Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Transcript

1 Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

2 00 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 00 ΘΕΜΑ ο Έστω ένας µιγαδικός αριθµός και ν ( ν) f = i, α Να δείξετε ότι f (3) + f (8) + f (3) + f (8) = 0 β Αν = ρ και Arg( ) γ Αν = και Arg( ) = θ, να δείξετε ότι * ν N Μονάδες 7 π π f ( 3) = ρ συν + θ + i ηµ + θ π =, να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία του µιγαδικού 3 επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών 0, και f(3) Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 00 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί α) Αν = i και = 3+ 4i x yi, x, y = + R, να αποδείξετε ότι x= και y= β) Αν µια ρίζα της εξίσωσης x + βx+ γ=0, όπου β,γ R, είναι η, να βρείτε τις τιµές των β και γ γ) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει = ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

3 003 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 003 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί α Να αποδείξετε ότι = α+βi, όπου α,β R και w= 3 i+ 4, όπου είναι ο συζυγής του Re(w)=3α β+4 και Ιm(w)=3β α β Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y=x γ Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο µέτρο Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 003 ΘΕΜΑ ο α Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των µιγαδικών αριθµών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = και Im( ) 0 Μονάδες β Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του 4 µιγαδικού αριθµού w= + κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 003 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί = x + yi, όπου x, y πραγµατικοί αριθµοί και Να αποδείξετε ότι : α x x y w= + x + y x + y ( ) ( ) i, ( + ) i i w= µε i i Σελίδα 3 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

4 β αν ο w είναι πραγµατικός αριθµός, τότε η εικόνα του ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ = και γ αν ο είναι πραγµατικός αριθµός, τότε η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ = ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 003 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f µε f ( ) + i =, όπου µιγαδικός αριθµός µε 0 α) Αν f ( ) = f ( ), να αποδείξετε ότι o είναι πραγµατικός αριθµός β) Αν f ( ) =, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο γ) Αν ( f ) Re ( ) =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού αριθµού, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 4 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

5 004 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 004 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f: f : R R τέτοια ώστε f () = Αν για κάθε x R, ισχύει x 3 g( x) = f ( t) dt 3 + ( x ) 0, * όπου = α+β i C, µε α,β R, τότε: α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε τη g β Nα αποδείξετε ότι = + γ Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµατος β να αποδείξετε ότι δ Aν επιπλέον f () α>0, f (3) β και α>β Re ( ) = f x = = =, να αποδείξετε ότι υπάρχει x ( ) τέτοιο ώστε ( ) 0, ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 004 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται µια συνάρτηση f :[ α, β] µιγαδικός αριθµός µε Αν f (α) α = + = και f ( β) β f ( β) < f ( α) 3 γ η εξίσωση ( ) R συνεχής στο διάστηµα [α, β] µε f(x) 0 για κάθε x [α, β] και Re() 0, Ιm() 0 και Re( ) Im( ) + =, να αποδείξετε ότι: > x f (α)+ f β = 0 έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστηµα (, ) Μονάδες ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 004 ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς = x+ yi, όπου x, y πραγµατικοί αριθµοί, για τους οποίους υπάρχει α R ώστε να ισχύει: Σελίδα 5 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

6 + + i= α+ α i Σελίδα 6 από 8 ( ) Να αποδείξετε ότι: α αν Im() = 0, τότε α = β αν α = 0, τότε + = 0 γ για τον πραγµατικό αριθµό α ισχύει: 0 α Μονάδες 7 δ οι εικόνες Μ των µιγαδικών αυτών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα i ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 004 ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς = x + yi, όπου x, y πραγµατικοί αριθµοί, για τους οποίους υπάρχει κ R ώστε να ισχύει: x= 3 κ και y= κ+ Να αποδείξετε ότι: α) αν 3 Re() + 4 Im() = 3, τότε k = β) αν = 5, τότε = 0 Μονάδες 0 γ) οι εικόνες Μ των µιγαδικών αυτών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 004 ΘΕΜΑ 3 ο Έστω µιγαδικός αριθµός, µε ± i και w= + α) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγµατικός, τότε ο είναι πραγµατικός ή = β) Να λύσετε, στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, την εξίσωση γ) Αν, 3 = + 3 Μονάδες 0 Μονάδες 0 είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (β), να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 3 ( ) i ( ) Κ= ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

7 005 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 005 ΘΕΜΑ ο = = = ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, 3 µε α) είξτε ότι: = β) είξτε ότι ο αριθµός + είναι πραγµατικός + + = γ) είξτε ότι: Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 005 ΘΕΜΑ ο α Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει να βρείτε τους, β Aν για τους µιγαδικούς αριθµούς,w ισχύουν + = 4+ 4i και = 5+ 5i Μονάδες 0 3i και w 3 i : i να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί µιγαδικοί αριθµοί, w έτσι, ώστε =w και ii να βρείτε τη µέγιστη τιµή του w Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 005 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί: ( ) = λ + 3 λ i, λ R και w= κ+4 i, κ>0 Σελίδα 7 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

8 Για τους, w ισχύουν: w 5 Re() + Im() = 0 και = i α Να αποδείξετε ότι = + β Να αποδείξετε ότι 3 κ= γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει µ R, για το οποίο ισχύει + µ= 3i w ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 005 ΘΕΜΑ ο x+ 3 i ίνεται ο µιγαδικός αριθµός, =, x R i α Να βρείτε το x, ώστε ο αριθµός να είναι φανταστικός β Αν x = 6, να αποδείξετε ότι ο είναι πραγµατικός αριθµός γ Αν x = 4, να βρείτε το Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 005 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί α) Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι = 3 + i και = 3i i i = + = = 0 και 0 κ i w κ γ) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό =, κ R {} Να αποδείξετε ότι για κάθε κ R {} ισχύει Ιm(w) = ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 8 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

9 006 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 006 ΘΕΜΑ 3 ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, 3 µε = = 3 = και = 0 α Να αποδείξετε ότι: = = i 3 3 ii ( ) 4 και Re β Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των,, 3 στο µιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηµατίζουν ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 006 ΘΕΜΑ 3ο Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί, που ικανοποιούν την ισότητα ( ) = και η συνάρτηση f µε τύπο f ( x) = x + x+ α, α R α Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών ανήκουν στην ευθεία x= Μονάδες 7 β Αν η εφαπτοµένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο τοµής της µε την ευθεία x= τέµνει τον άξονα y y στο y 0 = 3, τότε i να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) ii να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της 3 συνάρτησης f, της εφαπτοµένης (ε), του άξονα x x και της ευθείας x= ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές Εξετάσεις 006 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση x 4x + 3= 0 () α Να λυθεί στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών η εξίσωση () Σελίδα 9 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

10 β Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης i A= 3 γ Αν = + 3i, τότε να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει: = 5 Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Εξετάσεις Ελλήνων Εξωτερικού 006 ΘΕΜΑ ο Έστω ότι για τον µιγαδικό αριθµό ισχύει: α) Να δείξετε ότι 5 = 5 β) Να δείξετε ότι: = ( 5 ) = ( 5) 5 5 γ) Αν w= 5+, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγαδικό επίπεδο Μονάδες 0 Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 0 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

11 007 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 007 ΘΕΜΑ ο ίνεται ο µιγαδικός αριθµός + α i =, µε α R α+i α Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = β Έστω, οι µιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο = + αi α+i για α = 0 και α = αντίστοιχα i Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των µιγαδικών αριθµών και ii Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ν ( ) = ( ) ν για κάθε φυσικό αριθµό ν ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 007 ΘΕΜΑ 4ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί α+βi = και ίνεται επίσης ότι R α Να αποδειχθεί ότι = =, όπου α, β R µε β 0 + β Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο γ Αν ο αριθµός είναι φανταστικός και αβ>0, να υπολογισθεί ο και να δειχθεί ότι 0 ( i) ( i) = 0 Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

12 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές Εξετάσεις 007 ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς ( ) = λ- + λ i, όπου λ R α Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών β Αν ισχύει + = να βρείτε το Re Μονάδες 7 γ Αν = και ( ) Im 0, να βρείτε το λ ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 007 ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει + i = i α i) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων M των µιγαδικών ii) Να βρείτε ποια από τα σηµεία Μ απέχουν από την αρχή Ο(0,0) απόσταση ίση µε 5 β Αν Re( ) = 0, τότε να δείξετε ότι = i Μονάδες 0 Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Εξετάσεις Ελλήνων Εξωτερικού 007 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = i, = και 3 = + i α Να αποδείξετε ότι: + = 3 β Αν για το µιγαδικό ισχύει =, τότε να αποδείξετε ότι: i Re( ) = Im( ) ii για 0, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Μονάδες 0 A= + Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

13 008 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 008 ΘΕΜΑ ο Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς και w ισχύουν τότε να βρείτε: ( i + ) = 6 και w ( i ) = w ( 3 3 i ) α το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών β το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w Μονάδες 7 γ την ελάχιστη τιµή του w δ την ελάχιστη τιµή του w ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 008 ΘΕΜΑ ο + i 3 ίνεται ότι ο µιγαδικός αριθµός = είναι ρίζα της εξίσωσης αριθµοί α Να αποδείξετε ότι β= και γ= + β+ γ=0, όπου β και γ πραγµατικοί β Να αποδείξετε ότι 3 = γ Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού αριθµού w, για τον οποίο ισχύει: w = ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 3 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

14 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές Εξετάσεις 008 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση 3 λ µ=0 + +, όπου λ,µ είναι πραγµατικοί αριθµοί Α Αν ο αριθµός = + i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι λ= 6, µ=6 λ = 6, µ = 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης Β Να αποδείξετε ότι: α β + = = Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Εξετάσεις Ελλήνων Εξωτερικού 008 ΘΕΜΑ ο Α ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί ( ) = κ+ κ+ i, κ R α Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία y= x+ β Ποιοι από αυτούς τους µιγαδικούς αριθµούς έχουν = ; 4 4 B Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α,β ισχύει ( i) ( i) α= και β= α + β + 8= β + α, να δείξετε ότι Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 4 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

15 009 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές εξετάσεις 009 ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς ( ) ( ) = λ+ + λ i, λ R Α α Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών, για τις διάφορες τιµές του λ R β Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς να αποδείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός 0 = i έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο Β Να βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w + w = όπου ο µιγαδικός αριθµός που αναφέρεται στο προηγούµενο ερώτηµα ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Επαναληπτικές εξετάσεις 009 ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει: i i = ( ) ( ) α Nα βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών παραπάνω εξίσωση β β Nα βρείτε τον µοναδικό πραγµατικό αριθµό ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση x yi = + οι οποίοι ικανοποιούν την Μονάδες 0 και τον µοναδικό φανταστικό αριθµό οι οποίοι, γ Για τους αριθµούς που βρέθηκαν στο προηγούµενο ερώτηµα να αποδείξετε ότι = Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Κανονικές Εξετάσεις 009 ΘΕΜΑ ο = + 3 i και = i + 3i + ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί ( ) 009 Σελίδα 5 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

16 α Να αποδείξετε ότι i = + β Να βρείτε το µέτρο του µιγαδικού αριθµού γ Να εκφράσετε το πηλίκο στη µορφή κ+λ i, µε κ,λ R Μονάδες 7 Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Εξετάσεις Ελλήνων Εξωτερικού 009 ΘΕΜΑ ο ίνεται ο µιγαδικός αριθµός i i 3 i ( ) = + α Να αποδείξετε ότι: i, i, 3 i = + = = +,, 3 β Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των µιγαδικών αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές γ Να αποδείξετε ότι: = Μονάδες ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 6 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ A EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη Όταν η διακρίνουσα της εξίσωσης α + β+γ=0 µε α,β,γ R και α 0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των µιγαδικών Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει: + > + i Αν αβ, είναι πραγµατικοί αριθµοί τότε: α+β = α= 4 Για δύο οποιουσδήποτε µιγαδικούς αριθµούς α+βi και γ+δi η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατός τους ισούται µε τη διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους 5 Για κάθε µιγαδικό ισχύει = 6 Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει: Για κάθε µιγαδικό αριθµό ισχύει = 8 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες Μ(α,β) και Μ (α, β) των συζυγών µιγαδικών =α+βi και i β α=είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον πραγµατικό άξονα 9 Αν = x+yi, µε x, y R, τότε: = 0 Αν = α+βi, τότε: + =α, για κάθε α, β R Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους, Οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα x x 3 Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος δυο µιγαδικών αριθµών είναι το άθροισµα των διανυσµατικών ακτίνων, τους 4 Αν είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει πάντα Το µέτρο του µιγαδικού αριθµού = x + yi, όπου x, y πραγµατικοί αριθµοί, δίνεται από τον τύπο x y = + 6 Ο συζυγής κάθε µιγαδικού αριθµού = x + yi, όπου xx, y yiπραγµατικοί αριθµοί, είναι ο µιγαδικός = + 7 Για τον µιγαδικό αριθµό = α + βi µε α, β R ισχύει = 0 τότε και µόνον τότε, αν α = 0 και β = 0 ν ν 8 Για κάθε µιγαδικό αριθµό και κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει: = 9 Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους Σελίδα 7 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ

18 B EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Αν = α + βi και = γ + δi είναι δύο µιγαδικοί αριθµοί, να αποδείξετε ότι + = + Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: > 3 Έστω Μ(x, y) η εικόνα του µιγαδικού αριθµού = x+yi στο µιγαδικό επίπεδο Τι ορίζουµε ως µέτρο του ;, 4 Αν είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε = i, i,,, 5 Αν α+β είναι µιγαδικοί αριθµοί iόπου αβ γ δ R, να δείξετε ότι: α+β αγ+βδ βγ αδ i i = + γ+δ γ +δ γ +δ Σελίδα 8 από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ