מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות שמורות 4/5 הרצאה 7: משתנה מקרי רציף בהרצאה זו נתבונן במשתנה מקרי רציף על מנת להבין מה ההבדל בינו למשתנה מקרי בדיד. גם נלמד מספר התפלגויות מיוחדות עבור משתנה מקרי רציף..7. הגדרות בסיסיות 7... משתנה מקרי רציף משתנה מקרי בדיד הוא משתנה אשר יכול לקבל רק מספר סופי (או בן מנייה) של ערכים בכל רווח נתון של ערכים ממשיים. למשל: מספר בנים במשפחה, מספר אנשים שפנו בין שעות מסוימות אל פקיד פלוני, וכדומה. לעומת זאת, משתנה מקרי רציף vrible) (coninuous rndom הוא משתנה אשר יכול לקבל כל ערך בתוך רווח מספרים נתון. למשל: גבוהו של גבר מבוגר (כל מספר בין 5 ל- ס ); אורך חיים של אוטו; זמן המתנה אצל פקיד הדואר וכו'. 7... למה אנחנו צריכים להגדיר פונקצית צפיפות? P אשר מביאה הסתברות למדנו כי ניתן לתאר משתנה מקרי בדיד על ידי פונקצית הסתברות (x) למשל, אם.. הוא ערך אפשרי ספציפי של מ.מ xi כאשר x i P ( xi למצוא סופית ) הוא מספר שמופיע על פאה בהטלת קובייה מאוזנת, (5. 6 זה לא המצב עבור מ.מ. הסתברות אפס. רציף. ניתן לראות כי לכל תוצאה אפשרית של משתנה מקרי רציף מתאימה כדי להבין את הטענה הנ, הזוויות α ל- β שווה ל- באו נזרוק מבט על מחוג גדול של שעון. הסתברות למצאו את המחוג בין β α. α θ β ) 36 P ( α θ למצאו את המשתנה המקרי θ בתווך מסוים (בין α ל- ( β היא רואים כי הסתברות ) β סופית. למרות זאת, ההסתברות למצוא את המחוג מצביע על זווית מסוימת שווה בדיוק ל- מכיוון ש- α α. θ α) lim α θ β ) β α 36 מהדוגמא עולה כי עבור מ.מ. רציף השאלה הבסיסית היא לא ''מה ההסתברות שהמשתנה יקבל ערך מסוים?'' אלא ''מה ההסתברות שהמשתנה יקבל ערך בתווך רווח מסוים?'' (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be 53
. α < θ < β ) ל- α θ חשוב! בגלל הטענה ) α θ ו- ) β θ אין הבדל בין ) β התאפסות של ) α P ( θ מביאה לצורך להגדיר תחליף לפונקצית הסתברות כאשר מדובר על מ.מ. רציף. תחליף כזה הוא פונקצית צפיפות. funcion) (densiy של משתנה מקרי רציף היא פונקציה ממשית < x < מקיימת בתחום זה את התכונות הבאות: הגדרה: פונקצית הצפיפות (x) אשר מוגדרת עבור f P ( < < b) ההסתברות, b f > ו- b המקיימים לכל שני מספרים ממשיים b כך ש- בין לבין y מתחת לעקומה (x) f א. ב. שווה לשטח. P ( < < b) f dx b השטח הכולל בין (x) y f לבין ציר שווה ל- : x) f ( (נירמול.( dx ג. 7..3. פונקצית התפלגות מצטברת והיחס בינה לפונקצית צפיפות תזכורת: עבור מ.מ. כלשהו, פונקצית התפלגות מצטברת funcion) (cumulive disribuion. ( ) שווה ל- ) F. F ( ) f dx מהגדרה זו ומהסעיף הקודם נובע כי. d f F מזה ניתן לראות כי מתקיים (x ( dx גרפים: 7..4. הסתברות כשטח פונקצית התפלגות מצטברת הסתברות f(x) <x<b) f(x) F() ) b x x 54 (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be
שאלה : פונקצית הצפיפות של משתנה מקרי נתונה על ידי הנוסחא x, x f אחרת, שרטט את הפונקציה, ודא שאמנם זו פונקצית צפיפות.. F חשב ושרטט את ()..3 < <.8),.5), חשב את ההסתברויות הבאות: (. < א. ב. ג. 7..5. תוחלת ושונות של מ.מ. רציף ]E. הנוסחא הזאת מקבילה ] xf dx א. לביטוי תוחלת של משתנה מקרי רציף ניתנת על ידי הביטוי E [ ] x P עבור משתנה מקרי בדיד. x Vr[ ] ב. שונות של משתנה מקרי רציף ניתנת על ידי הביטוי E[ ] ( E[ ]) x f dx xf dx [ ] x P x P x x אשר מקביל לביטוי Vr עבור משתנה מקרי בדיד.. ג. סטיית תקן של משתנה מקרי רציף שווה ל- ] Vr[ 7.. התפלגויות מיוחדות רציפות 7... התפלגות אחידה הגדרה: משתנה מקרי רציף הצפיפות נקרא מ.מ. אחיד בעל פרמטרים ו-, b אם הוא מתואר על ידי פונקצית f b, x b אחרת. ~ U (, סימון: (b מודל מתמטי: משתנה מקרי רציף אחיד קשור למודל של בחירה מקרית של מספר ממשי שערכיו בין ל-. b דוגמא: מחוג של שעון מהסעיף 6... ניתן לראות כי זווית עליה מצביע המחוג מתפלגת התפלגות אחידה עם הפרמטרים ו- 36 b כך ש- (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be 55
f, θ ), Θ ( 36 θ <, < θ < 36 θ > 36, < FΘ ( ), < 36 36, 36 + b. E[ ] xf תוחלת של משתנה אחיד : xdx dx b b b + b ( b ). Vr[ ] x dx b שונות של משתנה אחיד :, <. F ( ) f פונקצית התפלגות מצטברת : b dx, < b, b שאלה במשוואה ריבועית b x x + הפרמטרים ו- b הם משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים בעלי התפלגות אחידה: ) (, U ~ ו- (,) U. b ~ נסמן את שורשיה ב- x ו-. x? x x < א. ב. מה ההסתברות ששני השורשים ממשיים? אם ידוע שכל השורשים ממשיים, מה ההסתברות ש- פתרון: + 4b 4b. x x ו- שורשי המשוואה הם א. שורשים הם ממשיים אם מתקיים אי שיווין > 4b כך שההסתברות הדרושה היא : b אשר מתאימה לשטח מתחת לעקומה / 4 P ( b < / 4) b /4. b < / 4) d 4 אזי 56 (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be
ב. באותה דרך, מכיוון ש-, x x 4b ההסתברות הדרושה היא P 4b < / P > 4b P 4b 4b < / 4 < { > 4b} 4 ( > 4b) P > 4b P < b < 4 6 4 P b < 4. 4 d 4 / 6 d ניתן לראות כי זה שווה ל- התפלגות 7... מערכית הגדרה: משתנה מקרי רציף Y נקרא מ.מ. מערכי בעל פרמטר λ הצפיפות λ exp( λy), y f Y, y < אם הוא מתואר על ידי פונקצית. Y ~ Exp( λ) סימון : מודלים מתמטיים המביאים למשתנה מערכי: משך הזמן עד התרחשות האירוע הראשון בזרם אירועים פואסוני. א. אורך חיי מכשיר חשמלי או מכני. ב. הסברים והוכחות: נתבונן בזרם אירועים פואסוני בעל קצב λ (השווה לממוצע של התרחשויות ביחידת זמן). אם נגדיר משתנה מקרי בדיד {מספר אירועים במשך יחידת זמן}, המשתנה הזה יתפלג פואסונית: ~ כך שההסתברות λ) k λ λ k) e k! עבור,,,... k. המתרחשים במשך זמן זה יתפלג פואסונית אם ), מספר האירועים, אם נתבונן בפרק זמן ( ~ כך שההסתברות λ) פרמטר :λ k) k ( λ) λ k! e עבור,,,... k. 57 (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be
באו נגדיר משתנה רציף Y {משך הזמן שיחלוף עד התרחשותו האירוע הראשון}. ברור כי המשתנה Y יכול לקבל כל ערך בתווך (, (. איך מתפלג ה-? Y כדי לענות על השאלה, נצטרך לחשב את ההסתברות ( P ( Y > ) Y > כך ש- יחלוף זמן גדול מ-. ההסתברות ( שעד התרחשותו של האירוע הראשון. Y > ) ( λ)! e λ exp( λ). Y < ) מזה נובע כי λ) exp( דרך זו אנחנו מגיעים למסכנה שפונקצית התפלגות מצטברת עבור המשתנה המקרי Y הנוסחא ניתנת על ידי. F Y ( ) Y < ) exp( λ) f d FY dy Y אם ניקח בחשבון קשר בין פונקצית התפלגות מצטברת לפונקצית צפיפות f Y λ exp( λy) נקבל: עבור y. זה מוכיח כי משך הזמן עד התרחשותו האירוע הראשון מתפלג מערכית עם פרמטר λ (השווה לממוצע של התרחשויות ביחידת זמן).. E[ Y ] yf Y dy λ y exp( λy) dy λ תוחלת של משתנה מערכי:. Vr[ Y ] λ y exp( λy) שונות של משתנה מערכי : dy λ λ λ λ שאלה 3. P ( Y > s + / Y > s) נא להוכיח תכונת ''חוסר זיכרון'': ( Y > Y > s + / Y Y > s + I Y > s) Y > s + ) > s) Y > s) Y > s) exp exp [ λ( s + ) ] [ λs] exp( λ) Y > ) פתרון: שאלה 4 ניתן להניח שהבקעות השערים במשחק כדורגל מהווה זרם אירועים פואסוני. בדיקה העלתה שבמשחקי הליגה הלאומית מובקעים בממוצע 3 שערים במשחק (9 דקות). השתמש בהתפלגות המערכית כדי לחשב את ההסתברויות הבאות: א. ההסתברות שהשער הראשון במשחק יובקע רק במחצית השנייה. 58 (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be
ב. נכנסת למשחק באיחור והתוצאה הייתה :. מהי ההסתברות שבחצי השעה הבאה התוצאה לא תשתנה? פתרון: הפרמטר λ של זרם אירועים פואסוני שווה לממוצע של הבקעות ביחידת זמן ( דקה ). אזי, 3. λ 9 3 א. נגדיר משתנה מקרי Y {זמן המתנה עד הבקעת השער הראשון}. ברור שהוא מתפלג מערכית. בגלל זה, ההסתברות שהשער הראשון במשחק יובקע רק במחצית השנייה שווה ל-. Y > 45) ב. בגלל תכונת ''חוסר זיכרון'', ההסתברות הדרושה היא (3 > Y. )P התפלגות 7..3. נורמלית הגדרה: משתנה מקרי רציף נקרא מ.מ. נורמלי אם הוא מתואר על ידי פונקצית הצפיפות f ( x µ ) e π עבור < x <. ~ N( סימון: ) µ, כדי להבין מהי המשמעות של הפרמטרים µ יש ו- לחשב את תוחלתו ושונותו של משתנה מקרי. ~ N( µ, ). E[ ] xf dx µ.vr[ ] x f dx µ תוחלת של משתנה נורמלי: שונות של משתנה נורמלי: Z הגדרה: משתנה נורמלי Z בעל תוחלת ושונות נקרא משתנה נורמלי סטנדרי (,) N ~ vrible).(sndrd norml פונקצית צפיפות עבורו ניתנת על ידי הנוסחא: f Z ( z) e π z עבור < z <. µ. Z המשתנה הנורמלי הסטנדרטי מתקבל על ידי הנוסחא, ~ N( µ, ) טענה: אם שאלה 5 נא להוכיח את הטענה הנ''ל באמצעות תכונות של תוחלת ושונות. (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be 59
פונקצית התפלגות מצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי שווה ל-. Z ) f Z ( z) dz e π z dz Φ( ) יש להתיחס לפונקצית- Φ כמו לפונקציה חדשה. שאלה 6 Φ ( ) Φ( נא להוכיח כי ( א. דרך גראפית, ב. דרך נוסחאות. שאלה 7. Φ באמצעות הטבלה של פונקצית- Φ(.9), Φ(.3), Φ(.), Φ(3.6), Φ(.4), חשב (.3)Φ שאלה 8 נא להוכיח כי עבור N( ~ מתקיים : µ, ) µ, P ( ) Φ א. b µ µ. P ( b) Φ Φ ב.. ~ N (8,4) 5 ) שאלה 9 חשב את ההסתברות עבור שאלה נא להוכיח כי, µ א..68 ) µ +. µ µ + ב..95 ) ג. תדגים את התכונות הנ''ל באמצעות הציור ותן ניסוח כמותי למשמעות של סטיית התקן של מ.מ. נורמלי. תכונה חשובה של התפלגות נורמלית: נורמלי גם כן! סכום של שני משתנים נורמליים בלתי תלויים הוא משתנה הוכח כי סכומם. ~ N( µ, ו- ) שאלה ~ N( µ, נתונים שני משתנים נורמליים בלתי תלויים ). ~ N( µ + µ, + מתפלג נורמלית : ) + 6 (Eugene Knzieper All righs reserved, 4/5). No pr of he lecure noes nd oher ccompnying merils my be
Appendix o he Lecure No 7 Norml disribuion ble: Don' forge o dd /!! NA (,d) re of shded region d....3.4.5.6.7.8.9...4.8..6.99.39.79.39.359..398.438.478.57.557.596.636.675.74.753..793.83.87.9.948.987.6.64.3.4.3.79.7.55.93.33.368.46.443.48.57.4.554.59.68.664.7.736.77.88.844.879.5.95.95.985.9.54.88.3.57.9.4.6.57.9.34.357.389.4.454.486.57.549.7.58.6.64.673.74.734.764.794.83.85.8.88.9.939.967.995.33.35.378.36.333.9.359.386.3.338.364.389.335.334.3365.3389..343.3438.346.3485.358.353.3554.3577.3599.36..3643.3665.3686.378.379.3749.377.379.38.383..3849.3869.3888.397.395.3944.396.398.3997.45.3.43.449.466.48.499.45.43.447.46.477.4.49.47.4.436.45.465.479.49.436.439.5.433.4345.4357.437.438.4394.446.448.449.444.6.445.4463.4474.4484.4495.455.455.455.4535.4545.7.4554.4564.4573.458.459.4599.468.466.465.4633.8.464.4649.4656.4664.467.4678.4686.4693.4699.476.9.473.479.476.473.4738.4744.475.4756.476.4767..477.4778.4783.4788.4793.4798.483.488.48.487..48.486.483.4834.4838.484.4846.485.4854.4857..486.4864.4868.487.4875.4878.488.4884.4887.489.3.4893.4896.4898.49.494.496.499.49.493.496.4.498.49.49.495.497.499.493.493.4934.4936.5.4938.494.494.4943.4945.4946.4948.4949.495.495.6.4953.4955.4956.4957.4959.496.496.496.4963.4964.7.4965.4966.4967.4968.4969.497.497.497.4973.4974.8.4974.4975.4976.4977.4977.4978.4979.4979.498.498.9.498.498.498.4983.4984.4984.4985.4985.4986.4986 3..4987.4987.4987.4988.4988.4989.4989.4989.499.499 3..499.499.499.499.499.499.499.499.4993.4993 3..4993.4993.4994.4994.4994.4994.4994.4995.4995.4995 3.3.4995.4995.4995.4996.4996.4996.4996.4996.4996.4997 3.4.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4998 3.5.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998 3.6.4998.4998.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999 3.7.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999 3.8.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999 3.9.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5