תרגול #14 תורת היחסות הפרטית 27 ביוני 2013 עקרונות יסוד 1. עקרון היחסות חוקי הפיסיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית (מע' ייחוס שאינה מאיצה) אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. 2. אינווריאנטיות מהירות האור מהירות האור קבועה לכל צופה, בלא תלות במהירות היחסית שלו ביחס לגוף שפלט את האור. מכך עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות במהירויות שונות. כלומר, שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית ביניהם, ומודדים את אותו צמד אירועים, עשויים שלא להסכים ביניהם בשאלה האם אירועים אלו התרחשו בו זמנים. טרנספורמציית גלילאו אם שתי מערכות ייחוס, S ו S כאשר האחרונה נעה במהירות v ביחס לראשונה בכיוון x, ומתלכדים בזמן = 0 t,t = אז בזמן :t x = x vt y = y z = z t = t טרנס' זו נכונה עבור מהירויות נמוכות v. c טרנספורמציית לורנץ כאשר המערכת S נעה במהירות גבוהה v הקרובה למהירות האור, אז בזמן t במערכת ייחוס הנעה S: x = γ (x vt) y = y z = z t = γ (t v ) x 1
הטרנספורציה ההפוכה, בזמן t במערכת ייחוס S: x = γ (x + vt ) t = γ (t + v x ) למעשה, עדיף לא להיקבע לסימונים של המערכות השונות (עם טאג בלי טאג) ולזכור שאם אנחנו רוצים למדוד במערכת כלשהי אירוע (מיקום, זמן או מהירות) שמתרחש במערכת שנעה במהירות v± אליה, אז הסימון לפני הגודל v יהיה ± בהתאמה. טרנספומציה של הפרשים בין קורדינטות של זוג מאורעות x = γ ( x v t) t = γ ( t v ) x x = γ ( x + v t ) t = γ ( t + v x ) בו זמניות במערכות ייחוס שונות אם צופה א' רואה שני אירועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית, אזי צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים. אם שתי מאורעות קרו בו זמנית ב S, כלומר = 0 t אבל לא באותו מקום 0 x, אז t = γ v x התארכות הזמן נניח שתי מאורעות קרו באותו מקום ב S, כלומר = 0 x, אבל בזמנים שונים = 0 t. אז t = γ t היות וזה התרחש באותו מקום (כך המצב אם מדובר במערכת המנוחה של הגוף), אז t = t 0 הוא זמן עצמי. t = γ t 0 כלומר, כל מערכת אחרת הנעה במהירות v ביחס למערכת של הגוף עבורו אנו מודדים זמן עצמי (להזכירכם 2 הזמנים שאת הפרשם אנו מודדים חייבים להתרחש באותו המקום), תמדוד זמן יותר ארוך. 2
התקצרות האורך נניח שישנו מקל הנמצא במנוחה ב S ומקביל לצירים x ו x. האורך שנמדוד במערכת המנוחה הוא x. = L 0 במערכת S הנעה ימינה במהירות v, המקל מצוי בתנועה וכדי למדוד אורך צריך למדוד את מיקום שתי הקצוות בו זמנית, כלומר, = 0 t ולכן: x = γ ( x + v t ) L 0 = γl L = L 0 γ כלומר כל מערכת אחרת הנעה במהירות v ביחס למערכת המנוחה של המוט תמדוד אורך יותר קצר מהאורך העצמי שלו L. 0 היחסיות של המהירות אם חלקיק נע במהירות u במערכת ייחוס S. אז מהירותו u במערכת S אשר נעה במהירות v לאורך ציר x, למשל, ביחס ל S היא: u y = y t u x = x t = u x = u x v 1 vu x γ ( x v t) γ ( t v x ) עבור רכיב מהירות בכיוון ניצב למהירות היחסית בין המע' אנו נקבל מהחלוקה = : y t u y = y y t = γ ( t v c x ) 2 u y = 1 γ u y 1 vu x u z = 1 γ u z 1 vu x טרנס' הפוכה היא הפיכת הסימן של המהירות מ v ל v. תנע (אינו בחומר לבחינה) p = mvγ אנרגיה (אינו בחומר לבחינה) לכל מסה יש אנרגיה גם ללא תנועה הנקראית אנרגית מנוחה: E 0 = m E = γm K = E E 0 = (γ 1) m 3
שאלה 1 100 Relativistic Sesame אריק ובנץ נעים במהירות 0.6c האחד ביחס לשני. בזמן = 0 0 t = t שניהם נמצאים באותו המקום. כעבור 5 שנים לפי שעונו, אריק שולח הבזק אור לבנץ. א. כמה זמן לפי שעונו של אריק דרוש להבזק להגיע לבנץ? ב. כמה זמן לפי שעונו של בנץ עובר עד ש: 1. נפלט ההבזק 2. נקלט ההבזק ג. על פי כל אחד מהם, מהו המרחק ביניהם ברגע קליטת ההבזק? פתרון נחליט כי אריק נע ימינה ביחס לבנץ במהירות 0.6c במע' S ואילו בנץ נמצא במע' S. 1 γ = 1 ( ) = 10 6 2 10 נרשום את מיקום והזמן של אריק ובנץ בכל אחד משלושת המאורעות (מומלץ לעשות זאת בטבלה): A רגע המפגש B נשלח הבזק מאריק C נקלט הבזק אצל בנץ עבור אירוע A אריק ובנץ נמצאים באותו המקום ובאותו הזמן, כלומר: x A = x A = 0 t A = t A = 0 אירוע B מתרחש במע' S, מאחר והפעולה נעשית על ידי אריק מיקום המאורע הוא הראשית = 0 B x (מיקום אריק) והזמן הוא 5 שנים כפי שאריק מדד אותו. כדי לחשב את מיקום וזמן מאורע B במע' S עלינו להשתמש בטרנס' מתאימה: x B = 0 t B = 5 years x B = γ (x B + vt B) = 10 (0 + 0.6c 5 years) = 0.75 Ly ( t B = γ t B + v ) x B = 10 5 years = 6.25 years 4
כאשר.Ly = light year = 1 year c = 9.46 10 15 m אירוע C מתרחש במע' S, מאחר והאור נקלט על ידי בנץ מיקום המאורע הוא הראשית.x C במע' של בנץ ועליו להגיע לנקודה = 0 x B = 0.75 Ly האור נפלט במיקום.x C = 0 כלומר, הזמן שלוקח לאור להגיע לבנץ: x C = 0 t BC = x B c 0.75 5c = = 3.75 years c אבל באותה מידה t BC = t C t B ולכן. על כן עבור מאורע :C t C = t BC + t B = 3.75 + 6.25 = 10 years x C = γ (x C vt C ) = 10 ( 0.6c 10) = 7.5 Ly ( t C = γ t C v ) x C = 10 10 = 12.5 years אופן הפתרון הוא לזהות כל אירוע באיזו מערכת הוא התרחש ויש לעשות את הטרנס' (להקפיד על הסימן של המהירות) כאשר רוצים לחשב במערכת אחרת אשר בתנועה. מומלץ, כדי למנוע בלבול, ליצור טבלה עבור כל אירוע. לשים את הנתונים הידועים ולחשב בעזרת הטרנס' את כל השאר. ומשם לקחת את מה שנתבקשתם לענות בשאלה. א. t C = 10 years ב..1 years t C = 12.5 years.2, t B = 5 ג. באירוע C חישבנו את מיקום בנץ (קליטת האור) במע' של אריק ולכן מרחקו של בנץ מאריק x. C = 7.5 Ly אולם, אם נרצה לחשב את מיקומו של אריק (מאורע D) ביחס לבנץ באותו זמן שמאורע C מתרחש עבור אריק (כאשר,(t D = t C = 12.5 y עלינו להציב = 0 D :x x D = γ (x D + vt D) = γvt C = 10 0.6c 12.5 = 9.3 Ly ניתן לראות ששניהם מודדים מרחק שונה אחד מהשני. 5
שאלה 1 101 Length of a Tilted Bar מוט באורך l 0 נמצא במישור y x (במערכת מנוחתו) ויוצר זווית θ 0 עם ציר x. מהו האורך של המוט ומהי הזווית שהוא יוצר במערכת המעבדה, בה הוא זז בכיוון x ובמהירות?v פתרון מערכת S היא מערכת המנוחה ולכן היטל האורך בכיוון x (כיוון המהירות v) והיטל האורך בכיוון y: x = l 0 cos θ 0 y = l 0 sin θ 0 הטרנספורמציה של כל אלמנט אורך במערכת S היא: x = x γ = 1 γ l 0 cos θ 0 y = y = l 0 sin θ 0 כיוון שאפקט התכווצות האורך מתרחש רק עבור הקורדינטה שבכיוונה המהירות היחסית בין המערכות. שאר קורדינטות האורך נשארות כפי שהן. אורך המוט l והזווית θ במערכת S: l = ( ) x 2 + y 2 = l 0 1 v2 cos 2 θ 0 + sin 2 θ 0 = l 0 1 v2 sin2 θ 0 tan θ = y x = γ tan θ 0. π 2 אורך המוט התקצר והזווית התקרבה ל 6
שאלה 1 117 שני אופנועים שני אופנועים A ו B יוצאים מראשית הצירים. אופנוע A נוסע בכיוון xˆ במהירות 0.75c ואופנוע B נוסע בכיוון ŷ במהירות 0.9c ביחס למערכת המעבדה S. מהי המהירות של B אותה מודד אופנוע A? פתרון אנו רוצים למדוד את מהירות אופנוע B במערכת המנוחה של אופנוע A (זו המשמעות של ביחס ל A ). נקרא למערכת זו S. מערכת המעבדה אז נעה במהירות 0.75c (שמאלה) ביחס למערכת המעבדה S. לפי טרנספורמציית המהירויות: u B,x = u B,x v 1 vu B,x u B,y = 1 γ = 0 0.75c c 1 0.75c 0 = 0.75c 2 u B,y 1 vu B,x = u B = 1 (0.75) 2 ( 0.9c) 1 ( 0.75c) 0 = 0.59c לפי פיתגורס נקבל שמהירות B ביחס ל A היא: ( 0.75c) 2 + ( 0.59c) 2 = 0.96c θ = arctan (0.79) = 21.3 (לא לשכוח שיש להוסיף 10 לזווית בגלל ששתי המהירויות בסימן שלילי). 7