Johannes Kepler ( ) Немачки математичар, астроном и астролог.

1. УВОД 1.1. ГЕОДЕЗИЈА И ГЕОДЕСКИ ПРЕМЕР НАСАНАК И ДЕФИНИЦИЈЕ Реч геодезија потиче од античке грчке речи γεωδαισία (геодаисиа) која се, на српски језик, може превести као подела земље. Иако се историјски почеци геодезије везују још за антички период, за настанак савремене геодезије може се узети 16. век и Коперникова 1 формулација је хелиоцентричног модела универзума, у којем Земља није центар универзума већ само једна планета која кружи око Сунца. Коперников модел послужио је као основа за дефинисање Кеплерових (Kepler ) закона о планетарном кретању, који су касније послужили Исаку Њутну (Isac Newton 3 ) за формулисање закона универзалне гравитације. За Кеплера се такође везује и унапређена конструкција рефракторског дурбина, што је довело до конструкције теодолита и потпуно новог периода у геодетским и астрономским мерењима. Значајан је такође Меркаторов (Mercator 4 ) развој картографске пројекције и објављивање мапе света 1569. године. Дански математичар и астроном Снелијус (Snellius 5 ) увео је метод пресецања у циљу одређивања позиција терестричких тачака (тачака на површи Земље) мерењем само хоризонталних праваца. У 18. веку, током француске револуције уведен је јединствен метрички систем, где је 1801. године метар дефинисан као 40 000 000-ти део дужине земљиног меридијана. У 19. веку, Фридрих Вилхем Бесел (Friedrich Wilhelm Bessel 6 ), изучавајући облик Земље, увео је обртни елипсоид као математичку површ којом се апроксимира земљино тело. 1 Nikola Kopernik (polj. Mikołaj Kopernik, lat. Nicholas Copernicus, 19.0.1473. 4. 04.1543.), пољски астроном из Краљевске Прусије која је од 1466. припадала Пољском краљевству. Johannes Kepler (7.1.1571. 15.11.1630.) Немачки математичар, астроном и астролог. 3 Sir Isaac Newton (5.1.164. 0.03.176.) Енглески математичар, астроном и физичар (односно, како је сам себе описивао, природни философ), широко препознат као један од најутицајнијих научника свих времена. 4 Gerardus Mercator (05.03.151. 0.1.1594.) Немачко фламански географ, картограф и космограф. 5 Willebrord Snellius (13.06.1580. 30.10.166.) Дански математичар и астроном, чије се име најчешће везује за формулацију закона о рефракцији светлости. 6 Friedrich Wilhelm Bessel (.07.1784. 17.03.1846.) Немачки астроном, математичар, физичар и геодета. 1

Карл Фридрих Гаус (Carl-Friedrich Gauß 7 ) дефинисао је и применио метод најмањих квадрата, као оптималан поступак прилагођавања скупа резултата мерења унапред дефинисаном математичком моделу. Он је такође први дефинисао математичку фигуру Земље за коју је Листинг (Listing 8 ) први користио назив Геоид. Према класичној Хелмертовој (Helmert 9 ) дефиницији из 1880. године, геодезија је наука о мерењима и картографском представљању земљине површи. У основи оваква дефиниција је прихватљива и данас, обзиром да је површ Земље обликована земљином гравитацијом и највећи део геодетских мерења односе се на земљино гравитационо поље. Ипак, да би се проучавање земљиног гравитационог поља експлицитно укључило у дефиницију геодезије, на састанку комисије за образовање, Међународне геодетске асоцијације у Греноблу (Француска) 1975. године усвојена је потпунија дефиниција, која гласи: Геодезија је дисциплина која се бави мерењима и представљањем Земље, укључујући и њено гравитационо поље, у тродимензионалном простору који се мења са временом као и облике других небеских тела и њихових гравитационих поља. Геодезија се може поделити на глобалну геодезију и геодетски премер. Глобална геодезија се бави одређивањем облика и величине Земље, као небеског тела, њеном оријентацијом у простору и њеним спољашњим гравитационим пољем. Када је у питању геодетски премер, треба издвојити задатке који се односе на одређивање површи Земље и њеног гравитационог поља у оквиру ширих региона, који обухватају подручје државе или групе држава и имају за циљ успостављање мреже тачака са прецизно одређеним хоризонталним, вертикалним или тродимензионалним позицијама (геодетских референтних мрежа). Како су растојања између ових тачака релативно велика, при обради резултата мерења мора се урачунавати закривљеност земљине површи. акође, рачунања се морају изводити или у тродимензионалном простору или на површи која довољно прецизно осликава површ Земље (на пример површ обртног елипсоида). Ови задаци у страној литератури често се дефинишу као geodetic survey (геодетска мерења) када је у питању енглеско говорно подручје или Höhere Geodäsie (виша геодезија) када је у питању немачко говорно подручје. Насупрот томе, сав други премер који се изводи геодетским инструментима и методама рада и служи за решавање других практичних задатака као што су израда геодетских планова и карата односно топографски и катастарски премер или изградња 7 Johann Carl Friedrich Gauss (30.04.1777. 3.0.1855.) Немачки математичар који је дао значајан допринос у многим научним пољима укључујући теорију бројева, алгебру, статистику, анализу, геодезију, геофизику, механику, електростатику, магнетно поље, астрономију, матричну теорију и оптику. 8 Johann Benedict Listing (5.07.1808. 4.1.188.) Немачки математичар. 9 Friedrich Robert Helmert (31.07.1843. 15.06.1917.) Немачки геодета, професор Универзитета у Ахену и значајан аутор у области теорије грешака.

инжењерских објеката, односно инжењерски премер, дефинише се као енглеској терминологији као plane surveying (равански премер) односно niedere geodäsie или praktische geodäsie (нижа геодезија, практична геодезија) у немачкој терминологији. Обзиром да ови радови обухватају релативно мала подручја и растојања између опажаних тачака су релативно мала па се утицај закривљености земљине површи на резултате мерења, најчешће се може занемарити и рачунања се обично могу вршити у равни, коришћењем правила равне тригонометрије. ермини нижа геодезија, практична геодезија, инжењeрска геодезија (инжењерски премер) као и виша геодезија дуго су били заступљени и још увек су присутни у литератури на српском језику. 1.. ЗЕМЉА, ЊЕН ОБЛИК И ДИМЕНЗИЈЕ Свој облик Земља је формирала под утицајем гаравитационе силе. Према Њутновом закону универзалне гравитације, хомогена течна маса ослобођена свих спољашњих и унутрашњих утицаја, у стању мировања, уз минимум утрошка енергије, заузеће облик лопте. Како је се сматра, Земља је у свом настанку била усијана течна маса која се одвојила од Сунца и свој облик је формирала под утицајем сопствене гравитационе силе као и гравитацине силе Сунца и других небеских тела. Како је сопствена гравитациона сила имала највећи утицај на формирање облика Земље, за прво приближење њеног облика може се узети облик лопте. Усијана течна маса ротирала је око своје осе а такође и око Сунца, под утицајем гравитационе силе Сунца. Ротација усијане масе око једне осе (осе ротације Земље) производила је центрифугалну силу, која је у оси ротације једнака нули а повећава се сразмерно растојању од осе ротације. Ова сила утицала је да коначни облик Земље, уместо облика лопте, буде приближнији облику обртног елипсоида. Хладеђење усијане земљине масе довело је до формирања Земљине коре. Овај процес пратиле су честе вулканске ерупције, тако да је горња површ земљине коре односно физичка површ Земље попримила непавилан, односно математички нерегуларан облик. акође, под утицајем хемијских и биолошких процеса створени су делови земљине коре различите густине. Према томе, у свом савременом облику, Земљина маса није хомогена ни по саставу ни по густини а такође је у великом проценту (око 71%) карактерише покривеност воденом масом односно морима и океанима што производи значајна одступања њеног облика од површи елипсоида. Земља ротира око своје своје осе и тачке у којима оса ротације продире површ Земљиног тела називају се земљини полови, односно северни и јужни пол. Раван која садржи центар масе земљиног тела и управна је на осу ротације назива се екваторијална раван Земље. 3

1..1. Обртни елипсоид и елипсоидне координате Обртни елипсоид је математичко тело које настаје ротацијом елипсе око велике или мале осе. Елипсоид који настаје ротацијом елипсе око велике осе назива се издужени док се елипсоид настао ротацијом елипсе око мале назива спљоштени обртни елипсоид. Земља се апроксимира обликом спљоштеног обртног елипсоида (слика 1.1). Спљоштени обртни елипсоид дефинисан је са два основна параметра: великом полуосом ротирајуће елипсе, односно великом полуосом елипсоида a и малом полуосом ротирајуће елипсе, односно малом полуосом елипсоида b. Величина a b f =, (1.1) a дефинише се као спљоштеност елипсоида а величине и e b a = 1 = f f (1.) e' a b f f e 1 e = 1 = =, (1.3) 1 f Слика 1.1. Обртни елипсоид као квадрати првог и другог нумеричког ексцентрицитета, респективно. Ексцентрицитет, 0 e 1 представља меру одступања елипсе од облика кружнице, где је за кружницу e = 0. Поред дефиниције великом и малом полуосом, елипсоид се такође може једнозначно дефинисати и великом полуосом једним од перосталих параметара ( f, e или е ' ). 4

Ако се говори о елипсоиду који описује земљино тело, уводи се претпоставка да се центар обртног елипсоида поклапа са центром масе земљиног тела и да се мала оса елипсоида поклапа са осом ротације Земље. ачке продора мале осе кроз површ елипсоида називају се онда елипсоидни полови, па се могу разликовати елипсоидни северни пол, P и елипсоидни јужни пол, N P S. Средишња раван управана на малу осу назива се елипсоидна екваторијална раван а линија њеног пресека са површи елипсоида назива се елипсоидни екватор. Пресеци земљиног елипсоида равнима који садрже малу (обртну) осу b називају се меридијани (подневци). Нека је кроз произвољну тачку постављена нормала на елипсоид, n (слика 1.), која продире површ елипсоида у тачки '. Пресек који садржи тачку ' и обртну осу b назива се меридијан тачке. Сви пресеци елипсоида равнима које сарже нормалу n називају се нормални пресеци. Нормални пресек управан на раван меридијана тачке назива се први вертикал тачке. Угао између равни екватора и равни првог вертикала тачке назива се елипсоидна или геодетска ширина ϕ. Елипсоидна ширина ϕ може узети вредности 0 ϕ π/ према северу ( ϕ ( N ) ), а такође 0 ϕ π/ према југу ( ϕ ( S ) ). Слика 1.. Меридијан и први вертикал Меридијани и први вертикали имају облик елипси (осим екватора, који је први вертикал али има облик кружнице) и различито су закривљени у свакој својој тачки. Полупречник (радијус) закривљености меридијана М ( ϕ ) у тачки ' може се израчунати у функцији елипсоидне ширине ϕ ds a ( ) ( 1 e ) ϕ = = dϕ ( ) 3 ' 1 e sin ϕ М, (1.4) 5

где је ds диференцијална вредност лука меридијана, а полупречник (радијус) закривљености првог вертикала N ( ϕ ), у тачки ' као ( ϕ ) a N =. (1.5) 1 e sin ϕ Пресеци елипсоида равнима паралелним са равни екватора називају се паралеле (упоредници). Паралеле имају облик кружница полупречника 0 R a, где је на половима R = P 0 a R = a P je полупречник екватора. Све тачке које припадају истој паралели имају исту елипсоидну ширину ϕ. Елипсоидном ширином ϕ може се описати позиција тачке у односу на површ елисоида по меридијану односно правцу север-југ. Позиција тачке управно на овај правац односно у правцу запад-исток описује се елипсоидном или геодетском дужиним. Да би се дефинисала елипсоидна дужина λ, произвољне тачке, неопходно је дефинисати почетни меридијан (нулти меридијан) за који је λ = λ = 0 0. На Међународној меридијанској конференцији у Вашингтону 1884. године, за почетни (главни) меридијан усвојен је меридијан који пролази кроз астрономску лабораторију Гринич (Greenwich) у Лондону. Угао између почетног (Гриничког) меридијана и меридијана тачке (слика 1.3), дефинише се тада као елипсоидна дужина λ. Елипсоидна дужина, према конвенцији, може узети вредности 0 λ π, десно од равни Гриничког меридијана (гледано према северном полу P N ), односно источно од равни Гриничког меридијана ( ( Е) λ ) и такође 0 λ π западно од Гриничког меридијана ( λ ( W) ). Све тачке које припадају истом меридијану имају исту елипсоидну дужину λ. P Слика 1.3. Елипсоидне и тродимензионалне декартове координате 6

Овако дефинисаним елипсоидном ширином (латитудом) ϕ и елипсоидном дужином λ може се једнозначко дефинисати позиција било које тачке на површи елипсоида (слика 1.4). Растојање по нормали од површи елипсоида до произвољне тачке ( '- ) дефинише се као елипсоидна висина h. ројком елипсоидних координата, ϕ, λ, h, једнозначно се дефинише тродимнзионална позиција било које тачке у односу на земљин елипсоид. Слика 1.4. Мрежа меридијана и паралела дефинисаних елипсоидном ширином ϕ (паралеле) и дужином λ (меридијани) Ако се дефинише тродимензионлни Декатров (Descartes 10 ) координатни систем са координатним почетком у центру елипсоида, Z осом усмереном према северном полу P N (слика 1.3), X осом усмереном према пресечној тачки почетног меридијана и екватора и Y осом која допуњава декартов координатни систем десне оријентације, онда де се позиција тачке може такође описати њеним тродимензионалним Декартовим (картезијанским) координатама (слика 1.3) ( N( ϕ ) + ) cosϕ cosλ ( N( ϕ ) + ) cosϕ sin λ X = h, Y = h и (1.6) [( 1 e ) N( ϕ ) + ] sin ϕ Z = h. Уколико се ограничено подручје у околини произвољне тачке жели апроксимирати лоптом (сфером) онда се поупречник те сфере рачуна као ( ϕ ) ( ϕ ) R = M N. (1.7) 10 René Descartes (латински, Renatus Cartesius, 31.03.1596 11.0.1650) француски философ, математичар и научник. 7

Уколико се целокупна површ елипсоида апроксимира сфером, онда се за полупречник такве сфере могу користити изрази 3 R' = a b, (1.8) чиме се добија сфера запремине приближно једнаке запремини елипсоида или a+b R '' =, (1.9) 3 чиме се добија сфера површине приближно једнаке површини елипсоида. 1... Геоид За верније описивање облика Земље, као референтна величина узима се гравитациона сила Земље, односно силa земљине теже. Ако се у гравитационом пољу Земље нађе тело масе m онда ће на њега деловати сила привлачења F = m g, (1.10) где је g сила земљине теже. Сила земљине теже F g =, (1.11) m представља силу којом Земља привлачи сва тела која се налазе на или у близини њене површи и независна је од масе тела m. Сила земљине теже g је векторска величина и представља (слика 1.5) резултанту гравитационе силе земљиног тела g G, усмерене према центру масе земљиног тела, и центрифугалне силе g C, усмерене управно на осу ротације Земље која настаје услед ротације Земље угаоном брзином ω. Интензитет центрифугалне силе g C у оси ротације једнак је нули док је у произвољној тачки сразмеран растојању p од осе ротације. 8

Слика 1.5. Сила земљине теже Највећу вредност на физичкој површи Земље центрифугална сила g C има на пресечној линији еваторијалне равни и физичке површи Земље односно земљином екватору. Интензитет силе земљине теже, односно убрзање силе земљине теже онда је F F g = g = = m m, (1.1) и може се изразили у метрима по квадрату од временске секунде ( m/ s ). Распоред маса на површи Земље (океани, планине), састав земљине коре као и надморска висина заједно са ротацијом и спљоштеношћу Земље узрокују да се убрзање силе земљине теже мења од једне до друге тачке на површи Земље. Највећу вредност вредност убрзање силе земљине теже има на половима ( g 9,83 m/s ) а најмању на екватору ( g 9,780 m/s ). Е Количина рада неопходна да се материјална тачка доведе из бесконачности у произвољну тачку ( X, Y, Z ) у земљином гравитационом пољу, где су X, Y, Z правоугле геоцентричне координате тачке (слика 1.3), дефинише се као потенцијал силе земљине теже у тачки, W ( X, Y, Z). Геометријска места тачака једнаког потенцијала силе земљине теже, W = const (слика 1.6), називају се еквипотенцијалне или нивоске површи. P 9

Слика 1.6. Еквипотенцијалне површи и геоид Еквипотенцијална површ са вредношћу потенцијала силе земљине теже W = 0 const, која би одговарала површи идеално мирних мора и океана као и њеном замишљеном продужетку испод (или изнад) копненог дела земљине површи назива се геоид. Линије управне на све еквипотенцијалне површи називају се вертикале. Како еквипотенцијалне површи нису међиусобно паралелне, вертикале нису праве већ благо закривљене линије (слика 1.6) које конвергирају према центру масе Земље. На својим кратким деловима вертикале се могу сматрати правим и могу се материјализовати на пример канапом обичног виска или положајем осе цевасте или центричне либеле када мехур либеле врхуни. За разлику од геоцентричног обртног елипсоида који је математички идеализована апроксимација физичке Земље, геоид је нерегуларна површ али значајно глаткија у односу на физичку површ Земље. Висина физичке површи Земље изнад идеализованог геоцентричног елипсоида креће се у распону од h 8500 m (планински врх Монт Еверест на Хималајима) до h 430 m у рејону Мртвог мора на Блиском истоку. Насупрот томе, висина било које тачке геоида изнад идеалног геоцентричног обртног елипсоида, односно геоидна висина или ундулација N (слика 1.7) креће се у распону од N 106 m до N +85 m. 10

Слика 1.7. Геоидна висина и одступање вертикале На глобалном нивоу, површ геоида математички се репрезентује специјалним функцијама над површи сфере, односно сферним хармоникама, док се на мањим подручјима ова репрезентација врши скупом правилно распоређених тачака погодне резолуције (гридом) са прецизно одређеним геоидним висинама, односно ундулацијама N. Облик површи геоида у односу на геоцентрични обртни елипсоид одређује се на основу: Oпажања небеских тела (астрогеодетска мерења); Mерења вредности убрзања силе земљине теже (гравиметријска мерења); Примене вештачких земљиних сателита (мерења дужина од сателита до физичке површи Земље сателитска алтиметрија, опажања путања вештачких земљиних сателита, мерења промене убрзања силе земљине теже на сателитским путањама градиометријска мерења). Угао између вертикале произвољне тачке и нормале на површ геоцентричног обртног елипсоида назива се одступање вертикале, VD (Vertical Deflection). Вредности одступањa вертикалa варирају од вредности мањих од 10 " у равничарским подручјима преко вредности до 50 " карактеристичним за планинска подручја па до 100 " у региону Хималаја. Одступања вертикала приказују се разложена на компоненту север-југ ( ξ ) и компоненту запад-исток ( η). У случајевима великих растојања између станице и визурне тачке и мерења високе прецизности, резултати мерења хоризонталних праваца и зенитних углова морају се кориговати за одступања вертикала. 1..3. Мареографи Средњи ниво мора у односу на који се референцира површ геоида одређује се на основу специјалних уређаја (постројења) за прећење нивоа мора и океана мареографа. На слици 1.6 приказана је схема механичког мареографа. ренутни ниво мора матријализује се у посебном бунару који је са морем повезан цевима како би се умањиле тренутне варијације изазване ветром и таласима. Специјалан пловак 11

повезује се преко ужета (жице), система зупчаника и полуга са писаљком која на папирној траци намотаној на ваљак уписује (региструје) тренутни ниво мора. Висина центра основног зупчаника, геометријским нивелманом, повезана је са висином нормалног (почетног, мареографског) репера у односу на који се дефинише висина средњег нивоа мора. Ротација ваљка регулисана је сатним механизмом тако да се пун обрт ваљка догађа у тачно пројектованом временском интервалу (1 дан, 7 дана или неко друго пројектовано време). Из података регистрованих на папирној траци у одређеном временском периоду, у односу на нормални репер, може се извести вредност средњег нивоа мора. Слика 1.8. Схема механичког мареографа Свремени мареографи користе рачунарску технологију за регистровање средњег нивоа мора, где се емитује акустични сигнал који се рефлектује од водене површине. Из времена потребног да акустични сигнал пређе довструко растојање до водене површине региструје се тренутни ниво мора. Поред нивоа мора савремене станице за праћење нивоа мора региструју и остале океанографске и метереолошке параметре као што су брзина и правац ветра, температуре воде и ваздуха и атмосферски притисак. Ови подаци користе се за различите намене као што су безбедна навигација на мору, регистровање и прогноза тренда нивоа мора и друге океанографске параметре. Историјски подаци расположиви су са преко 1450 станица широм света од којих 950 обезбеђују податке за Перманентни сервис за срењи ниво мора (Permanent Service for Mean sea Level, PMSL) базираном у Националном океанографском центру у Ливерпулу (Енглеска). 1.3. ДИМЕНЗИЈЕ И ПОЗИЦИОНИРАЊЕ РЕФЕРЕННОГ ЕЛИПСОИДА ГЕОДЕСКИ ДАУМ 1.3.1. Астро-геодетски поступци одређивања параметара земљиног елипсоида Одређивање два фундаментална параметра двоосног земљиног елипсоида (на пример велоке полуосе а и првог нумеричког ексцентрицитета е ) може се извршити на основу 1

мерења дужине меридијанске елипсе i, j S i, између парова тачака на истом меридијану j (слика 1.9) и одређивања географских (астрономских) ширина Φ i, Φ j (слика 1.10), за истe парове тачака. Дужина лука меридијана изводи се из мерења једне релативно кратке дужине основице, S О, и мреже троуглова у којима су мерени сви унутрашњи хоризонтални углови, односно методом триангулације. Слика 1.9. Приказ поступка одређивања дужине лука меридијанске елипсе (Vaníček P., Krakiwsky J. E., 1999) Географске (астрономске) координате за били коју терестричку тачку ( Φ, Λ ) могу се извести на основу опажања небеских тела и мерења времена, методама позицијске астрономије. Слика 1.10. Географска ширина и дужина терестричке тачке, (orge W, 001) 13

Географска (астрономска) ширина Φ је угао мерен у равни меридијана између земљине екваторијалне равни и правца силе земљине теже у терестричкој тачки. Њена вредност позитивна је од екватора према северу а негативна од екватора према југу. Угао мерен у екваторијалној равни између равни Гриничког меридијана и равни меридијана тачке назива се географска (астрономска) дужина Λ. Њена вредност позитивна је у смеру истока. Географска ширина и дужина тачке ( Φ, Λ ) односе се на спољашњу нормалу n, на еквипотенцијалну површ тачке ( W =, (супротно вектору силе земљине теже g ). W ) која је усмерена према зениту тачке Слика 1.11. Геометрија меридијанске елипсе (Vaníček P., Krakiwsky J. E., 1999) Веза између дужине лука меридијана (слика 1.11) j S i и разлике географских ширина тачака i и j Φ i = Φ j Φ, i (1.13) може се успоставити посредством полупречника закривљености меридијана (1.4), односно може се писати Φ Φ j ( Φ) ds j i = M dφ, (1.14) oдносно ds j i i Φ j ( e ) ( 1 e sin Φ) Φ 3/ = а 1 dφ. (1.15) i У једначини (1.15) фигуришу велика полуоса а и први нумерички ексцентрицитет е, као непознати параметри. За одређивање њихових вредности неопходно је формирати најмање две једначине облика (1.15) односно измерити дужине најмање два лука меридијана, где је оптимално да се један налази у околини екватора, где је закривљеност лука меридијана највећа и други и околини земљиног пола, где је закривљеност лука j 14

меридијана најмања. Овакав поступак у литератури се обично назива француски експеримент, пошто је први пут изведен у 18. веку од стране Француске академије наука. Концепцијски еквивалентна алтернатива оваквом поступку је коришћење тригонометриских мрежа на ширим подручјима, на основу којих су, од почетка 19. до средине 0. века, изведени параметри елипсоида од стране различитих аутора и за потребе различитих држава. Неки од резултата оваквих одређивања приказани су у табели 1.1. абела 1.1. Параметри неких земљиних елипсоида, одређени астрогеодетским поступцима Елипсоид Параметар Бесел, 1841 Хајфорд, 1910 Красовски, 1940 Велика полуоса a 6 377 397,155 6 378 388,000 6 378 45,000 Спљоштеност f 1:99,1581 1:97,00 1:98,30 Беселов елипсоид изведен је на основу резултата мерења за 10 меридијанских лукова и астрогеодетских одређива географске ширине и дужине за 38 тачака на територијама европских земаља, Русије и Индије. Пoред Србије, коришћен је још у око 50 % европских и око 0 % осталих држава. Елипсоид Хајфорда (Hayford 11 ), поред Европе укључивао је мерења из Северне Америке и препоручен је 194. године од стране Међународне геодетске и геофизичке уније (International Union of Geodesy and Geophysics, IUGG) као међународни елипсоид. Елипсоид Красовског (Красовский 1 ) установљен је у Сојетском Савезу (СССР) у оквиру Система координата 4 (Система координат 194 года, СК-4). 1.3.. Позиционирање референтног елипсоида унутар земљиног тела геодетски датум У класичној дефиницији геодетског датума, усваја се почетна односно фундаментална тачка, за коју се уводе једнакости (слика 1.1a) Φ = ϕ, Λ = λ, H = ϕ, (1.16) 11 John Fillmore Hayford (1868-195) Еминентни геодета Сједињених америчких држава који се бавио теоријом изостазије, одређивања параметара земљиног референтног елипсоида и апроксимацијом облика Земље. 1 Феодосий Николаевич Красовский (1878-1948) Руски (касније Совјетски) астроном и геодета. 15

и такође почетна геодетска страна 1, за коју се уводи једнакост (слика 1.1б) 1 α 1 = Α, (1.17) Слика 1.1. Класично дефинисан геодетски датум где су: Φ, Λ - географска ширина и дужина тачке одређене астрогеодетским поступцима, ϕ, λ - геодетска (елипсоидна) ширина и дужина тачке у систему усвојеног референтног елипсоида, H h - висина тачке одређена геометријским нивелманом (ортометријска) у односу на усвојени почетни (мареографски) репер, - елипсоидна висина тачке, у систему усвојеног референтног елипсоида, Α 1 - азимут почетне геодетске стране 1 одређен астрогеодетским поступцима (астрономски азимут), α 1 - азимут почетне геодетске стране 1 у систему усвојеног референтног елипсоида (геодетски азимут). Азимут дужи (стране) 1, (слика 1.1) је хоризонтални угао са теменом у почетној тачки дужи између вертикалне равни која садржи северни пол P N и вертикалне равни која садржи крајњу тачку дужи 1. Последица оваквог приступа је да се, у фундаменталној тачки, површи геоида и референтног елипсоида поклапају што такође значи да се и положај вертикале поклапа са нормалом на референтни елипсоид. Са удаљавањем од фундаменталне тачке разлике 16

између површи геоида и референтног елипсоида се повећавају као и оступања вертикала од нормала на елипсоид. Конвенција о азимуту доводи до паралелности између осе елипсоида и усвојене средње (конвенционалне) осе земљине ротације у оквирима тачности астрогеодетских мерења. Код овог класичног утврђивања датума јавља се разлика између средње тачке (центра) елипсоида и центра масе земљиног тела (слика 1.13). Слика 1.13. Регионални и геоцентрични земљин елипсоид Овако дефинисан геодетски датум нема за циљ да површ референтног елипсоида оптимално репрезентује земљин облик и величину већ да послужи за геодетско позиционирање на ограниченом подручју (на пример државе или групе држава). Због тога се овакви елипсоиди дефинишу као регионални елипсоиди (слика 1.13) који се примењују само у ограниченом региону коришћења. На већим регионима коришћења, уместо једне усваја се више правилно распоређених фундаменталних тачака у овиру геодетске референтне мреже, што заједно са мерењим више дужина између тачака мреже (основица) омогућује да се позиција центра референтног елипсоида и параметри оријентације његових оса одреде осредњавањем. Насупрот њима, елипсоиди код којих се претпоставља или поставља као услов да се њихове осе поклапају са осама инерције земље дефинишу се као геоцентрични. 1.3.3. Глобални геоцентрични референтни системи Позиционирање терестричких тачака применом Глобалних навигационих сателитских система (ГНСС) захтева јединствен глобални геодетски датум базиран на Конвенционалном терестричком референтном систему (Conventional errestrial Reference System, CRS). CRS је геоцентричан и дефинисан је средњим положајем земљиног северног пола у периоду 1900. -1905. година и геодетском дужином 0 у меридијанској равни Гриничке опсерваторије (слика 1.14). CRS је фиксиран за земљино тело тако да се креће и ротира заједно са Земљом. 17

Слика 1.14. Конвенционални терестрички референтни систем Позиције терестричких тачака у Конвенционалном терестричком референтном систему описују се Декартовим координатама ( X, Y, Z, слика 1.14), где: координатни почетак тродимензионалног Декартовог координатног коинцидира са центром масе земљиног тела, Z оса је дефинисана средњим положајем осе ротације Земље за период 1900. -1905. година, X оса је дефинисана пресечном тачком Гриничког меридијана и екватора и Y оса допуњава тродимензионални Декартов координатни систем десне оријентације. Да би се позиције тачака на физичкој површи земље могле изразити и елипсоидним (геодетским) координатама (геодетска ширина ϕ, геодетска дужина λ и елипсоидна висина h ), оваквом систему придружује се обртни елипсоид за центром у координатном почетку. Обртни елипсоид придружен CRS дефинише се као еквипотенцијални односно нивоски елипсоид. Ово подразумева да се површи обртног елипсоида може придружити вредност нормалног потенцијала силе земљине теже, U = U 0 = W0 = const, где је W 0 вредност реалног потенцијала силе земљине теже на површи геоида, односно нормално убразање силе земљине теже на површи обртног елипсоида γ 0 = grad( U ), (за разлику од реалног убразања силе земљине теже на површи геоида g 0 ). Еквипотенцијални елипсоид као и његово нормално гравитационо поље, може се једнозначно описати са четири параметра (абеле 1. и 1.3): гравитационом константом GM, односно масом Земље укључујући атмосферу, 18

угаоном брзином ротације ω, великом полуосом а и фактором спљоштености f. Конвенционални терестрички референтни систем реализује се терестричким референтним оквиром, односно скупом тачака на површи Земље чије су координате X, Y, Z прецизно одређене опажањем вештачких земљиних сателита или других екстратерестричких објеката. ри релевантна вида CRS са основним физичким константама и параметрима перидружених еквипотенцијлних елипсоида приказаних у абелама 1. и 1.3, су: 1. Међународни терестрички референтни систем (International errestrial Reference System, IRS), установљен од стране Међународне службе за земљину ротацију (International Earth Rotation Service, IERS);. Светски геодетски систем 1984 (Word Geodetic System 1984, WGS84) установљен за потребе Глобалног позиционог система (Global Positioning System, GPS) од стране Америчке агенције за картографију (US National Imagery and Mapping Agency, NIMA) и Министарства одбране САД (US Department of Defence, DoD) и 3. Параметри земље 90 (Параметри Земльи 1990, ПЗ90), установљен за потребе система за глобално позиционирање Руске федерације, ГЛОНАСС (ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система). абела 1.. Основне физичке константе Константа Симбол Јединица IRS-GRS80 WGS84 ПЗ90 Брзина светлости у вакуму c m /s 9979458 9979458 9979458 Гравитациона константа G m 3 /(kg s ) 6.67300E-11 6.67300E-11 6.6759E-11 Иако су међусобно независно развијани, између ових система вршено је усаглашавање, тако да се они и поред малих разлика у параметрима придружених еквипотенцијалних елипсоида, данас могу сматрати међусобно сагласним за већину практичних примена геодетског премера. 19

абела 1.3. Параметри еквипотенцијалних елипсоида Параметар Ознака Јединица IRS-GRS80 WGS84 ПЗ90 Фундаменталне геодетске константе Гравитациона константа (маса Земље укључујући атмосферу) GM m 3 /s 3.98600500E+14 3.986004418E+14 3.986004418E+14 Угловна брзина ротације Земље ω rad/s 7.9115E-05 7.9115E-05 7.9115E-05 Велика полоса референтног елипсоида a m 6378137.0 6378137.000 6378136.000 Фактор спљоштености f - 3.3581068E-03 3.3581066E-03 3.3580374E-03 Изведене геометријске константе Мала полоса референтног елипсоида b = a fa m 635675.314 635675.314 6356751.36 Први нумерички ексцентрицитет e - 0.006694380090 0.00669437999014 0.006694366000 Други нумерички ексцентрицитет e - 0.00673949677548 0.006739496748 0.006739488000 Физичке константе Нормални потенцијал на површи елипсоида U0 m /s 6636860.8500 6636851.7146 6636861.4000 Нормално убрзање на елипсоидном екватору γ0e m /s 9.780367715 9.78035336 9.78038400 Нормално убрзање на елипсоидном полу γ0p m /s 9.831863685 9.83184938 9.83188000 1.3.4. Европски терестрички референтни систем Земљина кора (литосфера) састављена је од седам основних и већег броја мањих тектонских плоча, чији се међусобни положај мења током времена. На слици 1.15 приказане су границе и смерови кретања за основне земљине тектонске плоче. Кретање тектонских плоча има за последицу да тродимензионалне позиције односно координате терестричких тачака одређене у Конвенционалном терестричком референтном систему (глобалне геоцентричне координате) нису константне у времену. Европски континент, највећим делом, садржан је на Евроазијској тектонској плочи која се креће према југоистоку брзином од cm по календарској години. Ова временска еволуција чини глобалне геоцентричне координате неподесним за практичне примене у геодетском премеру и изради планова и карата. Да би се овај проблем решио, Међународна геодетска унија (International Association of Geodesy, IAG) и Европски комитет за картографију (Comité Européen des resposables de la Cartographie Officielle, CERCO) одлучили су 1987. године да установе и реализују нови Европски геодетски референтни оквир (European errestrial Reference Frame, ERF) заснован на ГНСС опажањима. Овај референтни оквир је континенталног нивоа и намена му је да послужи као основа за јединствене дигиталне базе података планова и 0

карата широм Европе, односно да обједини националне референтне системе за геодетски премер, израду планова и карата, геоинформационе системе (Geoinformation Systems, GIS) и навигацију у Европи. Слика 1.15. Основне земљине тектонске плоче ако је настао Европски терестрички референтни систем 89 (European errestrial Reference System 1989, ERS89) заснован на међународном терестричком референтном оквиру (International errestrial Reference Frame, IRF). Суфикс 89 означава да се ERS поклапао са IRS, 1989. године. Касније реализације, кроз поновно опажање и проширење Европског терестричког референтног оквира носе ознаке ERFyy, где суфикс yy означава годину реализације. Да би се избегле промене координата у времену, одлучено је да ERS89 ротира заједно са стабилним делом европске тектонске плоче (слика 1.15), тако да релативни односи између терестричких тачака остану константни, што је од велике важности у практичним применама геодетског премера и картографије. 1.4. СИСЕМИ ВИСИНА ВЕРИКАЛНИ ДАУМ Систем висина је једнодимензионални координатни систем чија је улога да једнозначно дефинише метричко растојање произвољне терестричке тачке, од референтне површи висина по прецизно дефинисаној путањи мерења. Ово растојање дефинише се као висина. Иако проблем на први поглед изгледа једноставно, висина може бити дефинисана на више суптилно другачијих начина, што доводи до различитих вредности 1

висине за исту терестричку тачку. Највећи утицај на резултат одређивања висине има избор референтне површи висина али је такође од значаја и путања по којој се висина мери. У основи, постоје две класе система висина, прва која игнорише земљино гравитационо поље и где се вредности висина мере по правим линијама и друге природно повезана са еквипотенцијалним површима и вертикалама земљиног гравитационог поља па, према томе, висине следе закривљене путање и које су много прихватљивије и погодније за решавање већине инжењерских задатака. Нека се, на пример, висине тачака користе да би се усмерио ток воде при изградњи дренажног система на већем подручју. Очекује се да ће вода тећи од тачака са већом висином према тачкама са мањом висином. Међутим, током воде не управљају вредности висина него сила земљине теже. Према томе, уколико систем висина занемарује или неовољно доследно урачунава силу земљине теже, може се догодити да вода потекне у нежељеном смеру ( уз брдо ). Јасно је да такав систем висина не може послужити за решавање оваквог проблема. Према томе, за решавање велике већине (мада не свих) практичних проблема подесан је систем висина погодно повезан са земљиним гравитационим пољем. Систем висина који није директно повезан са земљиним гравитационим пољем су елипсоидне висине. Иако су еквипотенцијални елипсоиди дефинисани тако да генеришу сопствено гарвитационо поље (нормално грацитационо поље) то нема улогу у дефиницији чисто геометријског елипсоидног система висина. Елипсоидна висина h (слика 1.16) произвољне терестричке тачке представља растојање по нормали на референтни елипсоид (која је права линија), од геометријске површи референтног елипсоида до тачке. Референтни елипсоид представља истовремено и референтну површ висина на којој су вредности елипсоидне висине једнаке нули. Према томе, вредност елипсоидне висине h зависна је од параметара и позиције референтног елипсоида унутар земљиног тела. Обзиром да на истом подручју могу фигурисати различити рефрентни елипсоиди (регионални или геоцентрични), иста терестричка тачка може имати потпуно различите вредности елипсоидне висине (као што може имати и различите вредности за геодетску ширину ϕ и дужину λ ) у зависности од референтног елипсоида на који се односи. Према томе, када се оперише са елипсоидном висином мора бити јасно на који елипсоид се она односи.

Слика 1.16. Елипсоидне, ортометријске и нормално-ортометријске висине Висине које се односе на земљино гравитационо поље називају се природне или физичке висине. Ове висине могу бити изражене у неколико форми у зависности од третмана гравитације и према томе, закривљене линије по којој се дефинише (рачуна) вредност метричког растојања (висине). Оне такође зависе од избора референтне површи висина, иако то није толико наглашено као у случају елипсоидних висина (максимална разлика висина у овом случају уобичајено може бити m ). Овде ће бити описана два физичка система висина који су најчешћи у применама геодетског премера. О Ортометријска висина H, произвољне терестричке тачке, представља растојање које се рачуна по линији управној на еквипотенцијалне површи земљиног реалног гравитационог поља, односно природној вертикали (закривљеној линији) од тачке O у којој природна вертикала продире површ геоида до тачке. Геоидна висина (ундулација N ) представља растојање по нормали на референтни елипсоид између тачке релација H O O и површи елипсоида. Између елипсоидних и ортометријских висина важи = h N. (1.18) Према томе, уколико се применом ГНСС одреди елипсоидна висина h и уколико се за положајну позицију израчунати вредност ундулације геоида ортометријска висина ϕ, λ може, на основу познатог модела површи геоида, O H. N, онда се из (1.18) може се израчунати Систем ортометријских висина (модел површи геоида) тешко је прецизно реализовати због потребе познавања распореда топографских маса (земљиних маса изнад површи геоида), односно познавања тачног облика природне вертикале. Због тога се, по 3

предлогу руског (совјетског) геодете Молоденског (Молоденский 13 ) често одређује површ квазигеоида која не захтева увођење претпоставки о распореду топографских маса. Квазигеоид није еквипотенцијална површ (за разлику од геоида) али је са њом релативно блиска. Површи геоида и квазигеоида поклапају се на морима и океанима док се у континенталним подручјима јављају разлике висококорелисане са израженошћу топографије (највеће су у планинским подручјима а максималне 3,4 m у подручју Хималаја). N-О Нормално-ортометријска висина H, произвољне терестричке тачке, представља растојање које се рачуна по линији управној на еквипотенцијалне површи нормалног гравитационог поља (нормална вертикала, закривљена линија али познатог облика) од тачке N-O, у којој вертикала нормалног гравитационог поља тачке продире површ квазигеоида, до тачке. Квазигеоидна висина (аномалијска висина ζ ) представља растојање по нормали на референтни елипсоид између тачке N-O и површи елипсоида. Између елипсоидних и нормално-ортометријских висина важи H = h ζ. (1.19) N-O акође, уколико се применом ГНСС одреди елипсоидна висина h и уколико се за положајну позицију ϕ, λ може, на основу познатог модела површи квазигеоида, израчунати вредност квазигеоидне висине ζ, онда се из (1.19) може се израчунати N-О нормално-ортометријска висина H. 1.5. КАРОГРАФСКЕ ПРОЈЕКЦИЈЕ Картографске пројекције служе за приказ целе и дела земљине површи на геодетским плановима или картама. Како се геодетски планови односно карте изађују у равни, потребно је да се површ Земље једнозначно преслика у раван. Како се нити физичка површ Земље нити иједна математичка површ којом се физичка површ Земље апроксимира не може развити у раван без деформација, неопходно је математичку фигуру којом се апроксимира физичка површ Земље (елипсоид, сфера), једначинама картографске пројекције, пресликати у раван или на неку другу површ која се може развити у раван без деформација. Једначине картографске пројекције, за подручје пресликавања, морају бити такве да омогућавају једнозначно израчунавање дводимензионалних Декартових координата ( y, x ) у равни пројекције на основу геодетских координта ( ϕ, λ ) на површи земљиног елипсоида (или сфере), односно 13 Михаил Серге евич Молоденский (1909-1991) чувени совјетски геодета који је дао велики допринос на пољу физичке геодезије. 4

y = f x = f y x ( ϕ, λ) ( ϕ, λ), и (1.0) где су f y и f x једначине картографске пројекције. Поред саме равни, површи које се без деформација могу развити у раван су конус и цилиндар. ако се у зависности од површи пресликавања разликују (слика 1.17): Слика 1.17. Подела картографских пројекција према површи пресликавања а) азимутне пројекције, код којих је површ пресликавања раван, б) конусне пројекције, код којих је површ пресликавања конус и в) цилиндричне пројекције, код којих је површ пресликавања цилиндар. Приликом пресликавања земљиног елипсоида у раван неизбежно се јављају деформације које, у зависности од: изабране површи пресликавања, позиције површи пресликавања у односу на земљин елипсоид и позиције центра пројицирања, имају различиту природу а такође у зависности од истих критеријума пројекција може омогућавати пресликавање целог или само једног дела земљиног елипсоида у раван. Према природи деформација картографске пројекције деле се на: 5

а) Конформне, код којих се задржава једнакост углова односно сличност слика док им се размера мења. ако ће се, на пример, два круга истих полупречника на различитим местима Земљине површи пројицирати као кругови различитих полупречника; б) Ееквивалентне, код којих се задржава једнакост површина. Код ових пројекција деформише се размера и изглед слике. На пример, два круга једнаких полупречника на различитим местима Земљине површи пројицираће се као две елипсе различитих облика али једнаких површина (квадратуре); в) Еквидистантне, код којих се задржава једнакост дужина (размера) и то само по одрађеним правцима. Према жељеној природи деформација бира се и одговрајућа картографска пројекција, при чему не постоји најбоља пројекција већ само мање или више оптимална за решавање конкретног проблема. Кратографске пројекције приказане на слици 1.17, дефинишу се као поларне, обзиром да се оса површи пројицирања поклапа са осом ротације Земље. Кратографске пројекције код којих је оса површи пројицирања управна на осу ротације Земље дефинишу се као попречне (слика 1.18а) а уколико оса површи пројицирања продире површ елипсоида у тачки са геодетском ширином 0 < ϕ < π / онда се такве пројекције дефинишу као косе (слика 1.18б). Слика 1.18. Попречне и косе картографские пројекције Према положају центра пројицирања картографске пројекције деле се на: а) централне, код којих се центар пројицирања поклапа са центром земљиног елипсоида; 6

б) стереографске, код којих се центар пројицирања налази на површи елпсоида и поклапа се са осом површи пројицирања; в) спољне, код којих се центар пројицирања налази изван површи елпсоида и поклапа се са осом површи пројицирања и г) ортографске, код којих је цетар пријицирања у бесконачности. Слика 1.19. Различити положаји центра пројицирања на примеру азимутних пројекција Слика 1.19 илуструје различите положаје центра пројицирања на примеру азимутних пројекција. Уместо равни пројицирања која додирује Земљин елипсоид у тачки или по линији додира, може се поставити површ пројицирања тако да пресеца Земљин елипсоид. ада се говори о пројекцијама са секућом површи пројицирања. 7