Eukleideiec Gewmetriec

Eukleideiec Gewmetriec 1. Ta stoiqeða tou EukleÐdh To pio shmantikì biblðo sthn IstorÐa twn Majhmatik n allˆ kai èna apì ta pio shmantikˆ sthn IstorÐa tou anjr pinou politismoô eðnai ta StoiqeÐa tou EukleÐdh. Ta StoiqeÐa eðnai to kuri tero didaktikì biblðo pou qrhsimopoi jhke gia na morf sei e- katommôria anjr pouc se ìlo ton kìsmo ta teleutaða dôo qiliˆdec triakìsia qrìnia. EÐnai qarakthristikì ìti anˆloga me to pl joc twn ekdìsewn katatˆssetai deôtero sthn pagkìsmia bibliografða. Ta StoiqeÐa grˆfthkan perðpou to 300 p.q. apì ton EukleÐdh (330-275 p.q.), sto MouseÐo thc Alexˆndreiac. To MouseÐo idrôjhke apì ton PtolemaÐo ton Pr to ton Lagì, strathgì tou Megalou Alexˆndrou kai èpeita Basilèa thc AigÔptou kai idrut thc dunasteðac twn PtolemaÐwn (pou basðleye sthn AÐgupto gia 250 qrìnia perðpou mèqri thn katˆkthsh thc apo touc RwmaÐouc). To MouseÐo tan q roc afierwmènoc stic MoÔsec kai stic epist mec kai tèqnec pou antipros peuan, dhlad tan kˆpoio eðdoc PanepisthmÐou. EÐqe th shmantikìterh kai megalôterh biblioj kh thc arqaiìthtac, pou èftase na katèqei pˆnw apo 600.000 eilhtˆria apì Pˆpuro. StoiqeÐa eðqan grafeð kai palaiìtera apì ˆllouc suggrafeðc ìpwc o Ippokrˆthc o QÐoc kai o Lèwn. Autì pou xeq rise ta StoiqeÐa tou EukleÐdh apì ìlec tic palaiìterec majhmatikèc ergasðec tan h logik dom kai h majhmatik austhrìthta tou èrgou. H teleiìthta tou èrgou tou tan kai o kuriìteroc lìgoc pou ta palaiìtera èrga den s zontai s mera parˆ mìno mèsa apì ta StoiqeÐa tou EukleÐdh, epeid h anaparagwg opoioud pote èrgou tan poluèxodh kai qronobìra. Qreiazìtan m nec douleiˆc apì èna perissìterouc grafeðc kai to ulikì graf c (pˆpuroc, pergamhn kai argìtera bambukðnoc, dhl. qartð) tan polô akribì. O EÔdhmoc, sth monadik IstorÐa twn Majhmatik n pou grˆfthke sthn arqaiìthta kai pou tm matˆ thc mìnon èftasan wc tic mèrec mac, anafèrei touc shmantikìterouc majhmatikoôc pou èzhsan prin ton EukleÐdh: Jal c, Amèristoc, IppÐac o HleÐoc, Pujagìrac, Anaxagìrac o Klazomènioc, OinopÐdhc o QÐoc, Ippokrˆthc o QÐoc, Jeìdwroc o KurhnaÐoc, Plˆtwn, Lewdˆmac o Jˆsioc, ArqÔtac o TarantÐnoc, JeaÐthtoc o AjhnaÐoc, NeokleÐdhc, Lèwn, EÔdoxoc o KnÐdioc, AmÔklac o Hrakle thc, oi adelfoð Mènaiqmoc kai Deinìstratoc, JeÔdioc o Mˆgnhc, Aj naioc Elik n o Kuzikhnìc, Ermìtimoc o Kolof nioc kai FÐlippoc o MedmaÐoc. Se kˆpoiouc apì autoôc touc MajhmatikoÔc apodðdontai ta majhmatikˆ apotelèsmata pou perièqontai sta dekatrða biblða twn StoiqeÐwn. Stouc Pujagìreiouc kai kurðwc ston ArqÔta ton TarantÐno apodðdontai ta perieqìmena twn biblðwn 1,2,6,7,8,9 kai 11. Ston Ippokrˆth to QÐo ta biblða 3 kai 4. Ta biblða 5 kai 12 ston EÔdoxo ton KnÐdio kai ta biblða 10 kai 13 sto JeaÐthto ton AjhnaÐo. 1

2. Ta Perieqìmena twn StoiqeÐwn. To pr to biblðo arqðzei me thn axiwmatik jemeleðwsh thc GewmetrÐac pou perilambˆnei 23 orismoôc, 5 ait mata kai 9 koinèc ènnoiec. SuneqÐzei me protˆseic kai Jewr mata kai telei nei me thn apìdeixh tou PujagoreÐou Jewr matoc kai tou antistrìfou tou. To deôtero biblðo perièqei Jewr mata thc Gewmetrik c 'Algebrac, ìpwc h gewmetrik exètash thc algebrik c tautìthtac a(b + c) = ab + ac me qr sh embad n. To trðto biblðo exetˆzei idiìthtec twn kôklwn. To tètarto exetˆzei kataskeuèc kanonik n polug nwn kai telei nei me thn kataskeu tou kanonikoô 15-g nou. AxÐzei na anaferjeð ìti to epìmeno shmantikì b ma sthn kataskeu kanonik n polug nwn ègine sqedìn 2100 qrìnia argìtera apì ton Gauss(1777-1855) me thn kataskeu tou kanonikoô 17-g nou to 1796. To pèmpto kai èkto biblðo anaptôssoun thn jewrða twn analogi n tou EÔdoxou kai perièqoun protˆseic Gewmetrik c 'Algebrac kai omoiìthta trig nwn. Ta epìmena trða biblða asqoloôntai me JewrÐa twn Arijm n. To dèkato biblðo eðnai to megalôtero kai duskolìtero apì ta biblða twn StoiqeÐwn tou EukleÐdh allˆ sugqrìnwc kai to teleiìtero. AsqoleÐtai sthn arq me ta sômmetra kai ta asômmetra megèjh kai sthn sunèqeia, me th shmerin orologða, me epektˆseic swmˆtwn bajmoô 2 kai 4 pˆnw apì touc rhtoôc. H èktash kai h duskolða tou biblðou autoô to èbgaze sun jwc ektìc didaskalðac. AxÐzei na anafèroume ìti sthn pr th tupografik èkdosh twn StoiqeÐwn tou EukleÐdh sta Ellhnikˆ, apì ton Mejìdio AnjrakÐth to 1749 san tm ma tou pr tou apì touc treðc tìmouc tou biblðou tou Odìc Majhmatik c, to dèkato biblðo paraleðpetai 1. 1 Η Οδός Μαθηματικής είναι ένα τρίτομο έργο που στον πρώτο του τόμο περιλαμβάνονται τα 12 από τα 13 βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη. Είναι η πρώτη τυπογραφική έκδοση των Στοιχείων στα Ελληνικά. Το βιβλίο τυπώθηκε το 1749 στη Βενετία με επιμέλεια του Μπαλάνου Βασιλόπουλου. Εκτός από τα Στοιχεία περιέχει τα Σφαιρικά του Θεοδοσίου, Γεωμετρία θεωρητική και πρακτική, Τριγωνομετρία, την κρικωτή σφαίρα του Πρόκλου, τα περι χρήσεως σφαιρών του Γορδάτου, πραγματεία για τον Αστρολάβο, Γεωγραφία και Οπτική. Θεωρείται ένα από τα καλύτερα βιβλία που έχουν εκδοθεί ποτέ στην Ελληνική γλώσσα, τόσο από την άποψη της τυπογραφικής και γλωσσικής επιμέλειας και του περιεχομένου αλλά και της επίδρασης που είχε στις επόμενες γενιές. Ο πρώτος τόμος είναι το παλαιότερο βιβλίο που βρίσκεται στην Βιβλιοθήκη του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων και ένα από τα ελάχιστα σωζόμενα αντίγραφα. Ο συγγραφέας του, ο Μεθόδιος Ανθρακίτης, είναι ένας από τους σημαντικότερους λόγιους της περιόδου της τουρκοκρατίας και ο πρώτος που δίδαξε στην τουρκοκρατούμενη Ελλάδα τρίγωνα και τετράγωνα... και την άλλην πολυάσχολον ματαιοπονίαν της Μαθηματικής. Ως τότε στις διάφορες σχολές, όταν διδασκόταν μαθηματικά, διδασκόταν μόνο στοιχεία αριθμητικης. Ο Μεθόδιος ήταν γνώστης των σύγχρονων του μαθηματικών και επανέφερε στην Ελλάδα τη μελέτη των αρχαιοελληνικών μαθηματικών ξεκινώντας έτσι την αναβάθμιση της Μαθηματικής παιδείας στην τουρκοκρατούμενη Ελλάδα. Ο Μεθόδιος Ανθρακίτης ήταν Γιαννιώτης. Γεννήθηκε το 1660 στα Καμινιά (σήμερα Ανθρακίτης) στα Ζαγοροχώρια, στην βόρεια πλαγιά του Μιτσικελίου, και πέθανε στα Γιάννενα πριν το 1749 (ήταν σύγχρονος του Νεύτωνα (1643-1727) και του Leibniz (1646-1716). Σπούδασε στα Γιάννενα στην σχολή του Γκιούμα, όπου τότε διευθυντής ήταν ο μεγάλος Γιαννιώτης δάσκαλος Γεώργιος Σουγδουρής. Εγινε Ιερομόναχος και λίγο αργότερα έφυγε για την Βενετία ό- που έμεινε από το 1697 έως το 1708, ως εφημέριος της Εκκλησίας του Αγίου Γεωργίου των Γραικών. Στην Βενετία υπήρχε από το 1498 δραστήρια Ελληνική κοινότητα που έπαιξε σημαντικότατο ρόλο στην 2

Ta teleutaða trða biblða asqoloôntai me stereometrða. To endèkato perièqei ta basikˆ Jewr mata thc stereometrðac. To dwdèkato upologðzei touc ìgkouc thc puramðdac, tou k nou kai thc sfaðrac. To teleutaðo asqoleðtai me ta platwnikˆ stereˆ: to tetrˆedro, ton kôbo, to oktˆedro, to dwdekˆedro kai to eikosˆedro. Gia kˆje èna upologðzei ton lìgo thc akm c tou me thn aktðna thc perigegrammènhc sfaðrac. 3. To pèmpto aðthma tou EukleÐdh. Ac epanèljoume ìmwc sto pr to biblðo twn StoiqeÐwn, pou ìpwc eðpame arqðzei me thn axiwmatik jemeleðwsh thc GewmetrÐac. O EukleÐdhc ephreasmènoc apì ton Aristotèlh, jètei tic bˆseic thc GewmetrÐac pou eðnai oi orismoð kai ta axi mata pou ta qwrðzei se ait mata kai koinèc ènnoiec. Ta pènte ait mata tou EukleÐdh eðnai: 1. Apì opoiod pote shmeðo se opoiod pote ˆllo mporoôme na fèroume mìno mia eujeða gramm. 2. Opoiad pote peperasmènh eujeða mporeð na epektajeð katˆ suneq trìpo. 3. Apì opoiod pote kèntro kai me opoiad pote aktðna mporoôme na sqediˆsoume kôklo. 4. 'Olec oi orjèc gwnðec eðnai Ðsec metaxô touc. 5. An eujeða gramm tèmnei dôo ˆllec kai sqhmatðzei tic entìc kai epð ta autˆ gwnðec mikrìterec apì dôo orjèc, tìte oi dôo eujeðec grammèc, an epektajoôn aperiìrista, ja sunanthjoôn proc th meriˆ ìpou brðskontai oi gwnðec pou eðnai mikrìterec apì dôo orjèc. πνευματική αναγέννηση της Ελλάδας. Πνευματικό κέντρο της κοινότητας ήταν η Εκκλησία του Αγίου Γεωργίου των Γραικών, όπου λειτουργούσε και Ελληνικό σχολείο. Με συνεισφορές των μελών της ιδρύθηκαν και λειτούργησαν σχολεία σε διάφορες πόλεις, όπως στην Αθήνα, Ανδριανούπολη, Γιάννενα, Δελβίνο, Θεσσαλονίκη, Καστοριά, Λάρισα, Μέτσοβο, Τρίκαλα και Τυρναβο. Με την διάλυση της Ενετικής Δημοκρατίας από τον Ναπολέοντα το 1797 στις περισσότερες από αυτές τις σχολές δημιουργήθηκαν σημαντικά οικονομικά προβλήματα. Ο Μεθόδιος κατά την παραμονή του στην Βενετία ασχολήθηκε με την Φιλοσοφία και ιδιαίτερα με τα Μαθηματικά και την Φυσική. Με παραίνεση του Πατριάρχη Ιεροσολύμων Χρύσανθου Νοταρά, ενός από τους σημαντικότερους ανθρώπους της εποχής εκείνης, επέστρεψε στην Τουρκοκρατούμενη Ελλάδα και δίδαξε στη Σχολή Κυρίτζη της Καστοριάς (1710-1721). Η μη παραδοσιακή διδασκαλία του, κυρίως στη φιλοσοφία, προκάλεσε αντιδράσεις που τον ανάγκασαν να φύγει και να διδάξει στη Σχολή της Σιάτιστας (1721-1723). Οι αντιδράσεις όμως συνεχίστηκαν. Οι Γιαννιώτες του συμπαραστάθηκαν και τον κάλεσαν να αναλάβει την σχολαρχεία της Σχολής του Γκιούμα (1723-1725). Το 1723 η Σύνοδος του Οικουμενικού Πατριαρχείου τον καθαίρεσε από το ιερατικό αξίωμα και του απαγόρευσε να διδάσκει Φιλοσοφία και Θεολογία. Το 1725 με νέα απόφαση της Συνόδου ο Μεθόδιος αποκαταστάθηκε αφού πρώτα επισκέφθηκε την Κωνσταντινούπολη και ομολόγησε την πλάνη του. Του έκαψαν τα διδακτικά του τετράδια, ακόμα και της Λογικής, Φυσικής, Ευκλείδιας Γεωμετρίας και Αριθμητικής. Εκτοτε δίδαξε στη Σχολή Επιφανείου στα Γιάννενα (1725-1736) και ανάμεσα στους μαθητές του ήταν ο Ευγένιος Βούλγαρης και ο Μπαλάνος Βασιλόπουλος. Στα Γιάννενα λειτούργησαν προ της Επανάστασης του 1821 πολλές Σχολές: η σχολή των Φιλανθρωπινών (1292-1660), η σχολή των Δεσποτών (1500-1650 περίπου), η σχολή Επιφανείου (1658-1742) που αργότερα ονομάστηκε Μαρουτσαία (1742-1797) και στο τέλος Καπλαναία (1797-1820 περίπου), και η σχολή Γκιούμα (1675-1820 περίπου) που μετονομάστηκε Μπαλαναία, ίσως το 1760. 3

To pèmpto aðthma tou EukleÐdh faðnetai ligìtero peistikì apì ta upìloipa kai autì trˆbhxe thn prosoq twn majhmatik n apì ton kairì tou EukleÐdh kai gia dôo qilietðec. PÐsteuan ìti ja èprepe na eðnai apìrroia twn upìloipwn aithmˆtwn, na mhn eðnai aðthma dhlad, allˆ je rhma. H Ôparxh mh EukleÐdeiwn gewmetri n dikaðwse telikˆ ton EukleÐdh gia thn epilog twn axiwmˆtwn tou. To pèmpto aðthma lègetai kai aðthma twn parall lwn, giatð eðnai isodônamo me thn parakˆtw prìtash pou anafèretai se parˆllhlec eujeðec. Pijanìtata ofeðletai ston Prìklo (410-485 m.q), pou tan ènac apì touc teleutaðouc dieujuntèc thc AkadhmÐac tou Plˆtwna sthn Aj na. P 1 : Apì shmeðo ektìc eujeðac mporoôme na fèroume akrib c mða eujeða parˆllhlh proc thn eujeða. Allˆ epðshc eðnai kai isodônamo me pollèc ˆllec protˆseic, ìpwc: P 11 : Kˆje eujôgrammo tm ma eðnai pleurˆ enìc tetrag nou, me tèsseric orjèc gwnðec (Prìkloc). P 12 : Kˆje trðgwno èqei perðkentro (Legendre). P 13 : Upˆrqei toulˆqiston èna trðgwno me ˆjroisma gwni n dôo orjèc (Legendre). P 14 : Upˆrqoun ìmoia trðgwna pou den eðnai Ðsa (W allis 1663). P 15 : O gewmetrikìc tìpoc twn shmeðwn pou isapèqoun apì eujeða gramm eðnai eujeða (Arqim dhc kai alhaytham 1000 m.q.) Oi protˆseic autèc brèjhkan sthn prospˆjeia poll n Majhmatik n, anˆ touc ai nec, na apodeiqteð to pèmpto aðthma tou EukleÐdh qrhsimopoi ntac ta upìloipa ait mata. Mia apì tic shmantikìterec prospˆjeiec ègine apì ton IhsouÐth monaqì Girolamo Saccheri (1667-1733). Gia na apodeðxei o Saccheri to pèmpto aðthma efˆrmose thn mèjodo thc apagwg c se ˆtopo. Prospˆjhse loipìn na aporrðyei tic parakˆtw dôo protˆseic: P 0 : Apì shmeðo ektìc eujeðac den mporoôme na fèroume eujeða parˆllhlh proc thn eujeða. P 2 : Apì shmeðo ektìc eujeðac mporoôme na fèroume perissìterec apì mia eujeða parˆllhlec proc thn eujeða. Sthn prìtash P 0 katˆfere na ftˆsei se ˆtopo me to deôtero aðthma tou EukleÐdh. En sthn prìtash P 2 den eðqe antðstoiqh epituqða, katèlhxe se mia seirˆ apì parˆdoxa Jewr mata, allˆ ìqi se ˆtopo. Basikì rìlo sthn prospˆjeiˆ tou aut èpaixe èna eidikoô tôpou tetrˆpleuro ABGD, to tetrˆpleuro tou Saccheri, pou èqei dôo diadoqikèc 4

gwnðec orjèc, tic A, B, kai dôo pleurèc Ðsec tic AD kai BG, kai ˆra kai tic dôo ˆllec gwnðec Ðsec. H prìtash oi gwnðec G, D eðnai orjèc eðnai isodônamh me thn prìtash P 1. H prìtash oi gwnðec G, D eðnai ambleðec eðnai isodônamh me thn prìtash P 0 kai h prìtash oi gwnðec G, D eðnai oxeðec eðnai isodônamh me thn prìtash P 2. 4. Uperbolik GewmetrÐa. O Karl F riedrich Gauss (1777-1855) ènac apì touc megalôterouc MajhmatikoÔc ì- lwn twn epoq n, tan o pr toc pou katèlhxe sto sumpèrasma ìti ja mporoôse na upˆrqei mia kainoôria gewmetrða pou ja sthrðzetai se ìla ta axi mata tou EukleÐdh kai sth jèsh tou ait matoc twn parˆllhlwn P 1, to axðwma P 2, dhlad apì shmeðo ektìc eujeðac mporoôme na fèroume perissìterec apì mða eujeða parˆllhlec proc thn eujeða. H GewmetrÐa aut eðnai s mera gnwst san Uperbolik GewmetrÐa. O Gauss ìmwc den anakoðnwse ta apotelèsmatˆ tou gia thn mh EukleÐdeia GewmetrÐa. H anakoðnwsh thc anakˆluyhc thc Uperbolik c GewmetrÐac dhmosieôthke sqedìn sugqrìnwc apì touc JanosBolyai (1802-1860) to 1832 kai apì ton LobachevskyN ikolai (1792-1856) to 1829. Oi dôo majhmatikoð ergazìtan anexˆrthta o ènac apì ton ˆllo allˆ kai oi dôo sundeìtan me ton kôklo twn Majhmatik n pou eðqan epikoinwnða me ton Gauss. Ston kôklo autì tan gnwstˆ ta perissìtera apotelèsmata touc sqetikˆ me thn uperbolik gewmetrða. Allˆ autì pou sðgoura ja prèpei na touc anagnwrisjeð eðnai to kourˆgio na anakoin soun mða mh EukleÐdeia gewmetrða. H majhmatik koinìthta thc epoq c touc agnìhse ta apotelèsmatˆ touc kai èdwse axða sthn Uperbolik GewmetrÐa mìno metˆ to jˆnato tou Gauss, ìtan brèjhkan anˆmesa stic shmei seic tou autˆ pou eðqan sqèsh me aut n. H Uperbolik GewmetrÐa èqei kˆpoia koinˆ jewr mata me thn EukleÐdeia GewmetrÐa kai eðnai ìsa den qrhsimopoioôn to pèmpto aðthma. Ta perissìtera ìmwc eðnai diaforetikˆ, ìpwc: 1. Apì shmeðo ektìc eujeðac mporoôme na fèroume ˆpeirec parˆllhlec proc thn eujeða. 2. To ˆjroisma twn gwni n enìc trig nou eðnai pˆnta mikrìtero apì dôo orjèc, to pìso mikrìtero exartˆtai apì to embadìn tou trig nou. H sqèsh pou sundèei to embadìn enìc trig nou me to ˆjroisma twn gwni n eðnai: E = R 2 (a + b + c π), gia kˆpoia stajerˆ R 2. 3. Ta ìmoia trðgwna eðnai Ðsa. 'Ena montèlo thc Uperbolik c GewmetrÐac eðnai to montèlo tou dðskou pou dìjhke apì ton Henri P oincare (1854-1912). ShmeÐa tou UperbolikoÔ epipèdou eðnai ta eswterikˆ shmeða enìc EukleÐdeiou kôklou. EujeÐec tou UperbolikoÔ epipèdou eðnai anoiqtèc diˆmetroi tou kôklou (dhl. qwrðc ta akraða shmeða touc) kai anoiqtˆ tìxa kôklwn pou tèmnoun kˆjeta ton arqikì kôklo. Sto pr to apì ta parakˆtw sq mata, pou deðqnei èna tètoio montèlo tou P oincare eðnai sqediasmènec tèsseric uperbolikèc eujeðec ek twn opoðwn oi treðc dièrqontai apo 5

to Ðdio shmeðo kai eðnai parˆllhlec proc thn tètarth eujeða. Sto deôtero blèpete mia kˆluyh tou uperbolikoô epipèdou me Ðsa metaxô touc kanonikˆ pentˆgwna, kˆti pou den mporeð na gðnei sto EukleÐdeio epðpedo. Oi gwnðec sto sq ma twn kanonik n pentag nwn eðnai π/2 kai se kˆje koruf sunant ntai tèssera tètoia pentˆgwna. Ja mporoôse ìmwc na kalujfeð to uperbolikì epðpedo kai me ˆllouc trìpouc me kanonikˆ pentˆgwna, ˆllou ìmwc megèjouc. Gia parˆdeigma ja mporoôsan na qrhsimopoihjoôn megalôtera kanonikˆ pentˆgwna me gwnðec 2π/7 kai na sunant ntai eptˆ se kˆje koruf. H douleiˆ twn plakˆdwn se èna upebolikì epðpedo eðnai polô pio endiafèrousa apì aut n tou EukleÐdeiou epipèdou. O kallitèqnhc Escher sto èrgo tou me touc aggèlouc kai diabìlouc qrhsimopoieð mia kˆluyh tou uperbolikoô epipèdou me kanonikˆ exˆgwna, me tic gwnðec touc orjèc. 5. Elleiptik GewmetrÐa. 'Alloc ènac megˆloc Majhmatikìc o Bernhard Riemann (1826-1866) anakˆluye mia ˆllh mh EukleÐdeia GewmetrÐa, thn legìmenh Elleiptik GewmetrÐa. O Riemann antikatèsthse to pèmpto aðthma me thn prìtash P 0, tropopoðhse to deôtero aðthma ste oi eujeðec na mhn eðnai ˆpeirec kai krˆthse ìla ta upìloipa axi mata tou EukleÐdh. Na xanajumhjoôme ìti o Saccheri upojètontac thn prìtash P 0 katˆfere kai katèlhxe se ˆtopo me to deôtero aðthma tou EukleÐdh. Merikˆ apì ta diaforetikˆ jewr mata thc Elleiptik c GewmetrÐac tou Riemann apì thn EukleÐdeia GewmetrÐa eðnai: 1. Den upˆrqoun parˆllhlec eujeðec. 2. Kˆje eujeða gramm èqei to Ðdio peperasmèno m koc. 3. To ˆjroisma twn gwni n enìc trig nou eðnai pˆnta megalôtero apì dôo orjèc, to 6

pìso megalôtero exartˆtai apì to embadìn tou trig nou. H sqèsh pou sundèei to embadìn enìc trig nou me to ˆjroisma twn gwni n eðnai: E = R 2 (a + b + c π), gia kˆpoia stajerˆ R 2. 4. Ta ìmoia trðgwna eðnai Ðsa. 'Ena montèlo thc Elleiptik c GewmetrÐac eðnai to montèno tou dðskou pou dìjhke apì ton F elix Klein (1849-1925). ShmeÐa tou ElleiptikoÔ epipèdou eðnai ta eswterikˆ shmeða enìc EukleÐdeiou kôklou kai zeugˆria antidiametrik n shmeðwn pˆnw ston kôklo (dhl. ta dôo antidiametrikˆ shmeða eðnai èna elleiptikì shmeðo). EujeÐec tou ElleiptikoÔ epipèdou eðnai diˆmetroi tou kôklou kai tìxa EukleÐdeiwn kôklwn pou tèmnoun ton arqikì kôklo se antidiametrikˆ shmeða. 6. Axi mata tou Hilbert. H anakˆluyh twn mh EukleideÐwn Gewmetri n me thn amfisb thsh tou pèmptou ait matoc tou EukleÐdh od ghse se mia pio leptomer melèth twn jemelðwn thc Ðdiac thc EukleÐdeiac gewmetrðac. Oi perissìteroi orismoð den tan ikanopoihtikoð allˆ kai pollèc apodeðxeic sthrizìtan sthn diaðsjhsh sto sq ma. O megˆloc Germanìc Majhmatikìc David Hilbert (1862-1943) to 1899 èdwse mia plhrèsterh axiwmatik perigraf thc EukleÐdeiac GewmetrÐac. QrhsimopoÐhse perissìtera axi mata kai ˆfhse ènnoiec ìpwc tou shmeðou kai thc eujeðac qwrðc na tic orðsei, kajìrise mìno tic metaxô touc sqèseic. Ta axi mata tou Hilbert qwrðzontai se axi mata sqèsewn, diˆtaxhc, isìthtac, sunèqeiac kai to axðwma twn parall lwn. Axi mata sqèsewn. Sq1. Gia dôo opoiad pote diakekrimèna shmeða A, B, upˆrqei mða kai mìno mða eujeða l pou perièqei ta A,B. Sq2. Kˆje eujeða perièqei dôo toulˆqiston shmeða. Sq3. Upˆrqoun trða toulˆqiston mh suneujeiakˆ shmeða (dhlad, upˆrqoun trða shmeða ta opoða den perièqontai se kamða eujeða). Axi mata diˆtaxhc. OrÐzoume mia sqèsh A B C metaxô tri n diatetagmènwn shmeðwn (A, B, C) pou lègetai to B eðnai metaxô twn shmeðwn A kai C tètoia ste na plhroð ta parakˆtw axi mata: D1. An to shmeðo B eðnai metaxô twn shmeðwn A kai C, tìte ta A, B, C, eðnai diakekrimèna metaxô touc, an koun se mða eujeða kai epiplèon C B A. D2. Gia dôo opoiad pote diakekrimèna shmeða A, B, upˆrqei shmeðo C ètsi ste A B C. D3. Dojèntwn tri n diakekrimènwn shmeðwn epð miac eujeðac, èna kai mìno èna apì autˆ eðnai metaxô twn ˆllwn dôo. 7

D4. (P asch) 'Estw A, B, C trða mh suneujeiakˆ shmeða kai l mia eujeða pou den perièqei kanèna apì ta A, B, C. An h l perièqei èna shmeðo D to opoðo eðnai metaxô twn A, B, tìte perièqei èna shmeðo to opoðo eðnai metaxô twn A, C perièqei èna shmeðo to opoðo eðnai metaxô twn B, C, allˆ ìqi kai twn dôo. Axi mata isìthtac. I1. Dojèntoc enìc eujugrˆmmou tm matoc AB kai miac hmieujeðac r me arq to shmeðo C, upˆrqei to monadikì shmeðo D sthn r tètoio ste AB = CD. I2. An AB = CD kai AB = EF, tìte CD = EF. Epiplèon kˆje eujôgrammo tm ma eðnai Ðso me ton eautì tou. I3. 'Estw trða shmeða A, B, C epð miac eujeðac me A B C kai trða ˆlla shmeða A, B, C epð miac eujeðac me A B C. An AB = A B kai BC = B C, tìte AC = A C. G1. Gia kˆje gwnða BAC kai hmieujeða A B me arq to A, upˆrqei monadik h- mieujeða A C se kˆje èna apì ta hmiepðpeda me akm thn eujeða A B tètoia ste BAC = B A C. G2. Gia thn isìthta gwni n isqôei h metabatik kai h anaklastik idiìthta, dhlad an a = b kai b = c tìte a = c, ìpwc kai a = a. T1. Gia dôo trðgwna ABC, A B C an AB = A B, AC = A C kai BAC = B A C tìte ABC = A B C kai ACB = A C B. Axi mata thc sunèqeiac. S1. 'Estw A, B, A 1 eðnai trða suneujeiakˆ shmeða me to A 1 na eðnai metaxô twn A, B. An ta shmeða A 2, A 3, A 4,... eðnai tètoia ste to A 1 na eðnai metaxô twn A kai A 2, to A 2 na eðnai metaxô twn A 1 kai A 3, kai oôtw kaj' ex c, kai ta tm mata AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, A 3 A 4,... eðnai Ðsa, tìte h akoloujða twn shmeðwn A 2, A 3, A 4,... perièqei shmeðo A n tètoio ste to B na eðnai metaxô A kai A n. S2. 'Estw to tm ma AB kai A n, B n akoloujðec eswterik n shmeðwn tou AB tètoiec ste: (i) To tm ma A n B n perièqetai sto tm ma A n 1 B n 1. (ii) Den upˆrqei eujôgrammo tm ma tou opoðou ta ˆkra an koun se ìla ta tm mata A n B n. Tìte upˆrqei èna monadikì shmeðo P to opoðo an kei se ìla ta tm mata A n B n. AxÐwma twn parall lwn. Gia kˆje shmeðo A kai kˆje eujeða l upˆrqei mia to polô eujeða pou perièqei to A kai eðnai parˆllhlh proc thn l. 8