(α) t 2 =v2. y 2. όπου v η ταχύτητα διαδόσεως του επιφανειακού εγκάρσιου κύµατος της µεµβράνης.

Transcript

1 Σε µια τεντωµένη µεµβράνη διαδίδεται ένα εγκάρ σιο κύµα, µε αποτέλεσµα τα διάφορα σηµεία της να ταλαντεύονται. Aποδεικνύεται ότι κυµατοσυνάρτηση Ψ(x,y,t) που περιγράφει την κίνηση των σηµείων της δονούµενης µεµβράνης ικανοποιεί την διδιάστατη διαφορική εξίσωση: Ψ Ψ t =v + Ψ y (α) όπου v η ταχύτητα διαδόσεως του επιφανειακού εγκάρσιου κύµατος της µεµβράνης. i) Nα βρείτε την συνθήκη ώστε, η διαφορική εξίσωση (α) να δέχεται λύση της µορφής: Ψ(x,y,t) = A ηµ k 1 x-ωt ( ) + ηµ ( k y-ωt) (β) όπου k 1, k, A, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. ii) Eάν το επιφανειακό κύµα που διαδίδεται στην µεµβράνη περιγρά φεται από την σχέση (β) και επιπλέον ισχύει k 1 =k =k= µε k= ω / v να δείξετε ότι υπάρχουν επί της µεµβράνης σηµεία που διαρκώς παραµέ νουν ακίνητα και να καθορίσετε τις θέσεις τους. ΛYΣH: i) Eστω ότι η διαφορική εξίσωση (α) δέχεται λύση της µορφής που καθορίζει η σχέση (β). Παραγωγίζοντας την (β) δύο φορές, ως προς τις µεταβλη τές t, x και y παίρνουµε τις σχέσεις: Ψ t = -Aω συν(k x-ωt)+συν(k y-ωt) 1

2 Ψ t = -Aω ηµ(k 1 x-ωt)+ ηµ(k x-ωt) (1) Ψ = Ak συν(k x-ωt) Ψ 1 1 =-Ak ηµ(k 1 1 x-ωt) () Ψ y = Ak συν(k y-ωt) Ψ y =-Ak ηµ(k y-ωt) (3) H (α) µε βάση τις (1), () και (3) γράφεται: -Aω ηµ(k 1 x-ωt)+ ηµ(k y-ωt) = =-Av (k 1 +k ) ηµ(k 1 x-ωt)+ ηµ(k y-ωt) ω = v (k 1 +k ) k 1 +k =(ω /v) (4) H σχέση (4) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. ii) Aς υποθέσουµε ότι, το επιφανειακό κύµα που διαδίδεται επί της µεµβράνης περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση (β), οι δε σταθερές διαδόσεώς του κατά τις διευθύνσεις των αξόνων x και y είναι ίσες, δηλαδή ισχύει k 1 =k =k, µε k= ω/ v. H (β) µε βάση την Tριγωνοµετρική ταυτότητα: ηµα + ηµβ= συν α - β ηµ α + β παίρνει την µορφή:

3 Ψ=A συν kx-ωt-ky+ωt ηµ kx+ky-ωt Ψ=A συν kx-ky ηµ kx+ky -ωt (5) Eκ της (5) παρατηρούµε ότι, τα σηµεία της µεµβράνης που ικανοποιούν την σχέ ση: kx -ky συν =0 (6) παραµένουν κάθε στιγµή ακίνητα κατά την διάδοση του επιφανειακού κύµατος πάνω στην µεµβράνη. Tα σηµεία αυτά βρίσκονται πάνω σε µια γραµµή, της οποίας η µορφή προκύπτει από την (6), η οποία ισοδυναµεί µε την εξίσωση: x-y = ( n + 1) π k x-y = ( n + 1) π ω / v x-y = ( n + 1) vπ ω (7) όπου n ακέραιος αριθµός. H (7) καθορίζει µια µονοπαραµετρική οικογένεια ευθειών, που βρίσκονται στην επιφάνεια της µεµβράνης και ονοµάζονται δεσ µικές ευθείες του επιφανειακού κύµατος. P.M. fysikos H διαφορική εξίσωση που περιγράφει την διάδοση ενός κύµατος επιφάνειας έχει την µορφή:

4 Ψ Ψ t =v + Ψ y (α) όπου Ψ(x,y,t) κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την κίνηση των σωµατιδίων της υλικής επιφάνειας διαδόσεως του κύµατος και v η ταχύτητα διαδόσεώς του. i) Eάν η εξίσωση (1) δέχεται λύση της µορφής: Ψ= f(x,y)ηµωt να δείξετε ότι, η συνάρτηση f(x,y) ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: f(x,y) + f(x,y) y + ω v f(x,y) = 0 (β) όπου ω θετική και σταθερή ποσότητα. ii) Bρείτε την συνθήκη ώστε, η (β) να δέχεται λύση της µορφής: f(x,y) = A ηµ ( k 1 x) ηµ ( k x) (γ) όπου A, k 1, k θετικές και σταθερές ποσότητες. ΛYΣH: i) Aς δεχθούµε ότι η διαφορική εξίσωση (α) δέχεται λύση της µορφής ψ=f(x,y)ηµωt. Tότε θα ισχύουν οι σχέσεις: Ψ t =ωf(x,y)συνωt Ψ t = -ω f(x,y)ηµωt (1)

5 Ψ = f(x,y) ηµωt Ψ = f(x,y) ηµωt () Ψ y = f(x,y) y ηµωt ψ y = f(x,y) y ηµωt (3) H (α) µε βάση τις (1), () και (3) γράφεται: f(x,y) -f(x,y)ω ηµωt = v + f(x,y) ηµωt y f(x,y) + f(x,y) + ω f(x,y)=0 (4) y v ii) Έστω ότι η διαφορική εξίσωση (4) δέχεται µερική λύση της µορφής: f(x,y) = Aηµ(k 1 x)ηµ(k y) (5) όπου A, k 1, k θετικές ποσότητες. Παραγωγίζοντας την (5) δύο φορές ως προς x και ως προς y έχουµε τις σχέσεις: f(x,y) = Ak 1 (συνk 1 x)(ηµk y) f(x,y) = -Ak 1 (ηµk 1 x)ηµ(k y) (6) f(x,y) = Ak y (ηµk 1 x)(συν(k y) f(x,y) = -Ak y (ηµk 1 x)ηµ(k y) (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4), (5), (6) και (7) παίρνουµε:

6 -Ak 1 ηµ(k 1 x)ηµ(k x)-ak ηµ(k 1 x)ηµ(k x)+a (ω /v )ηµ(k 1 x)ηµ(k x)=0 -k 1 -k + (ω /v )= 0 k 1 + k = ω /v (8) H σχέση (8) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. P.M. fysikos Mια µη ιδανική χορδή παρουσιάζει ανοµοιογένεια µάζας και ελαστικότητας, δηλαδη η γραµµική της πυκνότητα και η τάση της δεν είναι σταθερές αλλά αποτελούν συναρτήσεις της χωρι κής συντεταγµένης x των σηµείων της χορδής. Nα δείξετε ότι, για εγκάρσιες ταλαντώσεις µικρού εύρους της χορδής η κυµατική της εξίσωση έχει την µορφή: µ(x) y t = F(x) y + f(x,t) όπου µ(x), F(x) oι συναρτήσεις µεταβολής της γραµµικής πυκνότητας και της τάσεως αντιστοίχως της χορδής και f(x,t) η εγκάρσια εξωτερι κή δύναµη ανά µονάδα µήκους, που ενδεχοµένως δέχεται η χορδή από το περιβάλλον της. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της χορδής το οποίο σε κατάσταση ηρεµίας έχει µήκος dx και βρίσκεται µεταξύ των θέσεων x και x+dx. (σχ. 1). Mε την προυπόθεση ότι η εγκάρσια ταλάντωση της χορδής οδηγεί σε µικρές παραµορφώσεις αυτής από την θέση ισορροπίας, µπορούµε να δεχθούµε ότι η σε καθέ σηµείο της η κλίση y/ είναι πολύ µικρή, δηλαδή ισχύει y/<<1. Εάν ds είναι το µήκος του θεωρούµενου τµηµατος της χορδής όταν αυτή βρίσκεται σε κατάσταση παραµορφώσεως θα έχουµε την σχέση: ds = dx + dy = dx 1 + (dy/dx)

7 ds = dx 1 + ( y/) dx (1) δηλαδή οι µικρές παραµορφώσεις της χορδής ελάχιστα µεταβάλλουν το µήκος της. Οι δυνάµεις που δρουν στο εξεταζόµενο στοιχείο της χορδής είναι: Σχήµα 1 (α) Oι έλξεις F (x) και F (x+dx) από τα εκατέρωθεν αυτού τµήµατα της χορδής που είναι εφαπτοµενικές του θεωρούµενου τµήµατος, µε αντίστοιχες κλίσεις φ (x) και φ (x+dx) ως προς την οριζόντια διεύθυνση (σχ. 1) και (β) ενδεχόµενη εγκάρσια δύναµη f(x,t)dx, που προκύπτει ως συνισταµένη διάφορων εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται η χορδή από το περιβάλλον της (π.χ η βαρύτητα ή µια δύναµη τριβής από πυκνόρευστο µέσο ή µια δύναµη που την θέτει σε εξαναγκασµένη ταλάντωση) µε µέτρο ανά µονάδα µήκους f(x,t). Kατά την εγκάρσια διεύθυνση του άξονα y το τµήµα αυτό δέχεται συνισταµένη δύναµη, της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι: (F y )= F y - F y + f(t,x)dx = F (x+dx) ηµϕ (x+ dx) -F (x) ηµϕ (x) + f(t,x)dx () Eφαρµόζοντας για το στοιχειώδες τµήµα κατά την διεύθυνση y της εγκάρσιας κίνησής του τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

8 dm y t = Σ(F y ) µ(x)ds y t = Σ(F y ) (1) µ(x)dx y t = F (x+dx) ηµϕ (x+ dx) -F (x) ηµϕ (x) + f(t,x)dx µ(x) y t = F (x+dx) ηµϕ -F (x+ dx) (x) ηµϕ (x) + f(t,x) (3) dx Όµως από τον ορισµό της µερικής παραγώγου ισχύει η σχέση: F (x+dx) ηµϕ (x+ dx) -F (x) ηµϕ (x) dx = F ηµϕ (x) (x) οπότε η (3) γράφεται: µ(x) y t = F ηµϕ(x) (x) + f(x,t) (4) Eπειδή εξετάζουµε µικρές δονήσεις της χορδής η γωνία φ (x) είναι κάθε στιγµή πολύ µικρή και µπορούµε να δεχθούµε το ηµίτονό της περίπου ίσο προς την εφαπτοµένη της, οπότε η (4) γράφεται: µ(x) y t = F εϕϕ (x) (x) + f(x,t) (5) Όµως η εφαπτοµένη της γωνίας φ (x) αποτελεί την κλίση της χορδής στην θέση του στοιχειώδους τµήµατος, η οποία είναι ίση µε την αντίστοιχη τιµή της µερι κής παραγώγου y/ x της κυµατοσυνάρτησης y(x,t) που περιγράφει κάθε στιγ µή την κυµατική κίνηση της χορδής. Έτσι η σχέση (3) γράφεται:

9 µ(x) y t = y F(x) + f(x,t) (6) Παρατηρήσεις: i) Eάν η χορδή δεν δέχεται εγκάρσιες εξωτερικές δυνάµεις, τότε f(x,t)=0 και η σχέση (6) παίρνει την µορφή: µ(x) y t = y F(x) (7) Eάν επί πλέον η χορδή παρουσιάζει οµοιογένεια µάζας και οµοιογένεια ελαστι κότητας, τότε η γραµµική της πυκνότητα και η τάση της θα είναι σταθερές και η (7) παίρνει την µορφή της κλασσικής κυµατικής εξίσωσης. µ y t = F y y t = F µ y y t = v y (8) όπου v η ταχύτητα διαδόσεως του κύµατος που σχηµατίζεται στην χορδή. ii) Eάν επικεντρώσουµε την προσοχή µας στην (8) και δεχθούµε ότι οι άκρες της χορδής είναι σταθερές, τότε µια φυσική* ανάλυση της λύσεως της (8) δίνει ότι η χορδή µπορεί να ταλαντώνεται µε διάφορους τρόπους, που µοιάζουν µε παραµορφωµένα στασιµα κύµατα, δηλαδή µοιάζουν µε τους κανονικούς ηµιτονο ειδείς τρόπους ταλάντωσης της οµογενούς χορδής µε τις ίδιες αρχικές και συνο ριακές συνθήκες, αλλά µε κάποια παραµόρφωση * Αναφερόµαστε µόνο στα φυσικά συµπεράσµατα που απορρέουν από την µαθη µατική διερεύνηση της y(x,t), χωρίς να ενδιαφερόµαστε για την µαθηµατική µορφή της που προκύπτει από την λύση της διαφορικής εξίσωσης (8). Η εύρεση της λύσε ως είναι µια επίπονη διαδικασία που απαιτεί ειδικές γνώσεις της θεωρίας των δια φορικών εξισώσεων µε µερικές παραγώγους.

10 iii) Eκτός από την βασική εξίσωση (6) που περιγράφει την κίνηση της χορδής υπό τις προυποθέσεις που τίθενται στο πρόβληµα, υπάρχει και µια δεύτερη εξί σωση που απορρέει από τον νόµο κίνησης του Νεύτωνα αν αυτός εφαρµοσθεί κατά την διεύθυνση του άξονα x που είναι κάθετος επί την εγκάρσια διεύθυνση ταλάντωσης. Επειδή το κάθε στοιχείο της χορδής δεν έχει κίνηση κατα τον άξο να x η συνισταµένη των αντίστοιχων δυνάµεων είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει: F (x+dx) συνθ (x +dx) -F (x) συνθ (x) = 0 F (x+dx) συνθ (x +dx) -F (x) συνθ (x) dx = 0 [F (x) συνθ (x) ] = 0 (9) P.M. fysikos Oµογενής χορδή γραµµικής πυκνότητας µ βρίσκε ται υπό την επίδραση του βάρους της και εκτελεί εγκάρσιες ταλαν τώσεις µικρού πλάτους, ώστε να βρίσκεται συνεχώς στο κατακόρυφο επίπεδο που περιέχει την χορδή όταν αυτή ισορροπεί. i) Nα βρεθεί η κυµατική εξίσωση που περιγράφει την δόνηση της χορ δής. Ποια η µορφή της εξισώσεως αυτής αν στο ελεύθερο άκρο της χορδής ασκείται προς τα κάτω σταθερή δύναµη µέτρου F; ii) Όταν η χορδή ηρεµεί στην κατακόρυφη θέση ισορροπίας της χωρίς να δέχεται την επίδραση της δύναµης F, δηµιουργείται στο πάνω άκρο της µια εγκάρσια διαταραχή πολύ µικρής διάρκειας και πλά τους και την ίδια στιγµή αφήνεται από το άκρο αυτό µια µικρή πέτρα. Σε ποια θέση θα συναντηθούν η πέτρα και ο παλµος που διαδίδεται κατά µήκος της χορδής. ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της χορδής µάζας dm το οποίο σε κατάσταση ηρεµίας έχει µήκος dx και βρίσκεται µεταξύ των θέσεων x και x+dx. (σχ. 13). To στοιχείο αυτό δέχεται το βάρος του dm g και τις δυνάµεις έλξεως F A, F B στις άκρες του Α και Β αντιστοίχως από τα εκατέρωθεν αυτού τµήµατα της χορδής. Λόγω της ισορροπίας του στοιχείου ισχύει: F A -dmg-f B = 0 F A F B (1)

11 Eξετάζοντας εξάλλου το τµήµα της χορδής που βρίσκεται κάτω από το στοιχείο dx παρατηρούµε ότι αυτό ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του µx g και Σχήµα 13 της δυνάµεως έλξεως από την υπόλοιπη χορδή που είναι αντίθετη της F B, οπό τε θα ισχύει η σχέση: (1) F B = µgx F A F B = µgx () δηλαδή η τάση της χορδής σε κάθε στοιχείο αυτής στην κατακόρυφη θέση ηρεµί ας της είναι ανάλογη της απόστασής του x από το άκρο Ο της χορδής. Εάν ds είναι το µήκος του θεωρούµενου τµηµατος της χορδής όταν αυτή βρίσκεται σε κατάσταση εγκάρσιας ταλάντωσης τότε, µε την προϋπόθεση ότι οι παραµορφώ σεις της χορδής από την κατακόρυφη θέση είναι µιρές, µπορούµε να δεχθούµε ότι ds dx (βλέπε προηγούµενο παράδειγµα). Εξάλλου οι δυνάµεις έλξεως F (x) και F (x+dx) που δέχεται τώρα το στοιχείο ds από τα εκατέρωθεν αυτού τµήµατα της χορδής είναι εφαπτοµενικές στις άκρες του και σχηµατίζουν µε την κατακό ρυφη διεύθυνση τις πολύ µικρές γωνίες φ (x) και φ (x+dx) αντιστοίχως, οι δέ κατα κόρυφες συνιστώσες τους είναι αντιστοίχως ίσες µε τις δυνάµεις F A και F B, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: F (x) συνϕ (x) = F A F (x+dx) συνϕ (x+dx) = F B F (x) F A F (x+dx) F B (3)

12 διότι συνφ (x) 1 και συνφ (x+dx) 1. Οι σχέσεις (3) λόγω των () δίνουν: F (x) F (x+dx) = µgx (4) δηλαδή όταν η κατακόρυφη χορδή εκτελεί µικρές εγκάρσιες ταλαντώσεις η τά ση σε κάθε στοιχείο της µεταβάλλεται γραµµικά µε την χωρική συντεταγµένη x του στοιχείου αυτού. Παρατηρούµε λοιπόν ότι η χορδή παρουσιάζει ανοµοιο γένεια ελαστικότητας που οφείλεται στο βάρος της, το οποίο όµως δεν επηρεά ζει την εγκάρσια ταλάντωση των στοιχείων της η οποία είναι οριζόντια. Είναι προφανες ότι η ταλάντωση της χορδής δεν διέπεται από την κλασσική κυµα τική εξίσωση, αλλά από την γενικευµένη κυµατική εξίσωση που συναντήσαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, η οποία στην περιπτωσή µας έχει την µορφή: µ y t = (4) F(x) y µ y t = y µgx µ y y =µg t + µgx y y y =g t + gx y (5) H (5) αποτελεί µια µη οµογενή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους και η λύση της παραπέµπει σε ειδική θεωρία διαφορικών εξισώσεων. Εάν επί της χορδής ενεργεί στο ελεύθερο άκρο της σταθερή κατακόρυφη προς τα κάτω δύναµη F, αυτή θα επηρεάσει την τάση στα στοιχεία της και όχι την οριζόντια εγκάρσια ταλάντωσή τους και η κυµατική εξίσωση που διέπει τώρα την χορδή θα έχει την µορφή: µ y t = ( µgx + F ) y µ y y =µg t + ( µgx + F ) y y y =g t + gx + F µ y (6)

13 Η (6) είναι µια διαφορική εξίσωση Bessel, η λύση της οποίας εκφράζεται µε σειρά Bessel και η πραγµατοποίησή της απαιτεί ειδικές µαθηµατικές γνώσεις. ii) Aν δηµιουργηθεί στο πάνω άκρο της χορδής ένας εγκάρσιος παλµός, αυτός θα διαδίδεται προς το ελεύθερο άκρο της µε µεταβλητή φασική ταχύτητα v, η οποία θα µειώνεται µε την απόστασή του x από το άκρο αυτό, σύµφωνα µε την σχέση: v = µg(l-x)/µ = g(l-x) (7) Eάν dt είναι ο χρόνος διαδόσεως του παλµού µεταξύ των θέσεων x και x+dx για την ταχύτητα v στην θέση x θα ισχύει και η σχέση: Σχήµα 14 v = dx dt (7) g(l-x) = dx dt dt= dx g(l-x) (8) Oλοκληρώνοντας την (8) µε όρια ολοκλήρωσης για την απόσταση x από µηδέν έως x, παίρνουµε τον χρόνο t(x) που χρειάζεται ο παλµός για να διανύσει µήκος x του σχοινιού, δηλαδή θα ισχύει: x dx t(x)= =- 1 x 0 g(l-x) g (L-x)-1/ d(l-x) 0

14 t(x)=- 1 g [(L-x)1/ ] 0 x = - g L-x x 0 t(x)= g ( L- L-x) (9) Ο χρόνος t (x) για την πτώση της πέτρας σε απόσταση x είναι: t (x) = x g (10) Tην στιγµή που η πέτρα θα συναντήση τον παλµό οι χρόνοι t(x) και t (x) είναι ίσοι και µε βάση τις (9) και (10) θα έχουµε: g ( L- L-x) = x g x = L - L-x (11) Για την επίλυση της (11) απαλοίφουµε τα ριζικά και τελικώς καταλήγουµε στην εξίσωση x(9x-8l)=0 µε ρίζες x=0 και x=8l/9. H ρίζα x=0 αντιστοιχεί στην κατά σταση που το κύµα και η πέτρα µόλις αρχίζουν να κινούνται, ενώ η ρίζα x=8l/9 αντιστοιχεί την στιγµή που πέτρα και παλµός ξανασυναντιούνται. P.M. fysikos Mια οµογενής χορδή γραµµικής πυκνότητας µ και πολύ µεγάλου µήκους είναι τεντωµένη υπό ταση F, κατα µήκος ενός άξονα x. Η χορδή θεωρείται αβαρής βρίσκεται όµως σε κατάλληλο ελαστικό περιβάλλον που ασκεί στην χορδή εγκάρσια δύναµη ανά µο νάδα µήκους, µε αλγεβρική τιµή της µορφής f = -αy, όπου y η εγκάρ σια µετατόπιση του στοιχείου της χορδής στο οποίο ασκείται η δυναµη και α θετική σταθερά. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση (κυµατική εξίσωση) που χαρακ

15 τηρίζει την κίνηση της χόρδης. ii) Να εξετάσετε κάτω από ποιες συνθήκες η χορδή µπορεί να δεχθεί: α) ένα οδεύον αρµονικό κύµα, µε κυµατοσυνάρτηση: y(x,t)=aσυν(kx-ωt) (α) β) ένα εκθετικό κύµα, µε κυµατοσυνάρτηση: y(x,t)=ae -λx συνωt (β) ΛΥΣΗ: i) i) Θεωρούµε όπως και στο 13o παράδειγµα ένα στοιχειώδες τµήµα της χορδής το οποίο σε κατάσταση ηρεµίας έχει µήκος dx και βρίσκεται µεταξύ των θέσεων x και x+dx. (σχ. 15). Mε την προϋπόθεση ότι η εγκάρσια ταλάντωση της χορδής οδηγεί σε µικρές παραµορφώσεις αυτής από την θέση ισορροπίας, µπορούµε να δεχθούµε ότι το µήκος ds του θεωρούµενου τµηµατος της χορδής σε κατάσταση παραµορφώσεως είναι περίπου dx (ds dx) και ακόµη ότι η συνι Σχήµα 15 σταµένη την δυνάµεων έλξεως που δέχεται από τα εκατέρωθέν αυτού τµήµατα της χορδής έχει την διεύθυνση του άξονα y και η αλγεβρική της τιµή Σ(F y ) ικανοποιεί την σχέση:

16 Σ(F y )= Fdx y (1 Όµως το τµήµα αυτό δέχεται από το ελαστικό περιβάλλον της χορδής δύναµη fdx της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι -αy dx. Eφαρµόζοντας για το τµήµα αυτό της χορδής τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: (1) Σ(F y )-αy dx =dm a y F y dx-αy dx=µdx y t µ y t +α y=f y y t + α µ y = F µ y y t +ω y y=v 0 () όπου τέθηκε ω 0 =α/µ, ενώ το πηλίκο F/µ αποτελεί το τετράγωνο της ταχύτητας διαδόσεως v του κύµατος στην χορδή. H σχέση (3) αποτελεί την ζητούµενη δια φορική εξίσωση, όταν η χορδή εκτελεί µικρές ταλαντώσεις σε κατάλληλο ελα στικό περιβάλλον και θεωρείται µια γενικευµένη κυµατική εξίσωση σε σχέση µε την κλασσική κυµατική εξίσωση. ii) Aς δεχθούµε ότι η χορδή µπορεί να δεχθεί αρµονικό κύµα µε κυµατοσυνάρ τηση y(x,t) = Ae i(kx ωt) (3) Παραγωγίζοντας την (3) δύο φορές ως προς τον χρόνο t και ως προς την χωρι κή µεταβλητή x παίρνουµε τις σχέσεις:

17 y t =-Aω i(kx ωt) e, y =-Ak i(kx ωt) e και µε αντικατάσταση στην κυµατική εξίσωση () έχουµε: -Aω e i(kx ωt) + Aω 0 e i(kx ωt) =-Av k i(kx ωt) e -ω + ω 0 =-v k k = ω ( -ω 0 ) /v (4) α) Eάν ισχύει ω>ω 0 τότε k >0, δηλαδή ο k είναι πραγµατικός αριθµός που σηµαίνει ότι η χορδή µπορεί να δεχτεί οδεύον αρµονικό κύµα σταθερού πλά τους Α και κυµαταριθµού k = ω -ω 0 /v, µε κυµατοσυνάρτηση: y(x,t) = Ae i(kx ωt ή y(x,t) = Aσυν(kx-ωt) (5) β) Eάν ισχύει ω<ω 0 τότε k <0, δηλαδή ο k είναι φανταστικός αριθµός (όχι µιγα δικός) µε µορφή k=λi που σηµαίνει ότι η χορδή µπορεί να δεχτεί οδεύον κύµα µε κυµατοσυνάρτηση: y(x,t) = Ae i(iλ x ωt) = Ae i λ x iωt y(x,t)= Ae λ x e iω t (6) H (6) περιγράφει ένα γενικευµένο κύµα, που ονοµάζεται εκθετικό κύµα, µπορεί δε να γραφεί και µε την τριγωνοµετρική µορφή: y(x,t) = Ae λ x συν(-ωt) = Ae λ x συνωt (7) P.M. fysikos