ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΕ ΜΕΣΟ ΤΙ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ? ΤΟ ΦΩΣ ΙΑ Ι ΕΤΑΙ ΣΕ ΕΝΑ ΜΕΣΟ (ΓΥΑΛΙ, κα) ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΙΑ ΟΣΗΣ ΣΤΟ ΜΕΣΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ
ευθύγραµµη διάδοσητου φωτός Πυθαγόρας, ηµόκριτος, Εµπεδοκλής, Πλάτων, Αριστοτέλης νόµος της ανάκλασης 300 π.χ. Ευκλίδης Κατοπτρικά ~ 50 µ.χ. Ήρων: 'Ή διαδροµή που ακολουθεί το φώς αποτοένασηµείο στο άλλο είναι η συντο µότερη." 1801 Young αρχή της συµβολής 1820 Fresnel κυµατική διάδοση (διαµήκη κύµατα), περίθλαση, συµβολή ιάθλαση 50 π.χ. Κλεοµήδης, ~1621 Νοµος του Snell 1657 Fermat Αρχή ελαχίστου χρόνου 1665 Newton ασµατική ανάλυση, Κατοπτρικά τηλεσκόπια, Σωµατιδιακή φύση του φωτος 1665 Huygens πόλωση, το φως είναι κύµα 1825 Young το φως ειναι εγκάρσιο κύµα 1845 Faraday Μαγνητο-οπτικό φαινόµενο 1870 Maxwell το φως είναι ηλεκτροµαγνητικο κύµα 1881, 1887 Michelson
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL a E( r,t) = B( r,t) t a Η(,t) r = D(,t) r + J(,t) r t D(,t) r = ρ B(,t) r = 0 Νόµος του Faraday Νόµος του Ampere µε διόρθωση Maxwell Νόµος του Gauss Χωρίς όνοµα SI, α=1, Gauss a=c, c/4π E ενταση ηλεκτρικού πεδίου H ένταση µαγνητικού πεδίου D ηλεκτρική µετατόπιση B µαγνητική επαγωγή P ηλεκτρική πόλωση Μ µαγνήτιση J πυκνότητα ρεύµατος ρ πυκνότητα φορτίου ε 0 ηλ.διαπερατότητα κενού µ 0 µαγν. διαπερατότητα κενού εηλ. διαπερατότητα µέσου µµαγν. διαπερατότητα µέσου ε r διηλεκτρική σταθερά µ r σχετ. µαγν. διαπερατότητα D=ε 0 Ε+P = ε 0 (1+χ)Ε = εε J=σΕ (σ ηλ.αγωγιµότητα) Β=µ 0 (Η+Μ) = µh
Constitutive καταστατικές Parameters Περιοχή χωρίς φορτία ρ και J µηδέν Ισοτροπικά µέσα E παράλληλο του D Αρµονικές συναρτήσεις Γραµµικά φαινόµενα
Σελ. 2.21, ECE 466 «Μικροοπτικές διατάξεις-ολοκληρωµένα οπτικά»
Σελ. 43, optical communications systems
Σελ. 2.26, ECE 466
Λυση εξισωση κυµατος sel 20, ee235 Guided wave optical devices.pdf
x E x Direction of Propagation k z z y B y An electromagnetic wave is a travelling wave which has time varying electric and magnetic fields which are perpendicular to each other and the direction of propagation, z. 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
z E B E E and B have constant phase in this xy plane; a wavefront k Propagation E x E x = E o sin(ωt kz) z A plane EM wave travelling along z, has the same E x (or B y ) at any point in a given xy plane. All electric field vectors in a given xy plane are therefore in phase. The xy planes are of infinite extent in the x and y directions. 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
y Direction of propagation k O θ r r E(r,t) z A travelling plane EM wave along a direction k 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
Wave fronts (constant phase surfaces) Wave fronts k Wave fronts λ P λ k λ O P r E z A perfect plane wave A perfect spherical wave A divergent beam (a) (b) (c) Examples of possible EM waves 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
k = k x x+ kyy+ kzz kd= 0 kb= 0 k E = ω B k H = ω D Κυµατάνυσµα k
ιάνυσµα Poynting S= ( E H) To H/M αποτελείται από το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο. Η διευθυνση Ε x H είναι η ίδια µε το κυµατανυσµα k, η οποία δηλώνει την διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Εκφράζει την ενέργεια ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας. E H S = c B 1 = B µ = 1 E µ c ο 2 Η µέση τιµή ως προς τον χρόνο την ονοµάζουµε ένταση της ακτινοβολίας cε o 2 2 I = S t = Eo ( W / m ) 2
ιάνυσµα Poynting Ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας Sel. 3.23, ece466 «Μικροοπτικές διατάξεις-ολοκληρωµένα οπτικά»
Ταχύτητα φάσης Σελ. 22, ee235
Ταχύτητα οµάδας «Μικροοπτικές διατάξεις-ολοκληρωµένα οπτικά» 1.49 1.48 1.47 N g 1.46 1.45 n 1.44 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 Wavelength (nm) Refractive index n and the group index N g of pure SiO 2 (silica) glass as a function of wavelength. 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
ω + δω ω δω E max E max δk δω Wave packet ω Two slightly different wavelength waves travelling in the same direction result in a wave packet that has an amplitude variation which travels at the group velocity. 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Η ταχύτητα της Η/Μ ακτινοβολίας σε ένα διηλεκτρικό µέσο εξαρτάται απο την συχνότητα Κλασική προσέγγιση Το διηλεκτρικό δεν είναι συνεχές αλλά αποτελείται απο µεγάλο αριθµό ατόµων που µπορούν να πολωθούν. Το µεταβαλόµενο ηλεκτρικό πεδίο Ε() t του η/µ κύµατος "οδηγεί" τα άτοµα σε εξαναγκασµένη ταλάντωση Κάθε ταλαντωτής έχει µια φυσική συχνότητα συντονισµού ω 0 Ενα είδος ταλαντωτή Πολλά είδη ταλαντωτή n 2 2 Nqe 1 ( ω) = 1+ ε m ω ω 0 e 0 ( 2 2 ) n 2 2 Nq f e ( ω) = 1+ ε m ω ω j ( 2 2) j j 0 e 0
Στην προηγούµενη προσέγγιση δεν λάβαµε υπ' όψιν Επανεκποµπή των ταλαντωτών Τις απώλειες ενέργειας n 2 2 Nq f e ( ω) = 1+ ε m ω ω γ ω j 2 2 j ( + i ) 0 e 0 j j Ορίζουµε τον µιγαδικό δείκτη διάθλασης I E e 2 0 2n Im k z 0 n = n + in διάδοση Re Im απορρόφηση z E= E e = E e e i( kr ωt) nim k0z i( nrek0 r ω t) 0 0
ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (BORN & WOLF)
ΑΝΑΚΛΑΣΗ- ΙΑΘΛΑΣΗ Έστω επίπεδο µονοχρωµατικό κύµα προσπίπτει σε διηλεκτρική επιφάνεια ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (D i +D r -D t ) u n =0 (B i +B r -B t ) u n =0 (E i +E r -E t ) x u n =0 (H i +H r -H t ) x u n =0 Ηεφαπτοµενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνεχής κατά µήκος της διεπιφάνειας
ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ Συνοριακές συνθήκες: εφαπτοµενική συνιστώσα του Ε συνεχής
ακτίνα n i Εστω η αρχή των αξόνων είναι στην επιφάνεια. Τότε η διεύθυνση του r B είναι παράλληλη µε την επιφάνεια. Το διάνυσµα k i -k r είναι κάθετο στο r B k sinθ = sinθ i i r r θ = θ i r k ανάκλαση ακτίνα n t k r k t k i n 1 n 2 Οι εφαπτοµενικές συνιστώσες του k ειναι ίσες kisinθi = ktsinθt ωn1 ωn2 sinθi = sinθt c c n sinθ = n sinθ 1 i 2 t διάθλαση
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL «Μικροοπτικές διατάξεις-ολοκληρωµένα οπτικά»
Οι εξισώσεις Fresnel για s-πολωµένο κύµα είναι: Οι εξισώσεις Fresnel για p-πολωµένο κύµα είναι:
Κάθετη Πρόσπτωση R = T = ( nt ni) ( n + n ) t 4nn ( n + n ) t t i i i 2 2 2
Γωνία Brewster ΤΜ, p πολωµενο φως Το ηλεκτρικο πεδίο παραλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης θ B +θ t =90 o tanθ B =n t /n i Ηανάκλαση εξαφανίζεται, τα δίπολα δεν εκπέµπουν στην Ε t διεύθυνση