Αντικείμενο: Κρούσεις Κινήσεις Ελατήριο - Doppler

Αντικείμενο: Κρούσεις Κινήσεις Ελατήριο - Doppler «Όσο μεγαλώνει το νησί της γνώσης τόσο διευρύνεται η ακτή που αντικρίζει τον ωκεανό της άγνοιάς μας» V. Weisskopf Σώμα μάζας m=3 kg είναι δεμένο στην άκρη νήματος. Η άλλη άκρη του νήματος είναι δεμένη σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα μάζας m αφήνεται ελεύθερο από ύψος h=0,8 m και το σκοινί είναι τεντωμένο. Όταν το σώμα μάζας m διέρχεται από την κατώτερη θέση της τροχιάς του συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα μάζας m= kg, το οποίο στο άλλο άκρο του έχει προσδεδεμένο οριζόντιο ελατήριο με αιχμηρό άκρο. Το ελατήριο είναι ιδανικό με σταθερά k=7 N/m. Επίσης, στο σώμα μάζας m είναι εγκατεστημένη συσκευή παραγωγής ηχητικών κυμάτων συχνότητας fs=680 Hz, η οποία έχει αμελητέα μάζα. m u A h m Κατόπιν της κρούσης το σύστημα σώματος μάζας m-ελατήριο-συσκευή εκπομπής κυμάτων κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής μ=0,. Κάποια στιγμή η άκρη του ελατηρίου σφηνώνεται σε τοίχο, χωρίς να παρατηρούνται απώλειες θερμότητας και το ελατήριο συσπειρώνεται. Η απόσταση μεταξύ του ελεύθερου άκρου του ελατηρίου και του τοίχου είναι =4 m. Άνθρωπος βρίσκεται πίσω από το σώμα μάζας m, σε μεγάλη απόσταση από αυτό, και κινείται με ταχύτητα ua=3 m/s και με κατεύθυνση προς το σώμα μάζας m. Δίνεται, επίσης, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s και η ταχύτητα του ήχου uηχ=340 m/s.

Να βρείτε:. Μέχρι ποιο ύψος θα ανέλθει το σώμα μάζας m μετά την κρούση.. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. 3. Τη συχνότητα με την οποία αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος τον ήχο τη στιγμή που το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του. Μην λάβετε υπόψη τον ήχο από την ανάκλαση στον τοίχο. 4. Σε ποια απόσταση από την αρχική του θέση θα πρέπει να βρίσκεται το σώμα μάζας m ώστε ο άνθρωπος να αντιλαμβάνεται την ίδια συχνότητα με αυτή που εκπέμπεται. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δεδομένα m =3 kg h=0,8 m m = kg k=7 N/m fs=680 Hz m μ=0, =4 m u A =3 m/s u A h m g=0 m/s u ηχ =340 m/s Κρούση μετωπική και ελαστική. ο Ζήτημα: Αρχικώς πρέπει να βρούμε την ταχύτητα του σώματος m ελάχιστα πριν την κρούση. Εφαρμόζουμε Αρχή Διατήρησης Δυναμικής Ενέργειας (ΑΔΜΕ) από το σημείο [Α] έως το σημείο [Β], θεωρώντας πως στο σημείο [Β] η δυναμική ενέργεια του σώματος m είναι μηδενική (UΒ=0)

Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε «υψομετρική στάθμη» ως μηδενικής δυναμικής ενέργειας. Η «υψομετρική στάθμη» του σημείου [Β] επιλέγεται ως «συμφέρουσα» από την άποψη των πράξεων. m h u=0 [A] T w y w w x u U=0 [B] Άρα ΑΔΜΕ [Α] [Β] Σχήμα KA UA KB UB 0 mgh mu 0 u gh Συνεπώς u 0 0,8 m/s ή u 4 m/s Παρατήρηση: Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) από το [Α] στο [Β]: Kτελ Kαρχ ΣW mu 0 Ww mu mgh u gh 4 m/s Είναι ευνόητο πως δεν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε εξισώσεις κίνησης, αφού το «μέρος» του w (βάρους) που παράγει έργο μεταβάλλεται κατά την κίνηση του σώματος από το σημείο [Α] στο σημείο [Β]. Λέγοντας «μέρος» του w εννοούμε τη συνιστώσα εκείνη ( w x ) που προκαλεί την κίνηση από το [Α] στο [Β]. Βλέπε Σχήμα.

(+) Δλάτιζηα πριν ηην κρούζη u =0 m u m (+) Δλάτιζηα μεηά ηην κρούζη u' u m m Σχήμα Κατά τη διάρκεια της κρούσης: Για το σύστημα των σωμάτων m και m ισχύει ΣF εξ 0 και, ως εκ τούτου ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής. Άρα ΑΔΟ p ολ. αρχ p ολ. τελ m u 0 m u m u ( ) Επίσης, καθώς η κρούση των δύο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική θα ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας (ΑΔΚΕ). Άρα ΑΔΚΕ K αρχ K τελ mu 0 m u mu ( ) Από ( ) και ( ) έχουμε: m u m u m m ή u 3 4 m/s 3 ή u m/s m και u m m u 3 ή u 4 m/s 3 ή u 6 m/s

Παρατήρηση: Η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας (ΑΔΚΕ) είναι στην ουσία Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (ΑΔΜΕ), με τη διαφορά πως μετά πριν και μετά την κρούση η Δυναμική Ενέργεια των σωμάτων παραμένει η ίδια και, ως εκ τούτου, δεν είναι αναγκαίο να προσμετράται. Παραδείγματος χάρη, μετά την κρούση, τα σώματα που συμμετέχουν σε αυτή δεν έχουν αλλάξει ύψος και, συνεπώς, δεν έχει μεταβληθεί η Δυναμική Βαρυτική Ενέργεια και δε χρειάζεται να τη λάβουμε υπόψιν. Συμπερασματικά: Κατά την ελαστική κρούση ισχύει η ΑΔΜΕ η οποία μπορεί να μετατραπεί σε ΑΔΚΕ, γεγονός που πραγματοποιείται συχνά χάριν ευκολίας και συντομίας. Παρατήρηση επί της προηγούμενης παρατήρησης: Κατά τη διάρκεια (ναι... αυτή η ελάχιστη διάρκεια) της ελαστικής κρούσης ισχύει η ΑΔΜΕ και οι Δυναμικές Ενέργειες των σωμάτων υπολογίζονται. Πιο συγκεκριμένα: Κατά τη διάρκεια της ελαστικής κρούσης, η Κινητική Ενέργεια του συστήματος μετατρέπεται σε Δυναμική Ενέργεια Παραμόρφωσης των σωμάτων. Όταν ολοκληρωθεί το φαινόμενο της ελαστικής κρούσης, οι παραμορφώσεις των σωμάτων δεν υφίστανται πλέον και, ως εκ τούτου, η Δυναμική Ενέργεια μηδενίζεται. Προσοχή: Σε ασκήσεις που ανάμεσα από τα δύο σώματα που «συγκρούονται» υπάρχει ιδανικό ελατήριο, το οποίο κατά τη διάρκεια της κρούσης (ως είναι φυσικό) παραμορφώνεται (συσπειρώνεται) και στη συνέχεια (τέλος φαινομένου κρούσης) αποκτά ξανά το φυσικό του μήκος, εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για να μελετήσουμε τα ενδιάμεσα στάδια του φαινομένου της κρούσης.

Παράδειγμα: Δλάτιζηα πριν ηην κρούζη m u u =0 (+) m [A] Δλάτιζηα μεηά ηην κρούζη u' u m m (+) [B] Καηά ηη διάρκεια ηης κρούζης u' u m m (+) [Γ] -Γl Σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου ισχύει: Α. Η ΑΔΟ καθώς το σύστημα είναι μονωμένο ( ΣFεξ 0 ). Β. Η ΑΔΜΕ καθώς η κρούση είναι ελαστική. Άρα: Κατάσταση [Α] [Β] Κατάσταση [Α] [Γ] ΑΔΟ: pολ. p αρχ ολ. τελ ΑΔΟ: pολ. p αρχ ολ. τελ m u 0 m u m u m u 0 m u m u ΑΔΜΕ: KA UA KB UB ΑΔΜΕ: KA UA KΓ UΓ mu 0 m u mu 0 m u 0 m u m u kδl Άλλη μία () παρατήρηση: Για την ελαστική κρούση της άσκησης έχουμε τις σχέσεις: ( ) mu 0 mu mu

( ) mu 0 m u mu Αυτές τις δύο () σχέσεις αν τις τροποποιήσουμε καταλλήλως ως εξής: ( ) ( ) mu mu mu m (u u ) mu ( ) mu m u mu m (u u )(u u ) mu ( ) και διαιρέσουμε ( )/ ( ) έχουμε τα εξής: m (u u )(u u ) mu m (u u ) m u u u u (!) ή Δηλαδή: το άθροισμα των ταχυτήτων του σώματος m (πριν και μετά την κρούση) είναι ίσο με το άθροισμα των ταχυτήτων του σώματος m (πριν και μετά την κρούση). Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε κεντρική και ελαστική κρούση. [Στη γενική της μορφή: u u u u ] Επίσης, αξιοποιώντας τη σχέση (!) και τη σχέση ( ) έχουμε : (!) ( ) m u m u m (u u ) m u m u m u m u (m m )u (m m )u ή m m u u m m Όμοια, βρίσκουμε: m u m m u Τι δείξαμε μόλις τώρα;;; Τον τρόπο απόδειξης εκείνων των «μεγάλων» τύπων που διέπουν την ελαστική και κεντρική κρούση: m m m u u u m m m m m m m u u u m m m m

Συνεπώς το σώμα μάζας m θα κινηθεί κατόπιν κρούση, προς τα δεξιά ( u m/s ) και θα αρχίζει να ανέρχεται καθώς είναι προσδεδεμένο στο σχοινί (βλ. Σχήμα 4). [Γ] u=0 h m u U=0 [B] Σχήμα 4 Για να υπολογιστεί το ύψος h στο οποίο θα ανέλθει το σώμα μάζας m μπορούμε να εφαρμόσουμε ΑΔΜΕ. Άρα ΑΔΜΕ [Β] [Γ] KΒ UΒ K Γ UΓ mu 0 0 mgh 0h Συνεπώς h 0, m ο Ζήτημα: Κατόπιν κρούσης, το σύστημα σώμα μάζας m ελατήριο κινείται προς τα δεξιά με αρχική ταχύτητα u 6 m/s. Για διάστημα =4 m, το σύστημα αυτό θα επιβραδύνεται λόγω της τριβής ολίσθησης, η οποία αντιτίθεται στην κίνηση. Αφού μετατοπιστεί, η άκρη του ελατηρίου θα σφηνωθεί στον τοίχο με αποτέλεσμα να αρχίσει η συσπείρωσή του. Τώρα, το σύστημα θα επιβραδύνεται και λόγω της αντιτιθέμενης F ελ. Τη στιγμή που το σύστημα θα ακινητοποιηθεί ακαριαία, το ελατήριο θα έχει τη

μέγιστη συσπείρωσή του (Δlmax). Από τη στιγμή εκείνη και μετά το σώμα θα κινηθεί αντίθετα (προς τα αριστερά) και το ελατήριο θα επιμηκύνεται μέχρι τη Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ) του. Καηάζηαζη: Ακριβώς μεηά ηην κρούζη και ησταία θέζη πριν ζθηνωθεί ηο ελαηήριο [Β] N m [Γ] [Δ] T u m [Β] Καηάζηαζη: Ακριβώς όηαν ζθηνώνεηαι ηο ελαηήριο w T [Γ] N m Γl max [Δ] w Γl max [Γ] N [Δ] [Β] Καηάζηαζη: Τσταία θέζη ζσζπείρωζης ελαηηρίοσ T m u F ελ [Β] Καηάζηαζη: Μέγιζηη ζσζπείρωζη ελαηηρίοσ F ελ,max [Γ] Γl w max N [Δ] u =0 T w Σχήμα 5 Το εν λόγω ζήτημα μπορεί να προσεγγιστεί με διαφορετικούς τρόπους. ος τρόπος: «Σπάμε» την κίνηση σε δύο στάδια. ο Στάδιο: [Β] [Α] Το σώμα εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλά Επιβραδυνόμενη Κίνηση (ΕΟΕπιβΚ) λόγω της τριβής ολίσθησης. Η τριβή ολίσθησης (Τ) υπολογίζεται ως εξής: Στον y y το σώμα ισορροπεί. Άρα ΣF 0 w N 0 w N 0 y N ή m g (α)

Όμως T μν και συνεπώς T μmg ή T N Για να βρούμε την ταχύτητα του σώματος (του συστήματος, ουσιαστικά) στο σημείο [Δ] μπορούμε είτε να εφαρμόσουμε τις εξισώσεις κίνησης της ΕΟΕπιβΚ είτε να εφαρμόσουμε ΘΜΚΕ. Παρατήρηση: ΔΕΝ μπορούμε να εφαρμόσουμε ΑΔΜΕ γιατί η τριβή ΔΕΝ είναι συντηρητική δύναμη. Συνεπώς: εφαρμόζοντας εξισώσεις κίνησης ΕΟΕπιβΚ: u u αt(β) x u t αt (γ) Η επιβράδυνση (α) του σώματος υπολογίζεται από τον ο Νόμο του Νεύτωνα (ή, αλλιώς, Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής). Τ μm g α α α μg ή m m α m/s Θέτουμε στη σχέση (γ) τη μετατόπιση () του σώματος και λύνουμε ως προς το χρόνο (t). (γ) 4 6t t t 6t 4 0 Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης: β β 4αγ 6 6 4 4 6 5,,, t t t α Άρα: t 3 5 s ή t 3 5 s Δεκτή είναι η τιμή t 3 5 s, καθώς αποτελεί την η χρονική στιγμή που το σώμα θα περάσει από τη θέση x=+4 m. H t (t> t) απορρίπτεται, καθώς αποτελεί μία θεωρητική χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα θα περνούσε για η φοράν από τη θέση x=+4 m. Λέγοντας «θεωρητική» εννοούμε τα εξής: Αν στο σώμα ασκούνταν συνεχώς μία δύναμη σταθερή με μέτρο ίσο με αυτό της τριβής (F=T) και κατεύθυνση συνεχώς προς τα

αριστερά, τότε το σώμα κάποια στιγμή θα σταματούσε ακαριαία και στη συνέχεια θα κινούνταν αντίθετα (προς τα αριστερά) και, ως εκ τούτου, κάποια στιγμή θα περνούσε ξανά από τη θέση x=+4 m. Αυτή χρονική στιγμή θα ήταν η t. Στην περίπτωση της τριβής κάτι τέτοιο δεν λαμβάνει χώρα: η τριβή ολίσθησης παύει να ασκείται όταν το σώμα δεν κινείται. Παρατήρηση: Οι εξισώσεις κίνησης δεν μπορούν να «αντιληφθούν» τα προαναφερθέντα. Για αυτές (τις εξισώσεις), η τριβή είναι μία σταθερή δύναμη, αντίθετη της κίνησης, η οποία ασκείται συνεχώς. Συνεπώς, εμείς καλούμαστε να επιλέξουμε την κατάλληλη χρονική στιγμή ή/και, γενικότερα, να θέσουμε τους απαραίτητους περιορισμούς. Τελικά λοιπόν, θέτοντας τη χρονική στιγμή, που επιλέχθηκε, στη σχέση (β) υπολογίζουμε την ταχύτητα του σώματος (συστήματος) στη θέση [Δ]. u 6 (3 5) m/s ή u 5 m/s Εναλλακτικά: Εφαρμογή ΘΜΚΕ [Β] [Δ] K K ΣW τελ αρχ mu mu WT WN W w (δ) Το έργο της δύναμης της τριβής ολίσθησης υπολογίζεται ως εξής: WT T WT μmg Άρα (δ) mu mu μmg 0 0 u u μg και συνεπώς u 5 m/s Παρατήρηση: Είναι εμφανές πως η εφαρμογή του ΘΜΚΕ καθίσταται πιο λειτουργική και συντομεύει την επίλυση της άσκησης. Συνεπώς, χωρίς να είναι δεσμευτικό ή πανάκεια, η χρήση των εξισώσεων κίνησης είναι προτιμότερο να περιορίζεται στις περιπτώσεις όπου πρέπει να «μπλέξουμε» με χρόνο. Λέγοντας «μπλέξουμε» εννοούμε τη χρήση του χρόνου είτε ως αναγκαίου δεδομένου ώστε να επιλυθεί ένα πρόβλημα κίνησης είτε ώς ζητούμενου του εκάστοτε προβλήματος κίνησης.

(!) Υπενθυμίζεται πως αναγκαία προϋπόθεση αξιοποίησης εξισώσεως κίνησης (για την ύλη του Λυκείου) είναι η εξής: Η συνισταμένη δύναμη που παράγει έργο σε μία κίνηση να είναι είτε σταθερή (ΣF=σταθ) είτε της μορφής ΣF=-Dχ. Στην πρώτη περίπτωση το σώμα θα εκτελεί ΕΟΚ ( ΣF 0) ή ΕΟΜΚ ( ΣF σταθ 0 ), ενώ στη δεύτερη περίπτωση το σώμα θα εκτελεί ΑΑΤ (Απλή Αρμονική Ταλάντωση). Ουσιαστικά αυτές είναι οι μόνες γνωστές περιπτώσεις στην ύλη του Λυκείου όπου μπορούμε να περιγράψουμε τη μεταφορική κίνηση με εξισώσεις κίνησης. ΣF=σταθ (!) ΣF=-Dχ (!) ΕΟΚ ( ΣF 0) ΑΑΤ (ΣF=-Dχ) Δx u (με u=σταθ) Δt x xo ut x Aημ(ωt φ ο) ΕΟΜΚ ( ΣF σταθ 0 ) Δu α (με α=σταθ) Δt uuo αt x xo uot αt uumaxσυν(ωt φ ο) α αmaxημ(ωt φ ο) με umax=aω και αmax=aω

Παρατήρηση επί του Έργου: Ο ορισμός του έργου είναι W F x Αυτό «σημαίνει» (για λόγους που δεν θα αναλυθούν επί του παρόντος πως το έργο ισούται με το εμβαδόν σε ένα διάγραμμα F-x, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6. Το έργο ηης δύναμης για μεηαηόπιζη τ ιζούηαι με ηο εμβαδόν ηοσ γραμμοζκιαζμένοσ τωρίοσ E=W F 5 0 5 0 5 x 0 0 4 6 8 Σχήμα 6 Συνεπώς, καθίσταται ευνόητο πως για απλές γραφικές παραστάσεις όπως είναι αυτές στο Σχήμα 7 μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το κατάλληλο εμβαδόν και, κατ επέκταση, το έργο της δύναμης. F 5 0 5 0 5 x 0 0 4 6 8 (Η) F 35 30 5 0 5 0 5 x 0 0 4 6 8 (ΗΗ) F 35 30 5 0 5 0 5 0 0 4 6 8 x (ΗΗΗ) Σχήμα 7

Για πιο πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις (όπως του Σχήματος 6) και με τις γνώσεις που έχουμε μέχρι τώρα ΔΕΝ μπορούμε να υπολογίσουμε το έργο με αυτό τον τρόπο (χρησιμοποιώντας εμβαδόν). Ειδικότερα, για την περίπτωση του Σχήματος 7 (Ι), όπου η F είναι σταθερή, το έργο θα είναι W=Fx. (!) H ισότητα αυτή αποτελεί τον «τύπο» του έργου για μία σταθερή δύναμη (F=σταθ). Επιπροσθέτως: (!!) Αν η δύναμη F που παράγει έργο είναι συντηρητική τότε το έργο της υπολογίζεται (εκτός του υπολογισμού του εμβαδού σε F-x) από τη σχέση: W U U αρχ τελ Όπου Uarx και Uτελ, η αρχική δυναμική ενέργεια και η τελική δυναμική ενέργεια για δύο θέσεις της μελετηθείσας κίνησης. Ξεκαθαρίζοντας: Οι συντηρητικές δυνάμεις που γνωρίζουμε είναι οι εξής:. Δύναμη ελατηρίου ( F ελ ). Βάρος ( w ) 3. Δύναμη Coulomb ( F C ) και οι δυναμικές ενέργειες που τις αφορούν οι ακόλουθες:. U ελ kx, με χ η επιμήκυνση ή η συσπείρωση του ελατηρίου. Uελ mgh, με h η υψομετρική απόσταση από μία στάθμη αναφοράς (U=0) 3. qq, με r η απόσταση μεταξύ δύο φορτίων. UF k C r Επισημαίνεται πως τις περισσότερες φορές είναι πολύ εύκολο και χρηστικό να αξιοποιείται ο τύπος W Uαρχ Uτελ στις περιπτώσεις των συντηρητικών δυνάμεων.

ο Στάδιο: [Δ] [Ε] Κατά τη διάρκεια της κίνησης αυτής μπορούμε να εφαρμόσουμε ΘΜΚΕ. ΔΕΝ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ΑΔΜΕ γιατί ασκείται η τριβή, η οποία δεν είναι συντηρητική δύναμη. Επίσης, ΔΕΝ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εξισώσεις κίνησης (με την ύλη και τις γνώσεις του Λυκείου) γιατί ασκείται η Fελ η οποία δεν είναι σταθερή δύναμη. Τέλος, αποσαφηνίζεται, πως η εν λόγω κίνηση ΔΕΝ είναι ΑΑΤ (ΔΕΝ ισχύει ΣF=- Dx). Στη θέση [Ε] το ελατήριο θα έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του και το σώμα m θα έχει στιγμιαία ταχύτητα u=0. Άρα: ΘΜΚΕ [Δ] [Ε] K K ΣW τελ αρχ 0 mu WT WF W ελ N W w (ε) Υπολογισμός WT: WT T Δlmax WT μmgδl max Υπολογισμός WFελ: W U U 0 kδl Fελ Δ E max Άρα: (ε) 0 m u μm gδl kδl max max 0 0 7Δl max 0, 0Δlmax 36Δl max Δl max 0 0 Άρα: β Δ 4 4 36 ( 0) 444 Δlmax Δlmax Δlmax α 36 7 Άρα: Δlmax 40 0,5 m ή Δl max m <0 7 Συνεπώς η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου θα είναι: Δlmax 0,5 m

Η δεύτερη λύση της εξίσωσης απορρίπτεται ως αρνητική. ος τρόπος: Μελετάμε την κίνηση σε ένα στάδιο [Β] [Ε] Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο το ΘΜΚΕ. Συνεπώς: ΘΜΚΕ [Β] [Ε] K K ΣW τελ αρχ 0 mu WT WF W ελ N W w (ζ) Υπολογισμός WT: WT T ( Δl max ) WT μmg( Δl max ) Υπολογισμός WFελ: W U U 0 kδl Fελ Δ E max Άρα: (ζ) 0 m u μm g( Δl ) kδl max max 0 6 0, 0(4 Δl ) 7Δl 8 8 Δl 36Δl Άρα: 36Δl Δl 0 0 max max max max max max Παρατηρούμε (όπως είναι λογικό) πως καταλήγουμε στην ίδια σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ( ος τρόπος). Άρα: β Δ 4 4 36 ( 0) 444 Δlmax Δlmax Δlmax α 36 7 Άρα: Δlmax 40 0,5 m ή Δl max m <0 7 Συνεπώς και πάλι: απορρίπτεται. Δlmax 0,5 m, καθώς η δεύτερη λύση ως αρνητική

Παρατήρηση: ΘΜΚΕ mu mu μmg (Α) ΘΜΚΕ [Δ] [Ε] 0 mu μmgδl max kδlmax (Β) Προσθέτοντας (Α) και (Β) έχουμε: m u m u m u μm g μm gδl kδl max max Δηλαδή: 0 m u μm g( Δl ) kδl max max Δηλαδή, προσθέτοντας τις σχέσεις των ΘΜΚΕ [Β] [Δ] και ΘΜΚΕ [Δ] [Ε] καταλήγουμε στη σχέση του ΘΜΚΕ [Β] [Ε] 3 ο Ζήτημα: Όταν το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του, τότε στιγμιαία το σύστημα σώμα μάζας m πηγή ηχητικών κυμάτων είναι ακίνητο. Συνεπώς η σχέση που διέπει το φαινόμενο Doppler θα είναι: f A u u u A f S 340 3 Άρα: f A 680 Hz ή A 340 f 686 Hz 4 ο Ζήτημα: Για να ακούσει ο παρατηρητής ήχο συχνότητας ίδιας με αυτή που εκπέμπει η πηγή, θα πρέπει η πηγή (άρα και το σώμα μάζας m) να έχει ταχύτητα ίδια με αυτή του παρατηρητή (δηλαδή u=ua=3 m/s)

Παρατήρηση: Το φαινόμενο Doppler λαμβάνει χώρα αν και μόνο αν η πηγή ηχητικών κυμάτων και ο παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση. Δηλαδή, αν και μόνο αν, η μεταξύ τους απόσταση τείνει να μεταβάλλεται. Αν, αντίθετα, η μεταξύ τους απόσταση είναι σταθερή τότε ισχύει fa=fs. Παρατηρούμε πως u 3 m/s και u 3 m/s. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, πως το σώμα μάζας m θα έχει ταχύτητα ίση με ua=3 m/s αφού το ελατήριο έχει σφηνωθεί στον τοίχο. Είναι ευνόητο πως αν είχαμε u 3 m/s, τότε το σώμα m θα είχε αποκτήσει ταχύτητα 3 m/s πριν το ελατήριο σφηνωθεί στον τοίχο και, ως εκ τούτου, πριν αρχίσει να ασκείται η Fελ. Για να βρούμε τη θέση του σώματος m θα εφαρμόσουμε ΘΜΚΕ από την αρχική θέση [Β] μέχρι τη θέση [Ζ] στην οποία έχει αποκτήσει ταχύτητα u=ua=3 m/s και το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά Δl. u A Καηάζηαζη: Ακριβώς μεηά ηην κρούζη και ησταία θέζη πριν ζθηνωθεί ηο ελαηήριο m [Β] N m T u [Γ] [Ε] u A [Β] Καηάζηαζη: Ακριβώς όηαν ζθηνώνεηαι ηο ελαηήριο w T [Γ] N m Γl [Ε] w Γl [Β] [Γ] N [Ε] u A Καηάζηαζη: Θέζη ζσζπείρωζης ελαηηρίοσ Γl και u =3 m/s T m u F ελ w Σχήμα 8 Συνεπώς: ΘΜΚΕ [Β] [Z] K K ΣW τελ αρχ mu mu WT WF W ελ N W w (ε)

Υπολογισμός WT: WT T ( Δl) WT μmg( Δl) Υπολογισμός WFελ: WF U ελ Δ UZ 0 kδl Άρα: (ε) m u m u μm g( Δl) kδl 3 6 0, 0(4 Δl) 7Δl 7 6 4Δl 7Δl Άρα: 7Δl 4Δl 0 Άρα: β Δ 4 6 4 7 ( ) 4 384 Δl Δl Δl α 7 44 Δηλαδή: Δl 4 56,4 44 Συνεπώς: Δl 0,364 m ή Δl 0,4 m <0 Δεκτή γίνεται η τιμή της συσπείρωσης Δl 0,364 m, καθώς είναι θετική. Άρα η μετατόπιση του σώματος m (και κατ επέκταση η απόσταση από την αρχική του θέση) ώστε fa=fs θα είναι Δχ=+Δl. Δηλαδή: Δχ=4,364 m. Σημείωση: Το προαναφερθέν αποτέλεσμα είναι προσεγγιστικό, καθώς η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης για το Δl «στηρίζεται» στη ρίζα 384 η οποία ισούται με 56,49... και, προσεγγιστικά, θεωρήθηκε ως 56,4.

u(m/s) Παρατήρηση(!!): Το ακόλουθο σχήμα (Σχήμα 9) είναι κατατοπιστικό για τη μεταβολή της ταχύτητας του σώματος m από τη στιγμή που ξεκινά να κινείται στο οριζόντιο επίπεδο μέχρι τη στιγμή που στιγμιαία ακινητοποιείται (και το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του). Τατύηηηα ζώμαηος (u ) ηη ζηιγμή ποσ ηο ελαηήριο ζθηνώνεηαι ζηον ηοίτο Θέζη ζηην οποία ηο ελαηήριο ζθηνώνεηαι ζηον ηοίτο 6 5 4 3 0 Αζκειίηαι μόνο η Τ και ηο ζώμα εκηελεί Δσθύγραμμη Ομαλά Δπιβραδσνόμενη Κίνηζη Γlmax Αζκειίηαι και η Fελ και ηο ζώμα επιβραδύνεηαι πιο γρήγορα. Ζ κίνηζη δεν είναι πια ομαλά επιβραδσνόμενη Τατύηηηα ζώμαηος u =3m/s και f A=f S. x(m) 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Καηάζηαζη μέγιζηης ζσζπείρωζης ελαηηρίοσ. Το ζώμα ζηιγμιαία ακινηηοποιείηαι. Σχήμα 9 Επιμέλεια: Τςάτςησ Δημήτρησ itsatsis@gmail.com