όπου µ η γραµµική πυκνότητα του σχοινιού. Aν λοιπόν δηµιουργηθεί στο σταθε ρό άκρο Α ένας εγκάρσιος παλµός, αυτός θα διαδίδεται προς το ελεύθερο άκρο

Oµογενές σχοινί µήκους L, στερεώνεται στο ένα άκρο του από µια οροφή και ισορροπεί, ώστε να είναι κατακόρυφο. i) Eάν πολύ κοντά στο σταθερό άκρο του σχοινιού δηµιουργήσουµε ένα εγκάρσιο παλµό βραχείας διάρκειας και µικρού εύρους, σε πόσο χρόνο ο παλµός αυτός θα φθάσει στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού; Θα ανακλασθεί ο παλµός στο άκρο αυτό; ii) Eάν o ίδιος παλµός δηµιουργηθεί κοντά στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού, να δείξετε ότι ανέρχεται µε φασική επιτάχυνση g/ και να υπολογίσετε τον συνολικό χρόνο διαδόσεώς του µέχρις ότου επανέλ θει στο άκρο αυτό. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) H τάση του σχοινιού µειώνεται από το σταθερό άκρο του A προς το ελεύθερο άκρο O, λόγω δράσεως επί του σχοινιού του πεδίου βαρύτητας της Γης. Έτσι στο σηµείο M του σχοινιού, το οποίο απέχει απόσταση x από το άκρο Ο η τάση F του σχοινιού είναι κατά µέτρο ίση µε το βάρος m x g του τµήµατος του σχοινιού, που βρίσκεται κάτω από το M, δηλαδή ισχύει: F = m x g = µxg (1) Σχήµα 1 όπου µ η γραµµική πυκνότητα του σχοινιού. Aν λοιπόν δηµιουργηθεί στο σταθε ρό άκρο Α ένας εγκάρσιος παλµός, αυτός θα διαδίδεται προς το ελεύθερο άκρο

Ο µε φασική ταχύτητα v(x), η οποία θα µειώνεται µε την απόσταση x, σύµφωνα µε την σχέση: v(x)= F/µ (1) v(x)= µgx/µ = gx () Eάν dt είναι ο χρόνος διαδόσεως του παλµού σε απόσταση dx από το σηµείο M του σχοινιού, θα ισχύει: v(x)= - dx dt () gx = - dx dt dt=-dx/ gx =-(gx) -1/ dx (3) Oλοκληρώνοντας την (3) µε όρια ολοκλήρωσης για την απόσταση x από L σε µηδέν, παίρνουµε τον χρόνο t κ που χρειάζεται ο παλµός για να διανύσει το µή κος L του σχοινιού, δηλαδή θα ισχύει: 0 t κ =- (gx) -1/ dx t κ =- 1 g (x 1/ 0 L ) = L g L (4) Aπό την σχέση () προκύπτει ότι ο παλµός θα φθάσει ατο ελεύθερο άκρο Α του παλµού µε µηδενική ταχύτητα (x=0) που σηµαίνει ότι δεν θα ανακλασθεί. ii) Στην περίπτωση που ο παλµός δηµιουργηθεί στο ελεύθερο άκρο O θα ενέρ χεται µε αυξανόµενη φασική ταχύτητα που θα ακολουθεί πάλι την σχέση () µε αποτέλεσµα η φάση του να επιταχύνεται µε επιτάχυνση a που θα υπολογισθεί από την σχέση: a = dv dt = dv dx dx dt = dv () dx v a = dv dt = dv dx d ( gx ) dx dt = dx gx a = g ( x 1/ ) g ( x 1/ ) = g (5) O παλµός θα φθάσει στο σταθερό άκρο A του παλµού µε φασική ταχύτητα gl και θα ανακλασθεί κινούµενος προς τα κάτω µε φασική επιτάχυνση g/ και αρχική φασική ταχύτητα gl υπό την προυπόθεση τέλειας ανακλάσεως. Είναι προφανές ότι ο παλµός θα επανέλθει στο άκρο O µε µηδενική ταχύτητα και ο νέος χρόνος καθόδου του θα είναι πάλι g/l. Άρα ο ζητούµενος συνολικός χρόνος διαδόσεως του παλµού είναι 4 g/l. P.M. fysikos

Ένα οµογενές σχοινί µήκους L και µάζας m στη ρίζεται στο ένα άκρο του Ο και περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω επί οριζοντίου επιπέδου, περί άξονα διερχόµενο από το Ο. i) Nα δείξετε ότι η τάση που τεντώνει το σχοινί µεταβάλλεται µε την απόσταση r από το σταθερό άκρο Ο. ii) Κάποια στιγµή δηµιουργούµε επί του σχοινιού στο άκρο του Ο ένα εγκάρσιο παλµό µικρής διάρκειας και έκτασης, ο οποίος ταξιδεύει προς το ελευθερο άκρο του. Να βρείτε τον χρόνο που χρειάζεται ο παλµός να διανύσει το µήκος του σχοινιού. Η βαρύτητα να αγνοηθεί. ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα του σχοινιού µήκους dr (dr 0), σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής. Η µάζα dm, του τµήµατος αυτού διαγ ράφει περιφέρεια κέντρου Ο και ακτίνας r υπό την επίδραση των τάσεων Τ(r) και Τ(r+dr) που δέχεται στις άκρες του από τα εκατέρωθεν αυτού τµήµατα του σχοινιου, εκ των οποίων η Τ(r) κατευθύνεται προς το σταθερό άκρο του Ο και η Τ(r+dr) προς το ελεύθερο άκρο του A (σχ. ). Η συνισταµένη των δύο αυτών δυνάµεων ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη επί της µάζας dm, δηλαδή µπορούµε τα γράψουµε την σχέση: Σχήµα T(r)-Τ(r + dr) = dmω r T(r + dr)-τ(r) = -dmω r dt = -dmω r = -µdrω r (1) όπου µ η σταθερή γραµµική πυκνότητα του σχοινιού ίση µε m/l και dt η µετα βολή της τάσεως του σχοινιού κατά µήκος του στοιχείου dr. To αρνητικό πρό σηµο στην (1) δηλώνει ότι η τάση του σχοινιού µειώνεται από το άκρο Ο προς το ελεύθερο άκρο του. Ολοκληρώνοντας την (1) έχουµε: T(r)= -µω r / + C ()

H σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από το αναµβισβήτητο γεγονός ότι η τάση του σχοινιού στο ελεύθερο άκρο του (x=l) είναι µηδενική, οπότε από την () θα έχουµε: 0 =-µω L / + C C=µω L / Έτσι η σχέση () γράφεται: T(r)= µω L Παρατήρηση: - µω r T(r) = mω ( ), 0 r L (3) L L -r To πρώτο ερώτηµα του προβλήµατος µπορεί να λυθεί συντοµότερα, αν η κίνηση του σχοινιού εξετασθεί από παρατηρήτη που στρέφεται µαζί µε το σχοινί. Ο παρατηρητής αυτός βλέπει το σχοινί να ισορροπεί, εξετάζοντας δε το τµήµα του Σχήµα 3 σχοινιού από το ελεύθερο άκρο του Α µέχρι την διατοµή που απέχει απόσταση r από σταθερό άκρο Ο, διαπιστώνει ότι το τµήµα αυτό ηρεµεί υπό την επίδραση της δύναµης Τ(r) που δέχεται από το υπόλοιπο σχοινί µήκους r και της αδρα νειακής φυγόκεντρης δύναµης Φ, που θεωρεί ότι ενεργεί στο κέντρο µάζας του θεωρούµενου τµήµατος (σχ. 3). Για τον παρατηρητή αυτόν τα µέτρα των δύο δυνάµεων είναι ίσα, δηλαδή ισχύει: T(r)= Φ = m (L r) ω r + L-r T(r)= µ L-r ( ) ω L+ r T(r)= µ L-x T(r)= mω ( ) ω r + L-r ( ), 0 r L L L -r ii) Aν στο άκρο Ο του σχοινιού δηµιουργθεί ένας εγκάρσιος παλµός, αυτός θα διαδίδεται προς το ελευθερο άκρο του Α µε ταχύτητα v, η οποία θα µειώνεται µε την απόσταση r σύµφωνα µε την σχέση:

v = T(r) µ (3) v = µω ( µ L -r ) = ω L -r (4) Eάν dt είναι ο χρόνος διαδόσεως του παλµού µεταξύ των θέσεων r και r+dr του σχοινιού, θα ισχύει: dt = dr v (4) dt = ω dr L -r (5) O ζητούµενος χρόνος t L θα προκύψει µε ολοκλήρωση της (5) και µε όρια ολοκλήρωσης για την µεταβλητή r από 0 έως L, δηλαδή θα έχουµε: t L = ω L dr = L -r 0 ω ηµ 1 L r L 0 t L = ω ηµ L 1 L - ηµ 1 ( 0) t L = ω ηµ 1 1 ( ) = π ω (6) P.M. fysikos i) Επί ιδανικής χορδής διαδίδεται παλµός, που περιγράφεται από κυµατοσυνάρτηση της µορφής: y(x,t) = f(x-vt) - < x < +, t 0 (a) όπου v η ταχύτητα διαδόσεως του παλµού. Nα δείξετε ότι το σχήµα του παλµού παραµένει αναλλοίωτο και ότι η κυµατοσυνάρτηση ικανο ποιεί την σχέση: y t = -v y x (b) ii) Eάν η κυµατοσυνάρτηση του παλµού έχει την µορφή: y(x,t) = α 3, - < x < +, t 0 (c) α + ( x vt)

όπου α σταθερή θετική ποσότητα, να βρείτε την εγκάρσια ταχύτητα του σηµείου της χορδής µε συντεταγµένη x=α/ την στιγµή t=0. iii) Nα βρείτε την συνάρτηση κλίσεως y/ x της χορδής την χρονική στιγµή t=0 και να σχεδιάσετε ένα πρόχειρο διάγραµµα αυτής. ΛΥΣΗ: i) Θεωρώντας τον παλµό κατά τις χρονικές στιγµές t και t+δt, θα έχουµε συµφωνα µε την κυµατοσυνάρτηση (a), τις σχέσεις: y(x,t) = f(x-vt) και y(x + Δx,t + Δt) = f x + Δx-v(t + Δt (1) όπου Δx η µετατόπισή του παλµού µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+δt. Όµως η µορφή του παλµού εγγυάται ότι αυτός διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα x και εποµένως ισχύει Δx=vΔt, οπότε η δεύτερη από τις σχέσεις (1) γράφεται: y(x + Δx,t + Δt) = f x + vδt-v(t + Δt y(x + Δx,t + Δt) = f ( x-vt) () H () δηλώνει το αµετάβλητο του σχήµατος του παλµου κατα τον χρόνο διαδό σεώς του επί της χορδής. Παραγωγίζοντας την κυµατοσυνάρτηση (1) ως προς τον χρόνο t και ως προς την χωρική µεταβλητή x προκύπτουν οι σχέσεις: y t = f u u t = f u y (-v) και x = f u u x = f u 1 όπου χρησιµοποιήθηκε ο µετασχηµατισµός u=x-vt. αυτές προκύπτει η αποδεικτέα σχέση: Συνδυάζοντας τις σχέσεις y t = -v y x (3) ii) Η εγκάρσια ταχύτητα v y ένος σηµείου του παλµού που περιγράφεται µε την κυµατοσυνάρτηση (c) θα προκύψει µε παραγώγιση της συνάρτησης αυτής ως προς t, δηλαδή θα έχουµε: v y = f(x,t) = t t α + α 3 ( x-vt)

( ) (-v) ( ) v y = -α 3 x-vt α + x-vt ( ) = α 3 v x-vt α + ( x-vt) - < x < +, t 0 (4) H (4) για t=0 και x=α/ δίνει: v y ( α /,0) = α 3 v(α /) ( α + (α /) ) = α 4 v 5α /4 ( ) = 16v 5 (5) iii) Σύµφωνα µε την αποδειχθείσα σχέση (3) η συνάρτηση g(x) που δίνει την κλίση y/ x του παλµού την χρονική στιγµή t=0 έχει την µορφή: g(x) = - 1 v y t t= 0 (4) g(x) = - 1 α 3 vx v α + x ( ) g(x) = -α 3 x - < x < + (6) ( α + x ) Για την συνάρτηση g(x) παρατηρούµε τα έξής: lim g(x) x = lim g(x) x + = 0 δηλαδή το διάγραµµα της g(x) τείνει ασυµπτωτικά και προς τον θετικό ηµιά ξονα Οx και προς τον αρνητικό ηµιάξονα Ox. Στην θέση x=0 ισχύει g(0) = 0, δηλαδή το διάγραµµα της g(x) διέρχεται από την αρχή των άξόνων. Eάν η g(x) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα αυτά θα βρεθούν από τον µηδενισµό της πρώτης παραγώγου της, δηλαδή από την σχέση: dg(x) dx = 0 d dx -α 3 x + α -α 3 x (x + α ) = 0 ( ) + 1α 3 x ( x + α ) 3 x = 0 ( x + α ) 4 -α 3 ( x + α ) + 8α 3 x ( x + α )x = 0

-( x + α ) + 4x = 0 3x = α x= ± α 3/3 Σχήµα 4 δηλαδή η g(x) παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα στις θέσεις x= ± α 3/3. Για x=α 3/3 η τιµή του ακρότατου είναι αρνητική και για x=-α 3/3 η τιµή του είναι θετική, που σηµαίνει ότι το πρώτο ακρότατο είναι ελάχιστο και το δευτερο µέγιστο. Στο σχήµα (4) φαίνεται ένα πρόχειρο διάγραµµα της συνάρησης g(x). P.M. fysikos Ένας παλµός Gauss διαδίδεται κατά µήκος τεντω µένης ιδανικής χορδής και περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση: y(x,t) = Αe (x vt) /α, - < x < +, t 0 όπου v η ταχύτητα διαδόσεως του παλµού και Α, α σταθερές θετικες ποσότητες. i) Να δείξετε ότι ο παλµός παραµένει χρονικά αναλλοίωτος. ii) Nα σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του παλµού την χρονική στιγµή t=α/v και να βρείτε την ακτίνα καµπυλότητας της κορυφής του. ΛYΣΗ: i) Θεωρώντας τον παλµό κατά τις χρονικές στιγµές t και t+δt, θα έχουµε σύµφωνα µε την κυµατοσυνάρτηση που τον περιγράφει, τις σχέσεις: και y(x,t)= Αe (x vt) /α (1) y(x+ Δx,t+ Δt)= Αe [(x+ Δx) v(t+ Δt)] /α ()

όπου Δx η µετατόπιση του παλµού µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+δt, ίση µε vδt. H σχέση () γράφεται: y(x+ Δx,t+ Δt)= Αe (x+ Δx vt vδt) /α y(x+ Δx,t+ Δt)= Αe (x+ Δx vt Δx) /α y(x+ Δx,t+ Δt)= Αe (x vt) /α (1) y(x+ Δx,t+ Δt)= y(x,t) (3) H (3) εξασφαλίζει ότι ο παλµός Gauss διαδίδεται αναλλοίωτος επί της χορδής, δηλαδή χωρίς αλλαγή του σχήµατός του. ii) Xρησιµοποιώντας την προηγούµενη ιδιότητα παρατηρούµε ότι το στιγµιότυ πο του παλµού την χρονική στιγµή t=α/v θα προκύψει από το στιγµιότυπό του την χρονική στιγµή t=0 µε µετατόπιση αυτού κάτα α προς την θετική κατεύθυν ση του άξονα διαδόσεως x x του παλµού. Η χωρική περιγραφή του παλµού την στιγµή t=0 γίνεται µέσω της συνάρτησης: y(x,0)= Αe x /α - < x < + (4) για την οποία παρατηρούµε τα έξής: lim y(x,0) x = lim y(x,0) x + = 0 (5) δηλαδή το διάγραµµα της συνάρτησης τείνει ασυµπτωτικά και προς τον θετικό ηµιάξονα και προς τον αρνητικό ηµιάξονα του άξονα διαδόσεως του παλµου. Eάν η y(x, 0) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα αυτά θα βρεθούν από τον µηδενισµό της πρώτης παραγώγου της, δηλαδή από την σχέση: -Axe x /α α = 0 (6) δηλαδή η y(x, 0) παρουσιάζει ακρότατο στην θέση x=0. Για τον καθορισµό του είδους του ακροτάτου θεώρουµε την δεύτερη παράγωγο της y(x, 0): d y(x,0) dx = d dx -Axe x /α α = - A α e x /α α - x α e x /α

d y(x,0) dx x= 0 = -A α < 0 (7) δηλαδή η y(x, 0) παρουσιάζει µέγιστο στην θέση x=0, η δε τιµή του µεγίστου αυτού είναι y(x,0) (max) = A/e > 0. Για να διαπιστώσουµε αν η y(x, 0) παρουσιά ζει σηµεία καµπής µηδενίζουµε την δεύτερη παράγωγό της και θα έχουµε: d y(x,0) dx = 0 d dx -Axe x /α α = 0 - A e α x /α - x α e x /α = 0 x = 1 x = ± α α (8) Σχήµα 5 δηλαδή η y(x, 0) παρουσιάζει σηµεία καµπής στις θέσεις x= ± α /. Με βάση τις πιο πάνω διαπιστώσεις ένα πρόχειρο διάγραµµα της y(x, 0) είναι η πάνω κόκκινη γραµµή του σχήµατος (5). Αν η γραµµή αυτή µετατοπιστεί προς την θετική κατευθυνση του άξονα x x κατά α, θα προκύψει το στιγµιότυπο του παλµού την χρονική στιγµή t=α/v (κάτω κόκκινη γραµµή του σχήµατος 5). Η ακτίνα καµπυλότητας του παλµού στην κορυφή του δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο, αφού ο παλµός µετατοπίζεται χωρίς αλλαγή του σχήµατός του και εποµέ νως αρκεί να βρεθεί η ακτίνα αυτή την χρονική στιγµή t=0. Επειδή η χορδή είναι ιδανική η παραµόρφωσή της είναι σχετικά µικρή και µας επιτρέπει να θεωρήσουµε ότι η κλίση της y/ x είναι πολύ µικρή ( y/ x<<1) µε αποτέλεσµα

η ακτίνα καµπυλότητας σε κάθε θέση και κάθε στιγµή να ικανοποιεί την προ σεγγιστική σχέση: R 1 y(x,0) / x = 1 d y(x,0) / dx R 1 d -Axe x /α dx α R 1 - A e α x /α + x α e x /α x= 0 R - α A Το αρνητικό πρόσηµο της R δικαιολογείται από το γεγονος, ότι η κατεύθυνση από την κορυφή του παλµού προς το κοίλο µέρος του είναι αντίθετη της θετι κής φοράς του άξονα y. P.M. fysikos Kατά µήκος ενός τεντωµένου σχοινιού διαδίδονται δύο εγκάρσια κύµατα, τα οποία περιγράφονται από τις κυµατοσυναρ τήσεις: α 3 y 1 (t, x) = (x-vt) +α -α 3 y (t, x) = (x + vt) +α - <x<+, t 0 (1) όπου v η ταχύτητα διαδόσεως των δύο κυµάτων και α θετική και σταθερή ποσότητα. i) Nα σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα των δύο κυµάτων την χρονική στιγµή t=0 και κατά την µεταγενέστερη χρονική στιγµή t=α/v. ii) Nα βρείτε σε ποιά σηµεία του άξονα διαδόσεως x x η συµβολή των δύο κυµάτων είναι αναιρετική κάθε στιγµή. ΛΥΣΗ: i) H πρώτη από τις κυµατοσυναρτήσεις (1) είναι της µορφής y 1 (x,t)= f 1 (x-vt), που σηµαίνει ότι εκφράζει ένα µονοδιάστατο κύµα που διαδίδεται αναλ λοίωτο προς την θετική κατευθυνση του άξονα x x µε ταχύτητα v. H δεύτερη κυµατοσυνάρτηση έχει την µορφή y (x,t)= f (x+vt) και συνεπώς εκφράζει κύµα που οδεύει αναλλοίωτο προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x x µε ταχύ τητα v. Tα στιγµιότυπα των δύο αυτών κυµάτων την χρονική στιγµή t=0 είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

f 1 (x) = α 3 x +α f (x) = -α 3 x +α - <x<+ () Για την πρώτη από τις συναρτήσεις () παρατήρουµε τα εξής: lim f 1 (x) x = 0 και lim f 1 (x) x + = 0 δηλαδή το διάγραµµα της f 1 (x) τείνει ασυµπτωτικά και προς τον θετικό ηµιάξο να Οx και προς τον αρνητικό ηµιάξονα Ox. Eάν η f 1 (x) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα αυτά θα βρεθούν από τον µηδενισµό της πρώτης παραγώγου της, δηλαδή από την σχέση: df 1 (x) dx = 0 d dx -α 3 x ( x + α ) = 0 x=0 α 3 x + α = 0 δηλαδή η f 1 (x) παρουσιάζει ακρότατο στην θέση x=0. Για τον καθορισµό του είδους του ακροτάτου θεώρουµε την δεύτερη παράγωγο της f 1 (x): d f 1 (x) = d -α 3 x dx dx ( x + α ) = -α 3 x + α x + α d f 1 (x) dx x= 0 ( ) = - 1 ( α ) 4 α < 0 = -α 3 α ( ) + α 3 x ( x + α ) x ( ) 4 δηλαδή η f 1 (x) παρουσιάζει µέγιστο στην θέση x=0, η δε τιµή του µεγίστου αυτού είναι f 1(max) = α > 0. Για να διαπιστώσουµε αν η f 1 (x) παρουσιάζει σηµεία καµπής µηδενίζουµε την δεύτερη παράγωγό της και θα έχουµε: d f 1 (x) dx = 0 ( ) + α 3 x ( x + α ) x = 0 ( x + α ) 4 -α 3 x + α

-α 3 ( x + α ) + α 3 x ( x + α ) x = 0 x + α = x x = α x= ± α Σχήµα 6 δηλαδή η f 1 (x) παρουσιάζει σηµεία καµπής στις θέσεις x =± α. Με βάση τις πιο πάνω διαπιστώσεις ένα πρόχειρο διάγραµµα της f 1 (x) είναι η κόκκινη γραµµή του σχήµατος (6). Εξάλλου από τις σχέσεις () προκυπτει f 1 (x)=-f (x), που σηµαίνει ότι το διάγραµµα της f (x) είναι συµµετρικό του διαγράµµατος της f 1 (x) ως προς τον άξονα x απεικονίζεται δε µε την πράσινη γραµµή του ίδιου σχήµατος. Σχήµα 7 ii) Eάν υπάρχουν σηµεία του άξονα x στα οποία η συµβολή των δύο κυµάτων είναι αναιρετική θα προσδιορισθουν από την σχέση: y 1 (t, x) + y (t, x) = 0 α 3 (x-vt) +α = α 3 (x + vt) +α (x-vt) = (x + vt) x + v -vt = x + v + vt x=0

Παρατηρούµε ότι στην θέση x=0 κάθε στιγµή η αποµάκρυνση του ταλαντούµε νου σχοινιού είναι µηδενική. P.M. fysikos