ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. Друштво физичара Србије ДРЖАВНИ НИВО Министарство просвете Републике Србије III РАЗРЕД 6-7... ЗАДАЦИ бозонска категорија. Играч голфа изводи два ударца. У првом упућује лоптицу под углом од 6 према хоризонтали. После ког времена играч треба да изведе други ударац у истом смеру, под углом од 5 према хоризонтали, да би се лоптице судариле у лету? Почетна брзина лоптица у оба случаја износи v 7 s.. На лакој неистегљивој нити O направљену од изолатора дужине (окаченој у тачки O ) виси куглица масе и наелектрисања q. У тачки C је учвршћена друга куглица наелектрисања q као што је приказано на слици. Прва куглица се пусти без почетне брзине из тачке у којој нит заклапа са вертикалом угао 5. Ако је O C и ако тачке, и C леже у једној равни, одредити силу затезања нити у тренутку када прва куглица пролази кроз тачку.. Систем приказан на слици (а) се састоји од тела масе кроз које су на различитим местима провучена два лака штапа тако да се међусобно не додирују. На крајевима штапова су причвршћене куглице маса и које могу да клизе по унутрашњости фиксираних цеви. Тело је са куглицама повезано опругама коефицијената еластичности и као на слици. Одредити однос и ако тело масе описује трајекторију приказану на слици (б), такозвану Лисажуову фигуру. Цео систем се налази у хоризонталној равни, и трења су занемарљива.. Хомоген метални штап масе g и дужине H,7 обешен је једним крајем о тачку О тако да око ње може слободно да ротира у равни цртежа. Штап додирује жицу чија отпорност по јединици дужине износи r и која је постављена на удаљеност h,5 од тачке О. Почетак жице А налази се на L од тачке додира жице и штапа када је штап постављен у вертикалан положај. Цео систем се налази у хомогеном магнетном пољу индукције T чији је правац нормалан на раван цртежа и смер према цртежу. Занемарити све отпорности у колу, осим отпорности поменуте хоризонталне жице. Сви делови кола, осим штапа, фиксирани су. Сматрати да Амперова сила делује у тачки која се налази на средини дела штапа кроз који тече струја. Занемарити међусобну интеракцију проводника. Одредити електромоторну силу батерије ако штап отклоњен за угао од вертикале остаје у том положају (слика ). Слика. Слика.а Слика.б Слика.
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. 5. Модуо смицања шипке статичком методом се одређује помоћу апаратуре приказане на слици. Цилиндрична шипка константног попречног пресека, чији модуо смицања се одређује, је на крају А чврсто везана са непомичним постољем, док је на крају D чврсто везана са диском Е, који се може обртати око своје осе са занемарљивим трењем. Око диска Е обмотана је метална сајла на чијем крају је носач тегова занемарљиве масе. На носач се стављају тегови различитих маса и тако се образује статички момент који уврће шипку за известан угао. За мерење угла увртања шипке служе две казаљке и C, које су учвршћене на почетку и на крају дела шипке на којем се врши мерење, и показују углове увртања на лучним скалама. Релација која повезује модуо смицања G и торзиону константу c за увртање једног c цилиндричног штапа или жице је дата обрасцем: G, где је - дужина штапа или жице, - полупречник штапа или жице, а c торзиона константа. Торзиона константа се одређује релацијом c, где је - одговарајући момент спрега сила (односно у овом експерименту момент тежине тега којим вршимо оптерећење на шипку преко диска Е) у односу на осу ротације и угла увртања. У табели су приказане вредности угла увртања у положају казаљке C ( ) и на крају мерене дужине шипке, у положају казаљке ( ), за дато оптерећење (теговима одређених маса). Вредност угла увртања на датој дужини шипке је једнака разлици очитаних углова. [ g],, 6, 8,, [ ],,9,8 5, 5,9 [ ], 7,,, 7, НАПОМЕНА: Вредности угла изразити у радијанима. (,,), r (7,6,), ( 5,,) c. a) Изразити везу између угла увртања и масе тега којим се врши оптерећење. б) Добијену линеарну зависност приказати на графику. в) Користећи график, одредити модуо смицања шипке и проценити апсолутну грешку мерења. Апсолутне грешке мерених величина су:,g и,. Сви задаци носе по поена. Задатке припремила: Ивана Ранчић, Природно-математички факултет, Нови Сад Рецензент: Проф. др Мићо Митровић, Физички факултет, Београд Председник Комисије за такмичење ДФС: Проф. др Мићо Митровић,Физички факултет, Београд
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. III РАЗРЕД Друштво физичара Србије Министарство просвете Републике Србије РЕШЕЊА ЗАДАТАКА бозонска категорија ДРЖАВНИ НИВО 6-7.... Компоненте почетне брзине првог хица износе: v x v (), v y v (), а другог: v x v () и v y v (). Ако протицање времена посматрамо од тренутка упућивања друге лоптице, у тренутку када она путује време t, прва лоптица путује t t, па њихове једначине кретања имају облик: x v ( t t) (), y v ( t t) g( t t) () и x vt (), y vt gt (). До судара куглица долази ако у истом тренутку имају једнаке координате. Из једнакости x x (), може се добити време путовања друге куглице до t судара t (). Из једнакости y y (), елиминацијом t, може се одредити тражено време v 6 t (), t,8s (). g. Други Њутнов закон се за прву куглицу може написати у облику a g T Fe (). Пошто се куглица креће по v кружници полупречника, њено центрипетално убрзање износи (). Када куглица пролази кроз тачку на њу делује Кулонова сила у хоризонталном правцу, а њено центрипетално убрзање је вертикално па је a c v v a c T g па је T g (). Закон одржања енергије за кретање куглице из тачке у тачку може се изразити преко одговарајућих кинетичких, гравитационих потенцијалних и електростатичких потенцијалних енергија: E E pg E pe E E pg E pe (), E (,5), E pg gh (,5), q (,5), r E pe v E (,5), E pg (,5), q (,5). Са слике се види да је E pe h ( cs ) ( ) () и r h ( sin ) (), па из закона одржања енергије следи израз: q v q g( ) (), заменом T ( ) g q ( ) (5). v из ове једначине у израз за силу затезања добија се: Слика уз решење. задатка. Пројекција једначине кретања тела на x -осу је a x N x x (), где је N x сила којом вертикалан штап делује на тело. Једначина кретања вертикалног штапа је a x N (), одакле се добија ) ax x () па тело у правцу x -осе хармонијски осцилује са кружном фреквенцијом a N y y (), a y N y (), ( ) a y y (), y x ( x (). У правцу y -осе: y (). На основу облика
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. трајекторије тела за време једног периода осцилација x -координате прођу четири периода осцилација y - координате: Tx T y, односно y x (). За тражени однос се добија (). 6. Отпорност дела жице кроз који протиче струја износи r( L x) r( L htg) (), па према Омовом закону кроз штап протиче струја: E E I (). Дужина дела штапа кроз који протиче струја износи: r( L htg ) h x h tg (). Интензитет Амперове силе која делује на штап износи F h tg I E r( L htg ) (). Да би штап био у равнотежи момент силе Земљине теже и Амперове силе треба да буду једнаки (). H Моменти силе Земљине теже и Амперове силе износе: g sin () и I h E ( tg ) ghr ( L htg)sin F (). Тражена ЕМС је E (), E V (). r( L htg) h ( tg ) НАПОМЕНА: Признаје се свако тачно решење где је E изражено преко познатих величина. На пример, ghr( L h tg)sin cs / tg па је E cs. h Слика уз решење. задатка c 5. a) Тражену релацију добијамо комбинацијом датих израза G, c и израза за момент силе gr () gr gr (), где је коефицијент правца. G G б) График (5) [ g] [ ] [ ] [ ] [ ],8,,,,,8,.9 7,,.75,75 6,,8, 6,6,5,5 8, 5,, 9,,588,59, 5,9 7,,,95,95 Правилно заокружене вредности у радијанима () Апсолутне грешке величина приказаних у табели су следеће:,g,,,,,,, в) Одабирањем две неексперименталне тачке са праве, између прве и друге и између претпоследње и последње експерименталне тачке, на пример (, g,,5 ) и (9, g,,75 ) одређује се коефицијент правца праве као:
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ.,75,5,9,9 (). 9,, g g g Како су одговарајуће апсолутне грешке суседних експерименталних тачака (тачкама А и В) за вредности угла веће од тачности очитавања одговарајућих координата са графика узимамо одговарајућу грешку мерења (, ). Пошто су одговарајуће апсолутне грешке суседних експерименталних тачака (тачкама А и В) мање од вредности најмањег подеока на ординати, узимамо апсолутну грешку очитавања координата са графика, g. Апсолутна грешка израчунатог коефицијента правца је,75,5,,,,,6 9,, g,75,5 9,, Коефицијент правца је (,9,). g gr Па је модуо смицања шипке: G gr g r G g r, g,5 9,87,6,(, ),9,5 9,8 7,6 N,,5 G,(, ),9 5, 9,8 9 N N G,, (). N дуо смицања шипке је G (7,,)., 7,6 g (). N 7,,5,,6,,,9 N 7, N (), Негативни поени за график, између осталог за: - Без наслова -.5 (наслов није f () ) - Лоша размера -.5 (график заузима мање од / простора папира) - Недостају јединице -.5 - Унете на осе мерене бројне вредности -.5 - Ако изабране тачкe нису између. и, односно претпоследње и последње експерименталне -.5 - Изабране тачке нису у мереном опсегу - - Нису нанете грешке -.5 - Лоша размера подеока -.5 Негативни поени за рачун, између осталог за: - Лоша размера за коефицијент правца 5% предвиђених бодова - Ако нису изабране добре тачке са графика за тражене величине 5% предвиђених бодова - Лоше заокруживање резултата или грешке, по -.5 поена. - Коришћење експерименталних тачака уместо тачака са графика не доноси поене, осим поена за линеаризацију. НАПОМЕНА: Пошто график пролази кроз координатни почетак (сигурна тачка је,) довољна је једна неекспериментална тачка (В), између претпоследње и последње експерименталне тачке, за одређивање коефицијента правца (грешка овог одређивања је мања). Прихватају се решења и са једном и са две неексперименталне тачке.
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. Друштво физичара Србије ДРЖАВНИ НИВО Министарство просвете Републике Србије III РАЗРЕД 6-7... ЗАДАЦИ фермионска категорија. Играч голфа изводи два ударца. У првом упућује лоптицу под углом од 6 према хоризонтали. После ког времена играч треба да изведе други ударац у истом смеру, под углом од 5 према хоризонтали, да би се лоптице судариле у лету? Почетна брзина лоптица у оба случаја износи v 7 s.. На лакој неистегљивој нити O направљену од изолатора дужине (окаченој у тачки O ) виси куглица масе и наелектрисања q. У тачки C је учвршћена друга куглица наелектрисања q као што је приказано на слици. Прва куглица се пусти без почетне брзине из тачке у којој нит заклапа са вертикалом угао 5. Ако је O C и ако тачке, и C леже у једној равни, одредити силу затезања нити у тренутку када прва куглица пролази кроз тачку.. Систем приказан на слици (а) се састоји од тела масе кроз које су на различитим местима провучена два лака штапа тако да се међусобно не додирују. На крајевима штапова су причвршћене куглице маса и које могу да клизе по унутрашњости фиксираних цеви. Тело је са куглицама повезано опругама коефицијената еластичности и као на слици. Одредити однос и ако тело масе описује трајекторију приказану на слици (б), такозвану Лисажуову фигуру. Цео систем се налази у хоризонталној равни, и трења су занемарљива.. Одредити све струје у контури приказаној на слици, ако је хомогено магнетно поље нормално на раван у којој лежи контура и мења се по закону t. Отпор проводника по јединици дужине је r. Дужина a је позната. Слика. Слика.а Слика.б Слика.
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. 5. Модуо смицања шипке статичком методом се одређује помоћу апаратуре приказане на слици. Цилиндрична шипка константног попречног пресека, чији модуо смицања се одређује, је на крају А чврсто везана са непомичним постољем, док је на крају D чврсто везана са диском Е, који се може обртати око своје осе са занемарљивим трењем. Око диска Е обмотана је метална сајла на чијем крају је носач тегова занемарљиве масе. На носач се стављају тегови различитих маса и тако се образује статички момент који уврће шипку за известан угао. За мерење угла увртања шипке служе две казаљке и C, које су учвршћене на почетку и на крају дела шипке на којем се врши мерење, и показују углове увртања на лучним скалама. Релација која повезује модуо смицања G и торзиону константу c за увртање једног c цилиндричног штапа или жице је дата обрасцем: G, где је - дужина штапа или жице, - полупречник штапа или жице, а c торзиона константа. Торзиона константа се одређује релацијом c, где је - одговарајући момент спрега сила (односно у овом експерименту момент тежине тега којим вршимо оптерећење на шипку преко диска Е) у односу на осу ротације и угла увртања. У табели су приказане вредности угла увртања у положају казаљке C ( ) и на крају мерене дужине шипке, у положају казаљке ( ), за дато оптерећење (теговима одређених маса). Вредност угла увртања на датој дужини шипке је једнака разлици очитаних углова. [ g],, 6, 8,, [ ],,9,8 5, 5,9 [ ], 7,,, 7, НАПОМЕНА: Вредности угла изразити у радијанима. (,,), r (7,6,), (5,,) c. a) Изразити везу између угла увртања и масе тега којим се врши оптерећење. б) Добијену линеарну зависност приказати на графику. в) Користећи график, одредити модуо смицања шипке и проценити апсолутну грешку мерења. Апсолутне грешке мерених величина су:,g и,. Сви задаци носе по поена. Задатке припремила: Ивана Ранчић, Природно-математички факултет, Нови Сад Рецензент: Проф. др Мићо Митровић, Физички факултет, Београд Председник Комисије за такмичење ДФС: Проф. др Мићо Митровић,Физички факултет, Београд
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. III РАЗРЕД Друштво физичара Србије Министарство просвете Републике Србије РЕШЕЊА ЗАДАТАКА фермионска категорија ДРЖАВНИ НИВО 6-7.... Компоненте почетне брзине првог хица износе: v x v (), v v y (), а другог: v x v () и v y v (). Ако протицање времена посматрамо од тренутка упућивања друге лоптице, у тренутку када она путује време t, прва лоптица путује t t, па њихове једначине кретања имају облик: x v ( t t) (), y v ( t t) g( t t) () и x vt (), y vt gt (). До судара куглица долази ако у истом тренутку имају једнаке координате. Из једнакости x x (), може се добити време путовања друге куглице до t судара t (). Из једнакости y y (), елиминацијом t, може се одредити тражено време v 6 t (), t,8s (). g. Други Њутнов закон се за прву куглицу може написати у облику a g T Fe (). Пошто се куглица креће по v кружници полупречника, њено центрипетално убрзање износи a c (). Када куглица пролази кроз тачку на њу делује Кулонова сила у хоризонталном правцу, а њено центрипетално убрзање је вертикално па је v v a c T g па је T g(). Закон одржања енергије за кретање куглице из тачке у тачку може се изразити преко одговарајућих кинетичких, гравитационих потенцијалних и електростатичких потенцијалних енергија: E E pg E pe E E pg E pe (), E (,5), E pg gh(,5), E pe q r (,5), v E (,5), E pg (,5), q E pe (,5). Са слике се види да је h ( cs ) ( ) () и r h ( sin ) (), па из закона одржања енергије следи израз: q v q g( ) (), заменом v из ове једначине у израз за силу затезања добија се: q T ( ) g ( ) (5). Слика уз решење. задатка. Пројекција једначине кретања тела на x -осу је a x N x x (), где је N x сила којом вертикалан штап делује на тело. Једначина кретања вертикалног штапа је a x N (), одакле се добија ) ax () па тело у правцу x -осе хармонијски осцилује са кружном фреквенцијом a N y y y (), a y N y (), ( ) a y y (), x ( x x (). У правцу y -осе: y (). На основу облика
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. трајекторије тела за време једног периода осцилација x -координате прођу четири периода осцилација y - координате: Tx Ty, односно y x (). За тражени однос се добија. Дату контуру у променљивом магнетном пољу можемо заменити са еквивалентним струјним колом са Φ S одговарајућим изворима ЕМС схема еквивалентног кола (). i S (), па је a () и t t a (). На основу I Кирхофовог правила може се написати: I I I (), а на основу II правила за обе контуре ari ari () и ari ari (). Решавањем система једначина добијају се тражене вредности: 7 a 6 a a I (), I () и I (). r r r НАПОМЕНА: Признају се тачно написана Кирхофова правила за произвољно одабран смер контура и/или другачије означен смер струја (уколико је другачије одабран смер струја, у крајњем изразу за јачину одговарајуће струје треба да стоји минус). 6 (). Слика уз решење. задатка 5. a) Тражену релацију добијамо комбинацијом датих израза gr G (), где је коефицијент правца c G, c и израза за момент силе gr () gr. G б) График (5) [ g] [ ] [ ] [ ] [ ],8,,,,,8,.9 7,,.75,75 6,,8, 6,6,5,5 8, 5,, 9,,588,59, 5,9 7,,,95,95 Правилно заокружене вредности у радијанима () Апсолутне грешке величина приказаних у табели су следеће:,g,,,,,,, в) Одабирањем две неексперименталне тачке са праве, између прве и друге и између претпоследње и последње експерименталне тачке, на пример (, g,,5) и (9, g,,75) одређује се коефицијент правца праве као:,75,5,9,9 (). 9,, g g g Како су одговарајуће апсолутне грешке суседних експерименталних тачака (тачкама А и В) за вредности угла веће од тачности очитавања одговарајућих координата са графика узимамо одговарајућу грешку мерења (, ). Пошто су одговарајуће апсолутне грешке суседних експерименталних тачака (тачкама А и В) мање од вредности најмањег подеока на ординати, узимамо апсолутну грешку очитавања координата са графика, g.
ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ. Апсолутна грешка израчунатог коефицијента правца је,75 9,,5, g,,75,,5, 9, Коефицијент правца је (,9,). g,,,6 g, g r,5 9,8 7,6 N N N Па је модуо смицања шипке: G 7, 7, (),, (, ),9 g r g r G g r G,5 9,8 7,6, (, ),9 N, 5,,5 9,8 9 N N G,, (). N дуо смицања шипке је G (7,,)., 7,6,5, g,, ().,6,9 Негативни поени за график, између осталог за: - Без наслова -.5 (наслов није f () ) - Лоша размера -.5 (график заузима мање од / простора папира) - Недостају јединице -.5 - Унете на осе мерене бројне вредности -.5 - Ако изабране тачкe нису између. и, односно претпоследње и последње експерименталне -.5 - Изабране тачке нису у мереном опсегу - - Нису нанете грешке -.5 - Лоша размера подеока -.5 Негативни поени за рачун, између осталог за: - Лоша размера за коефицијент правца 5% предвиђених бодова - Ако нису изабране добре тачке са графика за тражене величине 5% предвиђених бодова - Лоше заокруживање резултата или грешке, по -.5 поена. - Коришћење експерименталних тачака уместо тачака са графика не доноси поене, осим поена за линеаризацију. НАПОМЕНА: Пошто график пролази кроз координатни почетак (сигурна тачка је,) довољна је једна неекспериментална тачка (В), између претпоследње и последње експерименталне тачке, за одређивање коефицијента правца (грешка овог одређивања је мања). Прихватају се решења и са једном и са две неексперименталне тачке.