Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Οι αντιλήψεις για τη φύση και το ρόλο των μαθηματικών που υπάρχουν στην κοινωνία μας έχουν μια σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη των προγραμμάτων των σχολικών μαθηματικών, τη διδασκαλία και την έρευνα. Η κατανόηση των διαφορετικών αντιλήψεων των μαθηματικών είναι εξίσου σημαντική τόσο για την ανάπτυξη και την επιτυχή εφαρμογή των προγραμμάτων των σχολικών μαθηματικών όσο και για τη διεξαγωγή και ερμηνεία των ερευνητικών μελετών. Στη βιβλιογραφία των μεταρρυθμίσεων στην εκπαίδευση των μαθηματικών και της φυσικής, τα μαθηματικά εμφανίζονται ως ένα δυναμικός και αναπτυσσόμενος τομέας έρευνας. Ενώ άλλες αντιλήψεις θεωρούν τα μαθηματικά ως μια στατική επιστήμη με ένα γνωστό σύνολο εννοιών αρχών και δεξιοτήτων. Η έρευνα δείχνει ότι αυτές οι διαφορετικές αντιλήψεις έχουν επίδραση στους τρόπους με τους οποίους οι εκπαιδευτικοί και οι μαθηματικοί προσεγγίζουν τη διδασκαλία και την ανάπτυξη των μαθηματικών. Κάποιοι βλέπουν τα μαθηματικά ως μια στατική επιστήμη που αναπτύσσεται αφηρημένα. Άλλοι βλέπουν τα μαθηματικά ως μια δυναμική επιστήμη, που αλλάζει συνεχώς, ως αποτέλεσμα των νέων ανακαλύψεων από τον πειραματισμό και την εφαρμογή. Ακολουθεί μια επισκόπηση των αντιλήψεων αυτών για τα μαθηματικά και τις τρέχουσες και δυνητικές επιπτώσεις τους για τη φύση και την πορεία της μαθηματικής εκπαίδευσης. Αντιλήψεις για τα μαθηματικά Ιστορία: Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Η συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών χρονολογείται από τον 4 ο π.χ. αιώνα όπου μεταξύ των πρώτων που συνέβαλαν σε αυτόν τον διάλογο ήταν ο Πλάτωνας και ο μαθητής του ο Αριστοτέλης.
Η θέση του Πλάτωνα ήταν ότι τα αντικείμενα των μαθηματικών έχουν μια αυθύπαρκτη ύπαρξη στον εξωτερικό κόσμο, πέρα από το μυαλό. Με τον τρόπο αυτό, ο Πλάτων κάνει σαφή διάκριση μεταξύ των ιδεών του νου και των αναπαραστάσεων τους που γίνονται αντιληπτές από τον εξωτερικό κόσμο μέσω των αισθήσεων. Εξαιτίας αυτού ο Πλάτωνας κάνει διάκριση μεταξύ της αριθμητικής της θεωρίας των αριθμών - και της λογιστικής- τις τεχνικές υπολογισμού που απαιτούνται από τους εμπόρους. Στη Δημοκρατία (1952), ο Πλάτωνας υποστήριξε ότι η μελέτη της αριθμητικής έχει θετική επίδραση στα άτομα, τους αναγκάζει να αιτιολογήσουν σχετικά με τους αφηρημένους αριθμούς. Ο Πλάτων θεωρούσε παγίως την άποψη αυτή, δείχνοντας αγανάκτηση στη χρήση από τους τεχνίτες των φυσικών επιχειρημάτων για να "αποδείξουν" αποτελέσματα σε εφαρμοσμένες καταστάσεις. Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά φτάνουν να "είναι ταυτόσημα με τη φιλοσοφία από σύγχρονους στοχαστές, αν και λένε ότι θα πρέπει αυτά να μελετηθούν για χάρη άλλων πραγμάτων (Αριστοτέλης, 1952, 510 σελ.). Αυτή η προωθημένη θέση για τα μαθηματικά ως μια αφηρημένη διανοητική δραστηριότητα στα εξωτερικά υπάρχοντα αντικείμενα που έχουν μόνο αναπαραστάσεις στον κόσμο των αισθήσεων παρατηρείται επίσης και στις συζητήσεις του Πλάτωνα στα πέντε κανονικά στερεά στον Τίμαιο (1952b) και την υποστήριξη και εμψύχωση για την ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αθήνα (Boyer, 1968). Ο Αριστοτέλης, ο μαθητής του Πλάτωνα, είδε τα μαθηματικά ως ένα από τα τρία γένη, στα οποία η γνώση θα μπορούσε να διαιρεθεί: το φυσικό, το μαθηματικό και το θεολογικό: [Τα Μαθηματικά είναι αυτά), τα οποία εμφανίζουν ποιότητα σε σχέση με τις μορφές και τις τοπικές κινήσεις, που αναζητούν το σχήμα, τον αριθμό, και το μέγεθος, καθώς και τον τόπο, το χρόνο, και παρόμοια πράγματα... Μια τέτοια ουσία εμπίπτει, όπως είναι, μεταξύ των άλλων δύο, όχι μόνο επειδή μπορεί να συλληφθεί τόσο μέσω των αισθήσεων όσο και χωρίς τις αισθήσεις. (Πτολεμαίος, 1952, σελ. 5) Αυτή η δήλωση του για το ρόλο των αισθήσεων ως πηγή για την αφαίρεση των ιδεών σχετικά με τα μαθηματικά ήταν διαφορετική από
την άποψη του δάσκαλου του, του Πλάτωνα. Η άποψη του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά δεν βασίζονταν σε μια θεωρία ενός εξωτερικού, ανεξάρτητου, μη παρατηρήσιμου σώματος της γνώσης. Αντίθετα, βασίζονταν στη βιωμένη πραγματικότητα, όπου η γνώση αποκτάται από τον πειραματισμό, την παρατήρηση, και την αφαίρεση. Η άποψη αυτή υποστηρίζει την αντίληψη ότι κάποιος κατασκευάζει τις σχέσεις που είναι συνυφασμένες σε μια δεδομένη μαθηματική κατάσταση. Κατά την άποψη του Αριστοτέλη, η κατασκευή μιας μαθηματικής ιδέας έρχεται μέσα από τις εξιδανικεύσεις που πραγματοποιούνται από τον μαθηματικό, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας με τα αντικείμενα. Έτσι, οι δηλώσεις στα εφαρμοσμένα Μαθηματικά, είναι προσεγγίσεις θεωρημάτων στα καθαρά μαθηματικά (Korner, 1960). Ο Αριστοτέλης προσπάθησε να κατανοήσει τις μαθηματικές σχέσεις μέσα από την συλλογή και την ταξινόμηση των εμπειρικών αποτελεσμάτων που προέρχονται από πειράματα και παρατηρήσεις και, στη συνέχεια, από την αφαίρεση ενός συστήματος για να εξηγήσει τις εγγενείς σχέσεις στα δεδομένα. Έτσι, τα έργα και οι ιδέες του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη μορφοποιούν δύο από τα μεγαλύτερα αντίθετα θέματα σχετικά με τη φύση των μαθηματικών. Από τον Μεσαίωνα, το έργο του Αριστοτέλη έγινε γνωστό για τη συμβολή του στη λογική και τη χρήση του για την τεκμηρίωση επιστημονικών ισχυρισμών. Αν και αυτό δεν ήταν αντίθετο προς τον τρόπο με τον οποίο ο Αριστοτέλης είχε χρησιμοποιήσει τις μεθόδους του λογικού συλλογισμού, όσοι χρησιμοποίησαν τις αρχές του αυτές τις χρησιμοποίησαν συχνά για να επιχειρηματολογήσουν εναντίον της παραγωγής των αποδεικτικών στοιχείων από εμπειρικές έρευνες. Ο Αριστοτέλης χάραξε καθαρές γραμμές μεταξύ των ιδεατών μορφών που οραματίστηκε ο Πλάτωνας και των εμπειρικών τους επιτευγμάτων στα κοσμικά αντικείμενα. Οι διακρίσεις μεταξύ αυτών των δύο σχολών της μαθηματικής σκέψης σχολιάζονται περαιτέρω από τον Francis Bacon στις αρχές του 1500, όταν χώρισε τα μαθηματικά σε καθαρά και μικτά μαθηματικά. Η συζήτηση αυτή σχετικά με τη φύση των μαθηματικών επανέρχεται από τον Jean D'Alembert τον 18 ο αιώνα.
Ο Καρτέσιος εργάστηκε για να κινήσει τα μαθηματικά πίσω στην πορεία της αφαίρεσης από τα αποδεκτά αξιώματα. Αν και ο ίδιος πειραματίζεται σε βιολογικά θέματα, ο Καρτέσιος απέρριψε την είσοδο από τον πειραματισμό και τις αισθήσεις σε θέματα μαθηματικών, γιατί θα μπορούσε ενδεχομένως να παραπλανούν αυτόν που τα εκλαμβάνει. Η θεώρηση του Καρτέσιου για τα μαθηματικά τα διαχωρίζει από τις αισθήσεις. Αυτή η πάλη μεταξύ των ορθολογιστών και των πειραματιστών επηρεάζει όλες τις κατευθύνσεις της επιστήμης σε όλη τη διάρκεια του 17 ου και 18 ου αιώνα. Ο γερμανός φιλόσοφος Ιμμάνουελ Καντ έφερε τη συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών, κυρίως για τη φύση της γεωμετρίας, πίσω στο επίκεντρο με το έργο του Κριτική του Καθαρού Λόγου (1952). Ενώ ο ίδιος επιβεβαίωσε ότι όλα τα αξιώματα και τα θεωρήματα των μαθηματικών ήταν αλήθειες, είχε την άποψη ότι η φύση του χώρου που αντιλαμβανόμαστε ήταν Ευκλείδεια και ότι το περιεχόμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ήταν a priori κατανοητό από τον ανθρώπινο νου. Αυτό ήταν σε άμεση αντίθεση με τις αναδυόμενες αντιλήψεις της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Η καθιέρωση της συνέπειας της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, στα μέσα της δεκαετίας του 1800 ελευθέρωσε τελικά τα Μαθηματικά από τον περιοριστικό ζυγό ενός ενιαίου συνόλου αξιωμάτων που πιστεύεται ότι είναι το μοναδικό μοντέλο για τον εξωτερικό κόσμο. Η ύπαρξη των συνεπών μη Ευκλείδειων γεωμετριών έδειξε τη δύναμη του μυαλού του ανθρώπου να κατασκευάζει νέες μαθηματικές δομές, απαλλαγμένες από τα όρια ενός εξωτερικά υφιστάμενου κόσμου που ελέγχει (Eves, 1981; Kline, 1972, 1985; Komer, 1960). Αυτή η συναρπαστική ανακάλυψη, έφερε μαζί της μια νέα έννοια της «αλήθειας», που ήταν θαμμένη στην αποδοχή ενός αξιώματος ή ένα σύνολο αξιωμάτων που ορίζει ένα μοντέλο για μια περιοχή της έρευνας. Οι μαθηματικοί αμέσως άρχισαν να εφαρμόζουν τη νέα αυτή ελευθερία και την αξιωματική μέθοδο για τη μελέτη των μαθηματικών.
Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Οι νέες έρευνες στα μαθηματικά, απελευθερώθηκαν από την εξάρτηση από τον πειραματισμό και την αίσθηση, σύντομα αντιμετώπισαν νέα προβλήματα με την εμφάνιση των παραδόξων στο σύστημα των πραγματικών αριθμών και τη θεωρία των συνόλων. Σε αυτό το σημείο, τρεις νέες απόψεις των μαθηματικών προέκυψαν για την αντιμετώπιση των αντιληπτικών προβλημάτων. Η πρώτη ήταν η Σχολή του λογικισμού, που ιδρύθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Gottlob Frege το 1884. Αυτή η σχολή, μια απόφυση της Πλατωνικής Σχολής, έθεσε ως στόχο να δείξει ότι οι ιδέες των μαθηματικών θα μπορούσε να θεωρηθούν ως ένα υποσύνολο των ιδεών της λογικής. Οι υποστηρικτές της λογικισμού έθεσαν ως στόχο να αποδείξουν ότι οι μαθηματικές προτάσεις θα μπορούσαν να εκφραστούν ως εντελώς γενικές προτάσεις των οποίων η αλήθεια ακολουθείται από τη μορφή τους και όχι από την ερμηνεία τους σε μια συγκεκριμένη ρύθμιση του πλαισίου. Οι Α, Ν Whitehead και ο Bertrand Russell (1910-1913) έθεσαν ως στόχο να το δείξουν αυτό στο έργο-ορόσημο τους, Principia Mathematica. Έτσι προσπάθησαν να δημιουργήσουν τα κλασικά μαθηματικά από τους όρους των αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων που αναπτύχθηκε από το Zermelo και το Frankel. Αυτή η προσέγγιση, όπως αυτή του Frege, χτίστηκε επάνω στην αποδοχή της ύπαρξης εξωτερικών μαθηματικών, και ως εκ τούτου ήταν ένα άμεσο ανάπτυγμα της Πλατωνικής Σχολής. Η προσέγγιση των Whitehead και Russell απέτυχε μέσω της αδυναμίας της να θεσπίσει τα αξιώματα του απείρου και της επιλογής σε μια κατάσταση πλήρους γενικότητας χωρίς πλαίσιο. Αυτή η Πλατωνική προσέγγιση απέτυχε επίσης από τα παράδοξα του συστήματος. Οι οπαδοί του Ολλανδού μαθηματικού L. E. J. Brouwer, από την άλλη πλευρά, δεν δέχθηκαν την ύπαρξη οποιασδήποτε ιδέας των κλασικών μαθηματικών, χωρίς να μπορούσε να κατασκευαστεί μέσω ενός συνδυασμού των σαφών επαγωγικών βημάτων από τις πρώτες αρχές. Τα μέλη της σχολής σκέψης του Brouwer, που ονομάζονται ιντουισιονιστές,
τους αφορούσε ιδιαίτερα η εμφάνιση των παραδόξων στη θεωρία συνόλων και οι πιθανές επιπτώσεις τους για το σύνολο των κλασικών μαθηματικών. Σε αντίθεση με τους λογικιστές, οι οποίοι δέχθηκαν τα περιεχόμενα των κλασικών μαθηματικών, οι ιντουισιονιστές δέχονταν μόνο τα μαθηματικά που θα μπορούσαν να αναπτυχθούν από τους φυσικούς αριθμούς προωθούμενα από τις διανοητικές δραστηριότητες των κατασκευαστικών αποδείξεων. Αυτή η προσέγγιση δεν επιτρέπει τη χρήση του νόμου του αποκλειόμενου μέσου. Αυτή η λογική μορφή υποστηρίζει ότι η δήλωση PV ~ P είναι αληθής και κάνει δυνατή την εις άτοπον απαγωγή. Με πολλούς τρόπους, οι ιδέες που διατυπώνονται από Brouwer βασίστηκαν σε μια θεμελίωση που δεν είναι σε αντίθεση με ότι πρεσβεύει ο Καντ. Ο Brouwer δεν υποστηρίζει «τον έλεγχο των εξωτερικών αντικειμένων, αλλά τη στενή ενδοσκόπηση» (Korner, 1960, σελ.120). Αυτή η αντίληψη παρουσιάζει τα μαθηματικά, ως τα αντικείμενα, που προκύπτουν από τις "έγκυρες" αποδείξεις. Οι μαθηματικές ιδέες υπήρχαν μόνο στο βαθμό που ήταν οικοδομήσιμες από το ανθρώπινο μυαλό. Η επιμονή στην κατασκευή τοποθετεί τα μαθηματικά των ιντουισιονιστών στην Αριστοτελική παράδοση. Αυτή η άποψη θεωρεί τη λογική ως ένα υποσύνολο των μαθηματικών. Τα επιτεύγματα των ιντουισιονιστών οδήγησαν σε μια σειρά θεωρημάτων και αντιλήψεων διαφορετικών από εκείνα των κλασικών μαθηματικών. Σύμφωνα με τα κριτήριά τους για την ύπαρξη και την εγκυρότητα, είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι κάθε πραγματική συνάρτηση που ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς είναι συνεχής. Περιττό να πούμε, ότι αυτό και άλλες διαφορές από τα κλασικά μαθηματικά δεν έχουν προσελκύσει ένα μεγάλο αριθμό υποστηρικτών του ιντουισιονισμού. Η τρίτη αντίληψη των μαθηματικών εμφανίζεται κοντά στην αρχή του 20ου αιώνα και είναι αυτή του φορμαλισμού. Η σχολή αυτή διαμορφώθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό David Hilbert. Οι απόψεις του Hilbert, όπως και αυτές του Brouwer, ήταν περισσότερο σύμφωνες με την Αριστοτελική παράδοση από ό, τι με τον Πλατωνισμό. Ο Hilbert δεν δέχτηκε την καντιανή έννοια ότι η δομή της αριθμητικής
και της γεωμετρίας υπήρχαν ως περιγραφές μιας πρότερης γνώσης στον ίδιο βαθμό που το έκανε και ο Brouwer. Ωστόσο, ο ίδιος έβλεπε τα μαθηματικά, να προκύπτουν από τη διαίσθηση που βασίζεται στα αντικείμενα που θα μπορούσαν τουλάχιστον να θεωρηθούν ότι έχουν συγκεκριμένες αναπαραστάσεις στο μυαλό. O φορμαλισμός θεμελιώθηκε με τις προσπάθειες να χαρακτηριστούν οι μαθηματικές ιδέες με τους όρους των τυπικών (Formal) αξιωματικών συστημάτων. Αυτή η προσπάθεια να ελευθερώσει τα μαθηματικά από τις αντιφάσεις χτίστηκε γύρω από την κατασκευή ενός συνόλου αξιωμάτων για έναν κλάδο των μαθηματικών όπου επιτρέπονται για το θέμα να συζητηθεί σε μια γλώσσα πρώτης τάξης. Σημαντική πρόοδος σημειώθηκε σε διάφορους τομείς υπό την αιγίδα του φορμαλισμού πριν από τη διάλυσή της, ως αποτέλεσμα του άρθρου ορόσημου του Kurt Gödel το 1931. Ο Γκέντελ (1931) διαπίστωσε ότι είναι αδύνατο στα αξιωματικά συστήματα του τύπου Hilbert που προτείνονται να αποδειχθούν τυπικά ότι το σύστημα είναι απαλλαγμένο από αντιφάσεις. Ο Gödel απέδειξε επίσης ότι είναι αδύνατο να διαπιστώσει τη συνέπεια ενός συστήματος που χρησιμοποιεί τη συνήθη λογική και θεωρία αριθμών, αν κάποιος χρησιμοποιεί μόνο τις κύριες έννοιες και μεθόδους από την παραδοσιακή θεωρία αριθμών. Τα ευρήματα αυτά σταμάτησαν την προσπάθεια, να τυποποιήσει όλα τα μαθηματικά, αν και η φορμαλιστική σχολή συνέχισε να έχει ισχυρό αντίκτυπο στην ανάπτυξη των μαθηματικών (Benacerraf & Pumam, 1964; van Heijenoort, 1967; Snapper, 1979a, 1979b). Οι τρεις μεγάλες σχολές σκέψης που δημιουργήθηκαν στις αρχές της δεκαετίας του 1900 για να αντιμετωπίσουν τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν στα τέλη του 19ου αιώνα προχώρησαν τη συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών, αλλά καμία από αυτές δεν παρείχε μια ευρέως υιοθετημένη θεμελίωση για τη φύση των μαθηματικών. Και οι τρεις τους είχαν την τάση να βλέπουν τα περιεχόμενα των μαθηματικών ως προϊόντα. Στο λογικισμό, τα περιεχόμενα ήταν τα στοιχεία του σώματος των κλασικών μαθηματικών, οι ορισμοί του, τα αξιώματα του, και τα θεωρήματα του. Στον ιντουισιονισμό, τα περιεχόμενα ήταν τα θεωρήματα που είχαν κατασκευαστεί από τις πρώτες αρχές μέσω
«έγκυρων» προτύπων της συλλογιστικής. Στο φορμαλισμό, τα Μαθηματικά αποτελούνταν από τις τυπικές αξιωματικές δομές που είχαν αναπτυχθεί για να απαλλαγούν τα κλασικά μαθηματικά από τις ελλείψεις τους. Η επιρροή των πλατωνικών και η αριστοτελικών αντιλήψεων εξακολουθούν να λειτουργούν ως ένα ισχυρό υπόγειο ρεύμα μέσα από αυτές τις θεωρίες. Η προέλευση του «προϊόντος» -είτε ως προϋπάρχον εξωτερικό αντικείμενο ή ενός αντικειμένου που δημιουργήθηκε μέσα από την εμπειρία από τις αντιλήψεις των αισθήσεων ή πειραματισμού, παρέμεινε ένα ζήτημα. Σύγχρονες οπτικές Οι μαθηματικοί συνήθως δε θέτουν το ερώτημα της φύσης των μαθηματικών και έχουν μια ισχυρή πλατωνική άποψη σχετικά με την ύπαρξη των μαθηματικών εννοιών εκτός του ανθρώπινου μυαλού. Όταν πιέζονται να ξεκαθαρίσουν την αντίληψή τους σχετικά με τα μαθηματικά οι περισσότεροι καταφεύγουν σε μια φορμαλιστική ή Αριστοτελική θέση ως ένα παιχνίδι που παίζεται με τα συστήματα των συμβόλων σύμφωνα με ένα σύνολο κοινωνικά αποδεκτών κανόνων. Η φορμαλιστική παράδοση διατηρεί μια ισχυρή επίδραση στην ανάπτυξη των μαθηματικών (Benacerraf & Putnam, 1964; Tymoczko, 1986). Η αντίληψη των μαθηματικών που έχει ο εκπαιδευτικός επιδρά ισχυρά στον τρόπο με τον οποίο προσεγγίζει τα μαθηματικά στην τάξη (Cooney, 1985). Ένας δάσκαλος που έχει μια φορμαλιστική φιλοσοφία θα παρουσιάσει το περιεχόμενο σε μια δομική μορφή, καλώντας σε μια θεωρητική γλώσσα και αντιλήψεις (Hersh, 1986). Μια τέτοια φορμαλιστική προσέγγιση μπορεί να είναι ένα καλό καταφύγιο για το άτομο που δεν κατανοεί το υλικό αρκετά καλά για να παρέχει μια διορατική εποικοδομητική οπτική. Τα μαθηματικά πρέπει να θεωρηθούν ως μια ανθρώπινη δραστηριότητα, μια δραστηριότητα που δεν οδηγείτε στενά από καμία σχολή σκέψης (λογιστική, φορμαλιστική ή κονστρουκτιβιστική). Μια τέτοια προσέγγιση θα απαντήσει στην ερώτηση τι είναι μαθηματικά λέγοντας τα εξής:
Τα Μαθηματικά ασχολούνται με τις ιδέες. Όχι με σημάδια από το μολύβι ή σημάδια κιμωλίας, ούτε φυσικά τρίγωνα ή φυσικά σύνολα, αλλά με ιδέες (η οποίες μπορεί να αντιπροσωπεύονται ή να προτείνονται από τα φυσικά αντικείμενα). Ποιες είναι οι κύριες ιδιότητες της μαθηματικής δραστηριότητας ή της μαθηματικής γνώση, όπως είναι γνωστές σε όλους μας από την καθημερινή εμπειρία; 1. Τα μαθηματικά αντικείμενα ανακαλύπτονται ή δημιουργούνται από τους ανθρώπους. 2. Δεν δημιουργούνται αυθαίρετα αλλά προκύπτουν από τη δραστικότητα με τα ήδη υπάρχουσα μαθηματικά αντικείμενα, και από τις ανάγκες της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. 3. Μόλις δημιουργηθούν, τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ιδιότητες οι οποίες είναι καλά προσδιορισμένες, τις οποίες μπορεί να έχουμε μεγάλη δυσκολία να ανακαλύψουμε, αλλά οι οποίες είναι διαθέσιμες ανεξάρτητα από τις γνώσεις μας γι αυτές. (Hersh, 1986, σ. 22)