A A A A B A A A B B B A B B B B A A A B A A B B A A B B A B B B A A B A A B A B A B A B B A B B A B A A A B B A B A A B B B A B

ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Τρίγωνο Pascal -Αριθµοί Fiboacci ιοφαντικές εξισώσεις - ιαµερίσεις Προβλήµατα ταξινόµησης Γεννήτριες συναρτήσεις Τρίγωνο Pascal -- ιαίρεση στοιχήµατος Πως να µοιραστεί στοίχηµα σε παιχνίδι που διακόπηκε όταν ο παίκτης Α θέλει m παρτίδες να κερδίσει και ο Β θέλει παρτίδες Για παράδειγµα σε παιχνίδι τάβλι που τελειώνει σε 7 παρτίδες, και έχουν στοιχηµατίσει α δρχ., αναγκάζονται να σταµατήσουν όταν το σκορ είναι 4-5 (ο Α θέλει m=3 παρτίδες και ο Β θέλει = παρτίδες ). A A A A B A A A B B B A B B B B A A A B A A B B A A B B A B B B A A B A A B A B A B A B B A B B A B A A A B B A B A A B B B A B 4 6 4 Ανάλογα 5:, δηλ. ο Α τα 5α/6, ο Β τα α/6 Γενικά P(A) : P(B) + m + m : k k + m k= 0 k= Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης

Ιδιότητες Οριζόντια: Συντελεστές ιωνύµου Νεύτωνα, π.χ. (α+β) 4 :, 4, 6, 4, η ιαγώνιος: Φυσικοί αριθµοί:,, 3, 4, 5,. η ιαγώνιος: Τρίγωνοι αριθµοί:, 3, 6, 0,... 3η ιαγώνιος: Τετραεδρικοί αριθµοί:, 4, 0, 0, 35,... Ηµιδιαγώνιος: Αριθµοί Fiboacci:,,, 3, 5, 8, 3,... Τρίγωνοι Τριγωνική ιδιότητα Pascal + = + k + k k + 3 5 4 3 6 3 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6............... Τετράεδροι πυραµιδοειδείς Αριθµοί Fiboacci -3- -4- Ας υποθέσουµε ότι σε ένα πληθυσµό κουνελιών κάθε ενήλικο ζευγάρι γεννά κάθε µήνα από ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα νεογέννητα ενηλικιώνονται το δεύτερο µήνα οπότε και γεννούν το πρώτο ζευγάρι τους. Υποθέτουµε ακόµη ότι τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα υπάρχουν στην αρχή του -στού µήνα, όταν αρχικά είχαµε ένα ενήλικο ζευγάρι;. 3 + 4 + 5 3 + 6 5 + 3 7 8 + 5 8 3 + 8 3 5 8 3 Τον + µήνα υπάρχουν όσοι ήταν τον προηγού- µενο µήνα και όσοι γεννιούνται τότε. Αυτοί είναι ίσοι µε όσους υπήρχαν τον -στό µήνα που ενηλικιώθηκαν τώρα ή ήταν ενήλικα από πριν F 0 =, F =, F + = F + +F Παρατηρήστε ότι το 4 µπορεί να γραφεί µε 5 τρόπους ως άθροισµα µε προσθετέους ή, δηλ. 4=+++=++=++=++=+. είξτε ότι οφυσικόςαριθµός γράφεταιµε F τρόπουςωςάθροισµαµεπροσθετέους ή,όπου F οιαριθµοί Fiboacci. Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης

Τοποθετήσεις δύο συµβόλων υπό περιορισµούς + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + () Με πόσους τρόπους τοποθετούνται 5 (+) και (-) σε ευθεία; () Σε πόσους από αυτούς δεν υπάρχουν γειτονικά (-); () 5, 7! M 7 = = 5!! () + + + + + Άρα 6 6 5 ( ) = = 5 8 7 6 5 4 ( 0) + ( ) + ( ) + ( 3) + ( 4) = + 7+ 5+ 0+ = 34= F8 0 (-), (-) έως 4 (-) Θεώρηµα α) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε ευθεία, συµβόλων από τα {+, }, εκ των οποίων τα k, (k=0,,,, [(+)/]), είναι και τα υπόλοιπα -kείναι +, έτσι ώστε ούτε δύο από Q, k = k+ k τα να είναι διαδοχικά, ισούται µε: β)τοπλήθοςτωντοποθετήσεωνσεευθεία, συµβόλωναπότα {+, }, έτσι ώστεούτεδύοαπότα ναείναιδιαδοχικά, ισούταιµε F +,δηλαδήµετον αριθµό Fiboacci τάξης +. α) β) Αθροίζοντας για όλα τα k [( + ) / ] Q = Q = Q + Q, k k= 0-5- -6- ( )...=F + Β τρόπος (για το β). Οι Q τοποθετήσεις των συµβόλων +, χωρίς ούτε δύο διαδοχικά διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: () αυτές που τελειώνουν σε +, () αυτές που τελειώνουν σε. (τότε τελειώνουν σε + ) Q - + Q - Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 3

Πόρισµα. α)τοπλήθοςτωντοποθετήσεωνσεευθεία, kαριθµώναπότους πρώτους φυσικούς αριθµούς, (k=0,,, [(+)/]), έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι διαδοχικοί αριθµοί, ισούται µε Q = k+ ( k ), k β) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε ευθεία οσονδήποτε από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι διαδοχικοί αριθµοί,ισούταιµε F +. Απόδειξη µε αναγωγή στο Θ.. Άλλη διατύπωση: «Το πλήθος των συνδυασµών k αριθµών από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, ώστε να µην υπάρχουν διαδοχικοί αριθµοί στον ίδιο συνδυασµό, είναι...» Πόρισµα. -7- -8- α) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε κύκλο, k αριθµών απότους πρώτουςφυσικούςαριθµούς, (k=0,,,, [/]), έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι k διαδοχικοί αριθµοί, ( και θεωρούνται διαδοχικά), k ισούται µε k β) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε κύκλο οσονδήποτε από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι διαδοχικοί αριθµοί, όπου το και θεωρούνται διαδοχικά, ισούται µε F +F. Χωρίς απόδειξη Άλλη διατύπωση είναι: «Το πλήθος των συνδυασµών k αριθµών από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, ώστε να µην υπάρχουν διαδοχικοί αριθµοί στον ίδιο συνδυασµό, όταν και θεωρούνται διαδοχικοί, είναι...» Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 4

Αριθµοί Loucas g =F +F -, g = g - +g, µε g =F +F 0 =3και g 3 =F 3 +F =4 Ασκήσεις Αν g = g +g 0 και g 3 = g +g τότε: g = g - +g,, g 0 =, g = g, 0, λέγονται αρ. Loucas ( ) Με πόσους τρόπους 0 άντρες και 6 γυναίκες 6 6+ µπαίνουν σε ουρά αναµονής ώστε να µην έχουµε 6 = 46 γυναίκες σε γειτονικές θέσεις; Υπάρχουν καθίσµατα τοποθετηµένα σε µία σειρά. Βρέστε το πλήθος των τρόπων να διαλέξουµε οσαδήποτε από τα καθίσµατα (έστω και κανένα) µε τρόπο ώστε να µην έχουµε διαλέξει διαδοχικά καθίσµατα. Υπάρχουν καθίσµατα τοποθετηµένα σε κυκλικό τραπέζι. Βρέστε το πλήθος των τρόπων να διαλέξουµε οσαδήποτε από τα καθίσµατα (έστω και κανένα) µε τρόπο ώστε να µην έχουµε διαλέξει διαδοχικά καθίσµατα (εδώ το και το είναι διαδοχικά). Ρυθµός αύξησης της F -9- -0- A G k = F k Fk Γ ΑΒ=α οπότε βρίσκουµε: B Ο α/ Ε Coxeter (96) ΑΓ =ΑΒ ΓΒ ( ) ΓΒ ΑΓ= 5+ =.69ΓΒ και ΑΒ=.69ΑΓ Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 5

Ηλιοτρόπιον Φωτογραφία ηλιοτρόπιου που οι σπείρες του είναι 55 προς τη µία πλευρά και 89 προς την άλλη παρατηρούµε ότι F 9 =55, F 0 =89 Προσοµοίωση ηλιοτρόπιου από υπολογιστή. Μετρήστε τις σπείρες του προς τις δύο κατευθύνσεις. Τι παρατηρείτε; Άλλες εφαρµογές των αριθµών F -- -- Να αποδειχθεί ότι το πλήθος διαφορετικών τροχιών µε ανακλάσεις ακτίνων σε δύο πλήρως εφαπτόµενα τζάµια είναι F + Η µέλισσα µπαίνει στην κερήθρα από αριστερά και µπορεί να κινηθεί µόνο δεξιά. είξτε ότι µπορεί να φθάσει στο κελί µε F + διαφορετικούς τρόπους. Παιχνίδι Fiboacci-Nim.Υπάρχουν µάρκες και δύο παίκτες Α και Β που παίζουν εναλλάξ. Ο Α στην πρώτη κίνηση παίρνει όσες µάρκες θέλει από έως και -. Στις επόµενες κινήσεις οι παίκτες πρέπει να παίρνουν τουλάχιστον µάρκα αλλά όχι περισσότερες από διπλάσιες απ όσες πήρε ο αντίπαλος την τελευταία φορά.αυτός που παίρνει την τελευταία µάρκα κερδίζει. Αποδεικνύεται, ότι αν το είναι αριθµός Fiboacci, ο Β κερδίζει στα σίγουρα µε κατάλληλη στρατηγική. Αν δεν είναι, τότε κερδίζει ο Aµε ανάλογη στρατηγική Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 6

ιοφαντικές εξισώσεις και ιαµερίσεις Θεώρηµα.. Το πλήθος των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης: x + x + x +... + x = r, µε x > α, x > α,..., x > α 3 r α α... α δίνονται από τον τύπο: Για την απόδειξη παρατηρείστε ότι η αντικατάσταση των x i µε y i -α i µετασχηµατίζει ως προς y i τη δοθείσα εξίσωση και οι ζητούµενες λύσεις είναι οι µη-αρνητικές λύσεις της νέας Να βρεθούν οι θετικές λύσεις της εξίσωσης: Αρκεί να πάρουµε όλα τα α k =0 x + x+ x3 +... + x = r, άρα πλήθος θετικών λύσεων r Παράδειγµα. -3- -4- Βρέστε το πλήθος των ακεραίων θετικών λύσεων της x+y+z+w=0, όταν: (α) x>6, (β) x>6 και y>6, (γ) x>6, y>6 και z>6, (δ) x 6, y 7, 3 z 9, 4 w. Στο (α) είναι r=0 0 6 0 0 0 3 = = 86 =4, α =6, α = α 3 = α 4 =0 4 3 (β) 0 6 6 0 0 7 = = 35 4 3 (δ) Βρίσκουµε πρώτα λύσεις µε x>0, y>0, z>, w>3 (γ) Θέτουµε: α την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει x > 6, α την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει y > 7, α 3 την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει z > 9, και α 4 την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει w >. 0 6 6 6 0 = = 0 4 3 0 0 0 3 4 = = 364 4 3 Με ΑΣΕ, βρίσκουµε: 364-(56+35+35+0) +0-0+0=8 λύσεις Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 7

Γενίκευση Θ..3. Το πλήθος των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης: x + x +... + x = r µε xi α, i=,,..., ισούται µε: r r α r α r 3α ( ) ( )( ) ( )( ) ( 3)( ) + +.. Ποια η πιθανότητα ρίχνοντας 4 ζάρια να φέρουµε άθροισµα 8; Σύµφωνα µε το κλασικό ορισµό, η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι p=n(a)/n, όπου Ν=6 4 οι δυνατές περιπτώσεις, ενώ Ν(Α) το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x +x +x 3 +x 4 =8, µε x k 6. Άρα 7 4 7 6 4 7 4 7 8 ( 3) ( )( 3 ) ( )( 3 ) ( 3)( 3 ) 7 4 4 5 ( 3) ( )( 3) ( )( 3) N( A) = + = Άρα p=80/96=0.06 = + 0= 680 4 65+ 6 0= 80 ιαµερίσεις ακεραίου -5- -6- Έστω ο ακέραιος αριθµός 6. Οι διάφορες διαµερίσεις του 6 είναι: +++++ 4++ 5+ ++++ 3++ 4+ 3+++ ++ 3+3 +++ 6 Συµβολίζουµε p(6)=. (Σηµειώστε ότι δεν µας ενδιαφέρει η σειρά των προσθετέων). Ποιο είναι το p() για τυχαίο ; Παρατηρούµε ότι υπάρχουν: διαµέριση µε 6 προσθετέους διαµέριση µε 5 προσθετέους διαµερίσεις µε 4 προσθετέους 3 διαµερίσεις µε 3 προσθετέους 3 διαµερίσεις µε προσθετέους διαµέριση µε προσθετέους Παρατηρούµε ότι υπάρχουν: διαµ. µε το 6 ως µεγαλ. προσθετέο διαµ. µε το 5 ως µεγαλ. προσθετέο διαµ. µε το 4 ως µεγαλ. προσθετέο 3 διαµ. µε το 3 ως µεγαλ. προσθετέο 3 διαµ. µε το ως µεγαλ. προσθετέο διαµ. µε το ως µεγαλ. προσθετέο Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 8

ιαγράµµατα Ferer 6=3++ 9=4+++ fl 9=4+3++ Το 4 είναι ο µεγαλύτερος από τους προσθετέους 4 προσθετέοι Θέτουµε q k () = #(διαµερ. του µε k ή λιγότερους προσθετέους) p k () = #(διαµερ. του µε προσθετέους όχι µεγαλύτερους του k) Είναι q (6)=, q (6)=4, q 3 (6)=7, q 4 (6)=9, q 5 (6)=0, q 6 (6)==p(6) p (6)=, p (6)=4, p 3 (6)=7, p 4 (6)=9, p 5 (6)=0, p 6 (6)==p(6) Είναι φανερό: p ()=q ()=, για όλα τα. p ()=q ()=p(), για όλα τα. Θεώρηµα.4-7- -8- Για =6, k=3 6=3++ 6=3++ Ισχύει: q k ()=p k () για όλα τα k, και 6=4++ 6=3+++ 6=++ 6=3+3 q 3 ()-q () ακριβώς 3 προσθ. p 3 ()-p () Το 3 µέγιστος προσθ. Γενικά: q k ()-q k- ()=p k ()-p k- () για όλα τα k, και Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 9

Θεώρηµα.5 Ισχύει: p k ()= p k- ()+ p k (-k) για όλα τα k, και Έστω < k < (p ()=, p ()=p() για όλα τα ) Με διπλή απαρίθµηση Όλες οι p k () διαµερίσεις διαιρούνται σε δύο είδη, () χωρίς το k (άρα k- ο µεγαλ.), () µε το k ως προσθετέο (αφαιρούµε ένα k από το ) p k- () p k (-k) Να βρεθεί το πλήθος διαµερίσεων του µε ακριβώς δύο προσθετέους. Ζητείται r ()=q ()-q (). Είναι: q ()= p ()= p ()+ p (-)=+p (-) ( + )/, άρτιος Με επαγωγή /, ά p ( ) = r ( ) ( + )/, περιτ. = ρτιος ( )/, περιτ. Επαλήθευση: «µισά από τα:» =+(-)=+(-)= =(-)+ ιαµερίσεις ακεραίων και πολυώνυµα -9- -0- Πρότ... Το πλήθος λύσεων της διοφαντικής εξίσωσης: k +k +3k 3 +...+k =, µε k, k, k 3,..., k =0 ή ισούται µε το πλήθος των διαµερίσεων του µε διακεκριµένους προσθετέους, και υπολογίζεται ως ο συντελεστής της δύναµης x στο πολυώνυµο: (+x) (+x ) (+x 3 )... (+x ) Πρότ... Το πλήθος λύσεων της διοφαντικής εξίσωσης: λ +λ +3λ 3 +...+λ =, µε 0 λ i [ / i] ισούται µε το πλήθος των διαµερίσεων του µε οποιουσδήποτε προσθετέους, και υπολογίζεται ως ο συντελεστής της δύναµης x στο πολυώνυµο: (+x+x +..+x ) (+x +x 4 + +x [/] ) (+x 3 +... +x3 [/3] )... (+x ) Πρότ..3. Γενίκευση για α, β, 3 γ, Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 0

Ασκήσεις Γράψτε το πολυώνυµο του οποίου το ανάπτυγµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση του πλήθους: (α) των διαµερίσεων του 38 µε προσθεταίους 6, 7,, 0 (β) των διαµερίσεων του 5 µε προσθεταίους µεγαλύτερους του. α) (+x 6 +x +x 8 +x 4 +x 30 +x 36 )(+x 7 +x 4 +x +x 8 +x 35 )(+x +x 4 +x 36 ) (+x 0 ) β) (+x 3 +x 6 +x 9 +x +x 5 ) (+x 4 +x 8 +x )(+x 5 +x 0 +x 5 ) (+x 6 +x ) (+x 7 +x 4 ) (+x 8 )(+x 9 ) (+x 0 )(+x ) (+x )(+x 3 ) (+x 4 )(+x 5 ) Με πόσους τρόπους µπορούµε να πληρώσουµε έναν λογαριασµό 73 cet του Ευρώ όταν έχουµε διαθέσιµα οσαδήποτε ψιλά χρειαζόµαστε από,, 5, 0, 0 και 50 cet; Θα πρέπει να ισχύει x+y+5z+0w+0s+50 t =73. Αρκεί να υπολογίσουµε το συντελεστή του x 73 στο πολυώνυµο (+x+x +x 3 +...+x 73 ) (+x +x 4 + +x 7 )(+x 5 +x 0 + +x 70 )(+x 0 +x 0 + +x 70 ) (+x 0 +x 40 +x 60 ) (+x 50 ) που είναι 494. Υπολογίστε το και µε πρόγραµµα Pascal ιαµερίσεις του επιπέδου -- -- ίνονται ευθείες στο επίπεδο οι οποίες δεν είναι παράλληλες ανά δύο, ούτε υπάρχουν οποιεσδήποτε τρεις απ αυτές που να περνούν από το ίδιο σηµείο. Αν f() συµβολίζει το πλήθος των περιοχών στις οποίες χωρίζεται το επίπεδο, να βρεθεί το f(). Είναι: f()=, f()=4, f(3)=7. Η προσθήκη της -στής γραµµής που τέµνει τις - γραµµές αυξάνει τα χωρία κατά. Άρα ισχύει: f()=f(-)+ Με τηλεσκοπική άθροιση βρίσκουµε Γενίκευση για το χώρο, που χωρίζεται από επίπεδα τεµνόµενα ανά 3 άλλά όχι ανά 4 σε F() χωρία. + + + f ( ) = = + F()=F(-)+f(-) F( ) = + 5+ 6 6 Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης

Προβλήµατα ταξινόµησης όµοια σφαιρίδια σε k διακεκριµένα κελιά x x x.. k x +x + +x k = k διακεκριµένα κελιά Αν επιτρέπονται άδεια κελιά Αν δεν επιτρέπονται άδεια κελιά Είναι p=n A /N= 87/8008=0.6 διότι: + k k k 0 εκλέκτορες ψηφίζουν 7 υποψήφιους για µια θέση προέδρου. Ποια η πιθανότητα ο ος υποψήφιος να πάρει ψήφους; 0+ 7 6 8+ 6 3 N = = N A = = 7 6 6 5 7 υποψ.=κελιά, 0 ψήφοι (όµοιες) =σφαιρίδ. διακεκριµένα σφαιρίδια - k διακεκριµένα κελιά -3- -4- k.. k διακεκριµένα κελιά υνατές περιπτώσεις: N=k διότι κάθε σφαιρίδιο έχει kδυνατότητες Έστω f(,k) = πλήθος τοποθετήσεων των διακεκριµένων σφαιριδίων στα k διακεκριµένα κελιά, µε τουλάχιστον ένα σφαιρίδιο σε κάθε κελί Με εφαρµογή Α.Σ.Ε. και µε ιδιότητες α i : το i κελί είναι άδειο, βρίσκουµε εύκολα: k k k f (, k) = k ( k ) + ( k )... + ( ) k k Ν(α k ) Ν(α k α λ ) Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης

Παράδειγµα Με πόσους τρόπους 4 σφαιρίδια µπορούν να τοποθετηθούν σε 3 κελιά ώστε (α) κανένα κελί άδειο, (β) ένα ακριβώς άδειο, (γ) δύο άδεια; (α) 4 3 4 3 4 f (4,3) = 3 + = 36 αβ, γ, δ αβ, δ, γ γ, αβ, δ δ, αβ, γ γ, δ, αβ δ, γ, αβ αγ, β, δ αγ, δ, β β, αγ, δ δ, αγ, β β, δ, αγ δ, β, αγ αδ, β, γ αδ, γ, β β, αδ, γ γ, αδ, β β, γ, αδ γ, β, αδ βγ, α, δ βγ, δ, α α, βγ, δ δ, βγ, α α, δ, βγ δ, α, βγ βδ, α, γ βδ, γ, α α, βδ, γ γ, βδ, α α, γ, βδ γ, α, βδ γδ, α, β γδ, β, α α, γδ, β β, γδ, α α, β, γδ β, α, γδ 3 4 4 3 4 (β) f (4, ) = 3 = 4 (γ) ( ) (4,) 3 3 f = = διακεκριµένα σφαιρίδια - k όµοια κελιά -5- -6- Έστω G(,k) = πλήθος τοποθετήσεων των διακεκριµένων σφαιριδίων στα k όµοια κελιά και g(,k) = πλήθος τοποθετήσεων των διακεκριµένων σφαιριδίων στα k όµοια κελιά, µε τουλάχιστον ένα σφαιρίδιο σε κάθε κελί Τα άδεια κελιά θα είναι ή 0, ή, ή κλπ ή k-. Άρα: G(,k)=g(,k)+g(,k-)+ +g(,)+g(,) όπου: f (, r) r r r r g(, r) = = r ( r ) + ( r )... + ( ) r! r! r διότι αν τα κελιά ήταν διακεκριµένα, θα µπορούσαν να τοποθετηθούν µε r! διαφορετικούς τρόπους. Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 3

Παράδειγµα Με πόσους τρόπους 4 σφαιρίδια µπορούν να τοποθετηθούν σε 3 όµοια κελιά; Να καταγραφούν οι περιπτώσεις συµβολίζοντας τα σφαιρίδια µε α,β,γ,δ. f (4,3) f (4, ) f (4,) 36 4 G(4,3) = g(4,3) + g(4,) + g(4,) = + + = + + = 4 3!!! 6 αβγδ,, αβγ, δ, αβδ, γ, αγδ, β, βγδ, α, αβ, γ, δ αγ, β, δ αδ, β, γ βγ, α, δ βδ, α, γ γδ, α, β αβ, γδ, αγ, βδ, αδ, βγ, Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να παραγοντοποιήσουµε τον αριθµό 30030 χρησιµοποιώντας τρεις ακέραιους παράγοντες, όταν: α. το επιτρέπεται ως παράγοντας. β. το δεν επιτρέπεται ως παράγοντας. (Η σειρά των παραγόντων δεν µετράει, δηλ. 30 77 3/3 77 30) Παρατηρείστε ότι ο 30030 έχει 6 διαφορετικούς πρώτους παράγοντες, τους οποίους πρέπει να τους τοποθετήσουµε σε τρία όµοια κελιά (παράγοντες). Στο (α) επιτρέπονται και άδεια κελιά, ενώ στο (β) όχι. (α), (β) 90 ιαµερίσεις συνόλων - Αριθµοί Bell -7- -8- Οι αριθµοί Β που δίνουν το πλήθος των διαµερίσεων ενός συνόλου στοιχείων, λέγονται αριθµοί Bell. = : Β =. = : Β =, ( {{,}}, {{}, {}} ) =3 : Β 3 = 5, {{,,3}}, {{,},{3}}, {{,3},{}}, {{,3},{}}, {{},{},{3}} Έστω Β(,k) = πλήθος διαµερίσεων συνόλου στοιχείων σε k υποσύνολα τότε: Β(,k)=g(,k) (υποσύνολα = κελιά µε τουλάχιστον στ.) άρα Β =Β(,)+Β(,)+ +Β(,)= g(,)+g(,)+ +g(,) Παράδειγµα: Β 4 = g(4,)+g(4,)+g(4,3)+g(4,4)= 4 + 36 + 4 + = 5 4 6 Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 4

Αριθµοί Stirlig ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...( )... Ισχύει: ( + ) ( ) ( ) (0) () Si = Si Si, S0 = S = k = k k k + = S k+ S k + + S k (* ) α είδους (* ) Ισχύει: ( ) () ( ) () ( ) ( ) = + +... + ( + ) ( ) ( ) (0) () si si isi s0 s k s k s k s k = +, = = 4-5 (-50) β είδους Αριθµοί Stirlig β είδους και Bell -9- -30- k 3 4 5 6 7 8 3 3 4 7 6 5 5 5 0 6 3 90 65 5 7 63 30 350 40 8 7 966 70 050 66 8 Π.χ. r 6 = r () +3 r () +90 r (3) +65 r (4) +5 r (5) + r (6) 90=5+3 5 Β(6,) Αριθµοί Bell: B 5 =+5+5+0+=5 B 6 =+3+90+65+5+=03 Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 5

Γεννήτριες και Αναδροµικές σχέσεις Ορισµός: Έστω α k, k=0,,, πραγµατικoί ή µιγαδικοί αριθµοί. Η ως προς t συνάρτηση λέγεται k (που ορίζεται σε διάστηµα A( t) = αk t γεννήτρια όπου συγκλίνει η σειρά) k= 0 συνάρτηση ενώ, η k t λέγεται E( t) = αk εκθετική k! k= 0 γεννήτρια Παράδειγµα. Αν τα α k είναι οι πιθανότητες P(X=x k ) µιας διακριτής κατανοµής, τότε η Α(t) λέγεται πιθανογεννήτρια, ενώ, αν τα α k είναι οι ροπές της κατανοµής Χ, τότε η E(t) λέγεται ροπογεννήτρια. Αριθµοί Fiboacci (γεννήτρια) -3- -3- Για τους αριθµούς Fiboacci F ισχύει: Θέτουµε F( t) = F t = 0 Πολλαπλασιάζοντας την αναγωγική σχέση µε t και αθροίζοντας για όλα τα, έχουµε: τελικά: j F( t) = κ ( κt) λ ( λt) 5 j= 0 j= 0 F = F + F, F =, F = 0 τη γεννήτρια των F F t = t F t + t F t = = = ( ) F( t) t= t F( t) + t F( t) κ λ F ( t) = = = t t ( κ t)( λt) κ λ κ t λt όπου: + 5 5 κ =, λ = j + + κ λ F =, N κ λ Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 6

Αριθµοί Bell (γεννήτρια) Για τους αριθµούς Bell B ισχύει: B = B k, B0 = k k= Απόδειξη: Αν Χ={,,...,} και έστω µια διαµέριση του Χ. Υπάρχει µοναδικό τµήµα της διαµέρισης που περιέχει το ( Y) µαζί µε το σύνολο Y που περιέχει k- έστω στοιχεία από τα {,,...,-}. Το υπόλοιπο τµήµα της διαµέρισης αποτελεί διαµέριση του συνόλου των υπολοίπων -k στοιχείων του συνόλου {,,..., -}-Y και επιλέγεται µε B -k τρόπους. Το Y επιλέγεται µε τρόπους. k t Θέτουµε B( t) = B! = 0 Πολλαπλασιάζοντας την αναγωγική σχέση µε t - /(-)! και αθροίζοντας για όλα τα, βρίσκουµε: την εκθετική γεννήτρια των B db( t) t = e B( t) dt t t d t e e απ όπου B = e ή B = ( e )! dt = 0 t= 0 Αριθµοί Catala -33- -34- Έστω y= x x x ένα γινόµενο. Το πλήθος των τρόπων υπολογισµού του γινοµένου µε διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς δύο όρων κάθε φορά χωρίς αλλαγή της σειράς των αριθµών, συµβολίζεται C. Βρίσκουµε εύκολα: C = διότι το y= x x υπολογίζεται µε µονδικό τρόπο C 3 = διότι y= (x x ) x 3 ή y= x (x x 3 ) C 4 =5 διότι y= ((x x ) x 3 ) x 4 ή y= (x (x x 3 )) x 4 y= x ( x (x 3 x 4 )) ή y= x ((x x 3 ) x 4 ) ή y= ((x x ) (x 3 x 4 )) Οι αριθµοί C, =,, 3, λέγονται αριθµοί Catala Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 7

Αριθµοί Catala (γεννήτρια) y=x x...x y=(x )(x...x ) ή y=(x x )(x 3...x )ή...ή y=(x...x -)(x ) C C C C C - C - Με διπλή απαρίθµηση, έχουµε: C = C C + C C +... + C C, µε C = C( t) = C t τη γεννήτρια των C = 0 Θέτουµε Πολλαπλασιάζοντας την αναγωγική σχέση µε t κι αθροίζοντας για όλα τα, βρίσκουµε: Η άλλη ρίζα απορρίπτεται απ όπου αφού πρέπει C(0)=0 ( ) C C( t) C( t) + t = 0 C( t) = ( 4t) C = ή k k / k C( t) = ( ) t k π.χ. C 0 =486 k= Άσκηση -35- -36- Πόσο είναι το πλήθος ν ( 3) των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να χωρίσουµε σε τρίγωνα ένα κυρτό -γωνο µε µη-τεµνόµενες διαγωνίους + κορυφές v + Θέτοντας: ν + =µ ν = ν ν + ν ν +... + ν ν, + 3 µ = µ µ + µ µ +... + µ µ, µε µ = ν = Άρα µ =C εποµένως ν k κορυφές v k +-k κορυφές v +-k 4 = Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 8

Άσκηση Σε µία εκλογή εκλέκτορες ψηφίζουν δύο υποψήφιους Α και Β. Μετά την καταµέτρηση των ψήφων βρέθηκε ότι οι υποψήφιοι πήραν από ίσους ψήφους. είξτε ότι: (α). Το πλήθος των δυνατών τρόπων καταµέτρησης των ψήφων ώστε σε όλη τη διαδικασία να προηγείται ο Α ισούται µε C. (β). Το πλήθος των δυνατών τρόπων καταµέτρησης των ψήφων ώστε σε όλη τη διαδικασία ο A να έχει τουλάχιστον τόσους ψήφους όσους και ο Β ισούται µε C + Συµβολίζουµε x το πλήθος στο (α) και y το πλήθος στο (β) Πρέπει η α ψήφος να είναι του Α και η τελευταία του Β. 3 - - A A B B Τα Α είναι. από τα Β x = y Ισοδυναµία µε αριθµούς Catala -37- -38- y x k 3 k k+ - A Για πρώτη φορά ισοπαλία Τα Α είναι >. από τα Β Αρχικές τιµές k=,,- Τα Α είναι. από τα Β x =, x =, x3 = y =, y = y = y = x y + x y +... + x y + x y, 0 y = x+, x+ = x x+ x x +... + x x+ x x, 0 B y -k Άρα x = C, y = C +, Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 9

Καταγραφή των x 4, y 4 ABAAABBB ABAABABB ABAABBAB ABABAABB ABABABAB x 4 AAAABBBB AAABABBB AABAABBB AABABABB AAABBABB y 4 AABBAABB AABBABAB AAABBBAB AABABBAB AAAABBBB AAABABBB AABAABBB AABABABB AAABBABB Άσκηση -39- -40- Στο ταµείο ενός θεάτρου υπάρχει µια ουρά ατόµων. από αυτούς έχουν από ένα 5-ευρω, ενώ οι υπόλοιποι έχουν µόνο 0-ευρα. Τα εισιτήρια κάνουν 5 και 5 ευρώ και στην αρχή ο ταµίας δεν έχει καθόλου χρήµατα. Είναι φανερό ότι υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης των ατόµων αυτών στην ουρά. Σε πόσους από τους τρόπους αυτούς υπάρχουν πάντα 5-ευρα στο ταµείο του θεάτρου ώστε να µην υπάρξει πρόβληµα; α) Ποια η πιθανότητα να µην υπάρξει πρόβληµα στο ταµείο; β) Ποια η πιθανότητα να µηδενιστεί ακριβώς µία φορά το πλήθος των 5-ευρων στο ταµείο και µάλιστα στο (k)-στόάτοµο; γ) Ποια να µηδενιστεί ακριβώς µία φορά (εκτός του πρώτου και τελευταίου). Ας συµβολίσουµε µε Α αυτούς που έχουν 5-ευρα και µε Β αυτούς που δεν έχουν και ας τους καταγράψουµε σε µία σειρά. Για να συµβαίνει το ζητούµενο θα πρέπει, µετρώντας από την αρχή της λίστας προς το τέλος τα Α να είναι πάντα περισσότερα ή το πολύ ίσα µε τα Β. Άρα σύµφωνα µε το (β) της προηγούµενης άσκησης υπάρχουν C + τρόποι, για να µην υπάρξει πρόβληµα. Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: α) β) CkC k p= C+ / = / = + + γ) CkC k = C = k= Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 0