SDOFs Der lineare Einmassenschwinger Bewegungsgleichung m x + c x + k x = f () = p()...krafanregung m x g ()...Weganregung x + ζω x + ω x = f () m, ω = k m, ζ = c mk... Lehr'sches Dämpfungsmaß AB : x( = ) = x, x( = ) = x v Gesamlösung: x() = x h () + x p () Freie Schwingung x h ()... Lösung der homogenen Schwingungsgleichung x h + ζω x h + ω x h = Ansaz: x h () = Ce α charakerisische Gleichung α + ζω α + ω =, Lösung: α, = ζ ± ζ ω Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs Ungedämpfe Schwingung ζ = : α,α konjugier komplex α, = ± iω, i = ; (Eulersche Formel: e ±iα = cosα ± isinα ) x h () = Ae α + B e α = Ae iω + Be iω = ( A + B)cosω + i( A B)sinω x h () muss reell sein ( A + B) muss reell und ( A B) muss imaginär sein; A, B müssen konjugier komplex sein: A = A ib, B = A + ib x h () = Acosω + Bsinω x h () = ω ( Asinω + Bcosω ) ω rad s... Eigenkreisfrequenz f = ω π Hz... lineare Eigenfrequenz, T = f s... Schwingungsdauer, Periode Umformung: A = acosε, B = asinε x h () = a cosε cosω + sinε sinω a = A + B = x + x / ω, cosε = A a == x / a ( ) = acos( ω ε) Die Inegraionskonsanen A und B bzw. a und ε folgen im Allgemeinen aus den Anfangsbedingungen der Gesamlösung x( = ) = x, x( = ) = x. Ineressier speziell nur die freie Schwingung (d.h. x p ), folgen die Inegraionskonsanen alleine aus den Anfangsbedingungen x h ( = ) = x, x h ( = ) = x : x = Acosω + Bsinω A = x x = ω ( Asinω + Bcosω ) B = x / ω Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 3 Viskos gedämpfe Schwingung ζ < : α, = ζ ± i ζ ω α,... konjugier komplex x h () = Ae α + B e α = e ζ ω Ae iω D + Be iω D ( ) = e ζ ω Acosω D + Bsinω D ( ) ω D ω ' = ζ rad ω s... Eigenkreisfrequenz, ω D ω für kleine Dämpfung ( ζ << ) f = ω D π Hz... lineare Eigenfrequenz, T = f s... Schwingungsdauer, Periode x h () = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) = a e ζ ω cos ω D ε ( ), a = A + B, cosε = A a x h () = ζ ω x h () + e ζ ω ( Asinω D + Bcosω D )ω D Ineressier auch hier wieder nur die freie Schwingung (d.h. x p ), folgen die Inegraionskonsanen aus den Anfangsbedingungen x h ( = ) = x, x h ( = ) = x : x = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) A = x x = ζ ω x + e ζ ω ( Asinω D + Bcosω D )ω D B = ( x ω +ζ ω x ) D Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 4 Zeilich harmonisch erzwungene Schwingungen Krafanregung: f () = p cosν In diesem (inhomogenen) Fall muss der homogenen Lösung x h () eine Parikulärlösung x p () überlager werden, welche die folgende Differenialgleichung erfüll: x p + ζω x p + ω x p = m p cosν ν Erregerkreisfrequenz Lösungsansaz: x p () = C cosν + Dsinν ( ) D ( ω ν ) C + ζω νd cosν + ζω νc + ω ν sinν = m p cosν Koeffizienenvergleich lineares (inhomogenes) Gleichungssysem für C und D : ( ω ν )C + ζω νd = m p ( ω ν ) p C = ζω νc + ( ω ν ) D = Δ m, D = ζω ν p Δ m Δ = ( ω ν ) + ( ζω ν)... Koeffizienendeerminane x p () = C cosν + Dsinν = Δ p ( m ω ν )cosν + ( ζω ν)sinν Umformung: x p () = C cosν + Dsinν = a p cos ν ϕ a p F = C + D = Δ ( ) p m, cosϕ = C a p = ( ω ν ) Δ Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 5 Gesamlösung: x() = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) + Δ p ( m ω ν )cosν + ( ζω ν)sinν = ae ζ ω cos( ω D ε) + a p cos( ν ϕ) Die Inegraionskonsanen A und B bzw. a und ε müssen aus den Anfangsbedingungen x( = ) = x, x( = ) = x berechne werden: Ergebnis: A = x Δ B = x ω D + p ( ν ) = x a p cosϕ m ω ζ x ζ p Δ m ω ( +ν ) = ω D ( ) x + x ζω a p ζω cosϕ ν sinϕ bzw. a = A + B, cosε = A a Resonanz für Null-AB: ν = ω : C =, D = p ζ m ω = p ζ c, A =, B = p ζ ζ c x() = e ζ ω p ζ ζ c sinω D + p ζ c sinω = p sinω ζ c e ζ ω sinω ζ D ζ << : x() = p ζ c sinω e ζ ω Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 6 Ungedämpfe Schwingung: ζ = : C = A = ( ω ν ) p m, D = B = ν ω : lim x() = p ν ω m lim ν ω ( cosν cosω ) ( ω ν ) = p m sin lim ν ω = p m ( ω +ν ) ( ω ν ) ( sin ω ν ) sinω = p ω sinω ω c Schwebung für ζ = und Null-AB: ξ() = p m ( cosν cosω ) p = ( ( ω ν ) m ( ω ν ) sin ω ν ) A() sin ω +ν ( ) Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 7 Dynamische Vergrößerungsfunkion (Ampliudenfrequenzgang): χ p V p = a p a = (ν / ω ) + ζ(ν / ω ), a = a p (ν = ) = ω p m = p k Resonanz: (ν / ω ) = ζ : max χ p = ζ ζ ζ Phasenfrequenzgang: anϕ = D C = ζ (ν / ω ) ϕ = arcan ζ (ν / ω ) (ν / ω ) (ν / ω ) Für alle ζ -Were gil: ϕ ( ν / ω = ) = π / Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 8 Weganregung: f () = m d ( d a cosν ) = mν a cosν x p + ζω x p + ω x p = ν a cosν x p () = a a cos( ν ϕ), a a = Δ ν a, cosϕ = x g ( ω ν ) Δ Dynamische Vergrößerungsfunkion (Ampliudenfrequenzgang): χ a V a = a a a = (ω / ν) + ζ(ω / ν) ν = χ p ω Resonanz: (ν / ω ) = / ζ : max χ a = ζ ζ ζ Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 9 Phasenebene Übergang von der Differenialgleichung. Ordnung auf ein Sysem von Differenialgleichungen. Ordnung. Umbenennung: x = ξ, x = ξ = ξ ξ = ξ ξ = x = ζω x ω x + f () m = ζω ξ ω ξ + f () m Marixschreibweise: ξ ξ = ω ζω ξ ξ + f () m, ξ = A ξ + b ξ = dξ ξ = ω ξ dξ ζ + ω ξ + F() m ξ Die Phasenkurve schneide die ξ -Achse immer uner 9, da gil: dξ dξ ξ = =. Isoklinenfeld der freien Schwingung: dξ h dξ h = ω ξ ζ + ω h ξ h = cons. Harmonisch erzwungene Schwingung (Krafanregung): x p = ξ p = a p cos( ν ϕ), x p = ξ p = νa p sin( ν ϕ) ξ p + ξ p ν = a p (Ellipsengleichung) Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs Komplexe Form der saionären Schwingung: Komplexe Erweierung: x p = x p + i x p = Re{ x p } + i Im{ x p } x p + ζω x p + ω x p = m f cosν x p + ζω x p + ω x p = m f sinν x p + ζω x p + ω x p = m f e iν Lösungsansaz in komplexer Form: x p () = X (iν)e iν ( ω ν + iζω ν) X (iν)e iν = m f e iν X (iν) = X R + i X I = f m ω ν + iζω ν ( ) = f k (ν / ω ) + i ζ(ν / ω ) X (iν) = H(iν) f H(iν)... komplexer Frequenzgang, Überragungsfunkion f = S(iν)X (iν) S(iν) = H(iν)... dynamische Seifigkei H(iν) = = k (ν / ω ) + i ζ(ν / ω ) ( k ν m + iνc) Aufspalung in Real- und Imaginäreil: H(iν) = H R + i H I = (ν / ω ) k i (ν / ω ) + ζ(ν / ω ) k (ν / ω ) ζ(ν / ω ) + ζ(ν / ω ) Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs Übergang auf Polarform: H(iν) = H R + i H I = H R i( H I ) = r e iϕ, r = H(iν) = H R + H I, anϕ = H I H R H(iν) = k (ν / ω ) + ζ(ν / ω ) e iϕ = k χ p e iϕ, anϕ = ζ(ν / ω ) (ν / ω ) Parikulärlösung: x p () = X (iν)e iν = H(iν) f e iν = k χ p e iϕ f e iν = f k χ p e i(ν ϕ ) Reine Cosinus-Anregung: f () = f cosν x (cos) p () = Re{ X (iν)e iν } = f H(iν) cos( ν ϕ) = f k χ p cos( ν ϕ) Reine Sinus-Anregung: f () = f sinν x (sin) p () = Im{ X (iν)e iν } = f H(iν) sin( ν ϕ) = f k χ p sin( ν ϕ) Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 3 Allgemein periodische Anregung f () = f ( + nt p ) f () f () T p T p Fourierreihe: f () = a + a n cosν n + b n sinν n ν n = nν = n π n= n= T p a n = T p T p / T p / f ()( cosν n )d, n =,,,... b n = T p T p / T p / f ()( sinν n )d, n =,,... Übergang auf komplexe Schreibweise: cosν n = eiν n + e iν n ( ), sinν n = i eiν n + e iν n ( ) f () = c n e iν n, c n = n= T p / T p T p / f () e iν n d Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 4 Allgemein nichperiodische Anregung Impulsanwor und Duhamel sches Falungsinegral: Dirac-Impuls zum Zeipunk = : dj = f ()d = δ ()d (es gil: δ() d = ) Schwingungsanwor (= Impulsanwor) für : x() = h() f () h() () h + ζω h + ω h = δ() m lim ε ε ε h + ζω ( h + ω h) d = lim ε m ε ε δ() d h(+) ε h( ) + ζω h(+) h( ) + lim ω h() d = ε ε m Kraf Zei Dimensionsangaben (werden im folg. weggelassen) h() erfüll somi das folgende Anfangswerproblem: h + ζω h + ω h = AB : h() =, h() = m Lösung für ζ < : h() = mω D e ζω sinω D Vergleiche S. 3: A h() =, B h() +ζ ω h() ω = D mω D Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 5 Dirac-Impuls zum Zeipunk = τ : dj = f (τ )dτ = δ ( τ )dτ < τ bzw. ( τ ) < : x() = τ bzw. ( τ ) : x() = h( τ ) = mω D e ζω ( τ ) sinω D ( τ ) f () h( ) f () ( ) ' = ( ) d f ( ) Allgemeine Anregungsfunkion für : f () Allgemeiner (differenieller) Recheckimpuls zum Zeipunk = τ : dj = f (τ )dτ dx P () = h( τ ) f (τ ) dτ : x P () = h() f () = h( τ ) f (τ ) dτ Duhamel sches Falungsinegral Gesamlösung: x() = e ζω x cosω D + x + x ζ ω sinω ω D D + mω D f (τ )e ζω ( τ ) sinω D ( τ )dτ Baudynamik (VO), SS 3
SDOFs 6 Fourierransformaion: Voraussezung: f () d < f () = lim T p n= c n e iν n = lim T p n= T p / T p T p / f () e iν n d e iν n lim T p f () = = ν T p π = Δν = dν π π, ν n ν,...... n= f () π e iν de iν dν F(iν) F(iν) = F { f ()} = f () e iν d f () = F - F(iν) { } = π F(iν)e iν dν Zeiliche Differeniaion: d k d k f () e iν d = (iν ) k F(iν) Lösung im Frequenzbereich: X (iν) = H(iν)F(iν) Zusammenhang zwischen Überragungsfunkion und Impulsanwor: Anregung f () = δ() Schwingungsanwor x() = h() Fourierransformaion: F h() { } = H(iν) F { δ() } = H(iν) H(iν) = F { h() } = h() e iν d h() = F - H(iν) { } = π H(iν)e iν dν Baudynamik (VO), SS 3