) + y 0 ( e i(kx+ωt) /2)

Transcript

1 i) Κατά µήκος µιας ιδανικής χορδής ταξιδεύουν δύο αρµονικά κύµατα, που περιγράφονται από τις εξισώσεις: ( ) ( ) y 1 (t,x)= y 0 συν kx-ωt y (t,x)= (y 0 /)συν kx+ωt (α) όπου y 0, ω, k θετικές σταθερές ποσότητες. Να σχεδιαστουν τα στιγµιότυπα του συνιστάµενου κύµατος κατά τις χρονικές στιγµές t=0, t=π/ω και t=π/ω. ii) Eάν οι κυµατοσυναρτήσεις των δύο κυµάτων έχουν την µορφή: y 1 (t,x)= y 1,0 ηµ(ωt-kx) y (t,x)= y,0 ηµ(ωt-kx+ϕ) (β) να βρείτε την κυµατοσυνάρτηση του συνιστάµενου κύµατος και να σχεδιάσετε τις κυµατοµορφές του τις χρονικές στιγµές t=0, t=π/ω, και t=π/ω, όταν φ=0 και y 1,0 = y,0 =A. ΛYΣH: i) Στα µονοδιάστατα αρµονικά κύµατα που περιγράφονται από τις κυ µατοσυναρτήσεις (α) αντιστοιχούν οι εξής µιγαδικές µορφές : y 1 (t,x)= y 0 ( e i(kx-ωt) ) ( ) y (t,x)= y 0 e i(kx+ωt) / (1) υπονοώντας συµβατικά ότι: ( ) ( ) y 1 (t,x)= y 0 Re e i(kx-ωt) y (t,x)= y 0 Re e i(kx+ωt) / () Συµφωνα µε τo θεώρηµα της επαλληλίας, η κυµατοσυνάρτηση y(x,t) του συνι στάµενου κύµατος που προκύπτει εκ της συναντήσεως των δύο αυτών κυµά των θα έχει την εξής µιγαδική µορφή: y(t,x)=y 1 (t,x)+y (t,x)=y 0 ( e i(kx-ωt) ) + y 0 ( e i(kx+ωt) /)

2 e iωt y(t,x)=y 0 e ikx + e-iωt = y 0 eikx e iωt + e -iωt ( ) (3) Χρησιµοποιώντας τον τύπο του Euler η σχέση (3) γράφεται: y(t,x)= y 0 ( συνkx + iηµkx) ( συνωt + iηµωt + συνωt-iηµωt ) y(t,x)= y 0 ( συνkx+iηµkx ) ( 3συνωt-iηµωt) y(t,x)= y 0 ( 3συνkxσυνωt+3iσυνωtηµkx-iσυνkx ηµωt + ηµkxηµωt) y(t,x)= y 0 ( 3συνkxσυνωt+ ηµkxηµωt)+i ( 3συνωtηµkx-συνkx ηµωt) δηλαδή: y(t,x)= y 0 y(t,x)= y 0 Re ( 3συνkxσυνωt+ηµkxηµωt )+i ( 3συνωtηµkx-συνkx ηµωt) ( 3συνkxσυνωt + ηµkxηµωt) (4) Η (4) δηλώνει ότι το συνιστάµενο κύµα προκύπτει µε επαλληλία δύο στασίµων κυµάτων. Τα στιγµιότυπα του συνιστάµενου κύµατος τις χρονικές στιγµές t=0, t=π/ω και t=π/ω, είναι οι γραφικές παραστάσεις των επόµενων τριών συναρτή σεων: y(0,x)=(3y 0 /)συνkx y(π/ω,x)=(y 0 /)ηµkx y(π/ω,x)=-(3y 0 /)συνkx - <x<+ (5)

3 και αποδίδονται στο σχήµα (8). Σχήµα 8 ii) Στα µονοδιάστατα αρµονικά κύµατα που περιγράφονται από τις κυµατοσυ ναρτήσεις (β) αντιστοιχούν οι εξής µιγαδικές µορφές: y 1 (t,x)= y 1,0 e i(ωt-kx) y (t,x)= y,0 e i(ωt-kx+ϕ ) (6) υπονοώντας συµβατικά ότι: y 1 (t,x)= y 1,0 Im i(ωt-kx) y (t,x)= y,0 Im i(ωt-kx+ϕ ) (7) Κατα τo θεώρηµα της επαλληλίας, η µιγαδική κυµατοσυνάρτηση y(x,t) του συνιστάµενου κύµατος θα έχει την µορφή: y(t,x)=y 1 (t,x)+ y (t,x)= y 1,0 e i(ωt-kx) + y,0 e i(ωt-kx+ϕ ) y(t,x)=e i(ωt-kx) ( y 1,0 + y,0 e iϕ ) ( 8) Θέτουµε: y 0,1 + y 0, e iϕ = y 0 e iθ (9)

4 η οποία µε βάση τον τύπο του Euler γράφεται: y 1,0 + y,0 ( συνϕ + iηµϕ ) = y 0 συνθ + iηµθ ( ) y 1,0 + y,0 συνϕ = y 0 συνθ y,0 ηµϕ = y 0 ηµθ (:) ηµθ συνθ = y,0 ηµϕ y 1,0 + y,0 συνϕ εφθ = y,0 ηµϕ y 1,0 + y,0 συνϕ (10 ) από την οποία προκύπτει ότι η γωνία θ είναι γνωστή. Ακόµη µπορούµε να γρά ψουµε τις σχέσεις: ( y 1,0 + y,0 συνϕ) = y 0 συν θ y,0 ηµ ϕ = y 0 ηµ θ (+ ) y 1,0 + y,0 συν ϕ + y 1,0 y,0 συνϕ + y,0 ηµ ϕ = y 0 y 1,0 + y,0 + y 1,0 y,0 συνϕ = y 0 y 0 = y 1,0 +y,0 + y 1,0 y,0 συνϕ (11) από την οποία προκύπτει ότι η ποσότητα y 0 είναι γνωστή. Εξάλλου συνδυάζον τας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: y(t,x)=e i(ωt-kx) y 0 e iθ = y 0 e i(ωt-kx+θ) y(t,x)= y 0 Ime i(ωt-kx+θ) y(t,x)= y 0 ηµ ( ωt-kx+θ ) - <x<+ (1)

5 δηλαδή το συνιστάµενο κύµα είναι αρµονικό πλάτους y 0 κυκλικής συχνότητας ω και κυµαταριθµού k. Για φ=0 από την (10) προκύπτει θ=0 και για y 1,0 =y,0 =A από την (11) προκύπτει y 0 =A και η (1 ) παίρνει την µορφή: y(t,x)=aηµ ( ωt-kx) - <x<+ (13) Σχήµα 9 Τα στιγµιότυπα του συνιστάµενου κύµατος τις χρονικές στιγµές t=0, t=π/ω και t=π/ω είναι οι γραφικές παραστάσεις των επόµενων τριών συναρτήσεων: y(0,x)=-aηµkx y(π/ω,x)=aηµ(π/-kx) y(π/ω,x)=aηµ(π-kx) y(0,x)=-aηµkx y(π/ω,x)=aσυν kx y(π/ω,x)=aηµkx - <x<+ και αποδίδονται στο σχήµα (9). P.M. fysikos i) Δείξτε ότι η συνάρτηση: y(x,t)=aσυν(k 1 x-ω 1 t) + Βσυν(k x-ω t) (α) περιγράφει κύµα που µπορεί να διαδοθεί σε τεντωµένη ιδανική χορδή εφ όσον τα ω 1, ω, k 1, k, v είναι θετικές σταθερές που ικανοποιούν τις σχέσεις ω 1 /k 1 =ω /k =ν, οι δε συντελεστες Α, Β είναι σταθερά πραγ µατικά µεγέθη. ii) Βρείτε την συνθήκη, ώστε η συνάρτηση Ψ=Aηµ(k 1 x+k y+k 3 z-ωt) να αποτελεί λύση για την τρισδιάστατη κυµατική εξίσωση:

6 Ψ Ψ = v x + Ψ y + Ψ z (β) Tα k 1, k, k 3, ω και v εκφράζουν κατάλληλες θετικές σταθερές. ΛΥΣΗ: i) Η δόνηση µιας ιδανικής χορδής διέπεται από την κλασσική κυµα τική εξίσωση, που σηµαίνει ότι η χορδή µπορεί να δεχθεί κύµα που περιγρά φεται από την συνάρτηση (α), εφ όσον η συνάρτηση αυτή επαληθεύει την κυµα τική εξίσωση, που έχει την γνωστή µορφή: y = v y x (1) Aν οι συνηµιτονικοί όροι της (α) εκφρασθούν µε εκθετική µορφή, αυτή γράφε ται: y(x,t) = Ae i(ω 1 t k 1 x) + Be i(ω t k x) () Παραγωγίζοντας δύο φόρες την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: y = -Aω e i(ω 1 t k 1 x) -Bω 1 e i(ω t k x) (3) Παραγωγίζοντας επίσης δύο φόρες την () ως προς την χωρική µεταβλητή x παίρνουµε: y x = -Ak e i(ω 1 t k 1 x) -Bk 1 e i(ω t k x) y x = - Αω 1 e i(ω 1t k 1x) - Βω e i(ω t k x) v v y v x = -Aω e i(ω 1 t k 1 x) -Βω 1 e i(ω 1 t k 1 x) (4) Aπό την (3) και (4) προκύπτει η κυµατική εξίσωση (1), που σηµαίνει ότι η συνά ρτηση (α) περιγράφει κύµα που µπορεί να διαδοθεί σε ιδανική χορδή. Παρατήρηση: Mπορούµε απλούστερα να δείξουµε, ότι η συνάρτηση (α) αποτελεί λύση της κυµατικής εξίσωσης µετασχηµατίζοντας την (α) ως εξής: y(x,t) = Aσυν(ω 1 t-k 1 x) + Bσυν(ω t-k x)

7 y(x,t) = Aσυν(ω 1 t-ω 1 x/x) + Bσυν(ω t-ω x/v) y(x,t) = Aσυν[ω 1 (t-x/v)] + Bσυν[ω (t-x/v)] y(x,t) = Aσυν ω 1 v (x-vt) + Bσυν ω v (x-vt) (5) Παρατηρούµε από την (5) ότι η συνάρτηση (α) είναι της µορφής y(x,t)=f(x-vt), η οποία είναι γνωστό ότι επαληθευει την κυµατική εξίσωση και περιγράφει µονο διάστατο κύµα που διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα x ii) H δοθείσα συνάρτηση Ψ=Aηµ(k 1 x+k y+k 3 z-ωt) µπορεί να γραφεί υπό εκθε τική µορφή ως εξής: Ψ = -A sin(ωt-k 1 x-k y-k 3 z) Ψ = -Ae i(ωt-k 1 x-k y-k 3 z) (6) Παραγωγίζοντας δύο φορές την () ως προς τον χρόνο t και ως προς τις χωρι κές µεταβλητές x, y, z παίρνουµε: Ψ = Aω i(ωt-k e 1x-k y-k 3z) (7) Ψ x = Ak e i(ωt-k 1 x-k y-k 3 z) (8) 1 Ψ y = Ak e i(ωt-k 1 x-k y-k 3 z) (9) Ψ = Ak z 3 e i(ωt-k 1 x-k y-k 3 z) (10) Συνδυάζοντας τις (7), (8), (9) και (10) µε την τριδιάστατη κυµατική εξίσωση (β) παίρνουµε: Aω e i(ωt-k 1 x-k y-k 3 z) = Av e i(ωt-k 1 x-k y-k 3 z) k 1 + k ( + k ) ω = v k 1 + k ( + k ) v = H (11) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. ω k 1 + k + k (11) P.M. fysikos Eάν f 1 (x-vt), f (x+vt) είναι δύο κυµατοσυναρτή σεις, που αντιστοιχούν σε δύο κύµατα τα οποία διαδίδονται κατά µήκος µιάς τεντωµένης χορδής, να δείξετε ότι, οι εγκάρσιες ταχύτη

8 τες των σηµείων της χορδής κατά την χρονική στιγµή t=0 περιγράφον ται από την σχέση: y(x,0) =-v f (x,0) 1 - f (x,0) x x όπου v η ταχύτητα διαδόσεως των δύο κυµάτων στην χορδή. ΛYΣH: H κυµατοσυνάρτηση y(x,t) που περιγράφει την κίνηση της τεντωµέ νης χορδής, όταν κατά µήκος αυτής διαδίδονται τα δύο κύµατα, προκύπτει, σύµφωνα µε το θεώρηµα της επαλληλίας, ως άθροισµα των κυµατοσυναρτήσεων f 1 (x-vt), f (x+vt) των κυµάτων αυτών, δηλαδή ισχύει η σχέση: y(x,t) = f 1 (x - vt) + f (x + vt) (1) Παραγωγίζοντας την σχέση (1) ως προς τον χρόνο t, παίρνουµε: y(x,t) = f (x-vt) 1 + f (x+vt) y(x,t) = f (x-vt) 1 (x-vt) (x-vt) + f (x+vt) (x+vt) (x+vt) y(x,t) = f (x-vt) 1 (x-vt) (-v)+ f (x+vt) (v) () (x+vt) H () εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=0 δίνει: y(x,t) = -v f (x,0) 1 +v f (x,0) x x

9 y(x,0) =-v f (x,0) 1 - f (x,0) x x (3) H (3) απoτελεί την αποδεικτέα σχέση. P.M. fysikos Mια τεντωµένη χορδή µεγάλου µήκους, παραµορ φώνεται σε µια περιοχή γύρω από ένα σηµείο της Ο, που θεωρείται ως αρχή µέτρησης της χωρικής συντεταγµένης x, µε κατάλληλο κα λούπι και η παραµόρφωση αυτή περιγράφεται από την σχέση: y(x)= α συνkx, -α x +α 0, x -α,+α όπου α, k θετικές και σταθερές ποσότητες. Kάποια στιγµή η παραµορ φωµένη χορδή αφήνεται ελεύθερη. Nα σχεδιάσετε τις κυµατοµορφές των δύο εγκάρσιων παλµών που προκύπτουν κατά µήκος της χορδής, σε χρονικές στιγµές t>α/v. ΛYΣH: Έστω f 1 (x-vt), f (x+vt) οι κυµατοσυναρτήσεις των δύο παλµών που διαδίδονται εκατέρωθεν του O, όταν η παραµορφωµένη χορδή αφήνεται ελεύθε ρη. Tότε η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την δόνηση της χορδής θα έχει την µορφη: t= 0 y(x,t) = f 1 (x-vt) + f (x+vt) = y(x) και y(x,0) = f 1 (x) + f (x) = ασυνkx µε x [-α, +α] (1) 0 = f 1 (x) + f (x) µε x [-α, +α] ()

10 όπου f 1 (x), f (x) οι κυµατοµορφές των δύο παλµών την χρονική στιγµή t=0. Σύµφωνα µε το προηγούµενο παράδειγµα την χρονική στιγµή t=0 ισχύει: y(x,0) =-v f (x,0) 1 - f (x,0) x x 0 = -v df 1 (x) dx - df (x) dx df 1 (x) = df (x) f 1 (x) = f (x) (1),() f 1 (x) = f (x) = (α/)συνkx µε x [-α, +α] και f 1 (x) = f (x) = 0 µε x [-α, +α] όπου v η ταχύτητα διαδόσεως των δύο παλµών στην τεντωµένη χορδή. Οι κυ µατοµορφές των δύο παλµών για t>0 θα προκύψουν από τις δύο προηγούµε νες σχέσεις, αντικαθιστώντας την µεταβλητή x µε την x±vt, οπότε θα έχουµε: f 1 (x,t) = (α/)συνk(x-vt), x [-α+vt,α+vt] 0, x [-α+vt,α+vt] Σχήµα 10 και

11 f (x,t) = (α/)συνk(x+vt), x [-α-vt,α-vt] 0, x [-α-vt,α-vt] Στο σχήµα (10) φαίνονται οι κυµατοµορφές των δύο παλµών κατά µια χρονική στιγµή t>α/v, οι οποίες κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις µε ταχύτητα µέτρου v, καθώς και η αρχική κυµατοµορφή της χορδής την στιγµή t=0. P.M. fysikos α. Ένας παλµός µικρού εύρους, διαδίδεται κατά µήκος µιάς τεντωµένης ιδανικής χορδής, γραµµικής πυκνότητας µ. Eξετάζοντας την ταλάντωση της χορδής από ένα σύστηµα αναφοράς που κινείται µε ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα διαδόσεως του παλ µού, να δείξετε ότι η ταχύτητα αυτή υπολογίζεται από την σχέση: v = F/µ όπου F το µέτρο της δύναµης που τεντώνει την χορδή. β. Eάν επί της χορδής οδεύει ένα κύµα προς την αρνητική κατευθυ νση, να δείξετε την σχέση: y(x, t) = v y(x,t) x όπου y(x,t) η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το κύµα και v η ταχύτητα διαδόσεώς του. γ. Εάν το οδεύον επί της χορδής κύµα είναι µονοχρωµατικό µε κυµα τοσυνάρτηση της µορφής:

12 y = y 0 ηµ(ωt-kx) - x + να βρείτε την ακτίνα καµπυλότητας της χορδής στην θέση x=λ, όπου λ το µήκος κύµατος του αρµονικού κύµατος. Δίνεται ότι, η ακτίνα καµπυλότητας R µιας επίπεδης καµπύλης y=f(x) σ ένα σηµείο της δίνεται από την σχέση: R = 1 + ( dy/dx ) 3/ d y/dx ΛYΣH: α. Eάν εξετάσουµε την διάδοση του παλµού κατά µήκος της τεντωµέ νης χορδής από ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, που κινείται µε την ταχύ τητα διαδόσεως v του παλµού, τότε ο παλµός στο σύστηµα αυτό θα φαίνεται ακίνητος στον χώρο, ενώ τα υλικά σηµεία της χορδής θα κινούνται µε ταχύτη τα - v, διερχόµενα διαδοχικά µέσα από τον παλµό. Θεωρούµε το στοιχειώδες τµήµα dl της χορδής, που διέρχεται από την κορυφή του παλµού. Aυτό απο τελεί ένα στοιχειώδες περίπου κυκλικό τόξο ακτίνας r και κέντρου O, το οποίο Σχήµα 11 δέχεται στις άκρες του τις δυνάµεις F 1 και F από τα εκατέρωθεν αυτού ευρισκόµενα τµήµατα της τεντωµένης χορδής, οι οποίες δυνάµεις είναι εφαπτο µενικές του τόξου και έχουν το ίδιο µέτρο F, αφού η χορδή θεωρήθηκε ιδανική. Λόγω συµµετρίας οι συνιστώσες F 1x, F x των δυνάµεων αυτών κατά την διεύ θυνση της ταχύτητας v αλληλοαναιρούνται, ενώ οι συνιστώσες τους F 1y, F y

13 κατά την κάθετη προς την ταχύτητα v διεύθυνση, παρέχουν συνισταµένη της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο Ο του παλµου και αποτελεί την απαι τούµενη κεντροµόλο δύναµη για το στοιχειώδες τµήµα, κατά την στιγµή που διέρχεται από την κορυφή του παλµού. Mε βάση τα παραπάνω µπορούµε να γράψουµε την σχέση: F 1y +F y = dmv r F 1y +F y = µdlv r (1) όπου dm η µάζα του στοιχειώδους τµήµατος dl και µ η γραµµική πυκνότητα της χορδής. Στο σηµείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι, το στοιχειώδες τµήµα dl διέρχεται από την κορυφή του παλµού µε ταχύτητα - v ως προς το θεωρού µενο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Όµως η γωνία φ είναι πολύ µικρή και µπορούµε να αντικαταστήσουµε το ηµίτονό της µε την ίδια την γωνία εκφρα ζόµενη σε ακτίνια, οπότε θα έχουµε: ηµφ φ rad ηµφ dl/ r = dl r () Συνδυάζοντας τις (1) και () παίρνουµε την σχέση: F dl r = µdlv r v = F µ (3) β. Κάθε κύµα που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση ιδανικής χορδής έχει κυµατοσυνάρτηση της µορφής y(x,t) =f(x+vt), από την οποία προκύπτουν οι σχέσεις: y = f u u = f u y v και x = f u u x = f u 1 όπου χρησιµοποιήθηκε ο µετασχηµατισµός u=x+vt. αυτές προκύπτει η αποδεικτέα σχέση: Συνδυάζοντας τις σχέσεις

14 y = v y x (4) γ. Eπειδή η χορδή είναι ιδανική εκτελεί ταλαντώση µικρού πλάτους κατά την διάδοση του αρµονικού κύµατος σ αυτήν, που σηµαίνει ότι η κλίση της ( y/ x) σε κάθε σηµείο της είναι πολύ µικρή και αυτό επιτρέπει να γράψουµε την προ σεγγιστική σχέση ( y/ x)<<1 και εποµένως η ακτίνα καµπυλότητας R της χορδής σ ένα σηµείο της Μ(x,y), σύµφωνα µε την σχέση που µας δίνει η εκφώ νηση είναι: R = 1 + ( y/dx ) 3/ y/dx ( ) = ( ) 3 ( y/ x ) 1 + y/ x 1 ( y/ x ) (5) Εξάλλoυ παραγωγίζοντας ως προς x δύο φορές την εξίσωση του αρµονικού κύ µατος παίρνουµε: y x = -y kσυν ωt-kx 0 ( ) y x = y 0 k ηµ ( ωt-kx) (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: R 1 y 0 k ηµ ωt-kx ( ) (7) Eξάλλου από την µορφή της εξίσωσης του αρµονικού κύµατος, προκύπτει ότι η φάση ταλάντωσης της αρχής Ο του άξονα x την χρονική στιγµή t=0 που αρχί ζουµε την µελέτη του είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η θέση x=λ αντιστοιχεί στην χρονική στιγµή t=t, όπου Τ η περίοδος του αρµονικού κύµατος. Έτσι η σχέση (7) για t=t και x=λ δίνει: R 1 y 0 k ηµ ωt-kλ ( ) = 1 y 0 k ηµ ( π-π ) R +

15 δηλαδή η αντίστοιχη ακτίνα καµπυλότητας της χορδής παρουσιάζει ασυνέχεια. P.M. fysikos