ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΟΥΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ και ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Παναγιώτης Ευστρατίου Ψώμος ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΟΥΣ Επιβλέπων: Καθηγητής Θεόδωρος Δ. Τσιμπούκης Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2003

Όσα βουνά κι αν ανεβείτε, aπ τις κορφές τους θ αγναντεύετε άλλες κορφές ψηλότερες, µιαν άλλη πλάση ξελογιάστρα. Και στην κορφή σαν φτάστε την κατάψηλη, πάλε θα καταλάβετε πως βρίσκεστε σαν πρώτα κάτω απ όλα τ άστρα... Κωστής Παλαµάς

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε κατά το τελευταίο έτος των προπτυχιακών μου σπουδών και όπως προκύπτει από τον τίτλο, ασχολείται με την ανάλυση και την προσομοιωτική μελέτη μικροταινιακών διατάξεων με τη δημοφιλή μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου. Η εργασία ασχολείται με ορισμένες μόνο πτυχές τους και προφανώς δέν εξαντλεί το θέμα το οποίο αποτελεί πεδίο συνεχούς έρευνας. Στο σημείο αυτό, θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον καθηγητή κ. Θεόδωρο Δ. Τσιμπούκη, όχι μόνο για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με αυτήν την εργασία, αλλά και την εμπιστοσύνη που μου έδειξε καθώς και για τις συμβουλές που μου έδωσε τις οποίες εύχομαι να αξιοποιήσω. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω το Διδάκτορα Μηχανικό κ. Νικόλαο B. Κανταρτζή για την ευγένειά του, την βοήθεια και τον χρόνο που αφιέρωσε σε εμένα, καθώς και τη συμπαράστασή του καθόλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Τέλος, ευχαριστώ το Θεό που μου χάρισε δύο υπέροχους γονείς και έναν εκπληκτικό αδερφό οι οποίοι αποτελούν ότι σημαντικότερο έχω, την οικογένειά μου. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2003 Ψώμος Ε. Παναγώτης

4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...7 1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ...9 1.1 Οι εξισώσεις του Maxwell... 9 1.2 Ο αλγόριθμος του Yee... 10 1.3 Πεπερασμένες διαφορές και εφαρμογή τους στις εξισώσεις του Maxwell... 12 1.4 Αριθμητική ευστάθεια... 13 1.5 Απορροφητικές συνθήκες... 14 1.6 Ορισμός του Τέλεια Προσαρμοσμένου Στρώματος (PML)... 14 2. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ...19 2.1 Εισαγωγή... 19 2.2 Μικροταινία... 20 2.3 Κεραίες Μικροταινίας... 21 2.4 Παράμετροι Σκέδασης... 22 2.5 Προσομοιωτική Μελέτη Διατάξεων Μικροταινίας... 24 2.5.1 Διακριτοποίηση και Καθορισμός Χωρικού και Χρονικού Βήματος... 24 2.5.2 Μοντελοποίηση των Υλικών... 25 2.5.3 Εισαγωγή του Παλμού Διέγερσης... 26 2.5.4 Καθορισμός Συνθηκών Τερματισμού του Υπολογιστικού Χώρου... 26 2.5.5 Υπολογισμός S Παραμέτρων... 27 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ...31 3.1 Μετασχηματιστής λ/4(quarter Wave Transformer)... 31 3.2 Χαμηλοπερατό Φίλτρο(Low pass Filter)... 38 3.3 Διασύνδεση Μικροταινιών μέσω Διηλεκτρικής Γέφυρας.... 48 3.4 Ανάλυση και Μείωση Παρεμβολών (Crosstalk) σε Συζευγμένες Μικροταινίες... 57 3.5 Ορθογωνική Κεραία Μικροταινίας... 64

3.6 Μείωση Μεγέθους Κεραίας Μικροταινίας... 72 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 75 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 77 6

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ραγδαία εξέλιξη των υπολογιστικών συστημάτων, τις τελευταίες δεκαετίες, οδήγησε στην ταχύτατη ανάπτυξη αριθμητικών μεθόδων για την ε πίλυση προβλημάτων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Η σχεδίαση και η έ ρευνα σε πολλούς τομείς, όπως για παράδειγμα στις γραμμές μεταφοράς, τις κεραίες και τα ψηφιακά κυκλώματα βασίζονται σημαντικά στα αποτελέσματα των τεχνικών αυτών οι οποίες επιχειρούν να προσομοιώσουν σύνθετες εφαρμογές, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που επιβάλλονται από τη γεωμετρία, τα χαρακτηριστικά και την φυσική του εκάστοτε προβλήματος. Ορισμένες από τις πλέον δημοφιλείς αριθμητικές τεχνικές είναι η μέθοδος των ροπών (Method of Moments: MoM), η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method: FEM) και η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain: FDTD). Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου, της οποίας τα κυριότερα πλεονεκτήματα είναι τα ακόλουθα: Δεν απαιτεί την επίλυση συστήματος εξισώσεων. Συνδυάζει την απλότητα στην υλοποίηση με την μαθηματική ευρωστία ακόμα και σε σχετικά σύνθετες εφαρμογές. Επιτρέπει την μελέτη των ηλεκτρομαγνητικών φαινοιμένων (διάδοση, σκέδαση κλπ.) απευθείας στο πεδίο του χρόνου. Παρέχει σημαντική ευελιξία στην επιλογή σχημάτων διέγερσης και απορροφητικών συνθηκών σε αντίθεση με άλλες μεθόδους. Έχει ικανοποιητική ακρίβεια και εμφανίζει αξιοσημείωτη αλγοριθμική ευστάθεια. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7

Στα κεφάλαια που ακολουθούν πραγματοποιείται η μελέτη ορισμένων διατάξεων μικροταινίας με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου, ενώ παράλληλα εξετάζεται η αξιοπιστία του αλγορίθμου στον υπολογισμό των κυκλωματικών παραμέτρων των εν λόγω εφαρμογών. 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου και τα βασικά τμήματα του αλγορίθμου του Yee, με έμφαση στη χρήση των απορροφητικών οριακών συνθηκών και πιο συγκεκριμένα του τέλεια προσαρμοσμένου στρώματος (Perfectly Matched Layer: PML). 1.1 Οι εξισώσεις του Maxwell Οι εξισώσεις του Maxwell που ισχύουν για γραμμικά, ισοτροπικά και ομογενή μέσα είναι οι H E t H r r r µ σ µ = 1 (1.1α) E H t E r r r ε σ ε = 1 (1.1β) οποίες, αν προχωρήσουμε σε ανάλυση του τελεστή στροφής σε καρτεσιανές συντεταγμένες, καταλήγουν στις εξής έξι διαφορικές εξισώσεις, = x y z x E z H y H t E σ ε 1 (1.2α) = y z x y E x H z H t E σ ε 1 (1.2β) = z x y z E y H x H t E σ ε 1 (1.2γ) = x z y x H y E z E t H * 1 σ µ r (1.3α)

r H y x * t r t 1 E z = µ x 1 E = µ y E z E y x σ H H z x * σ H y z (1.3β) (1.3γ) Οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις, αποτελούν τη βάση της αριθμητικής μεθόδου FDTD, που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Υee. 1.2 Ο αλγόριθμος του Υee Τα βασικά χαρακτηριστικά του αλγορίθμου του Yee είναι τα ακόλουθα: Ταυτόχρονη επίλυση και προσδιορισμός και των δύο πεδιακών μεγεθών από τις εξισώσεις στροφής του Μaxwell, οι οποίες συσχετίζουν το ηλεκτρικό με το μαγνητικό πεδίο στο χώρο και το χρόνο, επιτυγχάνοντας έτσι μια πιο ολοκληρωμένη ανάλυση των πεδιακών φαινομένων. Οι προς υπολογισμό συνιστώσες τοποθετούνται στον τρισδιάστατο χώρο σε συγκεκριμένες θέσεις σχηματίζοντας το «κελί του Yee», όπως φαίνεται και στο σχήμα 1.1. Πιο συγκεκριμένα, οι ηλεκτρικές πεδιακές συνιστώσες τοποθετούνται στο μέσο των ακμών του κελιού ενώ οι αντίστοιχες μαγνητικές στα μέσα των εδρών του. Με τον τρόπο αυτό, εξασφαλίζεται η ομαλή μετάβαση από το συνεχή στο διακριτό χώρο, ενώ παράλληλα διευκολύνεται η συστηματική προσομοίωση πολύπλοκων γεωμετριών. 10 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD

z Εy Εx Ηz Εx Εz Εy Εz Εz Ηy Ηx y Εx x Εy Σχήμα 1.1 Θέσεις των συνιστωσών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο κελί του Yee. Η αρμονική διακριτοποίηση του αλγορίθμου χρησιμοποιεί την τεχνική τύπου leapfrog για την τοποθέτηση των συνιστωσών του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στο χρόνο. Δηλαδή, το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο δεν υπολογίζονται τις ίδιες χρονικές στιγμές, αλλά διαχωρίζονται κατά μια χρο t νική διαφορά, όπως φαίνεται παραστατικά στο σχήμα 1.2. 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD 11

E r E r E r E r t = 2 t E r H r H r H r t = 1. 5 t E r E r E r t = t H r H r H r t = 0. 5 t E r E r E r E r t = 0 Σχήμα 1.2 Τοποθέτηση των συνιστωσών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο χώρο και στο χρόνο κατά τη μοντελοποίηση της διάδοσης μονοδιάστατου κύματος, σύμφωνα με τον αλγόριθμο του Yee. 1.3 Πεπερασμένες διαφορές και εφαρμογή τους στις εξισώσεις του Maxwell Η παράσταση των διανυσμάτων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο χώρο και στο χρόνο γίνεται με το συμβολισμό που πρότεινε ο Yee. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε συνιστώσα f ενός πεδιακού διανύσματος n υιοθετείται ο συμβολισμός ( i x, j y, k z, n t) = f f i, j, k. Τα Δx, Δy, Δz και Δt αποτελούν τα αντίστοιχα χωρικά και χρονικά βήματα της μεθόδου. Τονίζεται ότι η επιλογή τους έχει καίρια σημασία στην ομαλή λειτουργία του αλγορίθμου και την επίτευξη ικανοποητικής ακρίβειας. Η έκφραση του Yee για την πρώτη χωρική παράγωγο της f ως προς x την χρονική στιγμή t είναι 12 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD

f x ( i x, j y, k z, n t) f f = +Ο x n n i+ 1/2, j, k i 1/2, j, k 2 ( x ) (1.4) ενώ η πρώτη χρονική παράγωγος της f θα δίνεται ανάλογα από την έκφραση f t ( i x, j y, k z, n t) f f = +Ο t n+ 1/2 n 1/2 i, j, k i, j, k 2 ( t ) (1.5) Εφαρμόζοντας τις παραπάνω σχέσεις στις εξισώσεις του Maxwell, καταλήγουμε στις τελικές εξισώσεις της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου από τις οποίες γίνεται εύκολα αντιληπτός ο λόγος α πουσίας του συστήματος εξισώσεων. Για παράδειγμα η E z συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου υπολογίζεται από την E n+ 1/ 2 n+ 1/ H y i+ 1/ 2, j, k H y i 1/ = 2ε i, j, k σ i, j, k t n 2 t x E z i, j, k + n+ 1/ 2 n 2ε t t H + i, j, k σ i, j, k 2ε i, j, k σ i, j, k x i, j+ 1/ 2, k H x i, j y 2 2, j, k n+ 1 z i, j, k 1/ 2 1/ 2, k (1.6) 1.4 Αριθμητική ευστάθεια Η αριθμητική αστάθεια είναι ένα ανεπιθύμητο φαινόμενο, συνηθισμένο σε εφαρμογές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με υπολογιστικές τεχνικές που προσεγγίζουν τις χωρικές και χρονικές τους παραγώγους. Η α ριθμητική ευστάθεια εξαρτάται απο τις τιμές των μεταβλητών Δx, Δy, Δz και Δt. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα ανώτατο φράγμα στην επιλέξιμη τιμή του Δt, το οποίο είναι συνάρτηση των Δx, Δy, Δz και δίνεται από τη σχέση 1 t c 1 x 1 y 1 z ( ) + ( ) + ( ) 2 2 2 (1.7) η οποία ονομάζεται συνθήκη Courant. Εάν Δx = Δy = Δz = Δ, δηλαδή χρήση τετραγωνικού κελιού, τότε η σχέση απλοποιείται στην t (1.8) c 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD 13

1.5 Απορροφητικές συνθήκες Η εξέλιξη των απορροφητικών οριακών συνθηκών και η ορθή χρήση τους στον αλγόριθμο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου αποτελεί αντικείμενο συνεχούς μελέτης και πειραματισμού. Έτσι, στις κύριες επιδιώξεις των ερευνητών δέν είναι απλά η ανάπτυξη μιας τεχνικής περιορισμού του άπειρου χώρου, αλλά και ουσιαστικής απορρόφησης των διαδιδόμενων κυμάτων χωρίς την ύπαρξη ανεπιθύμητων ανακλάσεων. Έχουν προταθεί και χρησιμοποιηθεί διαφόρων ειδών απορροφητικές συνθήκες, οι οποίες διαχωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες με πιο δημοφιλείς δύο από αυτές. Στην πρώτη κατηγορία η κυρίαρχη ιδέα είναι ότι το πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο στα όρια του υπολογιστικού χώρου μπορεί να υπολογιστεί από τις τιμές του σε γειτονικά σημεία. Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν εκείνες οι συνθήκες σύμφωνα με τις οποίες περιβάλλεται ο υπολογιστικός χώρος με ένα α πορροφητικό υλικό. Ο σημαντικότερος εκπρόσωπος αυτής της κατηγορίας είναι το Τέλεια Προσαρμοσμένο Στρώμα (Perfectly Matched Layer: ΡΜL). Το υλικό αυτο είναι σχεδιασμένο έτσι ώστε να απορροφά (θεωρητικά τουλάχιστον) χωρίς ανάκλαση τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που διεισδύουν στο εσωτερικό του, α νεξάρτητα απο τη συχνότητα και τη γωνία πρόσπτωσης. 1.6 Ορισμός του Τέλεια Προσαρμοσμένου Στρώματος (PML) Θεωρούμε την εφαρμογή του PML σε μια διάταξη κυματοδήγησης που υποστηρίζει το ρυθμό ΤΕ. Η συνιστώσα H z του μαγνητικού πεδίου διαχωρίζεται σε δύο υποσυνιστώσες, τις H zx και H zy, ως εξής ( H + H ) E x zx zy ε 0 + σ y Ex = (1.9α) t y ( H + H ) E y zx zy ε 0 + σ x E y = (1.9β) t x H E zx y µ 0 + σ x H zx = (1.9γ) t x 14 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD

H zy E x µ 0 + σ y H zy = (1.9δ) t x όπου σ x, σ y οι ηλεκτρικές και σ x, σ y οι μαγνητικές αγωγιμότητες, αντίστοιχα, οι οποίες εισάγονται στις σχέσεις υπολογισμού του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου, για να προκαλέσουν την εκθετική εξασθένηση των διαδιδόμενων κυμάτων εντός του PML. Εάν, επιπροσθέτως, ικανοποιούνται οι σχέσεις σ ε x σ = x 0 µ 0 και σ σ y = y (1.10) ε 0 µ 0 η επιθυμητή εξασθένηση πραγματοποιείται ανεξάρτητα από τη συχνότητα του κύματος. Πιο συγκεκριμένα, στις επιφάνειες που συνδέουν το υλικό PML με αυτό του υπολογιστικού χώρου, τα δύο υλικά παρουσιάζουν θεωρητικά μηδενική ανάκλαση. Είναι φανερό, ότι για ένα διδιάστατο χώρο χρειαζονται τέσσερα στρώ ματα PML. Χρησιμοποιώντας την τετράδα των παραμέτρων ( σ, σ, σ, σ ) για την περιγραφή του καθενός, το κενό περιγράφεται από την ( 0,0,0,0). Έτσι, τα στρώματα που θα βρίσκονται στις θέσεις x min και x max περιγράφονται από την τετράδα (,,0,0) (,0,σ, ) y σ y σ x σ x, ενώ αυτά στις θέσεις min 0, όπως φαίνεται και στο σχήμα 1.3. y και y max από την τετράδα Η έκφραση μίας οποιασδήποτε συνιστώσας του κύματος στο εσωτερικό του PML, όταν ικανοποιείται η σχέση (1.9) δίνεται από την j ω ( t ( xcos φ + ysin φ )/ c) ( σ cos φ / ε c) x ( y sin / 0c) y ψ = ψ (1.11) x 0 e e e σ φ ε 0 όπου ψ 0 το αρχικό πλάτος του στρώματος. Οι δυο τελευταίοι όροι δείχνουν την εκθετική μείωση του διαδιδόμενου κύματος κατά μήκος των αξόνων x και y, αντίστοιχα. x x y y ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD 15

( σ σ, σ σ ) x1, x1 y2, y2 y max (,0, σ y σ ) 0, 2 y2 ( σ σ, σ σ ) x2, x2 y2, y2 τέλειος αγωγός ( σ ) ( ) 1, 1,0,0 x σ x σ x 2, σ x 2,0,0 x x min max πηγή ( σ σ, σ σ ) x1, x1 y1, y1 (,0, σ y σ ) 0, 1 y1 y min ( σ σ, σ σ ) x2, x2 y1, y1 Σχήμα 1.3 Προσομοίωση ελεύθερου υπολογιστικού χώρου με την τεχνική PML. Όταν το κύμα εισέλθει στο τέλεια προσαρμοσμένο στρώμα και κατά τη διάδοση του μέσα σε αυτό, θα υφίσταται μια συνεχή εκθετική εξασθένηση. Κάποια στιγμή, θα φτάσει στο τέλεια αγώγιμο τοίχωμα, θα ανακλαστεί και κατά την επιστροφή του θα συνεχίσει να αποσβαίνει. Εάν το πλάτος της ζώνης απορρόφησης είναι δ, o συντελεστής ανάκλασης προσδιορίζεται από τη σχέση R(θ ) = e 2σ max δ cosθ /( n+ 1) ε oc (1.12) Από την εξίσωση παρατηρούμε ότι η ανάκλαση είναι συνάρτηση του γινομένου σδ. Όπως φαίνεται από τους δυο τελευταίους όρους της σχέσης (1.11) η ε ξασθένηση εξαρτάται και από την αγωγιμότητα. Στην πράξη έχει παρατηρηθεί ότι απότομες μεταβολές της δημιουργούν ανεπιθύμητες αριθμητικές ανακλάσεις. Γι αυτό, η αγωγιμότητα πρέπει να αυξάνει ομαλά από την τιμή 0 στην επιφάνεια που διαχωρίζει τον κενό χώρο από το PML μέχρι μια μέγι 16 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD

στη τιμή σ max στο τέλος της ζώνης. Η σχέση που χρησιμοποιείται για τον υ πολογισμό των απωλειών είναι η n ρ σ(ρ)= σ max (1.13) δ όπου ρ είναι το βάθος διείσδυσης στο εσωτερικό του PML. Έπειτα από την ανάλογη μαθηματική ανάλυση, ο θεωρητικός συντελεστής ανάκλασης δίνεται από τη σχέση R(0) e 2σ max δ /( n+ 1) εοc = (1.14) O συντελεστής αυτός, που καθορίζεται από το χρήστη, λαμβάνει τιμές της τάξης του 4 10. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD 17

18 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναφέρθηκαν οι βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου. Μια επιστημονική περιοχή στην οποία αποδεικνύεται ιδιαίτερα αποτελεσματική είναι η μελέτη διατάξεων μικροταινίας, όπως για παράδειγμα κεραίες και φίλτρα μικροταινίας. Στο κεφάλαιο αυτό, αρχικά θα γίνει μια συνοπτική περιγραφή των κυκλωμάτων μικροταινίας και στη συνέχεια, θ αναφερθούν τα μεγέθη εκείνα που απαιτούνται για τον προσδιορισμό της συμπεριφοράς τους. Τέλος, θα περιγραφούν τα βήματα που απαιτούνται για την προσομοίωση μικροταινιακών διατάξεων. 2.1 Εισαγωγή Στο σχήμα 2.1 παρατίθενται δύο χαρακτηριστικές γραμμές μεταφοράς: οι μικροταινίες και οι ταινιωτές γραμμές. Κάθε μια από αυτές έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά της. Οι ταινιωτές γραμμές, όπως φαίνεται και στο σχήμα, έχουν πάνω και κάτω θωράκιση γεγονός που τους εξασφαλίζει ικανοποιητική θωράκιση από άλλα σήματα σε ένα τυπωμένο κύκλωμα. Η ανοιχτή δομή της μικροταινίας αποτελεί και το μεγαλύτερο πλεονέκτημά της, αφού έχει σαν άμεση συνέπεια την ευκολία κατασκευής της, αλλά και την ευελιξία που παρουσιάζει στις συνδέσεις και ρυθμίσεις των κυκλωμάτων. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ 19

w w h t b t Αγωγός ιηλεκτρικό Αγωγός ιηλεκτρικό (α) (β) Σχήμα 2.1 (α) Τομή μικροταινίας και (β) τομή ταινιωτής γραμμής. 2.2 Μικροταινία Η μικροταινία είναι μια επίπεδη γραμμή μεταφοράς, η οποία αποτελείται από μια αγώγιμη ταινία πλάτους w και πάχους t που τοποθετείται ε πάνω σε ένα διηλεκτρικό υπόστρωμα πάχους h. Η κάτω επιφάνεια του υποστρώματος καλύπτεται εξ ολοκλήρου από τέλεια αγώγιμο υλικό και αποτελεί το επίπεδο γειωσής της. Στα κυκλώματα μικροταινιών συναντώνται τρία είδη απωλειών: ωμικές απώλειες, απώλειες διηλεκτρικού και απώλειες ακτινοβολίας. Μια ιδανική γραμμή μικροταινίας, ανοιχτή σε ημιάπειρο ελεύθερο χώρο λειτουργεί παρόμοια με μια κεραία και τείνει να ακτονοβολεί ενέργεια. Όσο μικρότερη είναι η διηλεκτρική σταθερά, τόσο μικρότερη συγκέντρωση ενέργειας υπάρχει στην περιοχή του υποστρώματος, με αποτέλεσμα να υπαρχουν μεγαλύτερες απώλειες ακτινοβολίας. Οι διηλεκτρικές απώλειες εξαρτώνται απο την διηλεκτρική σταθερά, το πάχος του υποστρώματος και τη γεωμετρία της διάταξης. Διηλεκτρικά υλικά με μικρή διηλεκτρική σταθερά (5 ή μικρότερη) χρησιμοποιούνται όταν η μείωση του κόστους αποτελεί προτεραιότητα. Η χρήση διηλεκτρικών υλικών με μεγάλη διηλεκτρική σταθερά μειώνει τις απώλειες ακτινοβολίας, γιατί τότε το μεγαλύτερο μέρος του ηλεκτρομαγνητικό κύματος συγκεντρώνεται στο υλικό ανάμεσα στην αγώγιμη ταινία και στο επίπεδο γειώσεως. Οι ωμικές απώλειες εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες που 20 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ

σχετίζονται με το μεταλλικό υλικό του κυκλώματος που συνθέτει την αγώγιμη ταινία και το επίπεδο γειώσεως. Οι παράγοντες αυτοί είναι η αγωγιμότητα (σ), επιδερμικά φαινόμενα, αλλά και η τραχύτητα της επιφάνειας. Επίσης είναι πολύ σημαντικό να τονιστεί οτι για την καλή λειτουργία μιας διάταξης μικροτανίας πρέπει το υλικό του υποστρώματος να παρέχει καλή θερμική απαγωγή. 2.3 Κεραίες Μικροταινίας Οι κεραίες μικροταινίας εμφανίζουν πολλά πλεονεκτήματα έναντι των συμβατικών κεραιών όπως π.χ το μικρό τους μέγεθος, η μικρή ισχύς α κτινοβολίας και το χαμηλό κόστος παραγωγής. Επίσης είναι ελαφριές και ανθεκτικές και παρουσιάζουν συμβατότητα με τεχνολογίες μονολιθικών ο λοκληρωμένων μικροκυματικών κυκλωμάτων, όπως και οπτικοηλεκτρονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Για όλους αυτούς τους λόγους βρίσκουν πολλές εφαρμογές σε τηλεπικοινωνιακούς σταθμούς βάσης, διαστημικά τηλεπικοινωνιακά συστήματα αλλά και σε κινητά τηλέφωνα. Στο σχήμα 2.2 δίνεται το σχήμα μιας κεραίας μικροταινίας με διέγερση από γραμμή μικροταινίας πάχους t, που είναι σε άμεση επαφή με την τετραγωνική αγώγιμη ταινία μήκους L και πάχους W. Συνήθως, η γραμμή τροφοδοσίας μικροταινίας εφάπτεται με μια από τις ακτινοβολούσες επιφάνειες. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ 21

Σχήμα 2.2 Τετραγωνική κεραία μικροταινίας (W, L) με διέγερση από γραμμή μικροταινίας. 2.4 Παράμετροι Σκέδασης Γνωρίζουμε οτι μια γραμμή μεταφοράς δύο αγωγών υποστηρίζει TEM ρυθμούς. Η τάση και το ρεύμα υπολογίζονται απο τις παρακάτω εξισώσεις r r V = Edl + r r I = Hdl C + (2.1) (2.2) Στην εξίσωση (2.1), η ολοκλήρωση ξεκινά από τον αγωγό με το υψηλότερο δυναμικό (+) και καταλήγει στον αγωγό με το χαμηλό δυναμικό ( ), ενώ στην εξίσωση (2.2) η ολοκλήρωση περικλείει τον αγωγό (+). Τα αποτελέσματα των εξισώσεων (2.1) και (2.2) είναι ανεξάρτητα από την επιλογή της διαδρομής ολοκλήρωσης. Αντίθετα σε μια μη ΤΕΜ γραμμή μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι οι εξισώσεις (2.1) και (2.2) δεν οδηγούν σε μοναδικές τιμές για την τάση και το ρεύμα αλλά το αποτέλεσμα εξαρτάται από την επιλογή της διαδρομής ολοκλήρωσης. Θα θεωρήσουμε την διακλάδωση Ν θυρών του σχήματος 2.3. Ο πίνακας σκέδασης [S] συσχετίζει τα κύματα που προσπίπτουν στις θύρες του δι 22 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ

κτύου με αυτά που ανακλώνται απο αυτές. Τα στοιχεία του πίνακα σκέδασης μπορούν να μετρηθούν με την χρήση του διανυσματικού αναλυτή δικτύου. V 2 + V 3 + V 2 t 2 V 3 t 3 + V 1 + V 4 V 1 t 1 t 4 V 4 t N + V N V N Σχήμα 2.3 Μικροκυματικό δίκτυο Ν θυρών. Εάν + V n είναι το πλάτος της τάσης που προσπίπτει στην θύρα n και V n είναι το πλάτος της τάσης που ανακλάται απο αυτήν, τότε ο πίνακας σκέδασης ορίζεται ως V 1 S11 V 2 = S 21...... V n S N1 S S S 12 22... N 2............ S S S 1N 2N... NN + V 1 + V 2... + V N (2.3α) + [ V ] = [ S][ V ] (2.3β) Τα στοιχεία του πίνακα [S] ορίζονται σύμφωνα με την σχέση S ij V = V i + j + Vk = 0, k j (2.4) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ 23

Η εξίσωση (2.4) ορίζει ότι το στοιχείο S ij μπορεί να βρεθεί οδηγώντας την θύρα j με την προσπίπτουσα τάση + V j και μετρώντας το ανακλώμενο κύμα που εξέρχεται από την θύρα i. Το προσπίπτον κύμα σε όλες τις άλλες θύρες ( k j) έχει τεθεί ίσο με το μηδέν πράγμα το οποίο σημαίνει ότι όλες οι άλλες θύρες τερματίζονται με προσαρμοσμένα φορτία για την αποφυγή ανακλάσεων. V i 2.5 Προσομοιωτική Μελέτη Διατάξεων Μικροταινίας Στην ενότητα αυτή, παρουσιάζεται η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων μικροτανιακών διατάξεων με την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου. Τα βήματα που απαιτούνται για την προσομοίωση είναι: Σχεδίαση της γεωμετρίας του προβλήματος και καθορισμός του χωρικού και χρονικού βήματος Μοντελοποίση των υλικών. Εισαγωγή του παλμού διέγερσης. Καθορισμός των οριακών συνθηκών τερματισμού του υπολογιστικού χώρου του προβλήματος. Εκτέλεση του προγράμματος και εύρεση αποτελεσμάτων. 2.5.1 Διακριτοποίηση και Καθορισμός του Χωρικού και Χρονικού Βήματος Η βέλτιστη επιλογή του χωρικού και χρονικού βήματος είναι καθοριστική, για την επίλυση του υπό μελέτη προβλήματος. Ο πρώτος περιορισμός συνιστάται στο ότι οι πλευρές του πρέπει να είναι μικρότερες από το μικρότερο μήκος κύματος για το οποίο θέλουμε να έχουμε ακριβή αποτελέσματα. Μάλιστα μια συνηθισμένη επιλογή είναι κάθε πλευρά του κελιού (Δx, Δy, Δz) να έχει διάσταση ίση με το 1/10 του μικρότερου μήκους κύματος. 24 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ

Ο δεύτερος περιορισμός προκύπτει από τη γεωμετρία του προβλήματος. Κάθε κατασκευή έχει τα δικά της λεπτά χαρακτηριστικά. Το μέγεθος του κελιού θα πρέπει να είναι τέτοιο, ώστε τα τελευταία ν αποδίδονται κατά το δυνατόν ακριβέστερα και ν ανταποκρίνονται στις πραγματικές διαστάσεις του προβλήματος. Τέλος, η επιλογή του χρονικού βήματος θα πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη Courant. 2.5.2 Μοντελοποίηση των Υλικών Σε ολόκληρη την προσομοιωτική μελέτη μικροταινιακών διατάξεων που έγινε χρησιμοποιήσαμε τρία «υλικά». Το μέταλλο στην αγώγιμη ταινία και στο επίπεδο γειώσεως. Το διηλεκτρικό υλικό του υποστρώματος. Το κενό για τον ελεύθερο χώρο. Η αγώγιμη ταινία και το επίπεδο γείωσης θεωρoύνται τέλειοι αγωγοί με μηδενικό πάχος (εκτός από την περίπτωση της διηλεκτρικής γέφυρας που η αγώγιμη ταινία είχε πεπερασμένη τιμή πάχους). Η σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r διαφέρει από εφαρμογή σε εφαρμογή. Στη μοντελοποίηση των παραπάνω υλικών και ιδιαίτερα στην επιλογή των τιμών των σημείων που αντιστοιχούν στο μέταλλο, πρέπει να προσεχθούν οι σχετικές θέσεις των πεδίων στο κελί του Yee. Μια τομή του πλέγματος της μεθόδου, στο επίπεδο yz, φαίνεται στο σχήμα 2.4. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ 25

K=3 E z Αέρας Μικροταινία E z K=2 K=1 E z Υπόστρωµα E z z K=0 E y E y E y E y Επίπεδο Γείωσης y Σχήμα 2.4 Θέσεις των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου σε σχέση με τα υλικά που μοντελοποιούνται. 2.5.3 Εισαγωγή του Παλμού Διέγερσης Για τη διέγερση της διάταξης χρησιμοποιούμε τον παλμό που ορίζεται στο πεδίο του χρόνου απο την σχέση f 2 ( t t0 ) 2 T ( t) e = (2.5) όπου το μήκος του παλμού στο χρόνο εκφράζεται από τη μεταβλητή T. Πρέπει να σημειωθεί ότι η χρονική διάρκεια του παλμού θα πρέπει να είναι τόση, ώστε να περιέχει στο φάσμα του τις επιθυμητές συχνότητες. 2.5.4 Καθορισμός συνθηκών Τερματισμού του Υπολογιστικού Χώρου Σε όλες διατάξεις μικροταινιών που προσομοιώθηκαν, για τον τερματισμό του υπολογιστικού χώρου εφαρμόστηκε η τεχνική του τέλεια προσαρ 26 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ

μοσμένου στρώματος. Πρέπει να τονιστεί ότι η μια επιφάνεια του υποστρώματος καλύπτεται πλήρως από τέλεια αγώγιμο υλικό (επίπεδο γείωσης). Το πάχος του PML που χρησιμοποιήθηκε στις προσομοιώσεις είναι d = 7 κελιά, ενώ η αγωγιμότητα του μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήμα 2.5. Σχήμα 2.5 Μεταβολή της αγωγιμότητας στο εσωτερικό του PML. 2.5.5 Υπολογισμός S Παραμέτρων Για τον υπολογισμό των S παραμέτρων εφαρμόζεται η σχέση 2.4 στις στις θύρες είσόδου και εξόδου. Σε κάθε χρονική στιγμή, καταγράφεται σε ένα αρχείο η μέση τιμή της εγκάρσιας συνιστώσας E z που αντιστοιχεί στη θύρα. Σχήμα 2.6 Ορθογωνική κεραία μικροταινίας. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ 27

Ως παράδειγμα υπολογισμού των παραμετρων σκέδασης σε διατάξεις μικροταινίας θα χρησιμοποιήσουμε την περίπτωση της κεραίας μικροταινίας του σχήματος 2.6 και πιο συγκεκριμένα, υπολογίσουμε την παράμετρο S 11. Χρονικά βήματα Σχήμα 2.7 H μέση τιμή της συνιστώσας E z, του ηλεκτρικού πεδίου, στο πεδίο του χρόνου στη θύρα εισόδου. Με κόκκινο χρώμα παριστάνεται ο παλμός εισόδου ενώ με μπλέ η ανακλώμενη κυματομορφή. Για τον υπολογισμό χρειαζόμαστε τη μέση τιμή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου. Το σχήμα 2.7 δίνει την μέση τιμή της συνιστώσας E z, E z στο πεδίο του χρόνου στην θύρα εισόδου της κεραίας μικροταινίας για προσομοίωση 3000 χρονικών βημάτων. Παρατηρούμε ότι τα πρώτα 350 χρονικά βήματα (κόκκινο χρώμα) αποτελούν τον παλμό εισόδου ενώ τα υπόλοιπα χρονικά βήματα είναι η ανακλώμενη κυματομορφή (μπλέ χρωμα). Στην κεραία του παραδείγματός μας ο συντελεστής ανάκλασης S 11 δίνεται απο την σχέση S ref ( t) [ E ] inc( ) [ E ] I = (2.7) I 11 t 28 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ

(t) όπου [ E ] ref inc(t) [ E ] I είναι ο μετασχηματισμός Fourier του παλμού εισόδου, ενώ I είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ανακλώμενης κυματομορφής (σχήμα 2.8). Τελικά, η εν λόγω S παράμετρος δίνεται από την S Eref ( f ) f ) = 20 log (2.8) E ( f ) 11( 10 και η γραφική της απεικόνιση φαίνεται στο σχήμα 2.9. inc Σχήμα 2.8 Πλάτος του μετασχηματισμού Fourier για τον παλμό εισόδου (κόκκινο χρώμα) και της ανακλώμενης κυματομορφής (μπλέ χρώμα). Σχήμα 2.9 S11 παράμετρος της κεραίας μικροταινίας του σχήματος 2.6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ 29

30 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ 3.1 Μετασχηματιστής λ/4 (Quarter Wave Transformer) Ο μετασχηματιστής λ/4 είναι μια σημαντική διάταξη για την προσαρμογή αντιστάσεων. Στο κεφάλαιο αυτό, μελετάται ένας τέτοιος μετασχηματιστής λ/4 που προσαρμόζει μια γραμμή μικροταινίας 50 Ω με μια γραμμή μικροταινίας 25 Ω. Οι διαστάσεις (σε mm) των γραμμών μικροταινίας και του μετασχηματιστή λ/4 φαίνονται στο σχήμα 3.1. 6.096 Θύρα 2 10.19 4.064 Θύρα 1 y x 2.4313 Σχήμα 3.1 Μετασχηματιστής μικροταινίας λ / 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 31

H σχετική διηλεκτρική σταθερά του υποστρώματος είναι ε r =2.2 και το πάχος του 0.794 mm. Το τμήμα γραμμής στο οποίο βρίσκεται η θύρα 1 αντιπροσωπεύει την γραμμή των 50 Ω, ενώ εκείνο στο οποίο βρίσκεται η θύρα 2 το τμήμα γραμμής των 25 Ω. Διακριτοποίηση στο χώρο και στο χρόνο Ο αριθμός των κελιών της προσομοίωσης είναι 55 95 14. Αυτό δημιουργεί ένα υπολογιστικό χώρο που περιλαμβάνει 73.150 κελιά. Τα χωρικά βήματα που χρησιμοποιήθηκαν είναι: Δx = 0.4052 mm, Δy = 0.40769 mm και Δz = 0.2646 mm. Αυτό αντιστοιχεί σε 6Δx κελιά για την γραμμή 50Ω, 10Δx κελιά για την γραμμή προσαρμογής και 15Δx κελιά για την γραμμή 25Ω. Τα σημεία αναφοράς των θυρών 1 και 2 βρίσκονται σε απόσταση 15Δy απο το τμήμα προσαρμογής. Επίσης το σημείο διέγερσης βρίσκεται 15Δy απο τα όρια του υπολογιστικού χώρου. Το χρονικό βήμα είναι Δt = 0.441 ps, οπότε η συνολική χρονική διάρκεια για 3000 χρονικά βήματα, είναι 1.323 ns. Διέγερση Χρησιμοποιούμε τον παλμό Gauss της σχέσης 2.5. Η διάρκεια του παλμού στο χρόνο είναι Τ = 25 ps ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι t 0 = 6T. Αποτελέσματα O τύπος του αποτελέσματος που ζητάμε απο το μετασχηματιστή λ/4 είναι οι παράμετροι σκέδασης. Το πλάτος των παραμέτρων S 11 και S 21 της διάταξης φαίνονται στο σχήμα 3.2 και κρίνονται ικανοποιητικά σε σχέση με τα αντίστοιχα της βιβλιογραφίας. Η λειτουργία της διάταξης φαίνεται από την πτώση της παραμέτρου S 11 και την ταυτόχρονη αύξηση της S 21 στη ζητούμενη ζώνη συχνοτήτων. 32 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

5 0 S21 S11-5 S11, S21 (db) -10-15 -20-25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GHz Σχήμα 3.2 Οι S παράμετροι του μετασχηματιστή λ/4 μικροτανίας. Η παράμετρος S11 (συντελεστής ανάκλασης) απεικονίζεται με πράσινο χρώμα, ενώ η παράμετρος S21 (συντελεστής διαδοσης) με μπλέ χρώμα. Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται μερικά χαρακτηριστικά στιγμιότυπα της χωρικής κατανομής της συνιστώσας E z του ηλεκτρικού πεδίου, στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωμα για 200, 300, 400 και 600 χρονικά βήματα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 33

Τ = 200 χρονικά βήματα 34 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

T = 300 χρονικά βήματα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 35

Τ = 400 χρονικά βήματα 36 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τ = 600 χρονικά βήματα Σχήμα 3.3 Χωρική κατανομή της συνιστώσας Εz του ηλεκτρικού πεδίου, στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωμα, για 200, 300, 400 και 600 χρονικά βήµατα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 37

3.2 Χαμηλοπερατό Φίλτρο (Low Pass Filter) Η διάταξη μικροταινίας που θα εξεταστεί σε αυτή την ενότητα είναι ένα χαμηλοπερατό φίλτρο που επιτρέπει την διέλευση των σημάτων με συχνότητες από 0 Ηz, μέχρι ένα ανώτατο όριο, που ονομάζεται συχνότητα αποκοπής, χωρίς παραμόρφωση. Για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας αποκοπής το πλάτος μειώνεται δραστικά. Στο σχήμα 3.4, φαίνεται η γεωμετρία του χαμηλοπερατού φίλτρου που προσομοιώθηκε. Σχήμα 3.4 Χαμηλοπερατό φίλτρο μικροταινίας Η τέλεια αγώγιμες επιφάνειες μικροταινίας τυπώνονται σε υπόστρωμα RT/Duroid με σχετική διηλεκτρική σταθερά ε = 2. 2 και ύψος 0.794 mm. r Διακριτοποίηση στο χώρο και στο χρόνο Ο αριθμός των κελιών της προσομοίωσης είναι 79 107 14. Αυτό δημιουργεί ένα υπολογιστικό χώρο που περιλαμβάνει 118.340 κελιά. Τα χωρικά βήματα που χρησιμοποιήθηκαν είναι: Δx = 0.4064 mm, Δy = 0.4233 mm και Δz = 0.265 mm. Το πάχος του υποστρώματος είναι 3 κελιά. Η απόσταση της πηγής απο την άκρη της οριζόντιας λωρίδας είναι 50Δy, ενώ τα επίπεδα αναφοράς της θύρας 1 και 2 τοποθετήθηκαν σε αποσταση 15Δy απο τα σημεία ασυνέχειας. Τέλος, το σημείο διέγερσης βρίσκεται 15Δy απο τα όρια του υπολογιστικού χώρου και το πλάτος της γραμμής μικροτανίας των δύο θυρών είναι 38 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

6Δx. Το χρονικό βήμα επιλέγεται να είναι Δt = 0.441 ps, οπότε και ο συνολικός χρόνος για 3000 βήματα είναι 1.323 ns. Διέγερση Χρησιμοποιούμε τον παλμό Gauss της σχέσης 2.5. Η διάρκεια του παλμού στο χρόνο είναι Τ = 25 ps, ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι t 0 = 6T. Αποτελέσματα Στο σχήμα 3.5 φαίνονται οι S παράμετροι ( S 11 καί S 21 ) του χαμηλοπερατού φίλτρου. Η επιθυμητή συχνότητα λειτουργίας της διάταξης ως χαμηλοπερατού φίλτρου φαίνεται από την απότομη άνοδο του συντελεστή ανάκλασης S 11 και την ταυτόχρονη μείωση του συντελεστή διάδοσης S 21 στα 4 GHz, περίπου. Σχήμα 3.5 Οι S παράμετροι του χαμηλοπερατού φίλτρου του σχήματος 3.4. Η παράμετρος S11 απεικονίζεται με πράσινο χρώμα ενώ η παράμετρος S21 με μπλέ χρώμα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 39

Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται μερικά χαρακτηριστικά στιγμιότυπα της χωρικής κατανομής της συνιστώσας E z του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται κάτω ακριβώς από το υπόστρωμα για 200, 400, 600 και 800 χρονικά βήματα. Τ = 200 χρονικά βήματα 40 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τ = 400 χρονικά βήματα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 41

Τ = 600 χρονικά βήματα 42 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τ = 800 χρονικά βήματα Σχήμα 3.6 Χωρική κατανομή της συνιστώσας Εz του ηλεκτρικού πεδίου, στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωμα, για 200, 400,600 και 800 χρονικά βήματα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 43

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η διερέυνηση της μεταβολής της συχνότητας αποκοπής του χαμηλοπερατού φίλτρου, σε σχέση με την μεταβολή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς του υποστρώματος. Προσομοιώνεται, λοιπόν, η γεωμετρία του σχήματος 3.4 για διαφορετικές σχετικές διηλεκτρικές σταθερές ε r = 2.2, 3.2 και 4.2. Στό σχήμα 3.7 φαίνεται ο συντελεστής ανάκλασης του φίλτρου για τις τρεις αυτές τιμές της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς. Παρατηρούμε ότι οι συχνότητες αποκοπής είναι 3.9, 3.3 και 2.9 GHz, αντίστοιχα. Προκύπτει, δηλαδή, ότι η αύξηση της διηλεκτρικής σταθεράς έχει ως αποτέλεσμα την σημαντική μείωση της συχνότητας αποκοπής του φίλτρου. 10 5 0 ε r = 4.2 ε r = 3.2 ε er=2.2 = 2.2 r -5 S11(dB) -10-15 -20-25 -30-35 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 GHz Σχήμα 3.7 Συντελεστής ανάκλασης του χαμηλοπερατού φίλτρου για διαφορετικές τιμές της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς του υποστρώματος, εr = 2.2, εr = 3.2, εr = 4.2. Σημαντική, επίσης, είναι και η μεταβολή του συντελεστή ανάκλασης και του συντελεστή διάδοσης του χαμηλοπερατού φίλτρου όταν οι απώλειες του υποστρώματος δεν είναι αμελητέες. Οι παράμετροι σκέδασης του σχήματος 3.5 προήλθαν απο ανάλυση κατα την οποία η αγωγιμότητα, σ, του υποστρώματος είναι μηδέν (σ = 0). Σύμφωνα με τους κατασκευαστές του υλικού 44 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Duroid 5880 στην παραπάνω διάταξη [4], αυτό έχει εφαπτομένη απωλειών tan 9 10 1 δ = στη συχνότητα των 10 GHz, το οποίο αντιστοιχεί σε αγωγιμότητα σ = 1.1 10 3. Για περαιτέρω μελέτη της επίπτωσης των απωλειών του διηλεκτρικού εξετάστηκε και η περίπτωση όπου η αγωγιμότητά του είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη, δηλαδή σ = 1.1 10 2. Σκοπός αυτής της μελέτης είναι να προσδιοριστούν οι απαιτήσεις που υπάρχουν για την μοντελοποίηση των διατάξεων μικροταινίας με διηλεκτρικά που έχουν σημαντικές απώλειες όπως το πυρίτιο. Τα αποτελέσματα δίνονται στα σχήματα 3.8 και 3.9. Παρατηρείται ότι η εισαγωγή των απωλειών που δίνουν οι κατασκευαστές για το υλικό του υποστρώματος ( σ = 1.1 10 3 ) δεν μεταβάλλει καθόλου τις παραμέτρους S 11 και S 21, αφού οι καμπύλες ταυτίζονται. Αυτό ήταν αναμενόμενο λόγω της πολύ χαμηλής αγωγιμότητας του υποστρώματος. Πρέπει να σημειωθεί, ότι η λειτουργία του χαμηλοπερατού φίλτρου εξαρτάται από το ηλεκτρικό μήκος της κεντρικής γραμμής μικροταινίας. Το μήκος αυτό δεν αλλάζει σημαντικά με 2 την εισαγωγή μικρών απωλειών. Για μεγαλύτερες, όμως, απωλειών ( σ = 1.1 10 ) έχουμε μια μικρή μεταβολή των S παραμέτρων. Συγκεκριμένα, παρατηρείται μια μικρή μείωση του συντελεστή διάδοσης και του συντελεστή ανάκλασης. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 45

5 0 σ = 0 σ = 1.1 10 σ = 1.1 10 2 3-5 S11(dB) -10-15 -20-25 -30-35 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 GHz (α) -15-16 σ = 0 σ = 1.1 10 σ = 1.1 10 2 3-17 -18 S11(dB) -19-20 -21-22 -23-24 -25 0 2 4 6 8 10 12 14 16 GHz (β) Σχήμα 3.8 (α) Συντελεστής ανάκλασης του χαμηλοπερατού φίλτρου για διαφορετικές τιμές της αγωγιμότητας του υποστρώματος. (β) Λεπτομέρεια. 46 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

0 σ = 0 σ = 1.1 10 σ = 1.1 10 3 2-10 S21(dB) -20-30 -40-50 -60 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 GHz (α) -30 σ = 0 σ = 1.1 10 σ = 1.1 10 3 2-35 S21(dB) -40-45 -50-55 0 2 4 6 8 10 12 GHz (β) Σχήμα 3.9 (α) Συντελεστής διάδοσης του χαμηλοπερατού φίλτρου για διαφορετικές τιμές της αγωγιμότητας του υποστρώματος. (β) Λεπτομέρεια. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 47

3.3 Διασύνδεση Μικροταινιών μέσω Διηλεκτρικής Γέφυρας Κατά τη διασύνδεση πολλαπλών ολοκληρωμένων μικροκυματικών κυκλωμάτων συχνά συναντώνται μεγάλες δυσκολίες στη βελτιστοποίηση της συνολικής ηλεκτρικής συμπεριφοράς του συστήματος. Το σύστημα αποτελείται συνήθως από περισσότερα από ένα μονολιθικά ολοκληρωμένα μικροκυματικά κυκλώματα (ΜΜΙC), το καθένα από τα οποία έχει ξεχωριστή λειτουργία. Η διασύνδεση αυτών των κυκλωμάτων εισάγει ανακλάσεις οι οποίες υποβαθμίζουν την συνολική επίδοση του συστήματος. Η ενότητα αυτή ασχολείται με τη διασύνδεση δύο μικροταινιακών γραμμών που είναι τυπωμένες σε διαφορετικά υποστρώματα (GaAs). H διασύνδεση των δύο υποστρωμάτων γίνεται μέσω μιας διηλεκτρικής περιοχής (γέφυρας) με σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r και μήκος d. Η γεωμετρία της διάταξης φαίνεται στο σχήμα 3.10. Η διάταξη πλαισιώνεται από ηλεκτρικούς «τοίχους» εκτός από την εμπρόσθια και την οπίσθια πλευρά του υπολογιστικού χώρου όπου υπάρχει PML. Σχήμα 3.10 Διασύνδεση μικροταινίας μέσω διηλεκτρικής γέφυρας μήκους d. H διάσταση a επιλέγεται 1 mm και οι συχνότητες μελέτης του προβλήματος κυμαίνονται από 100 ΜΗz μέχρι 16 GHz. Με τη μεταβολή στην τιμή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς της διηλεκτρικής γέφυρας, η μετάβαση της μικροταινίας παρουσιάζει διακύμαν 48 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

ση στην προσαρμογή. Με μια διηλεκτρική γέφυρα με τιμή σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς κοντά στην ενεργό διηλεκτρική σταθερά ε reff της γραμμής, αναμένεται η μετάβαση της γραμμής μικροταινίας από το ένα υπόστρωμα στο άλλο να έχει τις λιγότερες δυνατές ανακλάσεις. Η ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε reff μικροταινίας σε υπόστρωμα GaAs βρέθηκε μεταξύ 7.54 και 9.81. Διακριτοποίηση στο χώρο και στο χρόνο Ο αριθμός των κελιών για την προσομοίωση είναι 25 66 11 για την περίπτωση της διηλεκτρικής γέφυρας μήκους d = 3.2a και 25 82 11 για την περίπτωση διηλεκτρικής γέφυρας μήκους d = 6.4a, αντίστοιχα. Τα χωρικά βήματα που χρησιμοποιήθηκαν είναι: Δx = 0.2 mm, Δy = 0.2 mm και Δz = 0.2 mm. Έτσι το πάχος του υποστρώματος είναι 5Δz, το πλάτος της γραμμής μικροταινίας 5Δx, ενώ το πάχος της γραμμής μικροταινίας δε θεωρείται αμελητέο, αλλά ίσο με Δz. Το χρονικό βήμα ορίστηκε Δt = 0.333 ps, οπότε η συνολική χρονική διάρκεια για 3000 χρονικά βήματα, είναι 0.999 ns. Διέγερση Χρησιμοποιείται ο παλμός Gauss της σχέσης 2.5 με διάρκεια στο χρόνο Τ = 25 ps, ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι t 0 = 6T. Αποτελέσματα Ζητείται η μελέτη του φαινόμενου της σκέδασης και ιδιαίτερα ο υπολογισμός του συντελεστή ανάκλασης. Η γεωμετρία του σχήματος 3.10 προσομοιώθηκε για 3000 χρονικά βήματα, για τρεις διαφορετικές τιμές διηλεκτρικής σταθεράς της γέφυρας και για δύο διαφορετικά μήκη. Το πλάτος του συντελεστή ανάκλασης S 11 για διηλεκτρικές γέφυρες μήκους d = 3.2a και d = 6.4a φαίνεται στα σχήματα 3.11 και 3.12, αντίστοιχα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 49

1 0.9 ε r = 1 ε r = 2.78 ε = 7.54 r 0.8 0.7 0.6 S11 S11 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 GHz Σχήμα 3.11 Συντελεστής ανάκλασης S 11 της διασύνδεσης μικροταινίας με μήκος διηλεκτρικής γέφυρας d = 3.2a. 1 0.9 ε r = 1 ε r = 2.78 ε = 7.54 r 0.8 0.7 0.6 S11 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 GHz Σχήμα 3.12 Συντελεστής ανάκλασης S 11 της διασύνδεσης μικροταινίας με μήκος διηλεκτρικής γέφυρας d = 6.4a. 50 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται στιγμιότυπα της χωρικής κατανομής της συνιστώσας E z του ηλεκτρικού πεδίου για το επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωμα για 200, 300 και 400 χρονικά βήματα, όταν το μήκος της διηλεκτρικής γέφυρας είναι d = 3.2a και για 200, 350 και 500 χρονικά βήματα, όταν το μήκος της διηλεκτρικής γέφυρας είναι d = 6.4a. Η τιμή της διηλεκτρικής σταθεράς του υποστρώματος και στις 2 περιπτώσεις είναι ε = 7. 54. r Τ = 200 χρονικά βήματα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 51

Τ = 300 χρονικά βήματα 52 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τ = 400 χρονικά βήματα Σχήμα 3.13 Χωρική κατανομή της συνιστώσας Εz του ηλεκτρικού πεδίου της διάταξης του σχήματος 3.10, με μήκος διηλεκτρικής γέφυρας d = 3.2a σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε = 7.54, στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς r κάτω από το υπόστρωμα, για 200, 300 και 400 χρονικά βήματα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 53

Τ = 200 χρονικά βήματα 54 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τ = 350 χρονικά βήματα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 55

Τ = 500 χρονικά βήματα Σχήμα 3.14 Χωρική κατανομή της συνιστώσας Εz του ηλεκτρικού πεδίου της διάταξης του σχήματος 4.10, με μήκος διηλεκτρικής γέφυρας d = 6.4a και σχετική διηλεκτρική σταθερά ε = 7.54, στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς r κάτω από το υπόστρωμα, για 200, 350 και 500 χρονικά βήματα. 56 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

3.4 Ανάλυση και Μείωση Παρεμβολών (Crosstalk) σε Συζευγμένες Μικροταινίες. Το φαινόμενο της σύζευξης γραμμών μικροταινίας είναι ένα από τα σημαντικότερα ζητήματα στις βιομηχανίες υπολογιστικών συστημάτων και μικροκυμάτων. Η ανεπιθύμητη ηλεκτρομαγνητική σύζευξη ανάμεσα στις γραμμές μικροταινίας μπορεί να επηρεάσει σημαντικά την ποιότητα των σημάτων τόσο σε αναλογικά όσο και υψηλής ταχύτητας ψηφιακά συστήματα. Το φαινόμενο των παρεμβολών (crosstalk) ανάμεσα στις συζευγμένες γραμμές μικροταινίας μπορεί να καταλήξει σε αλλοίωση του αναλογικού σήματος και του ψηφιακού παλμού προκαλώντας ακόμη και την απώλεια ψηφιακής πληροφορίας. Το πρόβλημα γίνεται ιδιαίτερα σημαντικό για μεγάλες σε μήκος συζευγμένες μικροταινίες σε ανομοιογενές περιβάλλον. Συνεπώς, η μείωση του crosstalk μεταξύ συζευγμένων μικροταινιών σε ανεκτό επίπεδο καθίσταται ένας σημαντικός στόχος κατά την σχεδίαση κυκλωμάτων. Στην ενότητα αυτή μελετώνται οι παρεμβολές ανάμεσα σε συζευγμένες μικροταινίες καθώς και ο τρόπος μείωσής της με την χρησιμοποίηση κενού στο επίπεδο γείωσης. Η προτεινόμενη διάταξη των συζευγμένων γραμμών με διάκενο στο επίπεδο γείωσης φαίνεται στο σχήμα 3.15. Το διηλεκτρικό υπόστρωμα έχει σχετική διηλεκτρική σταθερά ε = 2. 17 και το πάχος του είναι h = 0.762 mm. Οι γραμμές μικροταινίας έχουν πλάτος w = 1.278 mm και μήκος L = 30 mm. Η απόσταση μεταξύ των γραμμών μικροταινίας, αλλά και μεταξύ των άκρων και των γραμμών είναι W = 2.130 mm. Με g συμβολίζεται το πλάτος του διακένου στο επίπεδο γείωσης. r ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 57

w w L h ιάκενο Μικροταινία g y W W W z Επίπεδο γείωσης x x Σχήμα 3.15 Γεωμετρία των συζευγμένων γραμμών μικροταινίας με διάκενο στο επίπεδο γείωσης. Η παραπάνω διάταξη θα μελετηθεί για τέσσερα μεγέθη του διακένου πλάτους g στο επίπεδο γείωσης. Αρχικά, εξετάζεται η περίπτωση g = 0, δηλαδή η περίπτωση των συμβατικών συζευγμένων γραμμών μικροταινίας. Τα αποτελέσματα χρησιμοποιούνται ως αναφορά για σύγκριση με την προτεινόμενη διάταξη μείωσης των παρεμβολών. Για το σκοπό αυτό, εξετάζονται οι περιπτώσεις g = 1.278, 1.704 και 2.130 mm. Διακριτοποίηση στο χώρο και στο χρόνο Ο αριθμός των κελιών της προσομοίωσης είναι 57 114 14 για την περίπτωση των συζευγμένων γραμμών μικροταινίας χωρίς διάκενο στο επίπεδο γείωσης και 57 114 26 για την περίπτωση των συζευγμένων γραμμών μικροταινίας με διάκενο. Στην περίπτωση απουσίας του διακένου, χρησιμοποιούνται λιγότερα κελιά κατά τη διεύθυνση z. Τα χωρικά βήματα ορίστηκαν ως εξής: Δx = 0.213 mm, Δy = 0.300 mm και Δz = 0.254 mm. Έτσι το πάχος του υποστρώματος είναι 3Δz, ενώ το πλάτος των συζευγμένων γραμμών μικροταινίας είναι 6Δx. Το χρονικό βήμα επιλέχθηκε να είναι Δt = 0.355 ps, οπότε η συνολική χρονική διάρκεια για 3000 χρονικά βήματα, είναι 1.065 ns. 58 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Διέγερση Χρησιμοποιήθηκε ο παλμός Gauss της σχέσης 2.5 με διάρκεια Τ = 25 ps, ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι t 0 = 6T. Αποτελέσματα Από τη διάταξη των συζευγμένων γραμμών μικροταινίας ζητείται ο υπολογισμός των εγγύς παρεμβολών (Near end crosstalk) και των μακρινών παρεμβολών (Far end crosstalk). Οι γραφικές απεικονίσεις των τελευταίων φαίνονται στα σχήματα 3.16 και 3.17, αντίστοιχα. Είναι εμφανές, ότι μεταξύ των συζευγμένων γραμμών μικροταινίας οι κυρίαρχες παρεμβολές είναι οι μακρινές. Παρατηρείται ότι επιτυγχάνεται ιδιαίτερα σημαντική μείωσή της με την προσθήκη του διακένου στο επίπεδο γείωσης. -30-35 -40 g=0mm g=1.278mm g=1.704mm g=2.130mm -45 Near-end crosstalk -50-55 -60-65 -70-75 -80 0 5 10 15 20 25 GHz Σχήμα 3.16 Εγγύς παρεμβολές συζευγμένων γραμμών μικροταινίας. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 59

-10-15 g=0 mm g=1.278mm g=1.704mm g=2.130mm Far-end crosstalk(db) -20-25 -30-35 0 5 10 15 20 25 GHz Σχήμα 3 17 Μακρινές παρεμβολές συζευγμένων γραμμών μικροταινίας. Στις σελίδες που ακολουθούν, παρουσιάζονται μερικά χαρακτηριστικά στιγμιότυπα της χωρικής κατανομής της συνιστώσας E z του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται κάτω ακριβώς από το υπόστρωμα της διάταξης του σχήματος 3.15 με μέγεθος κενού g = 2.130 mm, για 200, 350 και 450 χρονικά βήματα. 60 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0 20 40 60 80 100 T = 200 χρονικά βήματα 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 50 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 61

50 0.6 40 0.5 30 0.4 0.3 20 0.2 10 0.1 0 0 20 40 60 80 100 0 T = 350 χρονικά βήματα 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 50 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100 62 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

50 0.6 40 0.5 0.4 30 20 0.3 0.2 10 0.1 0 0 20 40 60 80 100 0 T = 450 χρονικά βήματα 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 50 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100 Σχήμα 3.18 Χωρική κατανομή της συνιστώσας Εz του ηλεκτρικού πεδίου της διάταξης του σχήματος 3.15, με μέγεθος κενού g = 2.130 mm, στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωμα για 200, 350 και 450 χρονικά βήματα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 63

3.5 Ορθογωνική Κεραία Μικροταινίας Τέλος, στην ενότητα αυτή θα μελετηθεί μια ορθογωνική κεραία μικροτανίας της οποίας τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά φαίνονται στο σχήμα 3.19. Η κεραία είναι τυπωμένη σε υπόστρωμα RT/Duroid σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε = 2. 2 και ύψος 0.794 mm. r Σχήμα 3.19 Ορθογωνική κεραία μικροταινίας. Χρησιμοποιείται μια γραμμή μικροταινίας 50 Ω για την οδήγηση του σήματος εισόδου στην κεραία. Όταν ο παλμός φτάσει στην αρχή του πλαισίου, ένα μικρο μέρος θα ανακλαστεί πίσω στη μικροταινία, λόγω της διαφορετικής αντίστασης του πλαισίου απο την μικροταινία Στη συνέχεια, ο παλμός θα προχωρήσει στην κεραία. Όταν φτάσει στις ακμές του πλαισίου ένα μέρος της ενέργειάς του θ ανακλαστεί στο εσωτερικό της κεραίας. Ακολούθως, ένα μικρό μέρος της ενέργειας θα επιστρέψει πίσω στην μικροταινία, ενώ το υπόλοιπο θα συνεχίσει να διαδίδεται στο εσωτερικό της κεραίας, μέχρι να σταματήσει στις ακμές κ.ο.κ. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου εξασθενίσουν αρκετά όλες οι διαδοχικές ανακλάσεις. 64 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Διακριτοποίηση στο χώρο και στο χρόνο Ο αριθμός των κελιών της προσομοίωσης είναι 62 120 14. Αυτό δημιουργεί ένα υπολογιστικό χώρο που αποτελείται από 104.160 κελιά. Τα χωρικά βήματα ορίστηκαν: Δx = 0.389 mm, Δy = 0.4 mm και Δz = 0.265 mm. Οπότε το πάχος του υποστρώματος προσομοιώνεται με 3 κελιά, ενώ το πλάτος της ταινίας που οδηγεί τη διέγερση με 6 κελιά. Οι διαστάσεις του πλαισίου που υλοποιεί την κεραία είναι 32 x 40 y, ενώ η απόσταση της πηγής από το πλαίσιο της κεραίας είναι 50 κελιά. Το επίπεδο αναφοράς της θύρας 1 και 2 τοποθετήθηκε σε αποσταση 15 Δy από τα σημεία ασυνέχειας. Επίσης, το σημείο διέγερσης βρίσκεται 15Δy από τα όρια του υπολογιστικού χώρου. Το χρονικό βήμα που επιλέχθηκε είναι Δt = 0.441 ps, οπότε η συνολική χρονική διάρκεια για 3000 χρονικά βήματα είναι 1.323 ns. Διέγερση Χρησιμοποιήθηκε ο παλμός Gauss της σχέσης 2.5 με διάρκεια Τ = 25 ps, ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι t 0 = 6T. Αποτελέσματα Με την προσομοίωση της κεραίας μικροταινίας ζητείται ο υπολογισμός της παραμέτρου σκέδασης, S 11, δηλαδή του συντελεστή ανάκλασης. Το πλάτος του συντελεστή ανάκλασης S 11 στην περιοχή συχνοτήτων από 0 μέχρι 20 GHz φαίνεται στο σχήμα 3.20. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 65

Σχήμα 3.20 Ο συντελεστής ανάκλασης της ορθογωνικής κεραίας μικροτανίας του σχήματος 3.9. Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται μερικά χαρακτηριστικά στιγμιότυπα της χωρικής κατανομής της συνιστώσας E z του ηλεκτρικού πεδίου, στο επίπεδο που ορίζεται απο τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω απο το υπόστρωμα για 200, 400, 600, και 800 χρονικά βήματα. 66 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τ = 200 χρονικά βήματα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 67

Τ = 400 χρονικά βήματα 68 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τ = 600 χρονικά βήματα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 69

Τ = 800 χρονικά βήματα Σχήμα 3.21 Χωρική κατανομή της συνιστώσας Εz του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωμα για 200, 400, 600 και 800 χρονικά βήματα. 70 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Στη συνέχεια μελετάται η μεταβολή του συντελεστή ανάκλασης της κεραίας στην περίπτωση που οι απώλειες του υποστρώματος δεν είναι αμελητέες. Να σημειωθεί ότι ο συντελεστής ανάκλασης του σχήματος 3.19 προ ήλθε από ανάλυση κατά την οποία η αγωγιμότητα σ του υποστρώματος θεωρήθηκε μηδενική (σ = 0). Προσομοιώθηκε, λοιπόν, η περίπτωση ορθογωνικής κεραίας μικροταινίας που έχει αγωγιμότητα σ = 1.1 10 3, η οποία είναι και η τιμή που δίνει ο κατασκευαστής για το υλικό Duroid 5880 στα 10 GHz. Για περαιτέρω μελέτη της επίπτωσης των απωλειών του διηλεκτρικού εξετάστηκε και η περίπτωση του διηλεκτρικού με αγωγιμότητα μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη, δηλαδή 3.22. σ = 1.1 10 2. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα 5 0 σ = 0 σ = 1.1 10 σ = 1.1 10 3 2-5 S11(dB) -10-15 -20-25 -30 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 GHZ Σχήμα 3.22 Συντελεστής ανάκλασης της ορθογωνικής κεραίας μικροταινίας για διαφορετικές τιμές της αγωγιμότητας του υποστρώματος σ. Παρατηρείται από το σχήμα 3.22 ότι η εισαγωγή των απωλειών που δίνει ο κατασκευαστής για το υλικό του υποστρώματος δε μεταβάλλει ουσιαστικά καθόλου τον συντελεστή ανάκλασης της κεραίας, καθώς οι καμπύλες ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 71

ταυτίζονται. Είναι δικαιολογημένη λοιπόν η μηδενική αγωγιμότητα του διηλεκτρικού που θεωρήθηκε στις προσομοιώσεις. Αντίθετα, η εισαγωγή επιπλέον απωλειών αλλοιώνει φανερά τη μορφή του συντελεστή ανάκλασης μεταβάλλοντας τα χαρακτηριστικά της κεραίας, αφού εκτός από τη μείωσή του, παρατηρείται και μετατόπιση του συντονισμού. Η επίδραση, δηλαδή, της αύξησης των απωλειών του διηλεκτρικού έχει μεγαλύτερη επίδραση στην κεραία μικροταινίας από ότι στο χαμηλοπερατό φίλτρο. Επομένως, υπάρχει ανάγκη υπολογισμού των απωλειών του υποστρώματος για την εξαγωγή α ξιόπιστων αποτελεσμάτων. 3.6 Μείωση Μεγέθους Κεραίας Μικροταινίας Πολλές τεχνικές έχουν αναφερθεί για τη μείωση του μεγέθους μιας κεραιάς μικροταινίας για δεδομένη συχνότητα συντονισμού. Συγκεκριμένα, για την ορθογωνική κεραία μικροταινίας της προηγούμενης ενότητας έχει εξαχθεί αναλυτικός τύπος [9] σύμφωνα με τον οποίο η κατώτερη συχνοτητα συντονισμού δίνεται απο τη σχέση f c (3.3) 2L ε r όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός, L το μήκος της ορθογωνικής κεραίας και ε r η σχετική διηλεκτρική σταθερά του γειωμένου διηλεκτρικού υποστρώματος. Από την εξίσωση (3.3) προκύπτει ότι η συχνότητα συντονισμού είναι α νάλογη του 1 ε r οπότε αύξηση στην τιμή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς σημαίνει μικρότερο μέγεθος της κεραίας μικροταινίας για δεδομένη συχνότητα συντονισμού. Βέβαια, η αύξηση της τιμής της διηλεκτρικής σταθεράς οδηγεί σε ελάττωση του κέρδους οπότε η επιλογή εξαρτάται από τις α νάγκες της εκάστοτε εφαρμογής. Μια άλλη μέθοδος που οδηγεί σε μείωση του μεγέθους της ορθογωνικής κεραίας μικροταινίας είναι η τοποθέτηση αυλάκωσης σε αυτήν. Τοποθε 72 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

τήθηκε λοιπόν στην ορθογωνική κεραία μικροταινίας μια αυλάκωση σε σχήμα ορθογωνίου διαστάσεων (L, W), όπως φαίνεται στο σχήμα 3.23. Για να μελετήσουμε την επίδραση της αυλάκωσης στην ορθογωνική κεραία μικροτανίας προσομοιώσαμε την διάταξη του σχήματος για δύο διαφορετικά μεγέθη αυλάκωσης. Συγκεκριμένα για L = 6Δx και W = 8Δy και για L = 7Δx και W = 10Δy, όπου Δx, Δy τα χωρικά βήματα της προσομοίωσης. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης φαίνονται στο σχήμα 3.24. 12.45mm W L 16mm 7. 9 mm 2.46mm Σχήμα 3.23 Ορθογωνική κεραία μικροαταινίας με αυλάκωση. Απο το σχήμα 3.24 προκύπτει πως η τοποθέτηση της αυλάκωσης στην κεραία μικροτανίας προκαλεί τη μείωση των συχνοτήτων συντονισμού. Ακόμη, κάθε επιπλέον αύξηση του μεγέθους της αυλάκωσης οδηγεί σε περαιτέρω μείωση των συχνοτήτων συντονισμόυ. Συμπεραίνεται, λοιπόν, με τη βοήθεια της σχέσης (3.3), ότι η τοποθέτηση αυλάκωσης, για μια δεδομένη επιθυμητή συχνότητα συντονισμού, επιτρέπει μείωση του μεγέθους της κεραίας μικροτανίας. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 73