Διάλεξη 13: 25.11.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη & Σ. Κ. 13.1 Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 13.1 Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()]. Δηλαδή, εναγόμενος κύκλος είναι κύκλος ο οποίος δεν έχει χορδές. Βλ. Σχήμα 13.1 για ένα παράδειγμα εναγόμενου κύκλου. G 1 G 2 Σχήμα 13.1: Ο G 1 περιέχει εναγόμενο κύκλο 6, ο G 2 περιέχει ένα υπογράφημα ισόμορφο με το 6 που δεν είναι εναγόμενο υπογράφημα. Λήμμα 13.1 Εστω κύκλος σε επίπεδο γράφημα G = (V, E) τ.ώ. G και το γράφημα G δεν είναι ο κύκλος συν μια χορδή. Τότε ο ορίζει το σύνορο όψης σε κάθε εμβάπτιση του G στο επίπεδο, αν και μόνο αν ο είναι εναγόμενος κύκλος και δεν είναι διαχωριστής του G. Απόδειξη: : Εστω εμβάπτιση Γ του G στο επίπεδο. Αφού το G \ συνεκτικό, από το Θεώρημα του Jordn (Θεώρημα 10.1) θα περιέχεται εξολοκλήρου είτε στο εσωτερικό του δίσκου D που ορίζει ο στη Γ (βλ. Σχήμα 13.2) είτε στο R 2 \ D. Σε κάθε περίπτωση, η «άλλη» περιοχή του R 2 \, δηλαδή αυτή που δεν περιέχει το G \, είναι μία όψη που έχει ως σύνορο το, διότι δεν υπάρχουν χορδές (βλ. Σχήμα 13.3). : (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντιθετοαντιστροφής) Εστω ο κύκλος δεν είναι εναγόμενος ή το G \ δεν είναι συνεκτικό. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Περίπτωση 1: Ο δεν είναι εναγόμενος, δηλαδή υπάρχει χορδή c του στο G. Αφού G c, είτε ο G έχει κορυφή εκτός του ή το G περιέχει χορδή d του όπου d c. 13-1
Διάλεξη 13: 25.11.26 13-2 D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορρέουν απο Θεώρημα του Jordn. Αριστερά: το G\ περιέχεται στο εσωτερικό του δίσκου D. Δεξιά: το G \ περιέχεται στο R 2 \ D. Η μη ύπαρξη χορδών και στις δύο περιπτώσεις περιγράφεται σχηματικά. Στην αριστερή εικόνα η απουσία χορδών είναι προφανής, ενώ στη δεξιά, επισημαίνεται με την ύπαρξη των δύο πράσινων κόμβων.
Διάλεξη 13: 25.11.26 13-3 Θεωρούμε εμβάπτιση Γ του γραφήματος G, στην οποία ο ορίζει όψη f (βλ. Σχήμα 13.4). (Αν δεν υπάρχει τέτοια εμβάπτιση τότε αποδείχθηκε.) d f c Σχήμα 13.4: Εμβάπτιση Γ στην οποία ο κύκλος ορίζει όψη f. Τροποποιούμε τη Γ σχεδιάζοντας τη c μέσα στην όψη f. Παίρνουμε εμβάπτιση Γ στην οποία ο δεν ορίζει όψη μιας και έξω από τον δίσκο που ορίζει ο θα βρίσκεται η κορυφή ή η χορδή d (βλ. Σχήμα 13.5). d c Σχήμα 13.5: Εμβάπτιση Γ στην οποία ο κύκλος δεν ορίζει όψη. Περίπτωση 2: Το G \ έχει τουλάχιστον δύο συνιστώσες. Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι έχει ακριβώς δύο συνιστώσες,. Εστω η εμβάπτιση Γ στην οποία ορίζει όψη ο. Από την Α παίρνουμε τις «εναγόμενες» εμβαπτίσεις Γ του G \ = και Γ του G \ = (βλ. Σχήμα 13.6). Σχήμα 13.6: Εμβάπτιση Γ στην οποία ορίζει όψη ο. Χ.β.τ.γ., υποθέτουμε επίσης ότι ο ορίζει την εξωτερική όψη στη Γ και μη εξωτερική όψη στη Γ (βλ. Σχήμα 13.7). Συνδυάζουμε τις Γ και Γ «συγκολλώντας» τες στον. Με άλλα λόγια
Διάλεξη 13: 25.11.26 13-4 επεκτείνουμε την Γ σε εμβάπτιση όλου του G «προσθέτοντας» τη Γ στο εσωτερικό της όψης που ορίζει ο (βλ. Σχήμα 13.8). Σχήμα 13.7: Εμβαπτίσεις Γ (αριστερά στο σχήμα), Γ (δεξιά στο σχήμα). 0 1 Σχήμα 13.8: Συνδυασμός εμβαπτίσεων Γ και Γ σε μία εμβάπτιση. Στις περιπτώσεις όπου G = ή G = c, όπου c χορδή του, όλες οι εμβαπτίσεις περιέχουν όψη με σύνορο το. Στη δεύτερη περίπτωση όπου οι κύκλοι του γραφήματος είναι ακριβώς τρεις, κάθε ένας από αυτούς ορίζει όψη σε οποιαδήποτε εμβάπτιση του G. Επομένως σε συνδυασμό με το Λήμμα 13.1 έχουμε χαρακτηρίσει επακριβώς πότε ένας κύκλος ορίζει όψη σε κάθε εμβάπτιση του G. Παρατήρηση 13.1 Αν G = ή G = c, όπου c είναι χορδή του κύκλου, τότε το G δεν είναι 3-συνεκτικό. Πόρισμα 13.1 Ενας κύκλος ενός επίπεδου 3-συνεκτικού γραφήματος G ορίζει όψη σε κάθε εμβάπτιση του G αν και μόνο αν ο είναι εναγόμενος κύκλος και δεν είναι διαχωριστής. 13.2 Θεώρημα του Whitney Θεώρημα 13.1 (Whitney, 1932) Ολες οι εμβαπτίσεις ενός επίπεδου 3-συνεκτικού γραφήματος είναι ισοδύναμες. Απόδειξη: Εστω G ένα επίπεδο 3-συνεκτικό γράφημα. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο εμβαπτίσεις Γ 1 και Γ 2 του G, οι οποίες δεν είναι ισοδύναμες. Τότε υπάρχει, όπου κύκλος =(v 1,...,v k ), k 3, που ορίζει όψη στη Γ 1 αλλά όχι στη Γ 2. Από το Πόρισμα 13.1, ο ή έχει χορδή ή είναι διαχωριστής. Περίπτωση 1: Ο έχει χορδή {v i, v j } με j i + 2. Ορίζουμε επίσης: := {v x i < x < j} και := {v x x > i ή x > j}. Ισχύει ότι, δεδομένου ότι v i, v j δεν είναι γειτονικά στο.
Διάλεξη 13: 25.11.26 13-5 v i v j P Σχήμα 13.9: Μονοπάτι P στην Περίπτωσης 1 της απόδειξης του Θεωρήματος 13.1. Αφού G είναι 3-συνεκτικό, υπάρχει τουλάχιστον ένα - μονοπάτι P που δεν χρησιμοποιεί τα v i, v j (βλ. Σχήμα 13.9). Εστω η τελευταία κορυφή του P που ανήκει στο και η πρώτη κορυφή του μονοπατιού που ανήκει στο. Αφού το ορίζει όψη f στη Γ 1 μπορούμε να προσθέσουμε κορυφή μέσα στην όψη f και να την συνδέσουμε με τέσσερις διακεκριμένες (disjoint) καμπύλες με τις v i,v j,, (βλ. Σχήμα 13.10). Βρήκαμε λοιπόν, ενεπίπεδο γράφημα G G που περιέχει το K 5 ως έλασσον ή υποδιαίρεση (βλ. Σχήμα 13.11). Ομως το G είναι επίπεδο. Οδηγηθήκαμε λοιπόν σε άτοπο. v i v i v j v j P Σχήμα 13.10: Η πρόσθετη κορυφή μέσα στην όψη f και οι συνδέσεις της. Σχήμα 13.11: Το K 5 ως έλασσον του G. Περίπτωση 2: Ο είναι διαχωριστής, άρα το G \ περιέχει δύο συνιστώσες και. Θεωρούμε εμβάπτιση Γ 1 στην οποία ο ορίζει όψη f. Χ.β.τ.γ. η f δεν είναι εξωτερική άρα και το Α και το Β είναι εμβαπτισμένα εξωτερικά της f. Διαλέγουμε V () και V (). Από το Θεώρημα του Menger «εκδοχή με κορυφές» (Θεώρημα 6.1) υπάρχουν τουλάχιστον 3 εσωτερικά διακεκριμένα μονοπάτια P 1, P 2, P 3, απο το στο. Επίσης ορίζουμε τη c i ως την πρώτη κορυφή του P i στον κύκλο, όπου i =1,2,3. Βρήκαμε μια υποδιαίρεση του K 2,3 στο G. Επειτα προσθέτουμε τη στο εσωτερικό της όψης f και την ενώνουμε με τρείς διακεκριμένες καμπύλες με τα c 1, c 2, c 3. Παρατηρούμε ότι πήραμε ενεπίπεδο γράφημα G G που περιέχει υποδιαίρεση του K 3,3 (βλ. Σχήμα 13.12). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο.
Διάλεξη 13: 25.11.26 13-6 c 1 P 1 c 2 P 2 c 3 P 3 Σχήμα 13.12: Η υποδιαίρεση του K 3,3 που περιέχεται στο G.