Όψεις του μετασχηματισμού της αφαιρετικής διαδικασίας στα μαθηματικά

Όψεις του μετασχηματισμού της αφαιρετικής διαδικασίας στα μαθηματικά ΔΗΜΗΤΡΑ ΧΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ Η εργασία αυτή παρουσιάζει συνοπτικά μια σειρά μετασχηματισμών της αφαιρετικής διαδικασίας ως λειτουργίας που οδηγεί στην αναγνώριση αφηρημένων μαθηματικών αντικειμένων. Ξεκινά από την αριστοτελική έννοια της αφαίρεσης, περνά σε παραδείγματα από τη νεότερη επιστήμη και φιλοσοφία, στη συνέχεια εκθέτει τη διαφοροποιημένη από τον G. Frege διαδικασία αφαίρεσης και προσθέτει μια ερμηνεία της φρεγκεανής αφαιρετικής διαδικασίας σύμφωνα με τον H. Weyl. Ο Αριστοτέλης εισήγαγε μια έννοια αφαίρεσης για να εξηγήσει το οντολογικό status των μαθηματικών αντικειμένων 1. Μία προσεκτική ανάγνωση του M2 1077 b 10 και του M3 κάνει σαφή τη λειτουργία της αφαίρεσης ως ανάδειξης ενός μαθηματικού αντικειμένου μετά την απομάκρυνση ή «αποκοπή» κάποιων χαρακτηριστικών ενός φυσικού πράγματος. Ο Αριστοτέλης χρησιμοποιεί την έκφραση εξ αφαιρέσεως για να δείξει ότι αγνοούμε ή αποσπούμε κάποια χαρακτηριστικά ενός φυσικού πράγματος, πχ. το ότι κινείται, το ότι έχει ένα συγκεκριμένο χρώμα, το ότι έχει συγκεκριμένο βάρος κλπ. Η αφαίρεση συγκεκριμένων χαρακτηριστικών μιας χάλκινης σφαίρας, πχ. του χρώματός της, του υλικού από το οποίο αποτελείται, του βάρους της κλπ. έχει ως αποτέλεσμα τον διαχωρισμό του γεωμετρικού αντικειμένου από τη χάλκινη σφαίρα. Όμως, για τον Αριστοτέλη, ο «διαχωρισμός» είναι μια νοητική διαδικασία (M 3 1078 17-28). Τα μαθηματικά αντικείμενα «διαχωρίζονται» από τα αισθητά πράγματα μόνον στο νου. Το μαθηματικό αντικείμενο που προκύπτει είναι νοητικό (mental) αντικείμενο, δηλαδή δεν έχει ανεξάρτητη ύπαρξη όπως θα υποστήριζε ο πλατωνισμός. Ο Ε. Hussey διερευνά την αριστοτελική έννοια του διαχωρισμού για να διαπιστώσει κατά πόσον ο Αριστοτέλης αποδίδει στα μαθηματικά αντικείμενα κάποια μορφή ύπαρξης. Γι αυτό, θέτει τα ακόλουθα ερωτήματα: μήπως ο διαχωρισμός αποκαλύπτει νέους 1 Πρβλ. Δ. XΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ: «Το πρόβλημα του τρόπου ύπαρξης των μαθηματικών αντικειμένων σύμφωνα με τον Αριστοτέλη». Επιθεώρηση Μαθηματικής Εκπαίδευσης 17 (2000), σ. 5-24. 1

τύπους αντικειμένων; Μήπως ο διαχωρισμός κατασκευάζει αντικείμενα; Ο ίδιος απαντά ότι για τον Αριστοτέλη τα μαθηματικά αντικείμενα δεν υπάρχουν ανεξάρτητα από τον ανθρώπινο νου ως πλατωνικά όντα ούτε αποτελούν αποτέλεσμα κατασκευής. Είναι νοητικά αντικείμενα που προκύπτουν από τα αισθητά, είναι μόνον αντικείμενα στη σκέψη. Μια πολύ μεταγενέστερη έννοια αφαίρεσης που έδωσε τη δυνατότητα μαθηματικής διατύπωσης των φυσικών νόμων, βρίσκουμε στη νεότερη επιστήμη. Ο Γαλιλαίος διαχώριζε τις πρωτογενείς από τις δευτερεύουσες ιδιότητες των σωμάτων, υιοθετούσε δηλαδή μια διάκριση που αποδέχθηκαν -σε γενικές γραμμές- τόσο οι εμπειριστές όσο και οι ορθολογιστές φιλόσοφοι της νεότερης εποχής. Οι πρωτογενείς ιδιότητες είναι εκείνες που μπορούν να ποσοτικοποιηθούν, όπως πχ. το βάρος, το μήκος, το ύψος, ο όγκος, η ταχύτητα κλπ. και θεωρούνται αντικειμενικές. Στο παράδειγμα του νόμου του εκκρεμούς, ο Γαλιλαίος θεώρησε το νήμα του εκκρεμούς ως ένα ευθύγραμμο τμήμα, αγνοώντας το υλικό του, το πάχος του, το βάρος του. Η αφαιρετική διαδικασία ήταν προϋπόθεση της μαθηματικοποίησης της κίνησης του εκκρεμούς και της διατύπωσης του νόμου του εκκρεμούς. Επίσης, συναντούμε την αφαίρεση ως μια νοητική λειτουργία που καταλήγει στη διαμόρφωση γενικών εννοιών. Αυτό συμβαίνει όταν αγνοούμε συγκεκριμένα χαρακτηριστικά διαφορετικών ατομικών αντικειμένων για να οδηγηθούμε σε μια γενική έννοια. Πχ. αγνοούμε το ύψος, το βάρος, το χρώμα ματιών και μαλλιών, το φύλο, την ηλικία, κλπ. δέκα ανθρώπων και καταλήγουμε στην έννοια άνθρωπος. Από τους εκπροσώπους της νεότερης φιλοσοφίας, εκείνος ο οποίος διαφώνησε ρητά με τη διαδικασία σχηματισμού γενικών εννοιών ήταν ο Berkeley. Σύμφωνα με τον Berkeley, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι υπάρχουν συγκεκριμένοι άνθρωποι, συγκεκριμένες γάτες, συγκεκριμένα τρίγωνα αλλά όχι οι αντίστοιχες γενικές έννοιες του ανθρώπου, της γάτας, του τριγώνου κλπ. Το προηγούμενο είδος αφαίρεσης δέχθηκε την κριτική του G. Frege, στο μεταίχμιο μεταξύ 19 ου και 20 ου αι. Σύμφωνα με τον Frege, για να λειτουργήσει ικανοποιητικά η εν λόγω αφαιρετική διαδικασία, χρειάζεται να γίνει χρήση της σε ένα συγκεκριμένο βαθμό ο οποίος, ωστόσο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί. Για να οδηγηθούμε στην έννοια γάτα παρατηρώντας κάποιες συγκεκριμένες γάτες, πρέπει να εφαρμόσουμε τη διαδικασία κατάλληλα. Ο ίδιος παρομοίωσε την αφαιρετική 2

λειτουργία με «απορρυπαντικό» το οποίο σε μικρή ποσότητα δεν είναι αποτελεσματικό, ενώ σε ισχυρή ποσότητα δεν οδηγεί κατά τη γνώμη του- στο σχηματισμό μιας γενικής έννοιας αλλά σε ένα όλο και περισσότερο «άυλο φάντασμα» 2. Πίστευε ότι καθώς η εν λόγω διαδικασία εφαρμόζεται πχ. σε δέκα γάτες, μέσω της παράλειψης συγκεκριμένων χαρακτηριστικών τους (χρώματος, μεγέθους, μήκους του τριχώματος κλπ), καταλήγει σε αντικείμενα εντελώς όμοια τα οποία δεν διακρίνονται μεταξύ τους και κατά συνέπεια, δεν μπορούν να απαριθμηθούν. Εάν, δηλαδή, αγνοήσουμε όλες τις επί μέρους ιδιότητες των αντικειμένων και αυτά καταστούν ταυτόσημα τότε δεν μπορούμε να τα απαριθμήσουμε (διότι έχουν καταστεί «ένα») 3. Ο Frege εισήγαγε στo έργο του Grundlagen der Arithmetik 4 ένα διαφορετικό είδος αφαίρεσης. Η αφαιρετική διαδικασία του Frege τυποποιείται ως καθολικά ποσοδεικτούμενη ισοδυναμία με μια ταυτότητα στο αριστερό της μέλος και μια διμελή σχέση ισοδυναμίας στο δεξί της μέλος. Η γενική μορφή της είναι η ακόλουθη: ( t) ( p) [ (S(t) = S(p)) (s p) ]. S είναι ένας τελεστής που αντιστοιχίζει τα στοιχεία s, p ενός αρχικού πεδίου σε αντικείμενα και είναι μια διμελής σχέση, ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική (σχέση ισοδυναμίας). Σχέσεις ισοδυναμίας είναι πχ. η 1-1 αντιστοίχιση, η παραλληλία, η γεωμετρική ομοιότητα κλπ. Xρησιμοποιώντας σχέσεις ισοδυναμίας αυτού του τύπου, o Frege εισήγαγε διάφορες αφαιρετικές διαδικασίες (Grundlagen, 64-68). Για παράδειγμα, στην περίπτωση των φυσικών αριθμών έχουμε: ( F) ( G) [ (N(F) = N(G)) (F 1-1 G) ] (για κάθε δύο έννοιες F, G, ο αριθμός της έννοιας F ταυτίζεται με τον αριθμό της έννοιας G αν και μόνο αν υπάρχει μια 1-1 (και επί) αντιστοιχία μεταξύ των πραγματώσεων των εννοιών αυτών). 2 G. FREGE: Philosophical and Mathematical Correspondence. Oxford, Basil Blackwell, 1980, σ.84-85. 3 S. SHAPIRO: Σκέψεις για τα Μαθηματικά. Η φιλοσοφία των Μαθηματικών, μτφρ. Κ. Δρόσος, Δ. Σπανός. Πάτρα, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, 2006, σ. 74. 4 G. FREGE: Τα Θεμέλια της Αριθμητικής, μτφρ. Γ. Ρουσσόπουλος. Αθήνα, Νεφέλη, 1990, σ.141-146. 3

Ν είναι ο αριθμητικός τελεστής, δηλαδή μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει έννοιες, πχ. F: τροχός του αυτοκινήτου μου, G: πόδι του τραπεζιού», σε αριθμητικά αντικείμενα (ο αριθμός των τροχών του αυτοκινήτου μου, ο αριθμός των ποδιών του τραπεζιού). Σε αυτή την περίπτωση, η εν λόγω ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική σχέση είναι μια 1-1 (και επί) αντιστοιχία μεταξύ των πραγματώσεων των εννοιών F, G. Έτσι, ο αριθμός των τροχών του αυτοκινήτου μου ταυτίζεται με τον αριθμό των ποδιών του τραπεζιού. Σύμφωνα με ένα δεύτερο παράδειγμα, εάν θέσουμε F: καλεσμένος σε δείπνο, G: πιάτο στο τραπέζι τότε μια 1-1 (και επί) συνάρτηση αντιστοιχίζει τους καλεσμένους στα πιάτα τους. Τότε ο αριθμός των καλεσμένων ταυτίζεται με τον αριθμό των πιάτων στο τραπέζι. Με βάση τη φρεγκεανή διαδικασία αφαίρεσης, οι φυσικοί αριθμοί προκύπτουν από τέτοιου είδους 1-1 αντιστοιχίες μεταξύ πραγματώσεων εννοιών. Κατ αναλογίαν, οι μορφές των σχημάτων προκύπτουν από τη γεωμετρική ομοιότητα, οι διευθύνσεις των ευθειών προκύπτουν από την παραλληλία ευθειών κ.ο.κ. Σήμερα ένα μεγάλο πλήθος φρεγκεανών αφαιρετικών αρχών όπως η παραπάνω, μελετώνται από τους Νεοφρεγκεανούς φιλοσόφους, ως μέθοδοι ανακάλυψης αφηρημένων μαθηματικών αντικειμένων. Ο Frege λοιπόν περιέγραψε μία νέα αφαιρετική λειτουργία, αντικαθιστώντας ουσιαστικά την παραδοσιακή αφαίρεση με την οποία όπως είδαμε- διαφωνούσε. Η αφαιρετική λειτουργία διενεργείται μέσω της ανακατανομής του περιεχομένου 5 σχέσεων ισοδυναμίας μεταξύ στοιχείων κάποιου αρχικού πεδίου (Grundlagen, 64). Το περιεχόμενο μιας σχέσης ισοδυναμίας (όπως πχ. η 1-1 αντιστοιχία) ανακατανέμεται και διατυπώνεται ως μία ταυτότητα αντικειμένων. Οι Νεοφρεγκεανοί φιλόσοφοι B. Hale και C. Wright 6 εξήγησαν περαιτέρω τη φρεγκεανή αφαιρετική λειτουργία ως μια διαδικασία επανεννοιολογιοποίησης δεδομένων σχέσεων ισοδυναμίας που μετασχηματίζονται σε προτάσεις οι οποίες εκφράζουν ταυτότητες. Η αφαιρετική διαδικασία εκκινεί από την πρόσβαση σε μια 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των πραγματώσεων δύο εννοιών, πχ. την 1-1 αντιστοιχία μεταξύ καλεσμένων και πιάτων σε ένα δείπνο. Αυτή όμως είναι ισοδύναμη με την ταυτότητα μεταξύ του αριθμού των καλεσμένων και του αριθμού των πιάτων. Η αφαιρετική 5 Για μια εκτενή ανάλυση της φρεγκεανής προσέγγισης στα Grundlagen, βλ. Δ. XΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ & Σ. ΨΥΛΛΟΣ: «Η έννοια του αριθμού και ο αριθμός της έννοιας: μια ανάλυση των Grundlagen του G. Frege». Nόησις 3 (2008), σ. 79-114. 6 Β. HALE & C. WRIGHT: The Reason s Proper Study. Oxford, Clarendon Press, 2001, σ.148-149, 276-277. 4

διαδικασία μας καθιστά ικανούς να κατανοήσουμε την έννοια του φυσικού αριθμού και να αναγνωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς ως αντικείμενα. Μέσω της νέας έννοιας που προκύπτει από τη διαδικασία, όπως πχ. η έννοια του αριθμού, αποκτά κανείς πρόσβαση σε αφηρημένα αντικείμενα, όπως οι φυσικοί αριθμοί. Με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε διαθέτει στο γνωστικό του εξοπλισμό 1-1 αντιστοιχίες μεταξύ πραγματώσεων εννοιών οικειοποιείται επίσης την έννοια του φυσικού αριθμού. Μια διαφορετική ανάγνωση της φρεγκεανής αφαιρετικής διαδικασίας βρίσκουμε στον Η. Weyl στο Philosophy of Mathematics and Natural Science 7. Περιγράφει όπως θα δούμε- τις φρεγκεανές αφαιρετικές διαδικασίες με όρους που προέρχονται από τη φαινομενολογία 8. Δεν παραλείπει ωστόσο να χαρακτηρίσει τον Frege ως τον φιλόσοφο που εισήγαγε το συγκεκριμένο είδος αφαίρεσης με την απαιτούμενη γενικότητα. Μία αφαιρετική διαδικασία (που πρώτος ο Frege εισήγαγε στα Grundlagen, 64) παρουσιάζεται ως παράδειγμα από τον Weyl: S= ( s)( t) (D(s) = D(t) s ~ t) «Για κάθε δύο σχήματα s, t, η μορφή του s ταυτίζεται με τη μορφή του t αν και μόνο αν τα σχήματα είναι όμοια». Ένα άλλο παράδειγμα αφαιρετικής αρχής του Weyl αλλά όχι του Frege αφορά τους ακεραίους x, y που λέγονται ισοδύναμοι modulo m αν και μόνο αν η διαφορά τους υποδιαιρείται με το m. Οποιοσδήποτε μπορεί να οδηγηθεί στους ακεραίους modulo m μέσω μιας συγκεκριμένης αφαιρετικής αρχής, ξεκινώντας από το σύνολο των ακεραίων. Θέτουμε τη σχέση «x-y υποδιαιρείται με το 5» (x-y=5k, k ακέραιος). Τότε προκύπτει x y (mod 5) (x και y είναι ισοδύναμοι mod 5). Μπορούμε τότε να διατυπώσουμε την ισοδυναμία που ακολουθεί: «τα x και y είναι ισοδύναμα mod 5 αν και μόνο αν η διαφορά τους υποδιαιρείται με το 5». ( x)( y) [x y (mod 5) x - y υποδιαιρείται με το 5] (πρβλ. Weyl, ό.π., 10). Γενικότερα, θεωρούμε τη σχέση R: «x-y υποδιαιρείται με το m». Τότε ισχύει η ισοδυναμία: 7 H. WEYL: Philosophy of Mathematics and Natural Science. Princeton, Princeton University Press, 1949/2009, σ. 8-10. 8 Πρβλ. D. CHRISTOPOULOU: «How H. Weyl could deal with Benacerraf s (1973) challenge to realism?». Philosophy Study 3 (2013), σ. 529-537. 5

( x)( y) [x y (mod m) x - y υποδιαιρείται με το m] m ακέραιος, m>1 (τα x και y είναι ισοδύναμα mod m αν και μόνο αν η διαφορά τους x-y υποδιαιρείται με το m). Για να διατυπωθεί όμως η κατάλληλη αφαιρετική αρχή σ αυτή την περίπτωση, χρειάζεται ένας τελεστής Tm προκειμένου να σχηματιστούν οι σχετικοί ενικοί όροι. Έστω Tm (x) και Tm (y) οι τιμές του τελεστή Tm για τα x και y ως ορίσματα. Συνεπώς, η αριστερή πλευρά της αφαιρετικής αρχής περιλαμβάνει μια ταυτότητα των όρων Tm (x), Tm (y) και η δεξιά πλευρά τη σχέση ισοδυναμίας R μεταξύ των ακεραίων x και y. (C =) ( x)( y) [(Tm (x) = Tm (y)) x - y υποδιαιρείται με το m] Γενικότερα, ως προς τη φρεγκεανή αφαίρεση, ο Weyl τονίζει ότι κάποια χαρακτηριστικά των αρχικών στοιχείων ενός πεδίου παραμένουν σταθερά. Στην περίπτωση των παράλληλων ευθειών μένει σταθερή η διεύθυνση. Στην περίπτωση των εννοιών που τίθενται σε 1-1 αντιστοιχία, μένει σταθερό το πλήθος των πραγματώσεών τους. Στην περίπτωση των όμοιων σχημάτων, μένουν σταθερά μεγέθη οι γωνίες τους. Στην περίπτωση των ακεραίων modm, παραμένουν σταθερά τα υπόλοιπα. Αυτά τα σταθερά χαρακτηριστικά, ο Weyl τα χαρακτηρίζει ως «αναλλοίωτα». Επιπλέον πιστεύει ότι τα υποτιθέμενα αναλλοίωτα (σε κάθε μία περίπτωση από αυτές που προαναφέρθηκαν) μετασχηματίζονται σε ιδεατά (ideal) αντικείμενα στο νου. Ιδεατά αντικείμενα αυτού του τύπου είναι πχ. οι διευθύνσεις των ευθειών, οι φυσικοί αριθμοί, οι μορφές των όμοιων σχημάτων, οι ακέραιοι modm κ.ο.κ. Ο Weyl παρατηρεί ότι «ο μετασχηματισμός ενός κοινού (σταθερού) χαρακτηριστικού σε ιδεατό αντικείμενο συνιστά ουσιαστικό βήμα» 9. Η αφαιρετική διαδικασία -σύμφωνα με τον Weyl- εκκινεί από την αποβλεπτικότητα. Ο νους κατευθύνει την προσοχή του στα εν λόγω «αναλλοίωτα». Η επανάληψη της εμφάνισής τους είναι ικανή στο να έλξει την προσοχή, πχ. του μαθηματικού. Αλλά για τον μετασχηματισμό των αναλλοίωτων στοιχείων σε ιδεατά αντικείμενα, απαιτείται η παρέμβαση της εποπτείας. O Weyl δέχεται την εποπτεία σε όλες τις 9 Η.WEYL, Philosophy of Mathematics and Natural Science, σ.11. 6

περιπτώσεις αφαίρεσης (τόσο τις αριθμητικές όσο και τις γεωμετρικές) σε αντίθεση με τον Frege που περιορίζει το ρόλο της εποπτείας μόνο στις γεωμετρικές περιπτώσεις. Ο Weyl ήταν επηρεασμένος από τη φαινομενολογία του E. Husserl. Αποτελεί φαινομενολογική αρχή το ότι η εποπτεία πρέπει να συμπληρώσει την αποβλεπτικότητα, προκειμένου ένα ιδεατό αντικείμενο να καταστεί παρόν 10 στη συνείδηση (πλήρωση της απόβλεψης). Μόνον έτσι, το ιδεατό αντικείμενο διανοίγεται και συγκροτείται υπερβατολογικά στη συνείδηση. Στο πρώτο στάδιο των αποβλέψεων, ο νους επικεντρώνει την προσοχή σε καταστάσεις, σχέσεις, χαρακτηριστικά κλπ. που διατηρούνται αναλλοίωτες/α μέσα στο πολλαπλό της αίσθησης ή μέσα στο πολλαπλό των νοητικών περιεχομένων. Αλλά η γνώση δεν επιτυγχάνεται παρά μόνον εφόσον η εποπτεία συμπληρώσει τις εν λόγω αποβλέψεις. Έτσι, η φρεγκεανή αφαίρεση (βλ. ανωτέρω παραδείγματα) επανερμηνεύεται με φαινομενολογικούς 11 όρους: αποτελεί μια διαδικασία πλήρωσης μαθηματικών αποβλέψεων. Οι αποβλέψεις προς συγκεκριμένα αναλλοίωτα χαρακτηριστικά -όπως αυτά που ήδη προαναφέρθηκαν- πληρούνται μέσω της εποπτείας, με αποτέλεσμα τα αναλλοίωτα χαρακτηριστικά να καθίστανται παρόντα στη συνείδηση ως ιδεατά αντικείμενα. Υπάρχει μια σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο προσεγγίσεων. Σύμφωνα με τη φρεγκεανή ανάγνωση, οι γεωμετρικές μορφές, οι διευθύνσεις, οι φυσικοί αριθμοί κλπ. αποτελούν αφηρημένα αντικείμενα στα οποία αποκτούμε γνωστική πρόσβαση μέσω της αφαιρετικής διαδικασίας. Σχηματίζουμε τις κατάλληλες έννοιες, όπως πχ. την έννοια του αριθμού, για να αναγνωρίσουμε τις πραγματώσεις τους (πχ. τους αριθμούς) ως αυθυπόστατα αφηρημένα αντικείμενα. Ο πλατωνισμός του Frege υπόκειται της εν λόγω αφαίρεσης. Όπως αναφέρει ο F. MacBride, «η μέθοδος αφαίρεσης του Frege φέρνει στο φως αντικείμενα για τα οποία προηγουμένως είμαστε ανυποψίαστοι» 12. Στην περίπτωση του Weyl όμως, πρόκειται για διαδικασία συγκρότησης ιδεατών 10 R. SOKOLOWSKI: Εισαγωγή στη φαινομενολογία, μτφρ. Π. Κόντος. Πάτρα, Παν/κές Εκδόσεις Πάτρας, 2006, σ.31-33, 94. 11 Πρβλ. και R. TIESZEN: Phenomenology, Logic, and the Philosophy of Mathematics. Cambridge, Cambridge University Press, 2005. 12 F. MACΒRIDE: «Speaking with Shadows: A study of Neo-Logicism. British Journal fοr the Philosophy of Science 54 (2003), σ.103-163, στην σ.111. 7

αντικειμένων. Οι αριθμοί, οι διευθύνσεις, οι μορφές των σχημάτων κλπ. συγκροτούνται, μέσω της αφαιρετικής διαδικασίας, ως ιδεατά αντικείμενα. Η συγκρότηση των εν λόγω ιδεατών αντικειμένων προέρχεται, ωστόσο, από μετασχηματισμό αρχικών αναλλοίωτων στοιχείων προς τα οποία έχει ήδη κατευθύνει ο νους την προσοχή του. Η διδακτική πράξη μπορεί να κάνει χρήση αυτών των αφαιρετικών διαδικασιών και με τις δύο ερμηνείες. Στην πρώτη περίπτωση (φρεγκεανή ερμηνεία), δίνεται έμφαση στον ανακαλυπτικό ρόλο της διαδικασίας. Όπως είδαμε, ο MacBride τονίζει το γεγονός ότι αναγνωρίζουμε αφηρημένα αντικείμενα τα οποία προϋπάρχουν, αφού καταφέρουμε να σχηματίσουμε την κατάλληλη έννοια. Εάν δεν σχηματίσουμε την κατάλληλη έννοια, είμαστε ανυποψίαστοι σχετικά με τα αφηρημένα αντικείμενα. Ο σχηματισμός της έννοιας του φυσικού αριθμού ή της έννοιας της διεύθυνσης είναι αυτός που μας δίνει τη γνωστική δυνατότητα να αναγνωρίσουμε τα αντικείμενα που εμπίπτουν στην αντίστοιχη έννοια. Η δημιουργία μιας έννοιας συνδυάζεται με την αναγνώριση αφηρημένων αντικειμένων που εμπίπτουν στην έννοια. Στη δεύτερη περίπτωση (ανάγνωση του Weyl) πρέπει να δοθεί έμφαση στη νοητική συγκρότηση. Ο νους μετασχηματίζει τα αναλλοίωτα στοιχεία που εντοπίζει σε διάφορες νοητικές καταστάσεις της μαθηματικής δραστηριότητας, σε αντικείμενα τα οποία χαρακτηρίζονται ως ιδεατά. Η σχέση μεταξύ της αποβλεπτικότητας του νου και της εποπτείας παίζει κρίσιμο ρόλο στη συγκρότηση των μαθηματικών αντικειμένων. Επομένως, όποιος καλείται να διδάξει ένα οποιοδήποτε μαθηματικό αντικείμενο, θα πρέπει να κατευθύνει μέσα στην τάξη τις αποβλέψεις των μαθητών του προς αρχικά αναλλοίωτα στοιχεία όπως αυτά που προαναφέρθηκαν στα παραδείγματα, δηλαδή στοιχεία που επαναλαμβάνονται με σταθερότητα μέσα στη νοητική/μαθηματική δραστηριότητα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ D. CHRISTOPOULOU: «How H. Weyl could deal with Benacerraf s (1973) challenge to realism?». Philosophy Study 3 (2013), σ. 529-537. G. FREGE: Philosophical and Mathematical Correspondence. Oxford, Basil Blackwell, 1980, σ.84-85. G. FREGE: Τα Θεμέλια της Αριθμητικής, μτφρ. Γ. Ρουσσόπουλος. Αθήνα, Νεφέλη, 1990, σ.141-146. Β. HALE & C. WRIGHT: The Reason s Proper Study. Oxford, Clarendon Press, 2001, σ.148-149, 276-277. F. MACΒRIDE: «Speaking with Shadows: A study of Neo-Logicism. British Journal fοr the Philosophy of Science 54 (2003), σ.103-163. S. SHAPIRO: Σκέψεις για τα Μαθηματικά. Η φιλοσοφία των Μαθηματικών, μτφρ. Κ. Δρόσος, Δ. Σπανός. Πάτρα, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, 2006, σ. 74. 8

R. SOKOLOWSKI: Εισαγωγή στη φαινομενολογία, μτφρ. Π. Κόντος. Πάτρα, Παν/κές Εκδόσεις Πάτρας, 2006, σ.31-33, 94. R. TIESZEN: Phenomenology, Logic, and the Philosophy of Mathematics. Cambridge, Cambridge University Press, 2005. H. WEYL: Philosophy of Mathematics and Natural Science. Princeton, Princeton University Press, 1949/2009, σ. 8-10. Δ. XΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ & Σ. ΨΥΛΛΟΣ: «Η έννοια του αριθμού και ο αριθμός της έννοιας: μια ανάλυση των Grundlagen του G. Frege». Nόησις 3 (2008), σ. 79-114. Δ. XΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ: «Το πρόβλημα του τρόπου ύπαρξης των μαθηματικών αντικειμένων σύμφωνα με τον Αριστοτέλη». Επιθεώρηση Μαθηματικής Εκπαίδευσης 17 (2000), σ. 5-24. ΔΗΜΗΤΡΑ ΧΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ hpsst9 9