ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ"

Ευθύμιος Δημητρίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις βάσεις για μία γενική θεώρηση και συστηματική εξέταση των γεννητριών συναρτήσεων 5 Γεννήτριες συναρτήσεις Έστω },, μια ακολουθία πραγματικών αριθμών Η συνάρτηση καλείται γεννήτρια συνάρτηση ή απλά γεννήτρια της ακολουθίας },, Αν η ακολουθία },, είναι πεπερασμένη δηλαδή υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε και, για κάθε >, τότε η συνάρτηση είναι ένα πολυώνυμο βαθμού, δηλαδή, και ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή της μεταβλητής Αν R είναι η ακτίνα σύγκλισης της σειράς, η ύπαρξη της γεννήτριας προϋποθέτει την απόλυτη σύγκλιση της δυναμοσειράς σε μία περιοχή γύρω από το μηδέν ή για R Έστω, B οι γεννήτριες των ακολουθιών },, και },, αντίστοιχα Τότε οι, B είναι ίσες αν και μόνο αν για κάθε,,, Παράδειγμα 5 α Από τον τύπο του Νεύτωνα μπορούμε να γράψουμε: Η γεννήτρια των αριθμών ακολουθίας },,,,,,,, ή ισοδύναμα της πεπερασμένης με γενικό όρο,,, είναι η συνάρτηση Για κάθε R,, <, αριθμών,,, είναι η συνάρτηση δηλαδή η γεννήτρια της ακολουθίας πραγματικών 56

2 β Ισχύει, < Άρα, η συνάρτηση, <, είναι η γεννήτρια της ακολουθίας,,,, που εκφράζει τον αριθμό των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η γεννήτρια των ακόλουθων ακολουθιών αριθμών:,,,, α,,,!,β,,,! Λύση α Από τον ορισμό της γεννήτριας συνάρτησης! e! Η δυναμοσειρά συγκλίνει απόλυτα για όλες τις πραγματικές τιμές της μεταβλητής! β B!! Στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το μετασχηματισμό e Ερώτημα Πως μπορούμε να βρούμε την ακολουθία },, αν μας δίνεται η γεννήτριά της ; Αρκεί να γράψουμε την σε μορφή αθροίσματος δυνάμεων του O συντελεστής του όρου μας δείχνει ποιος είναι ο γενικός όρος της ακολουθίας },, Παράδειγμα 5 Να βρεθούν οι ακολουθίες των οποίων οι γεννήτριες δίνονται από τους τύπους: α, 5 β B 5 Λύση α 5 5 Η ζητούμενη ακολουθία είναι η 5,,,, δηλαδή η,5,5,5, 57

3 β Από το διωνυμικό ανάπτυγμα παίρνουμε: B οπότε για την αντίστοιχη ακολουθία,,,,,,,, },,, έχουμε: 5 Πράξεις μεταξύ γεννητριών Αν B οι γεννήτριες των ακολουθιών },, και },, αντίστοιχα, τότε B c, B d, όπου c,,, και d,,,, Η ακολουθία },, c καλείται άθροισμα των ακολουθιών },, και },, ενώ η },, d καλείται γινόμενο Cuchy ή συνέλιξη των ακολουθιών },, και },, Αν c R, τότε η c θα είναι η γεννήτρια της ακολουθίας c },, δηλαδή c c Η συνέλιξη ακολουθιών είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό συνδυαστικών αθροισμάτων Παράδειγμα 54 Έστω η γεννήτρια της ακολουθίας αριθμών } α Σε ποια ακολουθία αριθμών αντιστοιχεί η συνάρτηση ;,, 58

4 59 β Θεωρώντας την ακολουθία αριθμών R,,,, και χρησιμοποιώντας το α, δείξτε ότι: Λύση α Από τον τύπο της συνέλιξης για,,,,, έπεται ότι:, c όπου c β Για,,,,, βρίσκουμε: οπότε Αναπτύσσοντας το δεξιό μέλος με το διωνυμικό τύπο, βρίσκουμε: ή c c Αν η ακολουθία,, } είναι πεπερασμένη, δηλαδή υπάρχει φυσικός τέτοιος ώστε και, για κάθε, > τότε η αντίστοιχη γεννήτρια είναι ένα πολυώνυμο βαθμού και ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή της μεταβλητής Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη σε όλο το R Μπορούμε να γράψουμε: ' ' d d d d d

5 Άρα, η συνάρτηση ' είναι γεννήτρια της ακολουθίας,,,, η συνάρτηση, ' είναι γεννήτρια της ακολουθίας,,,, ενώ η συναρτηση B d είναι γεννήτρια της ακολουθίας,,,, Όλα τα παραπάνω αποτελέσματα γενικεύονται και για γεννήτριες μη πεπερασμένων ακολουθιών, αν κάθε φορά οι συνθήκες ομαλότητας που επιτρέπουν την εναλλαγή της παραγώγισης και της άθροισης ή της ολοκλήρωσης και της άθροισης πρέπει να εξασφαλίζεται ότι ικανοποιούνται Οι γεννήτριες συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στη Συνδυαστική έχουν συνήθως όλες αυτές τις επιθυμητές ιδιότητες Η ακόλουθη πρόταση σχετίζεται με παραγώγιση και ολοκλήρωση γεννητριών Πρόταση 5 Έστω η γεννήτρια της ακολουθίας } Τότε ισχύουν τα ακόλουθα:,, α Η γεννήτρια της ακολουθίας },, είναι η ' β Η γεννήτρια της ακολουθίας },, είναι η ' γ Η γεννήτρια της ακολουθίας,, είναι η B d Παράδειγμα 55 Να βρεθεί η γεννήτρια των ακολουθιών και } },,,, Λύση Η σταθερή ακολουθία,,, έχει γεννήτρια συνάρτηση:, < Για,, < Συνεπώς, η γεννήτρια B της ακολουθίας με γενικό όρο:,,,,, θα δίνεται από τον τύπο: B ' ' 6

6 Ομοίως η γεννήτρια C της ακολουθίας με γενικό όρο c,,,, θα δίνεται από τον τύπο: C B' ' Oι γεννήτριες συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κατασκευαστούν αναδρομικές σχέσεις για τις αντίστοιχες ακολουθίες αριθμών Παράδειγμα 56 Έστω ένας θετικός ακέραιος και },, η ακολουθία αριθμών που ορίζεται από τη γεννήτρια: φού διαπιστωθεί ότι ισχύει ' η σχέση: να δειχτεί ότι για τους αριθμούς ισχύει η αναδρομική σχέση: }, Λύση Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση παίρνουμε ' ' Αντικαθιστώντας στο δεξιό μέλος την βρίσκουμε: 6

7 6 } } } 4 Όμως, ' οπότε: : } : }, : } : : 4 Η ζητούμενη σχέση προκύπτει από την τρίτη ισότητα αν θέσουμε το

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται