6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή της επαηίας, η οποία διατυπώνεται ως εξής : Οταν σε ένα εαστικό µέσο διαδίδονται δυο ή περισσότερα κύµατα η αποµάκρυνση ενός σωµατιδίου του µέσου από την ϑέση ισορροπίας του, είναι ίση µε τη συνισταµένη των αποµακρύνσεων που οφείεται στα επιµέρους κύµατα. y = y 1 + y +... Ουσιαστικά η αρχή της επαηίας µας έει ότι : ˆ κάθε κύµα διαδίδεται ανεξάρτητα από τα υπόοιπα, διατηρώντας αναοίωτα τα χαρακτηριστικά του, δηαδή κάθε κύµα διαδίδεται σαν να µην υπάρχουν τα άα κύµατα, ˆ τα υικά σηµεία του µέσου τααντώνονυαι εξαιτίας του κάθε κύµατος µε χαρακτηριστικά ανεξάρτητα της ταυτόχρονης διάδοσης των άων κυµάτων Προσοχή όµως :Η αρχή της επαηίας παραβιάζεται όταν τα κύµατα είναι τόσο ισχυρά, ώστε να µεταβάουν τις ιδιότητες του µέσου στο οποίο διαδίδονται. Στο παρακάτω σχήµα ϕαινεται το αποτέεσµα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο παµών κατα µήκος ενός σχοινιού, στο ίδιο επίπεδο µε αντίθετες κατευθύνσεις. όταν οι δύο παµοί συναντώνται, τα µόρια του σχοινιού έχουν αποµάκρυνση ίση µε το αγεβρικό άθροισµα των αποµακρύνσεων που ϑα είχαν αν οι δύο παµοί διαδιδόνταν ξεχωριστά. Το αποτέεσµα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο ή περισσοτέρων κυµάτων στην ίδια περιοχή ενός εαστικού µέσου ονοµάζεται συµβοή. http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Σύγχρονες και Σύµφωνες πηγές κυµάτων ύο πηγές κυµάτων ονοµάζονται σύµφωνες πηγές, όταν οι τααντώσεις τους έχουν στα- ϑερή διαφορά ϕάσης. ηαδή : φ = σταθ. Για να είναι η διαφορά ϕάσης δύο τααντώσεων σταθερή, πρέπει αυτές να έχουν την ίδια συχνότητα. Πράγµατι ας ϑεωρήσουµε δύο πηγές κυµάτων µε εξισώσεις : y 1 = Aηµ(ω 1 t), y = Aηµ(ω t + θ) Η διαφορά ϕάσης των τααντώσεων των δύο πηγών ϑα είναι : φ = (ω t + θ) ω 1 t = (ω ω 1 )t + θ Για να είναι οι δύο πηγές σύµφωνες, πρέπει η διαφορά ϕάσης να είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρονου, αυτό συµβαινει µόνο όταν ειναι : ω ω 1 = 0 ω = ω 1 f = f 1 Οταν η σταθερή διαφορά ϕάσης των δύο σύµφωνων πηγών είναι ίση µε µηδέν ( φ = 0), τότε οι δύο πηγές ονοµάζονται σύγχρονες πηγές. Οι σύγχρονες πηγές δηµιουργούν ταυτόχρονα µέγιστα και εάχιστα. Μόνον τα αρµονικά κύµατα που προέρχονται από δυο σύµφωνες ή σύγχρονες πηγές κυµάτων παρέχουν ϕαινόµενα συµβοής. Συµβοή δύο κυµάτων στην επιφάνεια υγρού Στην ήρεµη επιφάνεια ενός υγρού πηγές Π 1 και Π εκπέµπουν αρµονικά κύµατα πάτους Α, περιόδου Τ και µήκους κύµατος. Θεωρούµε ενα σηµείο Σ που απέχει αποστάσεις r 1 και r από τις πηγές Π 1 και Π αντίστοιχα. Η αποµάκρυνση του σηµείου Σ από την ϑέση ισορροπίας του, που οφείεται σε κάθε κύµα ξεχωριστά υποογίζεται αντίστοιχα για κάθε κύµα από τις εξισώσεις : y 1 = Aηµπ T r ) ( 1 t και y = Aηµπ T r ) http : //perif ysikhs.wordpress.com 56 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Σύµφωνα µε την αρχή της επαηίας που αναπτύξαµε παραπάνω, το σηµείο Σ σε κάθε χρονική στιγµή µετά την συµβοή των δύο κυµάτων ϑα έχει αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας ίση µε το αγεβρικό άθροισµα των επιµέρους αποµακρύνσεων y = y 1 + y. ηαδή : y = Aηµπ T r ) ( 1 t + Aηµπ T r ) µε την ϐοήθεια της τριγωνοµετρίας προκύπτει : ( y = Aσυν π r1 r ) ηµπ T r ) 1 + r (96) Από την µορφή της εξίσωσης (96) προκύπτει ότι η κίνηση του σηµείου Σ είναι µια απή αρµονική ταάντωση µε πάτος : ( ) A = A συν π r1 r (97) και ϕάση φ = π T r ) 1 + r Από την σχέση (97) προκύπτει ότιο το πάτος της ταάντωσης δεν είναι ίδιο για όα τα υικά σηµεία της επιφάνειας του νερού αά εξαρτάται από τη ϑέση του σηµείου σε σχέση µε τις δύο πηγές των κυµάτων. Κάθε υικό σηµείο του µέσου στο οποίο συµβάουν τα δυο κύµατα ϑα εκτεεί ταάντωση µε περίοδο ίδια µε των κυµατικών πηγών και µε πάτος Α που ϑα παίρνει τιµές απο 0 έως και Α. ιερεύνηση της σχέσης του πάτους (98) α. Το πάτος Α γίνεται µέγιστο, δηαδή Α =Α, όταν είναι : ( ) ( ) συν π r1 r = 1 συν π r1 r = ±1 π r 1 r = Nπ Αρα προκύπτει ότι για όα τα σηµεία της επιφάνειας του υγρού που η διαφορά των αποστράσεων τους από τις πηγές των κυµάτων είναι ακέραιο ποαπάσιο του µήκους κύµατος, εκτεεούν ταάντωση µε µέγιστο πάτος Α. Συνθήκη ενίσχυσης r 1 r = N, N = 0, 1,,... (99) ϐ. Το πάτος Α γινεται µηδενικό, δηαδή Α =0 όταν ειναι : συν ( ) π r1 r = 0 π r 1 r = (N + 1) π http : //perif ysikhs.wordpress.com 57 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Αρα προκύπτει ότι για όα τα σηµείοα της επιφάνειας του υγρού που η διαφορά των αποστάσεων από τις δύο πηγές των κυµάτων είναι περιττό ποαπάσιο του µισού µήκους κύµατος παραµένουν συνεχώς ακίνητα.συνθήκη απόσβεσης r 1 r = (N + 1), N = 0, 1,,... (100) Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του υγρού για τα οποία ισχύει r 1 r =σταθ. είναι µια υπερβοή. Εποµένως τα σηµεία στα οποία έχουµε ενίσχυση και τα σηµεία στα οποία έχουµε απόσβεση ϐρίσκονται πάνω σε υπερβοές. Το συνοο των υπερβοών αυτών χαρακτηρίζεται µε το όνοµα κροσσοί συµβοής. Κάθε υπερβοή ενισχυτικής συµβοής (συνεχείς γραµµές) χαρακτηρίζεται από µια µοναδική τιµή Ν στην συνθήκη ενίσχυσης (99). Τα σωµατίδια που ϐρίσκονται πάνω σε αυτές τις υπερβοές τααντώνονται µε µέγιστο πάτος (Α =Α). Κάθε υπερβοή αποσβεστικής συµβοής (διακεκοµµένες γραµµές)χαρακτηρίζεται επίσης από µια τηµή του Ν. Τα υικά σηµεία που ϐρίσκονται πάνω σε αυτές τις υπερβοές παραµένουν συνεχώς ακίνητα (Α =0). Τα υικά σηµεία της επιφάνειας του υγρού που δεν ϐρίσκονται πάνω σε κάποια υπερ- ϐοή, έχουν πάτος ταάντωσης που παίρνει τιµές 0 < A < A 1η Παρατήρηση : Αν οι δύο πηγές Π 1 και Π, έχουν διαφορετικά πάτη ταάντωσης A 1 και A, τότε το πάτος Α της συνισταµένης ταάντωσης στο σηµείο Σ δεν µπορει να http : //perif ysikhs.wordpress.com 58 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
υποογιστεί από την σχέση (63), αά από τη σχέση : A = A 1 + A + A 1 A συν φ (101) όπου φ = π r 1 r η διαφορά ϕάσης των τααντώσεων που προκαούνται στο σηµείο Μ από τα δύο κύµατα. η Παρατήρηση :Πρέπει να σηµειωθεί ότι η παραπάνω µεέτη της συµβοής αφορούσε δύο κύµατα οι πήγες των οποίων έχουν κάθε στιγµή ίδια ϕάση.συµβοή όµως συµβαίνει σε κάθε περίπτωση όπου δύο κύµατα διαδίδονται στο ίδιο µέσο, ανεξάρτητα αν προέρχονται από συµφασικές πηγές ή όχι. Πρόταση Μεέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουου τις ακόουθες ασκήσεις : 10.1-10.35, 10.46, 10.48, 10.49, 10.51, 10.55, 10.57, 10.58, 10.60, 10.61, 10.6, 10.65, 10.68-10.75, 10.77, 10.78, 10.80, 10.8, 10.83, 10.84 6.9 Στάσιµα Κύµατα Θεωρούµε δυο κύµατα της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πάτους, τα οποία διαδίδονται µε την ίδια ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις µέσα στο ίδιο εαστικό µέσο, όπως ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Σχήµα 5: ηµιουργία στάσιµου κύµατος σε χορδή. Από την συµβοή των δύο κυµάτων προκύπτει µια ταάντωση των σωµατιδίων του ε- αστικού µέσου η οποία ονοµάζεται Στάσιµο κύµα. Στάσιµο Κύµα ονοµάζεται το αποτέεσµα της συµβοής δύο κυµάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πάτους, που διαδίδονται στο ίδιο µέσο µε την ίδια ταχύτητα και προς αντίθετες κατευθύνσεις. Ενα στάσιµο κύµα µπορει να δηµιουργηθεί από τη συµβοή ενός κύµατος και του κύµατος που προκύπτει από την ανάκαση του πάνω σε ακίνητο εµπόδιο. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα ότι κρατάµε στο χέρι µας το άκρο ενός σχοινιού, του οποίου το άο άκρο είναι στερεωµένο σε ακόνητο σηµείο. Αν κινήσουµε το άκρο του σχοινιού απότοµα προς τα πάνω και το επαναφέρουµε στην αρχική ϑέση, τότε δηµιουργείται ένας κυµατικός παµός που διαδίδεται κατα µήκος του σχοινιού. όταν ο παµός ϕθάνει στο κόνητο άκρο του σχοινιού, ασκεί στο σηµείο στήριξης µιας δύναµη, η οποία έχει ϕορά προς τα πανω. Λόγω http : //perif ysikhs.wordpress.com 59 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
του 3ου Νόµου του Νεύτωνα, το σηµείο στήριξης ϑα ασκήσει στο σχοινί µια ίση και αντίθετη δύναµη. Αποτέεσµα αυτής της δύναµης ϑα είναι και η δηµιουργία ενός κυµατικού παµού αντίστροφου του πρώτου, που ϑα διαδίδεται από το σηµείο στήριξης πρός το χέρι µας. Τα δυο κύµατα που ϑα διαδίδονται ταυτόχρονα στο σχοινί ϑα συµβάουν δηµιουργώντας ένα στάσιµο κύµα. Παρατηρώντας το σχοινί δε διάφορες χρονικες στιγµές προκύπτει ότι : ˆ Υπάρχουν σηµεία του σχοινιού που παραµένουν διαρκώς ακίνητα. Τα σηµεια αυτά ονοµάζονται δεσµοί του στάσιµου κύµατος ˆ Υπάρχουν σηµεία του σχοινιού που τααντώνονται µε µέγιστο πάτος. Τα σηµεία αυτά ϐρίσκονται στο µέσο της απόστασης µεταξύ δυο διαδοχικών δεσµών και ονοµάζονται Κοιίες του στάσιµου κύµατος. ˆ όα τα σηµεία του σχοινιού εκτός από τους δεσµούς εκτεούν ταάντωση µε την ίδια συχνότητα και διαφορετικό πάτος. Η εξίσωση του Στάσιµου Κύµατος Θεωρούµε δυο αρµονικά κύµατα του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας, τα οποία διαδίδονται στο ίδιο µέσο και έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη ϕορά. Αν x x είναι ο κοινός άξονας διάδοσης τους, Ϲητάµε το αποτέεσµα της συµβοής τους και ειναι προφανές ότι ϑα χρησιµοποιήσουµε την Αρχή της Επαηίας. Επιέγουµε ως αρχη µέτρησης των αποστάσεων το σηµείο Ο (x = 0) του άξονα, στο οποίο ϑεωρούµε ότι οι αποµακρύνσεις που προκαούνται από τα δύο κύµατα έχουν τις ίδες εξισώσεις αποµάκρυνσης, y 1 = y = Aηµ π t, οπότε η συνοική αποµάκρυνση στο T σηµείο Ο ϑα δίνεται από την εξίσωση : y = y 1 + y y = Aηµ π T t Επιέγουµε επίσης ως χρονική στιγµή t = 0 την στιγµή κατά την οποία το σηµειο Ο διέρχεται από την ϑέση ισορροπίας του µε ϑετική ταχύτητα ( δη φ = 0. Οι εξισώσεις των δυο επιµέρους κυµάτων που έχουν αντίθετη ϕορά ϑα είναι : y 1 = Aηµπ T + x ) και y = Aηµπ T x ) Σύµφωνα µε την Αρχη της Επαηίας η αποµάκρυνση ενός τυχαίου σηµείου Μ που απέχει απόσταση x από το Ο την χρονική στιγµή t ϑα είναι : y = y 1 + y = Aηµπ T + x ) + Aηµπ T x ) ή y = Aσυν ( π x ) ( ) π ηµ T t (10) http : //perif ysikhs.wordpress.com 60 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Η εξίσωση (10) ονοµάζεται Εξίσωση Στάσιµου Κύµατος. Παρατηρούµε ότι ο όρος : ( A = Aσυν π x ) (103) εξαρτάται µόνο από την ϑέση x του σηµείου και είναι ανεξάρτητος του χρόνου. Από τις σχέσεις (10), (103) παίρνουµε την εξίσωση : ( ) π y = A ηµ T t (104) από την οποία προκύπτει ότι : ˆ Κάθε σηµείο του µέσου εκτεεί µια απή αρµονική ταάντωση που έχει την ίδια συχνότητα µε αυτή των δύο κυµάτων ˆ Το πάτος της ταάντωσης A δεν είναι το ίδιο για όα τα σηµεία του µέσου, αά εξαρτάται από τη ϑέση του κάθε σηµείου. ˆ Η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταάντωσης ενός σηµείου του εαστικού µέσου, κατα µήκος του οποίου δηµιουργείτεαι στάσιµο κύµα σε συνάρτηση µε τον χρόνο, ϑα δίνονται από τις εξισώσεις : v = ωa συν ( ) π T t ιερεύνηση της σχέσης του πάτους : ( ) π α = ω A ηµ T t α. Ο όρος Α γίνεται µέγιστος, δηάδή A = ±A, όταν είναι : Aσυνπ x = ±A συνπ x = ±1 π x = k π x κ = k, k = 0, 1,,... (105) Άρα τα σηµεία του ϑετικού ηµιάξονα που απέχουν από το σηµείο - κοιία Ο, που αµβάνεται ως η αρχή µέτρησης των αποστάσεων, αποστάσεις 0,,,..., k εκτεούν ταάντωση µε µέγιστο πάτος Α =Α. Τα σηµεία αυτά ειναι οι κοιίες του στάσιµου κύµατος. Η απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών κοιιών του στάσιµου κύµατος στη διεύθυνση του άξονα x είναι. http : //perif ysikhs.wordpress.com 61 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
ϐ. Το πάτος A γίνεται µηδενικό, δηαδη Α =0, όταν είναι : Aσυνπ x = 0 συνπ x = 0 π x = (k + 1) π x = (k + 1), k = 0, 1,,... (106) 4 Άρα τα σηµεία του ϑετικού ηµιάξονα που απέχουν από το σηµείο - κοιία Ο, που αµβάνεται ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων, αποστάσεις 4, 3 4.5 4, (k+1) 4, παραµένουν συνεχώς ακίνηατα. Τα σηµεία αυτά είναι οι δεσµοί του στάσιµου κύµατος. Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών του στάσιµου κύµατος ειναι. Η απόσταση µεταξύ ενός δεσµού και της πησιέστερης κοιίας µπορέι εύκοα να υποογιστεί από την διαφορά των ϑέσεων Φάση και ιαφορά ϕάσης d = x x κ = k (k + 1) 4 = 4 Μεταξύ του σηµείου 0 και του πρώτου εσµού του στάσιµου κύµατος, όα τα υικά σηµεία διέρχονται ταυτόχρονα από τη ϑέση ισορροπίας τους και ϕτάνουν ταυτόχρονα στις ϑέσεις της µέγιστης αποµάκρυνσης τους. ηαδή έχουν την ίδια ϕάση φ = ωt και εκτεούν ταάντωση µε εξίσωση y = A ηµ(ωt). Τα υικά σηµεία µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών έχουν σε κάθε χρονική στιγµή την ίδια ϕάση. Τα υικά σηµεία που ϐρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσµού και σε απόσταση µικρότερη του, κάθε χρονική στιγµή κινούνται µε αντίθετες ϕορές, δηαδή, ενώ περνούν ταυτόχρονα από την ϑέση ισορροπίας τους, κινούνται µε αντίθετης κατεύθυνσης ταχύτητες. Άρα ϐρίσκονται σε αντίθεση ϕάσης και έχουν διαφορά ϕάσης φ = πrad. Ετσι τα σηµεία http : //perif ysikhs.wordpress.com 6 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
που ϐρίσκονται δεξιά του πρώτου δεσµού έχουν ϕάση φ = ωt+π και εκτεούν ταάντωση µε εξίσωση y = A ηµ(ωt + π). Τα υικά σηµεία εκατέρωθεν ενός δεσµού ϐρίσκονται σε κάθε χρονική στιγµή σε αντί- ϑεση ϕάσης. Στάσιµα Κύµατα σε χορδή Στάσιµα κύµατα µπορούν να δηµιουργηθούν και σε ένα µέσο, του οποίου τα δύο άκρα είναι ακίνητα, όπως συµβαίνει για παράδειγµα στην χορδή µιας κιθάρας. Επειδή τα ακίνητα άκρα της χορδής είναι δεσµοί του στάσιµου κύµατος, πρέπει το µήκος L της χορδής και το µήκος κύµατος να συνδέονται µε τη σχέση : L = κ, κ = 1,,.. Προσοχή γιατί σε αυτή την περίπτωση δεν ισχύει η εξίσωση του στάσιµου κύµατος που περιγράψαµε παραπάνω, µε την υπόθεση ότι το Ο είναι κοιία Οταν η χορδή είναι δεµένη στο ένα άκρο της, τότε το εεύθερο άκρο της ϑα είναι συνεχώς κοιία και το δεµένο δεσµός και αντίστοιχα για το µήκος της ϑα πρέπει να ισχύει η συνθήκη : L = 4 + κ, κ = 1,,.. Παρατήρηση Η διαταραχή που περιγράψαµε δεν αποτεεί κύµα, αφού η ενέργεια δεν διαδίδεται αά παραµένει εντοπισµένη µεταξύ των δεσµών. Για το όγο αυτό έχει δοθεί στη διαταραχή αυτή το όνοµα στάσιµο κύµα. Επίσης, τα υικά σηµεία του µέσου δεν εκτεούν διαδοχικά την ίδια κίνηση όπως σε ένα οδεύον κύµα, αά τααντώνονται (µε εξαίρεση τους δεσµούς) µε την ίδια συχνότητα και διαφορετικό πάτος. Επίσης από τα παραπάνω είναι προφανές ότι όα τα σηµεία του εαστικού µέσου διέρχονται από την ϑέση ισορροπίας τους κάθε t = T. Τρέχον κύµα Οα τα υικά σηµεία του µέσου τααντώνονται µε το ίδιο πάτος Εχουµε µεταφορά ενέργειας Εχει ορισµένη διεύθυνση διάδοσης Οα τα υικά σηµεία του µέσου κάνουν ταάντωση Τα υικά σηµεία του µέσου έχουν διαφορετικές ϕάσεις την ίδια χρονική στιγµή Τα υικά σηµεία του µέσου περνούν από τη ϑέση ισορροπίας τους σε διαφορετικές χρονικές στιγµές Στάσιµο Κύµα Το πάτος ταάντωσης των υικών σηµείων του µέσου κυµαινεται απο µηδέν µέχρι και Α και εξαρτάται από τη ϑέση τους εν έχουµε µετραφορά ενέργειας εν έχει διεύθυνση διάδοσης Υπάρχουν σηµεία του µέσου που παραµένουν συνέχεια ακίνητα Τα υικά σηµεία µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών έχουν την ίδια ϕάση. Τα υικά σηµεία εκατέρωθεν ενός δεσµού σε απόσταση µικρότερη από από τον δεσµό έχουν διαφορά ϕάσης π Τα υικά σηµεία του µέσου περνούν ταυτόχρονα από τη ϑέση ισορροπίας τους. http : //perif ysikhs.wordpress.com 63 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Πρόταση Μεέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουου τις ακόουθες ασκήσεις : 11.1-11.36, 11.46-11.50, 11.5-11.59, 11.61, 11.63, 11.64, 1.66-11.69, 11.71, 11.7, 11.75-11.79, 11.81 http : //perif ysikhs.wordpress.com 64 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου