ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα ο ΓΕ Αγίων Αναργύρων Μαθηματικά Προσανατολισμού Φυλλάδιο Ασκήσεων Διανύσματα Β υκείου ύνθεση Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Αν α β, τότε α = β. Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ = 0, τότε ΑΔ = 0. Αν ΑΒ = ΒΑ, τότε ΑΒ = 0. Τα διανύσματα ΑΒ και ΟΑ - ΟΒ είναι ίσα. Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα. Αν το α + β είναι συγγραμμικό του α, τότε το α + β είναι συγγραμμικό του β. Αν α + β α β, τότε τα α και β είναι πάντα συγγραμμικά. Για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει: α + β α β. Για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει: α β α + β. Για τα ομόρροπα διανύσματα α, β ισχύει: α β α + β. Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. το διπλανό σχήμα το διάνυσμα x ισούται με Α. α - β - γ - δ Β. α + β + γ - δ Γ. α - β + γ - δ Δ. α + β - γ - δ Ε. α - β - γ + δ Για κάθε τετράδα σημείων Α, Β, Γ, Δ ισχύει Α. ΑΔ + ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ Β. ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ Γ. ΑΔ + ΒΔ = ΑΓ + ΒΓ Δ. ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ + ΒΔ Ε. ΑΔ - ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ Άσκηση ε κάθε σχήμα που βρίσκεται στη στήλη Α του πίνακα (Ι) να αντιστοιχίσετε μια τιμή του διανύσματος x που βρίσκεται στη στήλη Β. στήλη Α στήλη Β Επιμέλεια : atsakalos@sch.gr ελίδα από 5
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα Α. α + β - γ Β. α + β + γ Γ. - ( α + β + γ ) Δ. α - β - γ Ε. β + γ - α Ζ. β - γ - α Άσκηση 4 χεδιάστε κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ και αντιστοιχίστε κάθε διάνυσμα της στήλης Α του πίνακα (Ι) με το ίσο του της στήλης Β. στήλη Α στήλη Β. ΑΒ. ΑΓ Α. ΖΔ Β. ΑΓ Γ. BΔ. ΓΒ 4. ΑΕ Δ. ΕΔ Ε. ΕΖ Ζ. ΓΖ Άσκηση 5 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ, Ν τέτοια ώστε να είναι: ΔΜ ΑΔ και ΒΝ ΑΒ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Γ και Ν είναι συνευθειακά. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Άσκηση το κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι Α. ΑΓ ΑΕ Β. ΑΓ ΕΑ Γ. ΑΓ Δ. ΑΓ 4 Ε. ΑΓ ΖΔ Άσκηση 7 Αν ισχύει ΡΑ ΡΒ 5ΡΓ 0 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Άσκηση 8 Δίνονται τέσσερα σημεία Ο, Α, Β, Γ τέτοια ώστε τα Ο, Α, Β δεν είναι συνευθειακά και για ΟΓ ΟΑ ΟΒ,. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα οποία ισχύει συνευθειακά. Άσκηση 9.80 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. Μονάδες β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα. Μονάδες Άσκηση 0.804 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E, Z σημεία τέτοια ώστε: και 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό και. Μονάδες β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά. Μονάδες Άσκηση.0054 Θεωρούμε τα σημεία Ρ,, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση: 5. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, και Μ είναι συνευθειακά. Μονάδες 0 β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, και Μ να δείξετε ότι ισχύει:, όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. Μονάδες 5 Επιμέλεια : atsakalos@sch.gr ελίδα από 5
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα Άσκηση.58. Θεωρούμε τα διανύσματα,, και τυχαίο σημείο Ο. Αν 5, 4 και, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων,,. Μονάδες β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες Άσκηση 4.5. ε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι και. Θεωρούμε σημεία Ε,Ζ στην ΑΔ και τη διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα, ώστε και. 4 Να αποδείξετε ότι: α) 4. Μονάδες 8 β) και να υπολογίσετε με τη βοήθεια των το,. Μονάδες 4 γ) τα σημεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά. Μονάδες 5 Εσωτερικό γινόμενο Άσκηση 4 Να υπολογιστεί το γινόμενο α. β στις παρακάτω περιπτώσεις: α),. και, και και β),, 75. γ),, 5. Άσκηση 5 Δίνονται τα διανύσματα, με,. Αν και να βρεθούν: α), β), γ), δ) 4 5. Άσκηση.855 Δίνονται τα διανύσματα και με, και, α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. Μονάδες 8, ε) β) Αν τα διανύσματα και είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. Μονάδες 0 γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος. Μονάδες 7 Άσκηση 7.858 Έστω τα διανύσματα και για τα οποία : και, 0 α) Να αποδείξετε ότι. Μονάδες 0 β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων και. Μονάδες 5 Άσκηση 8.005 Δίνονται τα διανύσματα, με 4 8 α) Να υπολογίσετε τη γωνία,. Μονάδες 0 β) Να αποδείξετε ότι 0. Μονάδες 5 Επιμέλεια : atsakalos@sch.gr ελίδα από 5
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα 5,,, u α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα u. Μονάδες β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. Μονάδες 9,,,. Να υπολογίσετε : α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, και κατόπιν την τιμή της παράστασης Άσκηση 9.005 Έστω, δυο διανύσματα με Άσκηση 0.0057 Δίνονται τα διανύσματα, με. Μονάδες 0 β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων Μονάδες 5 Άσκηση.0070 Έστω, δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν 9,,. α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο Μονάδες β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. Μονάδες Άσκηση 4.8 Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν,,, 0 και, όπου. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο Μονάδες β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ =. Μονάδες ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. Μονάδες 0 iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα. Μονάδες 0 Άσκηση Αν ισχύει a τότε να δείξετε ότι. Άσκηση 4 Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος και, ( μη, συγγραμμικά). αν,, και, 4 Άσκηση 5 Θεωρούμε τα διανύσματα,, με 0. Αν, β = και 5 υπολογίστε το. Άσκηση Αν, και, δείξτε ότι και. Άσκηση 7 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα,, με,. Να βρείτε διάνυσμα x, τέτοιο ώστε x // και x Άσκηση 8 Αν x xa. και 0 να αποδείξετε ότι x. Άσκηση 9 x Να δείξετε ότι το διάνυσμα x είναι κάθετο στο για κάθε διάνυσμα x. Επιμέλεια : atsakalos@sch.gr ελίδα 4 από 5
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα Άσκηση 0.005 Δίνονται τα διανύσματα, με α) Να υπολογίσετε τα, 7 και. Μονάδες β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. Μονάδες 9 γ) Να βρείτε την προβολή του στο διάνυσμα. Μονάδες 0 Άσκηση ε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις, να εξετάσετε αν τα διανύσματα που δίνονται είναι κάθετα μεταξύ τους. α) και, β) και, γ) και Άσκηση Αν 0 και p q με p // και q να αποδειχθεί ότι ισχύουν οι σχέσεις: α) p, β) q a. Άσκηση 4.88 α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες : u v u v και u v u v Μονάδες 0 β) Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν: 0 και 4 7. i) Να αποδείξετε ότι: και. Μονάδες 8 ii) Να αποδείξετε ότι: 7 0. Μονάδες 7 Επιμέλεια : atsakalos@sch.gr ελίδα 5 από 5