Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Transcript

1 Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα Kgllykos..gr 1 / 7 / Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 Τα πάντα για τα διανύσματα Διανύσματα 1. Αν ισχύει 5 0, ν.δ.ο. τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά a 1,, (, 7), (,5) a ;, a 8 ;. Αν 4,4, 6, 59 AB B: AB // B, Α,Β,Γ συνευθειακά, αν λ>0 ομόρροπα, αν λ<0 αντίρροπα. Να εξετάσεις αν είναι συνευθειακά τα σημεία : Κ(α+β,α-β),Λ(α,-β),Μ(α+β,α-β) 4. Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Ο, (1 ), ν.δ.ο. Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Κ,Λ,Μ τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ και Σ τυχαίο σημείο του επιπέδου του τριγώνου ν.δ.ο. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε,Ζ ώστε : 4,,.Να εκφράσεις τα 5 διανύσματα των ΔΕ,ΔΖ συναρτήσει των διανυσμάτων ΑΒ,ΑΓ. Να εξετάσεις αν τα Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. 7. Ν.δ.ο. τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά όταν : Αν ΑΒΓ τρίγωνο με ΑΜ AB A διάμεσο : AM Ν.δ.ο. Α,Β,Γ συνευθειακά : αν έχω σχέση τότε κάνε αναφορά ως προς ένα σημείο από τα Α,Β,Γ αλλιώς δημιούργησε μία ισότητα διανυσμάτων με ένα κοινό γράμμα, π.χ. AB B. ( ) ( 5) 8. Αν 9. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα σημεία Α,Β του οριζόντιου άξονα έχουν για τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης : x 5 0 x Να βρεις το λ ώστε το μέσο του ΑΒ να έχει τετμημένη 7 1 Αν A( xa, ya), B( xb, y B) τότε το διάνυσμα AB x x, y y B A B A

3 , ίά AB ύ 0 έμίίo έ όαέ 4 άέί 4 ίάώ 1 AΔ AB, AΡ AM, AE AΓ. N.d.o. / / 4 8 ύ ώ 5 0 όίά abεξισώνω 0 ά αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων. OA a+, OB a 7, OΓ 4a 5 ά ά 5 4 ά. Δίνονται τα διανύσματα a ( 1,), (, 1), Να βρεις το διάνυσμα a / / b det( a, b) 0 a / / xx ' det( a, i) 0 a / / yy ' det( a, j) 0 : a, a, a 0 1 1,,, 4, 1,. Δίνονται τα σημεία Α(5,-1),Β(1,1),Γ(,). Να βρεις το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ώ 4. Δίνονται τα σημεία Α(,),Β(7,-4) και Μ του χχ. Να βρεις το Μ αν το ΜΑΒ είναι ισοσκελές στο Μ. Να βρεις το Μ αν το ΜΑΒ είναι ορθογώνιο στο Μ. 1,0, 5 1,0 5. Να εξετάσεις αν είναι συνευθειακά τα σημεία Α(-6,1),Β(-,),Γ(-10,-1). a ( x, y) a x y Μοναδιαίο του χχ : i (1,0) Μοναδιαίο του yy : j (0,1) a μοναδιαίο : a 1

4 ί a ώ a και a // 1 a yx έώ a ώ a // 5 ώ 1 10, ώί 5,1, 7, a // ύ, ύ ί έ,, ώ έ Το γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των τότε a, όπου κ,λ πραγματικοί αριθμοί. Ν.δ.ο. Α,Β,Γ είναι συνευθειακά : Φτιάξε τα 0,4,, 1,,1,1, 7, 4, 1, 5,8, 50, 17, 89 διανύσματα AB, A :det( AB, A) 0 ανίί a, Αν A( xa, ya), B( xb, yb) τότε το xa xb ya yb μέσο Μ : M, 5 a 1,,,4,,10 ίάύά Έ όάόό 1 1, ώίάώ AB AΓ, AΓ BΓ ίώ ώ, έ Ν.δ.ο. τα Α,Β,Γ δημιουργούν τρίγωνο : αρκεί τα Α,Β,Γ να μην είναι συνευθειακά.

5 ώ a ί ό ίί 9 8 1,1,, 7 7 Έώίό 7, 9 έύ 5,8 ή, 5 ώ έ // 7,4,...,... ά 1, 4 όό a,1,, k, m ά όό a a ώ 46. Αν a (,), ( 1,1), (,) a ;, a a ; 6,11 17 a 1,, a, a ; Αν a, 1, a, 15 a ; 48. Αν Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων : Αν a x, y, x, y τότε a x1x y1 y 1 1, a a a, 6 4

6 a, : a,, a, a ;, a ; και να υπολογίσεις Δίνονται τα διανύσματα a, a, a 4 a 5,10,10 4, 10 4, a,,, a,, a ; Αν 51. Να βρεις το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων : Να υπολογισθούν : a ( 1,4), (1, ) Αν a a a a,,, 45, ; a a a : Προσοχή : υπολόγισε το aa a, aa a a... a, aa a 90 a, a a, a b a ;, ; 5. Αν a, Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα a, : a,, x / / a, a x x ; 1 1 x a b 55. Δίνονται a (1,1), (5,10) να αναλύσεις το β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α ,,, x xa x 56. Αν ; x b 1 b a a 0 τυχαίο σημείο Μ(x,y) τυχαίο του xx :Μ(x,0) τυχαίο του yy :Μ(0,y) 57. Ν.δ.ο. a a. 58. Να βρεις την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του A x y x y 6 8, Ν.δ.ο. 6 x8 x 10 5

7 60. Ν.δ.ο. a a a a a a 61. Να εξετάσεις αν :, a a a, a a 6. Αν a (1,), (,4), να βρεις τα, x : a x, / / a, x 6. Αν a a a a 64. Αν a,, 5 a a ; a b (ομόρροπα) τότε πρέπει det( ab, ) 0 και τα αντίστοιχα πρόσημα των δ/των ίδια. 65. άίό a έμέτρο ,,, ίά a έέ, 4,,4 a 1, a ; ί a (,1),,1 Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων a, a : δούλεψε τον τύπο : a a a a Να υπολογίσεις το a : ύψωσε στο τετράγωνο και κάνε πράξεις.μην ξεχάσεις να βάλεις ρίζα. Όταν υπολογίζεις γωνία δτων σε σχήμα θυμήσου να βάλεις τα δτα με την ίδια αρχή. 60 ίίίίί a, a 4 έπουίά a ,,, ίί ώίώ 0, a a a a Έί a 4, a ίίί a, ίί, a a 0 6

8 1 a (, ),, 6,, όό ί a, έίά a, ί / / a, a ; 7 άόύό a a a, a a a,, ίί a a :, a 6, a (, ) 1,, a 0 a a ; 4 a, ί 10 a a a ίόίί 5 a 1,,,4,,10 ίάύά Έ a b (αντίροπα) τότε πρέπει det( ab, ) 0 και τα αντίστοιχα πρόσημα των δ/των να είναι αντίθετα. Να βρεις τη γωνία του διανύσματος a με τον άξονα χχ : Υπολόγισε το συντελεστή διεύθυνσης y και αντικατέστησε στον a x τύπο λ=εφω, για να βρεις τη γωνία ω. 4, ; 11 όά όό a, ά ίό a έέ ώ ίό x1, y1 ώ ίαί 9 8 x, y 7 7 άέέ a a a ύ

9 ί a a 0 4, ; a a a 9. Να γράψεις το a (,1) ως γραμμικό συνδυασμό των i, j 94. Αν AB (4, 5), A(1, ) B ; 5, Η απόσταση του Α(-1.) από το Β είναι 5. Το Β έχει τεταγμένη διπλάσια από την τετμημένη του.β=;,6, 1, 96. Έστω τα σημεία Α(1,), Β(-,1), να βρεις το Μ ώστε AM MB 5 1, 97. Δίνονται τα διανύσματα : a (,), (1, 1), (, ), να υπολογίσεις : a, a, a,a και a, a, a 98. Αν AB 5, B(,1), A( x,5) x ; 5, Δίνονται οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ με Α(-1,-),Β(0,),Γ(8,), να βρεις τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ Αν a x y 5, x y 1, να βρεις x,yώστε : a 0, a μοναδιαίο του xx, μοναδιαίο του yy,//xx,//yy, / / (,), (,) 101. Να βρεις την τέταρτη κορυφή του ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου αν Α(-,),Β(,8),Γ(-,-4). 10. Ν.δ.ο. το ΑΒΓ με Α(5,-1),Β(9,),Γ(6,6) είναι ισοσκελές και να υπολογίσεις την περίμετρο και το εμβαδό του 10. Αν Α(-,1),Β(-1,),Γ(1,),Ο(0,0) ν.δ.ο. ΑΒΓΟ είναι τετράγωνο Να εξετάσεις αν Α(-1,),Β(,0),Γ(-,5) είναι συνευθειακά Να βρεις το συμμετρικό του Α(,-5) ως προς : xx,yy,o(0,0),y=x,b(,) 106. Αν A(x 1,), B(1,4 5 x),( AB) 10 x ;.Επιπλέον να βρεις ποιο το Γ του yy ώστε το ΑΒΓ να είναι ισοσκελές στο Γ Πως θα εξέταζες ότι δεδομένα σημεία δημιουργούν ρόμβο ή τραπέζιο ; 108. Αν a a a a,,,, ; 4 8

10 0 10 a a 109. Ν.δο Αν a a a, a Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων : στον τύπο a a a, υπολογίζω πρώτα το a, a, a, a, για να βρω 111. Αν a, a a 11. Να βρεις το : 5, a 6, a,,4,..., Ν.δ.ο. αν το άθροισμα και η διαφορά δύο διανυσμάτων είναι κάθετα τότε τα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα Πότε ισχύει η ισότητα : a a ί a a a a 115. Αν, 116. Αν a 1, a a 117. Σε ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με AB, A 1, 60, να βρεις τα μήκη των διαγωνίων του. 7, 118. Αν 10 a a a a 1, 4, ; Αν a a a Αν ΑΒΓΔ # με AB, A, 4 ; Να αναλύσεις το a, 5 σε δύο συνιστώσες όπου η μία //,1 και η άλλη, 1 1. Να γραφεί το 8,17 ως γραμμικός συνδυασμός των a,1, 4,5 14. Σε ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο να βρεις την τέταρτη κορυφή αν Α(1,4),Β(-1,9),Δ(5,-) 9

11 , 15. Να εξετάσεις αν τα σημεία Α(-1,),Β(8,5),Γ(,) δημιουργούν τρίγωνο. 16. Αν a (8, x), ( x,) να βρεις το χ ώστε να είναι παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα 4,4, Αν σημεία Α(-,1),Γ(0,5) είναι κορυφές τετραγώνου ΑΒΓΔ,να βρεις το εμβαδό του Ποιο διάνυσμα είναι παράλληλο με το a ( 7,84) και έχει το μισό του μέτρο. 19. Οι τεταγμένες των σημείων Α,Β είναι ρίζες της εξίσωσης y 10 y 4 0, να βρεις το λ ώστε το Μ(χ,5) να είναι μέσο των Α,Β. 10. Ποια τα διανύσματα a, : a,, 1 a,, 7, b 5, a a 10, 4, a, 10 a 4 ; 11. Αν Αν a 0, a 1, 14, 15 a a ; Αν a a a a 60,,, 10, ; 14. Αν a a 6 0, 6,, 1, ; Να βρεις την προβολή του a στο τότε a a, a Να βρεις το a ΘΥΜΙΖΩ : συνω=1 τότε ομόρροπα συνω=-1 τότε αντίρροπα συνω=0 τότε κάθετα συνω>0 τότε γωνία οξεία συνω<ο τότε γωνία αμβλεία : υπολόγισε a 60 a 4,, a, 0, x / / a, a x x ; 15. Αν Αν a 0 συνήθως στέλνεις κάθε φορά ένα δμα στο ο μέλος και μετά υψώνεις στο τετράγωνο. Να εξετάσεις αν ή πότε ισχύουν σχέσεις με μέτρα : ύψωσε στο τετράγωνο. a, 1, a, 4 a Αν a, 1, a, 9 a Αν 10

12 16. Αν a 0, a a Δίνονται τα σημεία Α(1,),Β(,5) και Μ του yy, να βρεις το Μ ώστε το ΑΜΒ ορθογώνιο στο Μ 0,4, 0, 18. Ποιο το διάνυσμα a a a i a j,1 :,, 0,, 60 xa x a 19. Να λυθεί η εξίσωση : 5, (1,4), ( 1,), ( 0,5) 140. Να αναλύσεις το διάνυσμα a σε δύο συνιστώσες όπου η μία / / ( 4,6) a 141. Να βρεις την προβολή του 8,16 πάνω στο 1, Αν ισχύει a a a a 0,, ; 4 a, : a,, a, 0, 5a 4 a ;, ; 14. Αν 144. Έστω a, 4,1 6, και η άλλη // ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ,να βρεις το λ ώστε να είναι μηδενικό δμα, παράλληλο στον οριζόντιο άξονα και παράλληλο στον κατακόρυφο άξονα Να βρεις το συμμετρικό του Α(4,5) ως προς το σημείο Β(6,9) Τα μέσα πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Δ(1,-),Ε(,),Ζ(-1,4).Να βρεις τα συντεταγμένες των κορυφών 147. Δίνονται τα σημεία Α(-1,-5),Β(,1),Γ(1,5), ν.δ.ο. σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεις την κορυφή Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο Δίνονται τα διανύσματα a (1, ), (,4), (5,0) Ν.δ.ο. ανά δύο δεν είναι συγγραμικά.να αναλύσεις το γ σε δύο συνιστώσες στη διεύθυνση των α,β 149. Έστω τα σημεία Α(-1,),Β(,),Γ(5,0). Να βρεις το Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις ΑΒ,ΓΔ. a 11

13 150. Έστω τα σημεία Α(,-1),Β(,4). Να βρεις το Μ ώστε 151. Αν Α(1,),Β(-4,-1) να βρεις τα σημεία Γ,Δ ώστε να χωρίζουν το ΑΒ σε τρία ίσα τμήματα. 15. Ποιο δμα είναι ομόρροπο του a (4, ) με μέτρο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 15. Αν a 1,,(, ) να βρεις το μέτρο του a Δίνονται τα δτα a (,6),, 1, να βρεις τη γωνία των δτων, a a ί 155. Ν.δ.ο. το άθροισμα και η διαφορά δύο δτων που έχουν ίδιο μέτρο είναι κάθετα Ποιο δμα έχει μέτρο και είναι κάθετο στο a, ,,, Δίνονται τα σημεία Α(-,),Β(1,1) και Γ του ψψ.ποιο το Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ. 0,0, 0, 158. Ν.δ.ο. a a a a 159. Πότε ισχύει η ισότητα :, 160. Να αναλύσεις το δμα (,5) σε δύο συνιστώσες όπου η μία // a (1,) και η άλλη κάθετη στο a a a a 161. Ν.δ.ο. 16. Αν a a a 16. Αν μοναδιαία a,, : a 0 a a ;, να βρεις τις γωνίες των δτων ανά δύο Δίνονται τα σημεία 0,1 A(1,1), B(, a ), M a,, A 90 a ; 1

14 185. Δίνονται τα διανύσματα 6,1, 6, 1 4,, b 5,1, x : x 7, x b x ; 186. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με A 4,7, 8,1, ;,, 6, Έστω δύο διανύσματα να βρεις το και. :, 15, 5, ν.δ.ο. u v, u 5, v Αν, 6, τότε ν.δ.ο. τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, 90, 189. Αν a b 4,,, 0, x / /, x x ; 190. Δίνονται τα διανύσματα 191. Αν //, x, x x ; 19. Αν,,1,,4, x / /, y, x y x, y ;, :, 1,, 60, x / /, x / / x ;, x ; 19. Αν x a b 194. Δίνονται τα σημεία Α(,1),Β(,4),Γ(4,), να βρεις τη γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ 195. Αν 1, 7 8, ; 196. Έστω το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με AB (1,), B (,1), ν.δ.ο. το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και να υπολογίσεις τις γωνίες του 197. Δίνονται διανύσματα,, :,, 4, 1, να βρεις το διάνυσμα που διχοτομεί τη γωνία των, 198. Αν (1,),,1 1,,να βρεις την προβολή του β πάνω στο α 1,, ; Αν 1

15 ,,, 0, 5 4 ; 00. Αν 4,7 01. Να αναλύσεις το 0. Αν //, 0 0. Αν, σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι / / 1, 1,, 1,0, ; j 4i 04. Να βρεις το 4, 05. Να βρεις τη γωνία του, 6 με τον άξονα χχ Αν A B BA xx 40 (,1), ( 1,1 ), ' ; 07. Δίνονται τα σημεία Α(α-5,) και Β(α,α), να βρεις το α ώστε AB, xx ' Να βρεις διάνυσμα που να σχηματίζει 60 με οριζόντιο άξονα και να έχει μέτρο 1,,, :, ; 09. Αν x y x y y x 10. Ν.δ.ο. για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα : 11. Ν.δ.ο. για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα :,, 1. Αν 11 9,,,, 0 ; 6 1. Να αποδείξεις ότι για οποιοδήποτε διανύσματα :. Επιπλέον να βρεις τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της ποσότητας Επίσης ν.δ.ο. 6 x8 x 10 6x 8 y, x y Αν Ο η αρχή των αξόνων και Α : (ΟΑ)=, να βρεις που κινούνται τα σημεία Μ : OM OM OA Να αποδείξεις ότι για οποιαδήποτε διανύσματα : 7 14

16 det, επιπλέον det, και 16. Να αποδείξεις ότι σε ΑΒΓ ορθογώνιο (Α=90) : a 1, b 1, 17. Av, και AB A B να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα a b, a b, b, a b a b, a b a b 5, 15,10,5, 5, Να βρεθούν οι τιμές του k,ώστε τα διανύσματα a k,4k 1, b k 9, k κάθετα., 8,να είναι 19. Δίνονται τα διανύσματα AB 1, 7,,.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 0. Αν και 1και,, 1,,7 1. Αν 1,,, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων,,. 4, 1 6. Aν,,, 1. Ομοίως αν 4. Αν, να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων 1,, i j., μοναδιαία και, να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων,, Ένα παραλληλόγραμμο κατασκευάζεται με τα διανύσματα,.δίνεται ότι 0 1,,, 15. Να εκφράσετε τις διαγώνιες του παραλληλογράμμου συναρτήσει των,. Να βρείτε τα μήκη των διαγωνίων. Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων. 7 4,, 10, 10, Έστω τα διανύσματα, με 1,,,,,, 60 και το τρίγωνο ΑΒΓ με 0. 15

17 5 Να δείξετε ότι όπου το Μ μέσο της ΒΓ. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ. Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διανυσμάτων, , Αν τα διανύσματα, γωνία των διανυσμάτων Δίνονται τα διανύσματα.να δείξετε ότι. είναι μοναδιαία και τα,, 7 8 είναι κάθετα,να βρείτε τη,, 9. Δίνονται τα διανύσματα 1,, 4,,. 9 6,.,, για τα οποία ισχύουν συγχρόνως,.να βρείτε διάνυσμα ώστε να ισχύουν συγχρόνως 0. Αν, 6 να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα, να είναι κάθετα. 1. Δίνονται τα σημεία,, 7, 4.Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα χ χ ώστε ˆ Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα,, ισχύει 0,,να δείξετε ότι.. Αν για τα διανύσματα,, ισχύουν 0,,, 1,να βρεις 4. Δίνονται τα διανύσματα,1,, από τις οποίες η μία να έχει τη διεύθυνση του. 5. Δίνονται τα διανύσματα 5,,,,,. 6. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα, με (, ) συναρτήσει των,..να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες.να βρείτε δύο διανύσματα, ώστε.αν, να εκφράσετε το 16

18 7. α) Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε διάνυσμα,ισχύει.β) Χρησιμοποιώντας το α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τημέγιστη τιμή της παράστασης Α=6χ-8ψ αν x 6. Με τη βοήθεια του α) ερωτήματος δείξτε ότι 6 x8 x Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει Αν,, μοναδιαία και να δείξετε ότι. 40. Δίνονται τα διανύσματα,1, 1,1,,5. 7,.Να βρείτε το διάνυσμα ώστε να είναι 41. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 4, 6 και η γωνία των της ΒΓ τότε Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με το. Να αποδείξετε ότι η προβολή του πάνω στο 4. Δίνονται τα διανύσματα 1,,,1 Να βρείτε τη γωνία των.,., είναι είναι το διάνυσμα Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της προβολής του πάνω στο. Να βρείτε το διάνυσμα 1, 0,,, k 0 το οποίο να σχηματίζει με το γωνία ίση με 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με,,.αν,, 1 τότε, Να δείξετε ότι Αν Μ το μέσο Να βρείτε τη γωνία Γ του τριγώνου. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΒΜ. 44. Έστω τα διανύσματα, με, 1,, και το διάνυσμα για το οποίο ισχύει,. Να βρείτε το ως συνάρτηση των,. Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων.,

19 18