( ) p =- p Η διατήρηση της ορμής του συστήματος συνεπάγεται ότι η μεταβολή της ορμής του ενός σώματος είναι αντίθετη της μεταβολής της ορμής του άλλου σώματος. 9

II) Η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται μετά την κρούση γιατί ένα μέρος της μετατρέπεται σε θερμότητα: K = K +Q όπου Q η θερμότητα που εκλύεται κατά την κρούση Η απώλεια της κινητικής του συστήματος είναι η θερμότητα : Q = K - K Q = - ( K + K ) Q = - ΔΚ ολ Q = Επειδή η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται η μεταβολή της κινητικής του ενός σώματος και η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του άλλου σώματος συνδέονται με τη σχέση: ΔΚ + ΔΚ = ΔΚ ολ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Κεντρική ονομάζεται η κρούση στην οποία: α. Τα σώματα κινούνται στην ίδια διεύθυνση. β. Τα σώματα κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις. γ. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκονται στην ίδια ευθεία. δ. Τα κέντρα των μαζών έρχονται σε επαφή.. Ελαστική ονομάζεται η κρούση στην οποία: α. Διατηρείται μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται. β. Διατηρείται η κινητική ενέργεια τους συστήματος των σωμάτων. γ. Ισχύει το γενικό αξίωμα της διατήρησης της ενέργειας. δ. Τα σώματα που συγκρούονται, μετά την κρούση, κινούνται χωριστά. 3. Ανελαστική χαρακτηρίζεται η κρούση στην οποία: α. Τα σώματα μετά την κρούση αποκτούν το αρχικό τους σχήμα. β. Ισχύει το θεώρημα διατήρησης της ορμής. γ. Το σύστημα των σωμάτων που συγκρούονται είναι μονωμένο. δ. Ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα. 4. Πλαστική χαρακτηρίζεται: α. Κάθε ανελαστική κρούση. β. Κάθε κρούση στην οποία υπάρχει απώλεια ενέργειας. γ. Κάθε κρούση στην οποία τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες. δ. Κάθε ανελαστική κρούση που οδηγεί στη δημιουργία συσσωματώματος. 5. Σε κάθε είδους κρούση διατηρείται: α. Μόνο η ορμή του συστήματος. β. Μόνο η ενέργεια του συστήματος. γ. Μόνο η κινητική ενέργεια του συστήματος. δ. Η ορμή και η ενέργεια του συστήματος. 6. Στην ελαστική κρούση διατηρείται: α. Μόνο η ορμή του συστήματος. β. Μόνο η ενέργεια του συστήματος. γ. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος. δ. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος. 7. Στην πλαστική κρούση διατηρείται: α. Η ορμή του συστήματος. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος. γ. Η κινητική ενέργεια του συστήματος. δ. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος. 8. Στην ανελαστική κρούση έχουμε: α. Αύξηση της ενέργειας του συστήματος. β. Μείωση της ορμής του συστήματος. γ. Διατήρηση της ορμής του συστήματος. δ. Διατήρηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος. 0

9. Σύστημα τριών σωμάτων έχουν μηδενική ορμή. Αυτό σημαίνει ότι: α. Το σύστημα είναι μονωμένο. β. Το σύστημα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. γ. Η ορμή του ενός σώματος είναι αντίθετη της συνολικής ορμής των άλλων δύο ή είναι ακίνητα. δ. Τα σώματα είναι σίγουρα ακίνητα. 0. Σε κάθε κρούση, εφόσον το σύστημα των σωμάτων που συγκρούονται είναι μονωμένο, ισχύει: α. Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. β. Η διατήρηση της κινητικής ενέργειας. γ. Η διατήρηση της ορμής. δ. Η διατήρηση της ορμής και της κινητικής ενέργειας.. Όταν ένα σώμα συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα ίδιας μάζας που κινείται, τότε: α. Τα σώματα ανταλλάσσουν μόνο ταχύτητες. β. Τα σώματα ανταλλάσσουν μόνο ορμές. γ. Τα σώματα ανταλλάσσουν μόνο κινητικές ενέργειες. δ. Τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες, ορμές και κινητικές ενέργειες.. Όταν ένα σώμα μεγάλης μάζας συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα πολύ μικρότερης μάζας που είναι ακίνητο, τότε: α. Το σώμα μεγάλης μάζας διατηρεί την ορμή του. β. Το σώμα μικρής μάζας αποκτά διπλάσια κινητική ενέργεια από αυτήν που είχε το σώμα μεγάλης μάζας πριν την κρούση. γ. Μειώνεται η κινητική ενέργεια του συστήματος. δ. Τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες. 3. Όταν ένα σώμα μικρής μάζας συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα πολύ μεγαλύτερης μάζας που είναι ακίνητο, τότε: α. Το σώμα μεγάλης μάζας θα μετακινηθεί. β. Η κινητική ενέργεια του μικρού σώματος θα παραμείνει σχεδόν η ίδια. γ. Μειώνεται η κινητική ενέργεια του συστήματος. δ. Τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες. 4. Δύο σφαίρες με μάζες m και m ( m m ) από τις οποίες η μια είναι αρχικά ακίνητη συγκρούονται πλαστικά. α. Η ορμή του συστήματος ελαττώνεται. β. Η ενέργεια που γίνεται θερμότητα κατά την κρούση είναι ανεξάρτητη από το ποια από τις δύο σφαίρες είναι ακίνητη. γ. Το ποσοστό ενέργειας που γίνεται θερμότητα κατά την κρούση είναι ανεξάρτητο από το ποια από τις δύο σφαίρες είναι ακίνητη. δ. Το ποσοστό της ενέργειας που γίνεται θερμότητα κατά την κρούση είναι ανεξάρτητο της μάζας της κάθε σφαίρας. 5. Μια σφαίρα μάζας m συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με ακίνητη σφαίρα ίδιας ακτίνας μάζας m. Ο λόγος της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος προς την τελική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: m m m m α. β. γ. + δ. + m m m m 6. Μια σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη δεύτερη σφαίρα ίδιας μάζας. Το ποσοστό της απώλειας της κινητικής της ενέργειας είναι : α. 5 0 0 β. 50 0 0 γ. 75 0 0 δ. 00 0 0

7. Μια σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με ακίνητη δεύτερη σφαίρα ίδιας μάζας. Το ποσοστό απώλειας της κινητικής της ενέργειας της πρώτης σφαίρας είναι : α. 5 0 0 β. 50 0 0 γ. 75 0 0 δ. 00 0 0 8. Μια ελαστική σφαίρα μπιλιάρδου κτυπάει σε άλλη ακίνητη σφαίρα ίδιας μάζας αλλά όχι μετωπικά. α. Οι σφαίρες μετά την κρούση θα κινηθούν κάθετα μεταξύ τους ανεξάρτητα με τον τρόπο που συγκρούονται. β. Η κινητική ενέργεια διατηρείται και οι σφαίρες θα κινηθούν σε διευθύνσεις που εξαρτώνται από τον τρόπο σύγκρουσης των σφαιρών. γ. Αφού η κρούση είναι ελαστική, η κινητική ενέργεια διατηρείται αλλά η ορμή του συστήματος των σφαιρών διατηρείται μόνο στον άξονα της διακέντρου. δ. Επειδή η κρούση δεν είναι μετωπική, η κινητική ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται. 9. Δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά και μετωπικά και η κινητική τους ενέργεια μετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε θερμότητα. Επομένως πριν την κρούση, τα σώματα είχαν: α. Ίδιες ταχύτητες β. Ίδιες μάζες γ. Ίδιες κινητικές ενέργειες δ. Αντίθετες ορμές. 0. Ένα σώμα μάζας m κτυπά ελαστικά στη λεία οριζόντια επιφάνεια και ανακλάται. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι π και η γωνία ανάκλασης είναι α, τότε: α. π=α και υ =υ β. π=α και υ υ γ. π α και υ =υ δ. π α και υ υ. Ένα σώμα μάζας m κτυπά ανελαστικά στη οριζόντια επιφάνεια και ανακλάται. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι π και η γωνία ανάκλασης είναι α, τότε: α. π = α και υ = υ β. π = α και υ υ γ. π > α και υ > υ δ. π < α και υ > υ. Δύο σώματα ίδιας μάζας κινούνται με ταχύτητες υ και υ και σε κάθετες διευθύνσεις σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τα σώματα συγκρούονται πλαστικά και το συσ-σωμάτωμα αποκτάει ταχύτητα που έχει μέτρο V όπου: α. V= υ +υ β. V γ. V= υ +υ δ. 4V = υ +υ 3. Δύο σφαίρες με μάζες m και m έχουν την ίδια ακτίνα. Δίνουμε στη σφαίρα μάζας m ταχύτητα υ και συγκρούεται με την ακίνητη μάζα m. Αν η κρούση είναι κεντρική ελαστική για να έχουμε max πρέπει: α. m = m β. m > m γ. m >> m δ. m << m 4. Δύο σφαίρες με μάζες m και m έχουν την ίδια ακτίνα. Δίνουμε στη σφαίρα μάζας m ταχύτητα υ και συγκρούεται με την ακίνητη μάζα m. Αν η κρούση είναι κεντρική ελαστική για να έχουμε p p max πρέπει: α. m = m β. m > m γ. m >> m δ. m << m 5. Δύο σφαίρες με μάζες m και m έχουν την ίδια ακτίνα. Δίνουμε στη σφαίρα μάζας m ταχύτητα υ και συγκρούεται με την ακίνητη μάζα m. Αν η κρούση είναι κεντρική ελαστική για να έχουμε K K max πρέπει: α. m = m β. m > m γ. m >> m δ. m << m 6. Σωμάτιο α (m α=4m p) εκτοξεύεται με ταχύτητα υ προς ακίνητο πυρήνα στοι-χείου και επιστρέφει με την ίδια ταχύτητα. Το στοιχείο αυτό μπορεί να είναι:

α. Ήλιο (m He = 4m p) β. Υδρογόνο (m H =m p) γ. Χρυσός (m Au = 97m p) δ. Λίθιο (m Li =6m p) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 7. Σωμάτιο α (m α=4m p) εκτοξεύεται με ταχύτητα υ προς ακίνητο πυρήνα στοι-χείου και μεταφέρει στον πυρήνα το 00 0 0 της κινητικής του ενέργειας. Το στοιχείο αυτό μπορεί να είναι: α. Ήλιο (m He=4m p) β. Υδρογόνο (m H =m p) γ. Χρυσός (m Au=97m p) δ. Λίθιο (m Li=6m p) 8. Μία σφαίρα Α μάζας m A συγκρούεται ελαστικά με άλλη σφαίρα Β μάζας m B, που αρχικά ηρεμεί. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις. Αυτό σημαίνει ότι η κρούση είναι: α. Κεντρική και ισχύει m A= m B β. Έκκεντρη και ισχύει m A> m B γ. Έκκεντρη και ισχύει m A= m B δ. Κεντρική και ισχύει m A> m B 9. Το διπλανό διάγραμμα δείχνει τις ταχύτητες δύο σφαιρών Α και Β, που τα κέντρα μάζας τους κινούνται στην ίδια ευθεία γραμμή, σε σχέση με το χρόνο, πριν και μετά την κρούση τους. Ι. Για τις μάζες των σφαιρών ισχύει: α. m A = m B β. m A = 5 m B γ. m A = 3 m B δ. 5 m A = 3 m ΙΙ. Η κρούση των σφαιρών είναι: α. Πλαστική β. Ελαστική γ. ανελαστική 30. Σώμα μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ. Στην πορεία του συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο τοίχο. Η μεταβολή στην ορμή του σώματος έχει μέτρο: m α. 0 β. γ. m. υ δ.. mυ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μικρό σώμα μάζας m =6Kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =0m/s. Το σώμα αυτό συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλο μικρό σώμα μάζας m = 4Kg, το οποίο κινείται με ταχύτητα μέτρου υ =5m/s, ίδιας φοράς με την ταχύτητα του σώματος μάζας m. Να υπολογίσετε: α. τις ταχύτητες των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. β. το πηλίκο της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m προς τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m. [Απ. α) 6m/s, m/s, β) -]. Δύο μικρές σφαίρες με μάζες m =Kg και m =3Kg κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =4m/s και υ =m/s αντίστοιχα και αντίθετης φοράς, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται ελαστικά. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα κάθε σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. β. τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας εξαιτίας της κρούσης. γ. τη μέση δύναμη που άσκησε η μία σφαίρα στην άλλη κατά τη διάρκεια της κρούσης, αν γνωρίζετε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης ισούται με Δt=0,0s. δ. το ποσοστό επί τοις εκατό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) -5m/s, m/s, β) -9Kg. m/s, +9 Kg. m/s, γ) 900Ν, 900Ν, δ) 56,5%, -75%] 3. Μικρή σφαίρα μάζας m =Kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =8m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη μικρή σφαίρα μάζας m =Kg, που έχει ταχύτητα υ, αντίθετης φοράς από αυτή της ταχύτητας υ. Η αλγεβρική τιμή της B 3

kg. m ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση ισούται με +. Να s υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m πριν την κρούση. β. την κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων. γ. την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας κάθε σώματος αμέσως μετά την κρούση. δ. τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) 4m/s, β) 6J, γ) -0m/s, 3m/s, δ) 4J] 4. Δύο σώματα με μάζες m =0Kg και m κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητες αντίθετης φοράς και μέτρου υ =6m/s και υ αντίστοιχα. Τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά και με την κρούση ανταλλάσσουν τις ορμές τους. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση ισούται με =4m/s. α. να υπολογίσετε τη μάζα m. β. να υπολογίσετε την ταχύτητα υ. γ. να αποδείξετε ότι αν τα δύο σώματα είχαν ίσες μάζες, τότε εξαιτίας της κρούσης τους θα αντάλλασσαν τις ταχύτητες τους, τις ορμές τους καθώς και τις κινητικές τους ενέργειες. [Απ. α) 5Kg, β) -4m/s, γ) K =Κ και K =Κ ] 5. Σφαίρα Α μάζας m =3 kg κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αρχικά ακίνητη σφαίρα Β μάζας m =7 kg. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας Α μετά την κρούση είναι μικρότερη από την αρχική της κατά 6 J. Να υπολογιστούν: α) η αρχική ταχύτητα της σφαίρας Α και β) οι τελικές ταχύτητες των δυο σφαιρών. [Απ. υ = 0 m/s, υ = -4 m/s, υ = 6 m/s] 6. Σφαίρα Α μάζας m = 5 kg συγκρούεται, με ταχύτητα υ, μετωπικά και ελαστικά με αρχικά ακίνητη σφαίρα Β μάζας m = 3 kg. Η σφαίρα Β έχει μετά την κρούση ταχύτητα υ = 0 m/s. Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής και η μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας κατά την κρούση. [Απ. ΔΡ = - 30 kgm/s, ΔΡ = 30 kgm/s, ΔΚ =-50J, ΔΚ =+50J] 7. Ακίνητο σώμα μάζας m =5Kg βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με σώμα μάζας m =3Kg που έχει ταχύτητα μέτρου υ =8m/s. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα μάζας m αρχίζει να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο, από το οποίο δέχεται σταθερή δύναμη τριβής μέτρου Τ=5Ν, και σταματά τελικά αφού διανύσει απόσταση s από την αρχική του θέση ηρεμίας. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση. β. την απόσταση s. γ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων που έγινε θερμότητα λόγω της δύναμης τριβής που δέχθηκε το σώμα μάζας m μέχρι την ακινητοποίηση του. [Απ. α) 6m/s, β) 3,6m, γ) 93,75%] 8. Μία σφαίρα μάζας m =4Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα ίσης μάζας (m =m ). Το σώμα μάζας m μετά την κρούση ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4 και τελικά σταματά αφού διανύσει διάστημα s =,5 m από την αρχική του θέση ηρεμίας. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση. β. τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας εξαιτίας της κρούσης. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με g=0m/s. [Απ. α) 0m/s, β) -00J] 4

9. Σώμα μάζας m =Kg είναι δεμένο στο ένα άκρο αβαρούς, μη εκτατού νήματος μήκους =4,5m το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο Ο όπως στο διπλανό σχήμα. Το σώμα μάζας m είναι αρχικά ακίνητο με το νήμα κατακόρυφο. Άλλο σώμα μάζας m =3Kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =5m/s και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας m. Να υπολογίσετε: α. τις ταχύτητες των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. β. τη μέγιστη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο μετά την κρούση. γ. το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με g=0m/s. Θεωρήστε αμελητέες τις κάθε είδους τριβές κατά την κίνηση των σωμάτων. [Απ. α) m/s, 6m/s, β) συνφ=0,6, γ) 96%] 0. Μικρό σώμα μάζας m =4Kg είναι δεμένο στο ένα άκρο αβαρούς, μη εκτατού νήματος μήκους =,8m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο από τη θέση που το εκτρέψαμε, χωρίς αρχική ταχύτητα. Όταν το νήμα γίνει κατακόρυφο, το σώμα μάζας m συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m =Kg, το οποίο βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο. Το σώμα μάζας m μετά την κρούση κινείται πάνω στο οριζόντιο δάπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ, και διανύει διάστημα s=0m μέχρι να σταματήσει. Να υπολογίσετε: α. τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. β. τη μέγιστη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο μετά την κρούση. γ. το συντελεστή τριβής ολίσθησης μ, μεταξύ του σώματος μάζας m και του οριζόντιου δαπέδου. δ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής ενέργειας του σώματος m που έγινε θερμότητα λόγω τριβής κατά την κίνηση του σώματος μάζας m στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. Θεωρήστε ότι το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ταυτίζεται με το οριζόντιο δάπεδο. [α) =m/s, =8m/s, β) συνφ=8/9, γ) 0,6, δ) 88,89%]. Μικρό σώμα μάζας m =Kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ορμή μέτρου p =0Kg. m/s και συγκρούεται πλάγια με ακίνητο μικρό σώμα μάζας m =m. Μετά την κρούση, η ορμή του σώματος μάζας m έχει μέτρο p =6 Kg. m/s και οι διευθύνσεις κίνησης των δύο σωμάτων σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 90 ο. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της ορμής του σώματος μάζας m μετά την κρούση. β. Να αποδείξετε ότι η κρούση των δύο σωμάτων είναι ελαστική. [Απ. α) Kg. m/s]. Μικρή σφαίρα μάζας m =4Kg κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =5m/s και συγκρούεται πλάγια με ακίνητη σφαίρα μάζας m =m. Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες κινούνται σε διευθύνσεις που σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία και η σφαίρα μάζας m έχει ταχύτητα υ που σχηματίζει γωνία θ=37 ο με τη διεύθυνση της κίνησης της πριν την κρούση. α. Να αποδείξετε ότι η κρούση των δύο σφαιρών είναι ελαστική. β. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σφαιρών μετά την κρούση. γ. Να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας εξαιτίας της κρούσης. Δίνεται ότι ημ37 ο =0,6 και συν37 ο =0,8. [Απ. β) m/s, 9m/s, γ) -6J, +6J] 3. Δύο σφαίρες ίδιας μάζας Α και Β συγκρούονται πλάγια ελαστικά. Πριν την κρούση οι ταχύτητες των σφαιρών έχουν μέτρα υ =0m/s και υ =0m/s αντίστοιχα και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ=30 ο. 5

Μετά την κρούση οι ταχύτητες των σφαιρών έχουν μέτρα υ =0 3 m/s και υ =0 m/s αντίστοιχα και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία θ. Να βρείτε τη γωνία θ. [Απ. 45 ο ] 4. Το σώμα μάζας Μ=3,99Kg του διπλανού σχήματος είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Ένα βλήμα μάζας m=0,0kg, που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ και διεύθυνσης που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ= 45 ο, συγκρούεται πλάγια ελαστικά με το σώμα. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του βλήματος στον άξονα yy, εξαιτίας της κρούσης του με το σώμα, ισούται με Δp m(y)=kg. m/s. Το συσσωμάτωμα μετά την κρούση εισέρχεται σε περιοχή του οριζόντιου δαπέδου όπου εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος πριν την κρούση. β. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ. Το διάστημα που διάνυσε το συσσωμάτωμα, από τη στιγμή που εισήλθε στην περιοχή του δαπέδου που εμφανίζει τριβή μέχρι να σταματήσει. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. α) 00 m/s, β) 0,5m/s, γ),5m] 5. Μικρή σφαίρα μάζας m=5kg προσπίπτει σε λείο οριζόντιο δάπεδο υπό γωνία φ=60 ο με ταχύτητα μέτρου υ =8m/s, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα συγκρούεται ελαστικά με το δάπεδο και ανακλάται με ταχύτητα υ που σχηματίζει με την κατακόρυφη στο σημείο της κρούσης γωνία θ. α. Να αποδείξετε ότι η γωνία ανάκλασης θ ισούται με τη γωνία πρόσπτωσης φ. β. Να υπολογίσετε την μεταβολή του μέτρου της ορμής της σφαίρας. γ. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας. δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχθηκε η σφαίρα από το δάπεδο κατά την κρούση, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης ισούται με Δt= 0,0s. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. β) 0 Kg. m/s, γ) 40Kg. m/s, δ) 4050Ν] 6. Μια ελαστική σφαίρα μάζας m=kg κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται ελαστικά με οριζόντιο δάπεδο. Η σφαίρα αναπηδά με ταχύτητα μέτρου υ =0 m/s, η διεύθυνση της οποίας είναι κάθετη με τη διεύθυνση που είχε η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση. α. Να υπολογίσετε το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας υ. β. Να βρείτε τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας εξαιτίας της κρούσης. γ. Αν το μέτρο της μέσης δύναμης που ασκήθηκε στη σφαίρα κατά τη διάρκεια της κρούσης ισούται με F= 40Ν, να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια της κρούσης της σφαίρας με το δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. α) 0 m/s, φ=45 0, β) 40Kg. m/s, γ) 0,s] 7. Δύο σώματα με μάζες m =Kg και m =3Kg κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητες μέτρου υ =0m/s και υ =3m/s αντίστοιχα, που έχουν τον ίδιο φορέα και αντίθετη κατεύθυνση. Τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και ανελαστικά, χωρίς να δημιουργείται συσσωμάτωμα. Η ορμή του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση είναι αντίθετη από αυτή που είχε το ίδιο σώμα ελάχιστα πριν την κρούση. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση. β. τη θερμότητα που εκλύθηκε εξαιτίας της κρούσης των δύο σωμάτων. γ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής μηχανικής ενέργειας που παρέμεινε στο σύστημα μετά την κρούση. [Απ. α) m/s, β) 99J, γ),78%] 6

8. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα βλήμα μάζας m =500 g που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ έχοντας κινητική ενέργεια Κ =600J. Το βλήμα συναντά ακίνητο σώμα μάζας m, το οποίο βρίσκεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο, συγκρούεται μαζί του μετωπικά και ανελαστικά και εξέρχεται από αυτό με κινητική ενέργεια που ισούται Κ = Κ /4. Η απώλεια μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης ισούται με Ε απώλ=75j. Να υπολογίσετε: α. την κινητική ενέργεια του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση. β. τη μεταβολή της ορμής του σώματος μάζας m εξαιτίας της κρούσης. γ. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση. [Απ. α) 5J, β) -0Kg. m/s, γ),5m/s] 9. Ένα βλήμα μάζας m=500 g κινείται οριζόντια και συγκρούεται με ταχύτητα υ =600 m/s με ένα ακίνητο αρχικά σώμα μάζας Μ=40 kg. Το βλήμα διαπερνά το σώμα και εξέρχεται από αυτό με ταχύτητα =00 m/s. Το σώμα ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και σταματάει αφού διανύσει s=5 m. Να βρείτε: α) Το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου. β) Τη μεταβολή της ορμής κάθε σώματος κατά την κρούση. γ) Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σώματος κατά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. α) μ=0,5, β) -00Kg. m/s, +00Kg. m/s, γ) -8. 0 4 J, +500J] 0. Ακίνητο μικρό σώμα μάζας m =,5Kg βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται μετωπικά και ανελαστικά με βλήμα μάζας m =80g, το οποίο κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ ο. Το βλήμα εξέρχεται από το σώμα με ταχύτητα μέτρου υ =υ ο/4. Μετά την κρούση, το σώμα μάζας m ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4 και ακινητοποιείται αφού διανύσει διάστημα s=m. Να υπολογίσετε: α. την ορμή του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση. β. την κινητική ενέργεια του βλήματος πριν την κρούση. γ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μετατράπηκε σε θερμότητα λόγω τριβής εξαιτίας της κίνησης του σώματος μάζας m στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. α) 6Kg. m/s, β) 400J, γ) 3%]. Σφαίρα μάζας m = 4 kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h=3, m πάνω από οριζόντιο επίπεδο. Η κρούση της σφαίρας με το επίπεδο είναι ανελαστική και μετά την κρούση η σφαίρα φθάνει σε ύψος h =h/4 από το επίπεδο. Να υπολογιστούν: α) η μεταβολή της ορμής της σφαίρας κατά την κρούση της με το επίπεδο και β) η απώλεια ενέργειας κατά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s. [Απ. P =48 kgm/s, ΔΚ= -96 J]. Δύο μικρές σφαίρες με μάζες m =Kg και m =4Kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητες μέτρου υ =m/s και υ =0m/s αντίστοιχα, οι διευθύνσεις των οποίων σχηματίζουν γωνία 90 ο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται πλάγια και ανελαστικά. Μετά την κρούση η ταχύτητα της σφαίρας μάζας m σχηματίζει γωνία 90 ο με την αρχική της διεύθυνση, ενώ η ταχύτητα της σφαίρας μάζας m σχηματίζει γωνία θ=45 ο με την αρχική της διεύθυνση. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας m αμέσως μετά την κρούση. β. το ποσοστό επί τοις εκατό της απώλειας μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης. γ. το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας m εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) 6 m/s, β) 39,53%, γ) 8,84Kg. m/s] 3. Μικρή σφαίρα που έχει μάζα m =Kg κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =0 7 m/s και συγκρούεται πλάγια ανελαστικά με ακίνητη μικρή σφαίρα μάζας m =Kg. Μετά την 7

κρούση τα δύο σώματα κινούνται με ίσες κατά μέτρο ταχύτητες που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία θ=60 ο. Να υπολογίσετε: α. τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σφαιρών αμέσως μετά την κρούση. β. την απώλεια μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) 0m/s, β) 00J] 4. Σώμα μάζας Μ=0 kg είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας m= kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ= 60 m/s συγκρούεται πλαστικά με το σώμα. Να βρείτε την ταχύτητα του συστήματος μετά την κρούση και το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. Απ. υ = 0 m/s, +83,3%] 5. Ένα βλήμα μάζας m =0g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ και συναντά σώμα μάζας m =3,98 Kg, το οποίο είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται έχει αμέσως μετά την κρούση ταχύτητα μέτρου υ κ=m/s. Να υπολογίσετε: α. την κινητική ενέργεια του βλήματος πριν την κρούση. β. την απώλεια μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης των δύο σωμάτων. [Απ. α) 600J, β) 59J] 6. Ένα σώμα μάζας m =3Kg, που κινείται με ταχύτητα υ, συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m, το οποίο βρίσκεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Αμέσως μετά την κρούση η ορμή του συσσωματώματος που προκύπτει έχει μέτρο p συστ=48kg. m/s, ενώ η κινητική του ενέργεια ισούται με Κ συστ= 44J. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της ταχύτητας υ. β. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ. Τη θερμότητα που εκλύθηκε εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) 6m/s, β) 6m/s, γ) 40J] 7. Σε λείο οριζόντιο δάπεδο κινείται σώμα μάζας m =6Kg με ταχύτητα υ και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m =4Kg. Η απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση ισούται με Ε απώλ=480j. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας υ. β. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m που παρέμεινε μετά την κρούση στο σύστημα των δύο σωμάτων. [Απ. α) 0m/s, β) 60%] 8. Δύο σώματα με μάζες m =3Kg και m =Kg κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητες μέτρου υ =0m/s και υ =5m/s αντίστοιχα, που έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Τα δύο αυτά σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα του συσσωματώματος. β. το ποσοστό επί τοις εκατό της μηχανικής ενέργειας που έγινε θερμότητα εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) 0m/s, β) 60%] 9. Δύο σώματα με μάζες m =7Kg και m =3Kg, που κινούνται με ταχύτητες υ και υ αντίστοιχα, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει από την κρούση έχει κινητική ενέργεια μηδέν. Αν δίνεται ότι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m πριν την κρούση ισούται με υ = m/s, να υπολογίσετε: α. το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας υ του σώματος μάζας m πριν την κρούση, θεωρώντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας υ. β. την απώλεια ενέργειας εξαιτίας της κρούσης. γ. τη μεταβολή της ορμής του σώματος μάζας m εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) -8m/s, β) 680J, γ) 84Kg. m/s] 8

30. Σώμα μάζας m =m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και πέφτει με ταχύτητα υ = m/s σε ακίνητο σώμα μάζας m =m. Η κρούση είναι κεντρική και πλαστική. Να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει το συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει. Δίνεται ο συντελεστής τριβής μεταξύ συσσωματώματος και δαπέδου μ=/8 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. [Απ. 0,4 m] 3. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα ακίνητο σώμα μάζας Μ=3,98Kg, που βρίσκεται σε επαφή με οριζόντιο δάπεδο, και ένα βλήμα μάζας m=0g, που κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ ο=400m/s. Τα δύο αυτά σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και το συσσωμάτωμα που προκύπτει κινείται στο οριζόντιο δάπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων εξαιτίας της κρούσης. γ. το διάστημα s που διάνυσε το συσσωμάτωμα στο οριζόντιο δάπεδο μέχρι να σταματήσει. δ. τη θερμότητα που παράχθηκε εξαιτίας της τριβής κατά την κίνηση του συσσωματώματος από τη χρονική στιγμή της δημιουργίας του μέχρι τη χρονική στιγμή της ακινητοποίησης του. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. α) m/s, β) 59J, γ) m] 3. Ένα σώμα μάζας Μ=,99Kg κρέμεται ακίνητο από κατακόρυφο, αβαρές νήμα μήκους =0,4m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε σημείο Ο στην οροφή. Ένα βλήμα μάζας m=0,0kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ =600m/s και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα μάζας Μ. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος, που παρέμεινε στο σύστημα με τη μορφή κινητικής ενέργειας. γ. τη μέγιστη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο που διέρχεται από το σημείο Ο μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. α) m/s, /3 %, 60 0 ] 33. Από αβαρές, μη εκτατό νήμα μήκους =0,8m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή, κρέμεται ένα σώμα μάζας m =4 Kg. Εκτρέπουμε το σώμα αυτό από τη θέση ισορροπίας του ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί από τη θέση που το εκτρέψαμε, χωρίς αρχική ταχύτητα. Όταν το νήμα γίνει κατακόρυφο, το σώμα μάζας m συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με βλήμα μάζας m = 0,5Kg, που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ. Το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση έχει ταχύτητα ίδιας φοράς με αυτή της ταχύτητας υ και κινητική ενέργεια που ισούται με Κ συσς =9 J. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ. γ. Να βρείτε τη θερμότητα που εκλύθηκε κατά την πλαστική κρούση. δ. Να βρείτε ποιο θα έπρεπε να είναι το μέτρο της ταχύτητας υ του βλήματος, ώστε μετά την πλαστική κρούση το συσσωμάτωμα να ακινητοποιηθεί στιγμιαία στη θέση όπου το νήμα είναι οριζόντιο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. [Απ. α) 9Kg. m/s, β) 50m/s, γ) 648J, δ) 68m/s] 9

34. Ένα μικρό σώμα μάζας m =Kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =6m/s και συγκρούεται με άλλο μικρό σώμα μάζας m =Kg που κινείται στο ίδιο λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ =9m/s. Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων πριν την κρούση έχουν κάθετες διευθύνσεις και η κρούση είναι πλαστική. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. την απώλεια μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης των δύο σωμάτων. [Απ. α) 5m/s, συνφ=0,8, β) 39J] 35. Δύο μικρές σφαίρες που κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο σε διευθύνσεις που είναι κάθετες μεταξύ τους, έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και ίσες κατά μέτρο ορμές. Το δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται έχει ορμή μέτρου p συσσ=0kg. m/s και κινητική ενέργεια Κ συσσ=5j. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ορμής κάθε σφαίρας πριν την κρούση. β. την κατεύθυνση της ορμής του συσσωματώματος. γ. την απώλεια μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) 5 Kg. m/s, β) 45 ο, γ) 5J] 36. Οι δυο σφαίρες του σχήματος κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις με Α ταχύτητες υ = υ και υ. Οι σφαίρες συγκρούονται πλαστικά. Αν η τελική ταχύτητα του συσσωματώματος σχηματίζει γωνία φ = 60 ο με αρχική διεύθυνση κίνησης της σφαίρας Α, να υπολογιστούν: m α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος, β) η ταχύτητα της σφαίρας Β πριν από την κρούση και γ) η μείωση της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. Οι υπολογισμοί να δοθούν σε συνάρτηση με τη μάζα m και την ταχύτητα υ. υ B υ m την 37. Δύο σφαίρες με μάζες m =Kg και m =Kg κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητες μέτρου υ =4m/s και υ =m/s αντίστοιχα και με κατευθύνσεις που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ=60 ο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται από την κρούση. β. την απώλεια ενέργειας του συστήματος των δύο σφαιρών εξαιτίας της κρούσης. [Απ. α) 4 3 3 m/s, 300, β) 4J] 3 7 [Απ. υ = υ/3, υ = υ, ΔΚ =- mυ ] 38. Δύο σώματα έχουν ίσες μάζες και ίσου μέτρου ταχύτητες υ. Οι διευθύνσεις κίνησης των σωμάτων σχηματίζουν γωνία φ = 60 ο μεταξύ τους. Τα σώματα συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογιστεί η τελική ταχύτητα του συσσωματώματος. [Απ. υ = 3 υ/, στη διεύθυνση της διχοτόμου των 60 0 ] 39. Δύο σώματα της ίδιας μάζας m κινούνται με ταχύτητα ίδιου μέτρου υ 0 σε διευθύνσεις που σχηματίζουν γωνία φ. Αν η κρούση είναι πλαστική και μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα μέτρου υ= υ 0, να βρείτε την φ. [Απ. 90ο ] 0