TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични скалар потенцијал тачке у односу на референтну тачку која се налази у бесконачности; в) Рад потребан да се тачкасто наелектрисање пребаци из тачке А у бесконачност Нумерички подаци: m 6n p Слика а) У тачки А електрично поље стварају наелектрисања и Вектор јачине електростатичког поља који потиче од наелектрисања је оријентисан од тог наелектрисања јер је оно позитивно (треба имати у виду чињеницу да је пробно наелектрисање којим се доказује постојање електричног поља по дефиницији позитивно па би Кулонова сила на то наелектрисање била одбојна) Наелектрисање је негативно због чега је вектор електричног поља оријентисан ка њему Ако је средина у којој се налазе ова оптерећења линеарна у електричном смислу може се применити принцип суперпозиције Резултујући вектор јачине електростатичког поља Е који је последица постојања електричног поља које стварају оба наелектрисања и добија се тако што се та два вектора саберу (Сл ): Слика Важно је напоменути да се тз нападна тачка поставља на месту где се тражи и рачуна електрично поље (у овом примеру је то тачка А) Интензитети вектора јачине електростатичког поља и и рачунају се на следећи начин:
Вектори и нису колинеарни па се морају разложити на компоненте у правцу и y координате Декартовог правоуглог координатног система: y y cos sin Пројекције компонентних вектора на y осу једнаке су по апсолутној вредности али супротног знака тако да се оне међусобно поништавају Зато резултујуће електрично поље има само компоненту у позитивном смеру осе ˆ ˆ за чији се интензитет након замене датих нумеричких вредности добија: V 54ˆ m б) Електрични (скалар) потенцијал је скаларна величина па се при његовом израчунавању наелектрисања уносе у израз са одговарајућим знаком (никако не узимати апсолутне вредности) Принцип суперпозиције се може применити и на прорачун потенцијала Укупан електрични потенцијал у тачки А добија се када се скаларно саберу вредности потенцијала које стварају наелектрисања и понаособ 54 V Треба напоменути да потенцијал зависи од избора референтне тачке У овом случају смо референтну тачку поставили много далеко од извора електростатичког поља (наелектрисања и ) теоријски у бесконачности в) На основу познатог израза за извршени рад при пребацивању наелектрисања од једне до друге тачке у електростатичком пољу добија се:
или након замене датих нумеричких података 54 pj Референтна тачка је тачка нултог потенцијала а како се у овом случају налази у бесконачности тада је потенцијал Знак минус у изразу за рад говори о томе да се он врши против сила електростатичког поља тј мора се уложити неки рад против сила поља да би се наелектрисање пребацило из тачке А у бесконачност То заправо значи да се тачка одакле се позитивно наелектрисање пребацује (А) налази на нижем потенцијалу у односу на тачку где се пребацује ( бесконачност ) Када би наелектрисање које се пребацује било негативно оптерећено рад би био позитиван тј пребацивање би се вршило под дејством сила електростатичког поља Два тачкаста наелектрисања и налазе се у вакууму и распоређена су као што је приказано на слици Одредити векторе електричног поља и потенцијале у тачкама и Израчунати рад који се врши при пребацивању тачкастог наелектрисања из тачке у тачку Нумерички подаци: 6n p m Слика Одређивање електричног поља и потенцијала у тачки Слика У тачки А електрично поље стварају наелектрисања и Како су вектори и колинеарни онда је и резултујући вектор колинеаран са њима а његов интензитет се добија као алгебарски збир њихових интензитета: ( ) 4 ˆ ˆ
m V ˆ 58 Електрични скалар потенцијал се добија суперпозицијом тј као алгебарски збир потенцијала који потичу од наелектрисања и и 4 V Одређивање електричног поља и потенцијала у тачки Слика У тачки електрично поље стварају такође наелектрисања и Како вектори и нису колинеарни они се морају разложити на компоненте и тек тада сабрати Интензитети ових вектора су: ) ( а одговарајуће пројекције на и y осу су: y y Резултујуће електрично поље у тачки је: y y y ˆ ˆ ˆ ˆ тј m V ˆ 54
За потенцијал се добија: 54V Извршени рад при пребацивању тачкастог наелектрисања 386 pj из тачке у тачку је 3 Три тачкаста наелектрисања и налазе се у вакууму и распоређена су као на слици 3 Одредити вектор електричног поља у тачки D Израчунати рад који се изврши при пребацивању тачкастог наелектрисања из тачке D у бесконачност Бројни подаци: 6n 4 n 4n m p Слика 3 Слика 3 Електрично поље у тачки D се добија на следећи начин: V 35 4 m V 8 m V 36 m V cos 8 4 m D V D 45ˆ 8yˆ m D D D V y y cos 8 4 m ˆ ˆ y Dy 443 V m ; y Dy D rctg 48 rd 396 D
Електрични потенцијал је алгебарски збир чланова који потичу од сваког наелектрисања понаособ: D 45 V И у овом примеру се референтна тачка нултог потенцијала налази на теоријски бесконачно великом растојању од извора поља заправо је Зато се за извршени рад добија: pj D 45 Извршени рад је позитиван што значи да се он врши под дејством сила електростатичког поља 4 Два тачкаста наелектрисања 4 p и p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе r на међусобном растојању ( cm ) као на слици 4 Одредити интезитет електричног поља у тачкама и као и рад при пребацивању тачкастог наелектрисања q p из положаја у положај Слика 4 У тачки компонентни вектори и Слика 4 су колинеарни: ˆ 4 r ˆ 4 r ˆ ˆ па је за одређивање резултујућег вектора потребно само алгебарски да се саберу њихови интензитети: 4 r ˆ
3 V V 5 ˆ 5 ˆ m m Сличним поступком се добија и електрично поље у тачки В јер су и у њој компонентни вектори колинеарни Вектори који потичу од извора електростатичког поља су: ˆ ˆ 4 r 6 ˆ ˆ 4 4 а резултујуће поље у тачки В је: тј V r 64 r 4 ˆ Да би се одредио рад при пребацивању тачкастог наелектрисања положај потребно је познавати потенцијале у тим тачкама: 4 r 4 4 r 6 r 5V и 3 4 r 3 4 r r 5 V За извршени рад се добија: 75pJ q q p из положаја у 5 Tачкаста наелектрисања n и 9n налазе се у вакууму на растојању d m (слика 5) а) Одредити координате тачке у којој је јачина електричног поља једнака нули б) Одредити електрични потенцијал у тачкама и D dd в) Израчунати рад који се изврши при пребацивању тачкастог наелектрисања q p из тачке у тачку D
Слика 5 а) Тачка у којој је јачина електростатичког поља једнака нули једино може да се налази у области d; y Она не може да се нађе у области лево од наелектрисања нити десно од јер би у тим областима вектори електростатичког поља који потичу од тачкастих извора имали исту отијентацију и не постоји могућност да се пониште Слика 5 Интензитети вектора електричног поља које потичу од наелектрисања и су: и ( d ) Вектори и су колинеарни истог правца и интензитета а супротног смера па је њихов збир нула вектор Из услова да је добија се квадратна једначина: d d чија су решења d и d 4 Иако квадратна једначина даје два решења само једно од њих има физичи смисао d Како је d за координату тачке усваја се решење 5 m 4
y координата тачке је нула Ако би се тачка налазила ван апсцисне оси неби постајала могућност да се пониште y компоненте збирних вектора Тачка у којој је јачина електричног поља једнака нули има координате (5m ) До истог решења се долази и без решавања квадратне једначине ако се коренује лева и десна страна једначине: ( d ) и води рачуна да је: ; ( d ) d d јер је и d б) За потенцијале у тачкама и D се добија: 44 V ; d D 8736 V d d в) Извршени рад је: q( D ) 5664 pj 6 Три тачкаста наелектрисања 4n 7n и 3 8 n налазе се у теменима једнакостраничног троугла странице cm у вакууму Одредити вектор јачине електричног поља у тачки А на половини дужи која спаја наелектрисања и (слика 6) Слика 6 Слика 6
Интензитети вектора поља у тачки А од појединих наелектрисања су: 4 па је 4 yˆ ˆ 3 4 4 ˆ V 8 ˆ 96 yˆ m V 445 m 3 3 3 4 4 3 3 yˆ 7 Тачкаста наелектрисања и налазе се у теменима једнакостраничног троугла странице као на слици 7 а) Одредити вектор јачине електричног поља у темену б) Одредити рад који изврше силе поља при пребацивању тачкастог наелектрисања Δq p из тачке у бесконачност Познато је: p m Слика 7 а) Најпре рачунамо интензитетe свих вектора поља у тачки Слика 7
Затим сваки вектор разлажемо на и y компоненту: y y cos 3 3 sin 3 cos 3 3 sin 3 Резултујуће поље одређујемо тако што сабирамо посебно компоненте и посебно y компоненте Све компоненте чији се смер поклапа са позитивним смером или y осе узимају се са позитивним знаком у противном узимају се са негативним знаком 3 ˆ yˆ yˆ V 9 3 yˆ m y y Електростатичко поље у тачки има само y компоненту јер се компоненте вектора вектора поништавају и б) Да би одредили рад који изврше силе поља при пребацивању тачкастог наелектрисања Δ q из тачке у бесконачност потребно је да израчунамо потенцијал тачке Ако се референтна тачка налази у бесконачности ( ) тада је: 8 V па се добија pj q 8 8 Tачкаста наелектрисања и D распоређена су у вакууму као што је приказано на слици 8 а) Одредити резултујућу силу на наелектрисање D б) Одредити електрични потенцијал у тачки O Бројни подаци: n 4n n D n
Слика 8 а) Силу на наелектрисање D могуће је одредити тако што се најпре одреди вектор јачине електростатичког поља у тачки D D Он се добија као векторски збир вектора који стварају сва остала наелектрисања осим наелектрисања D Сила која делује на D се израчунава множењем тог наелектрисања и резултујућег вектора поља: F D D D Слика 8 Електрично поље се одређује на исти начин као што је и у претходним приметима урађено: Е Е Е 4 Е Е Е y Е Е cos45 Е Е D D y Е Е y Е y Е y Е y Е Е sin 45 V D y m D ˆ yˆ D D y V D 94 ˆ m y 94 V m За електростатичку силу на наелектрисање D се добија: F D 94 ˆ nn
б) Електрични потенцијал у координатном почетку је: D 8 V 9 Два позитивна наелектрисања ( ) и једно негативно наелектрисање ( ) распоређена су у теменима квадрата као на слици 9 Одредити: а) Однос ако је познато да је електрично поље у тачки једнако нули б) Рад при пребацивању наелектрисања q μ из бесконачности у тачку (средиште квадрата) ако је μ и m Напомена: Референтна тачка се налази у бесконачности Слика 9 а) Да би неки вектор био нула-вектор потребно је да му све компоненте буду једнаке нули Ако се решава 3D проблем тада се три компоненте нула-вектора изједначавају са нулом и на тај начин се формирају три једначине Ако се решава D проблем добијају се две једначине а за случај система са једним степеном слободе само једна једначина У овом примеру три наелектрисања чине једну раван и у тој истој равни се налази тачка у којој је поље нула (слика 9) Слика 9 Може се закључити да се ради о дводимензионом простору (планарном проблему-у једној равни) и да се могу формирати две једначине Интензитети збирних вектора јачине електростатичког поља су: а пројекције вектора на апсцисну и ординатну осу Декартовог координатног система су:
y па је резултујући вектор електричног поља у тачки : ˆ yˆ Изједначавањем компоненти овог вектора са нулом ( ) могу се у општем случају добити две једначине У овом примеру се добија само једна једначина заправо једна двострука једначина јер је проблем симетричан у односу на раван y (тј праву y ако се систем посматра у равни z ): 353 4 4 б) Ако је μ тада је на основу претходног израза 4 μ Како је референтна тачка у бесконачности ( ) за потенцијал тачке у односу на ту тачку се добија: 876V Извршени рад је: q( ) 876mJ Напомена: На основу израза за извршени рад при пребацивању тачкастог наелектрисања q из тачке M у тачку N ( q( M N) q UMN ) и на основу познате чињенице да електрични напон између две тачке не зависи од избора референтне тачке добила би се иста вредност за рад и да је референтна тачка постављена у било којој тачки простора На крајевима хипотенузе правоуглог троугла налазе се наелектрисања и ) Систем се налази у вакууму а) Одредити вектор јачине електричног поља у трећем темену троугла (тачка ) б) За колико ће се променити потенцијал у тачки ако наелектрисања и своја места? Познато је: 5n 9 n 4cm b 3cm c 5cm А Аy (слика замене
Слика а) Електрично поље у тачки векторски је збир вектора средина линеарна (слика ) А и под условом да је Слика Интензитети збирних вектора су: А 4 V А 85 m 4 V 9 b m Вектор електричног поља у тачки је чији је интензитет ˆ yˆ 943 4 V m 943 V m и који са позитивним смером осе заклапа угао: rctn 77 б) У задатку није наглашено где се налази референтна тачка Електрични скалар потенцијал тачке у околини оптерећења која се налази на растојању r од њега у односу на референтну тачку која је удаљена од извора на r p је: K r r r p где је K адициона константа интеграције Потенцијал у тачки када су наелектрисања у првобитном положају је: K K K u b b
где је K u нека нова константа која је за овај случај K u K Потенцијал у тачки када наелектрисања замене места је: b K K b K u Потенцијал се промени за: 5 V Напомена: Израчунати промену потенцијала за случај да се референтна тачка налази на растојању од система ( ) које тежи бесконачности Четири тачкаста наелектрисања 3 и 4 налазе се у теменима квадрата странице а (слика ) Одредити електрично поље и потенцијал у тачкама А и као и рад при пребацивању наелектрисања из тачке А у тачку Познато је: p cm p Слика Слика Слика Електрично поље у тачки А (Слика ): 4 3 4 i i Електрично поље у тачки (Слика ):
3 4 4 l 5 l 4 4 cos 3 l l l 4 y 4 y sin 3 l l l ˆ V 6556 yˆ m 3 4 4 yˆ yˆ Потенцијали у тачкама А и : 3 4 V 3 4 l l V 4 Рад при пребацивању наелектрисања J 3 y 4 y из тачке А у тачку је Три тачкаста наелектрисања и налазе се у теменима квадрата странице у средини чија је релативна диелектрична константа ε r (слика ) Одредити: а) Непозната наелектрисања и ако су познати потенцијали у тачкама М (четврто теме квадрата) и N (центар квадрата) M и N ; б) Интензитетe вектора електричног поља у тачкама М и N M и N Познато је: cm ε r M V N 636V Напомена: Референтна тачка нултог потенцијала налази се у бесконачности l 3 Слика
) M M M M r r r M V N N N N r r r N 636V Из прве једначине се добија: а пошто је из друге једначине и претходних услова се добија: rn n n 8n n b) Електрично поље у тачки М (слика ): r r M y ˆ yˆ y V M m Електрично поље у тачки N (слика ): r Слика
Слика r r r y y y па је N N ˆ yˆ 4 r ˆ yˆ y V N 45ˆ yˆ m V N 45 m N 3 4 y y Задатак је било могуће решити једноставније Наиме вектори и су истог правца и интензитета а супротног смера па се њихови доприноси стварању електричног поља у тачки N поништавају Једини збирни вектор који учествује у формирању резултујућег електричног поља је вектор А Зато је: N