Τάξη: Ε Δημοτικού ΠΟΣΟΣΤΑ ENOTHTA 4: Έννοια του ποσοστού Στάδιο 1- Επιθυμητά Αποτελέσματα Στόχοι μαθήματος(οι μαθητές θα είναι ικανοί): 1. Να κατανοήσουν την έννοια του ποσοστού καθώς και να τα χρησιμοποιούν όπως τις άλλες μορφές αριθμών (δεκαδικούς, κλάσματα) 2. Να χρησιμοποιούν διαφορετικούς τρόπους γραφής του ίδιου αριθμού (από ποσοστό σε κλάσμα ή δεκαδικό και το αντίστροφο). 3. Να αντιληφθούν ότι τα ποσοστά μπορούν να εφαρμοστούν σε μια ποσότητα οποιουδήποτε μεγέθους. 4. Να υπολογίζουν το τελικό ποσό μετά από ποσοστιαία μείωση καθώς και το ποσοστό της μείωσης. 5. Να χρησιμοποιούν την αριθμογραμμή για τη σύγκριση ποσοστών. Σημαντικά Μαθηματικά: Το ποσοστό είναι εναλλακτική μορφή γραφής των κλασμάτων, και εφαρμόζονται σε μια ποσότητα οποιουδήποτε μεγέθους. Σημαντικές ερωτήσεις: - Που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ποσοστά στη καθημερινή μας ζωή; - Με τι άλλους τρόπους μπορούμε να εκφράσουμε ένα ποσοστό; - Πότε είναι καλύτερα να χρησιμοποιούμε ποσοστά αντί για κλάσματα;
Οι μαθητές θα ξέρουν Τα ποσοστά είναι εναλλακτικός τρόπος γραφής των κλασμάτων Οι μαθητές θα μπορούν να κάνουν Να μετατρέπουν το ποσοστό σε κλάσμα ή δεκαδικό και το αντίστροφο Να λύνουν προβλήματα με ποσοστά. Να χρησιμοποιούν την αριθμογραμμή για τη σύγκριση ποσοστών. Προαπαιτούμενες Γνώσεις(οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν): Να εκτελούν τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις. Να αναγνωρίζουν και να δημιουργούν ισοδύναμα κλάσματα. Να εκτελούν πράξεις μεταξύ των κλασμάτων. Να μετατρέπουν το κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό και το αντίστροφο. Να γνωρίζουν τα κριτήρια διαιρετότητας. Να γνωρίζουν πότε πρέπει να χρησιμοποιούν την αναγωγή στη μονάδα ως τρόπο επίλυσης προβλήματος. Πιθανές Παρανοήσεις Στην ρόσθεση ποσοστών Στάδιο 2- Αξιολόγηση Παιχνίδι: To Μαθηματικό Ντόμινο (Φύλλο Εργασίας 8) χρησιμεύει ως τελική αξιολόγηση των μαθητών για τη θεωρία των ποσοστών που διδάχτηκαν, ενώ τα άλλα φύλλα εργασίας χρησιμεύουν για τη διαμορφωτική αξιολόγηση των μαθητών. Μαθησιακές Δραστηριότητες Στάδιο 3- Μαθησιακό Σχέδιο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1: Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζονται εικόνες από βιτρίνες μαγαζιών την περίοδο των εκπτώσεων στις οποίες απεικονίζονται ποσοστά. Αυτές οι εικόνες είναι οικείες γιατί σχετίζονται με την καθημερινή ζωή των μαθητών. Αποτελούν τη βάση για τη διατύπωση ερωτήσεων μέσω των οποίων οι μαθητές θα μιλήσουν για τα ποσοστά και τις εμπειρίες που έχουν με αυτά, χωρίς ακόμα να το ξέρουν. Έτσι, πάνω σε αυτή τη γνώση του γνωστού οι μαθητές θα μπορέσουν στη συνέχεια να οικοδομήσουν τη νέα γνώση τους που αφορούν τα ποσοστά.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2: Σε αυτό το φύλλο εργασίας δίνεται στους μαθητές μια δραστηριότητα χαμηλού επιπέδου (η οποία παρόλα αυτά έχει κάποια δυσκολία που οφείλεται σε προαπαιτούμενες γνώσεις, τη χρήση της αναγωγής της μονάδας ως τρόπου επίλυσης προβλημάτων ) η οποία θα τους φανεί χρήσιμη για να τους εισάγει στη καινούρια θεωρία. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με το δεύτερο στόχο καθώς τα παιδιά θα εκφράσουν με κλάσμα τα μεγέθη που τους ζητούνται παρόλο που δεν γνωρίζουν ακόμα ότι το κλάσμα αυτό ισοδυναμεί με ένα ποσοστό. Ωστόσο αυτή η δραστηριότητα αποτελεί αφορμή για να μεταβούμε στη θεωρία στην οποία εξηγούμε ότι τα κλάσματα που γράψανε στην άσκηση αυτή μπορούν να γραφούν και ως ποσοστό. ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ: Μπορείς να δεις ότι στην παραπάνω άσκηση εκφράσαμε με λόγο το μέρος του ποσού προς όλο το ποσό. Ο λόγος αυτός ονομάζεται ποσοστό. Όπως είδαμε κάποιοι από τους λόγους έχουν παρανομαστή το 100. Ένας τέτοιος λόγος ονομάζεται ποσοστό στα 100 και είναι ένα μέρος του ποσού που έχει τιμή 100 και γράφεται με κλάσμα που έχει αριθμητή το μέρος και παρανομαστή το 100 ή με το σύμβολο %. Το ποσοστό μπορεί να εκφραστεί επίσης ως δεκαδικός αριθμός, που προκύπτει από το δεκαδικό κλάσμα. Τέλος, το ποσοστό είναι μια συμβολική γραφή που μας επιτρέπει εύκολα να συγκρίνουμε ποσότητες και η ποσότητα που εκφράζει ένα ποσοστό εξαρτάται από την τιμή στην οποία αναφέρεται (π. χ. 10% των 60 είναι 6 ). ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3: Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται στους μαθητές μια δραστηριότητα μετρίου επιπέδου, η οποία χρησιμεύει ως άμεση εφαρμογή της θεωρίας που παρουσιάστηκε πριν από αυτήν. Στη συγκεκριμένη άσκηση γίνεται προσπάθεια οι μαθητές να ανακαλύψουν πώς μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα ποσοστά στη καθημερινή τους ζωή κάνοντας κάποιες από τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις που ήδη γνωρίζουν. Επομένως, τα παιδιά εφαρμόζοντας τη θεωρία που τους δόθηκε εξάγουν από μόνοι τους ένα νέο στοιχείο με βάση το οποίο θα λύνουν παρόμοιες ασκήσεις (εξάγουν ένα γενικό μοτίβο). Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με το πρώτο, δεύτερο, τρίτο και τέταρτο στόχο. ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ: Όπως θα διαπιστώσατε η πράξη που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τη ποσότητα μιας τιμής που εκφράζεται με ποσοστό είναι ο πολλαπλασιασμός της ποσότητας αυτής με το ποσοστό. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4: Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται μια δραστηριότητα υψηλότερου επιπέδου από της προηγούμενες και βασισμένη στο Πρόγραμμα Σπουδών. Η εργασία αυτή βοηθά στο να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές ό, τι μάθανε στη θεωρία, όχι όμως μηχανιστικά εφαρμόζοντας απλούς τύπους, αλλά σκεφτόμενοι κριτικά για τον τρόπο επίλυσης της άσκησης. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με το πρώτο, δεύτερο και τρίτο στόχο.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5: Σε αυτό το φύλλο εργασίας το παιχνίδι που παρουσιάζεται στους μαθητές τους δίνει κίνητρο να εξοικειωθούν ακόμα περισσότερο με τα ποσοστά με ένα πιο διασκεδαστικό τρόπο. Πρόκειται για μια δραστηριότητα που είναι υψηλού επιπέδου, η οποία ταυτόχρονα αναπτύσσει και την κριτική ικανότητα των μαθητών καθώς τους ζητά να φτιάξουν ένα παρόμοιο πρόβλημα με αυτό που τους δίνεται. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με το πρώτο, δεύτερο και τρίτο στόχο. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6: Σε αυτό το φύλλο εργασίας δίνεται στους μαθητές μια δραστηριότητα υψηλού επιπέδου η οποία τους παρακινεί να σκεφτούν τη λύση της με κριτικό τρόπο τοποθετώντας τους σε ένα περιβάλλον και μια κατάσταση της καθημερινής ζωής. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με το πρώτο, δεύτερο και τρίτο στόχο. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 7: Σε αυτό το φύλλο εργασίας παρουσιάζεται μια δραστηριότητα υψηλού επιπέδου μέσα από την οποία οι μαθητές συνειδητοποιούν τη χρήση των ποσοστών σε μια δημοσκόπηση. Το θέμα της δημοσκόπησης είναι γνώριμο και οικείο στους μαθητές καθώς αφορά δύο αγαπημένα τους αθλήματα. Με τον τρόπο αυτό παρακινούνται να εργαστούν και να βρουν τη λύση της άσκησης χρησιμοποιώντας παράλληλα και την αριθμογραμμή η οποία τους διευκολύνει περισσότερο στην επίλυση της. Τέλος, μέσω αυτής της δραστηριότητας αναπτύσσεται και η δημιουργική ικανότητα των μαθητών καθώς καλούνται να λύσουν το πρόβλημα με εναλλακτικούς τρόπους και να δημιουργήσουν ένα παρόμοιο δικό τους. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με το πρώτο, δεύτερο, τρίτο, πέμπτο και έκτο στόχο. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 8: Σε αυτό το φύλλο δίνεται στους μαθητές ένα παιχνίδι μέσω του οποίου θα αξιολογήσουμε αυτά που μάθανε οι μαθητές σχετικά με τα ποσοστά. Δημιουργώντας έτσι ένα ευχάριστο κλίμα για τους μαθητές και ξεφεύγοντας από τις παραδοσιακές μορφές αξιολόγησης διαπιστώνουμε αν έχουν επιτευχθεί οι στόχοι που θέσαμε στην αρχή της διδασκαλίας. Η δραστηριότητα αυτή συνδέεται με το πρώτο, δεύτερο και τρίτο στόχο. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: 4 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΩΡΕΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1: 1)Έχετε συναντήσει ποτέ σε μαγαζιά τέτοιες επιγραφές ή έχετε ακούσει τους γονείς σας να λένε ότι η περίοδος των εκπτώσεων είναι η κατάλληλη για ψώνια ; 2)Πού αλλού έχετε δει παρόμοιες επιγραφές στη καθημερινή σας ζωή;
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 Στο τεστ της ιστορίας που έγραψε η τάξη ο Γιάννης απάντησε 10 ερωτήσεις από τις 20 συνολικά που είχε το τεστ. Η Μαρία απάντησε τις 17 και ο Παύλος τις 19. Α) Μπορείτε να εκφράσετε με κλάσμα πόσες ερωτήσεις απάντησαν σωστά ο Γιάννης, η Μαρία και ο Παύλος από τις συνολικές ερωτήσεις του τεστ; Γιάννης:.. Μαρία:.... Παύλος:.. Β) Αν ήταν 100 οι ερωτήσεις πόσες σωστές ερωτήσεις θα είχαν τα παιδιά; Γιάννης:... Μαρία:.. Παύλος:...
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 H Άννα και η Κατερίνα πηγαίνουν για ψώνια σε ένα πολυκατάστημα. Βρίσκουν ένα φόρεμα το οποίο κοστίζει 400. Επειδή όμως, τους φαίνεται ακριβό αποφασίζουν να ψάξουν και σε άλλα μαγαζιά μήπως το βρουν κάπου που θα κοστίζει λιγότερο. Πράγματι βρίσκουν το αγαπημένο τους φόρεμα σε τρία γειτονικά μαγαζιά τα οποία για να ανταγωνιστούν αυτό το πολυκατάστημα έχουν κάνει εκπτώσεις σε όλα τα είδη τους. Και στα τρία μαγαζιά το φόρεμα κόστιζε 400 ευρώ αρχικά. Στο πρώτο μαγαζί το φόρεμα μετά την έκπτωση που δέχτηκε κόστιζε τελικά 100 ευρώ. Στο δεύτερο μαγαζί έγινε έκπτωση 50/100 στο φόρεμα και στο τρίτο μαγαζί η αρχική τιμή του φορέματος μειώθηκε κατά 0,8. Α) Σε ποιο μαγαζί θα πληρώσουν τα λιγότερα χρήματα τα δύο κορίτσια προκειμένου να αγοράσουν το φόρεμα και σε ποιο μαγαζί πιστεύετε επομένως ότι έγινε η μεγαλύτερη έκπτωση και γιατί; Β) Πώς σκεφτήκατε και ποιες πράξεις χρησιμοποιήσατε προκειμένου να οδηγηθείτε στη λύση; Γ) Μπορείτε να σκεφτείτε κάποιον γενικό κανόνα με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τη ποσότητα μιας τιμής που εκφράζεται με ποσοστό;
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Λιγότερα λιπαρά Αυτό είναι ένα κουτί με ελαφρύ γάλα. Τι ποσοστό λιπαρών περιέχει το πλήρες γάλα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Α)Φανταστείτε ότι βρίσκεστε μπροστά από ένα θησαυροφυλάκιο το οποίο περιέχει έναν θησαυρό ανεκτίμητης αξίας με κοσμήματα και άλλα πολύτιμα υλικά, ο οποίος όμως είναι κλειδωμένος. Αφού χωριστείτε σε 3 ομάδες θα πρέπει να σπάσετε τον κωδικό του θησαυρού προκειμένου να τον ανοίξετε. Όποια ομάδα καταφέρει να λύσει πρώτη το γρίφο του θησαυρού, σπάζοντας τον κωδικό, είναι η νικήτρια. Παρακάτω σας δίνεται η λίστα με τους αριθμούς που πρέπει να βρείτε για να οδηγηθείτε στη λύση. Για να σας βοηθήσω να θυμάστε ότι όλοι οι αριθμοί αυξήθηκαν κατά ένα ποσοστό που είναι το ίδιο για όλες τις περιπτώσεις. Επίσης, να θυμάστε ότι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν μετά την αύξηση είναι διψήφιοι και ακέραιοι (δηλαδή, όχι δεκαδικοί και κλάσματα) και ότι κάθε γράμμα αντιπροσωπεύει έναν συγκεκριμένο αριθμό σε κάθε περίπτωση. 20 ΓΔ 15 ΙΖ 45 ΑΔ 35 ΔΓ 70 ΖΔ 80 ΗΦ 25 ΕΒ 60 ΚΓ Β)Πώς σκεφτήκατε για να λύσετε τον κωδικό; Από που ξεκινήσατε; Γ)Μπορείτε να φτιάξετε και εσείς έναν κωδικό με πιο λίγες σειρές και να το δώσετε σε έναν φίλο σας να τον σπάσει;
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 Φανταστείτε ότι ένας συμμαθητής σας έχει γενέθλια και εσείς αποφασίζετε να οργανώσετε στην τάξη ένα πάρτι έκπληξη γι αυτόν. Προκειμένου να στολίσετε την τάξη κρεμάτε στους τοίχους δύο σειρές από χρωματιστές σημαίες. Η κάθε σειρά αποτελείται από κόκκινες σημαίες, μπλε, κίτρινες και μωβ σημαίες με ένα αστεράκι στο κέντρο. Η μία σειρά έχει 50% μπλε σημαίες, 35% κόκκινες σημαίες, 10% κίτρινες και 5% μωβ σημαίες με το αστεράκι. Η άλλη σειρά έχει 40% μπλε, 32% κόκκινες, 20% κίτρινες και 8% μωβ. Και οι δύο σειρές έχουν τόσες σημαίες όσες δείχνουν τα ποσοστά της εκφώνησης. Επίσης, οι σημαίες έχουν τοποθετηθεί όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα(δηλαδή, ανάμεσα σε κάθε τριχρωμία κόκκινης μπλε και κίτρινης σημαίας υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός από μωβ σημαίες). Α) Ποια σειρά έχει τις περισσότερες σημαίες; Β) Ποια σειρά έχει τις περισσότερες κόκκινες σημαίες; Γ) Ποια σειρά έχει τις περισσότερες μπλε σημαίες; Δ) Πόσες μωβ σημαίες υπάρχουν ανάμεσα; Ε) Αν ξέρατε ότι κάθε μία από τις 2 σειρές είχε 10 μωβ σημαίες ανάμεσα σε κάθε τριχρωμία πόσες σημαίες όλων των χρωμάτων θα είχαμε συνολικά και στις 2 σειρές;
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 7 Α) Σε μια δημοσκόπηση που γίνεται μέσα σε μια τάξη οι μαθητές απάντησαν ποιο είναι το αγαπημένο τους άθλημα μεταξύ του μπάσκετ και του ποδοσφαίρου. Το 70% των μαθητών απάντησε ότι προτιμά το μπάσκετ ενώ το 60% απάντησε το ποδόσφαιρο. Κάθε μαθητής δήλωσε ότι του αρέσει τουλάχιστον ένα από τα δύο αθλήματα. 9 μαθητές απάντησαν πως προτιμούν εξίσου το μπάσκετ και το ποδόσφαιρο. Μπορείτε να βρείτε πόσους μαθητές είχε η τάξη; Β) Σε δημοσκόπηση που έγινε σε μια άλλη τάξη σχετικά με το ίδιο θέμα, το κάθε άθλημα επιλέχτηκε ως αγαπημένο από το 72% των μαθητών. Ο κάθε μαθητής επέλεξε και πάλι ένα από τα δύο αθλήματα. Τι νομίζετε για τον αριθμό των μαθητών αυτής της τάξης; Μπορείτε να σκεφτείτε παραπάνω από έναν τρόπους για να λύσετε το πρόβλημα; Γ) Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αριθμογραμμής για να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας; Δ) Μπορείτε να φτιάξετε μόνοι σας ένα παρόμοιο πρόβλημα;
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 8 Κανόνες του παιχνιδιού: ΠΑΙΧΝΙΔΙ: ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΟΜΙΝΟ 1) Οι μαθητές χωρίζονται σε 4 ομάδες των 4 ατόμων. Εάν, κάποια ομάδα έχει και πέμπτο άτομο το ορίζει ως καθοδηγητή της ομάδας. 2) Δίνονται από το δάσκαλο σε κάθε ομάδα 16 πλακίδια από ντόμινο όπου κάθε πλακίδιο απεικονίζει δύο ποσότητες με μαθηματικά σύμβολα όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα (ο δεκαδικός αριθμός συμβολίζεται με μια τελεία που υπάρχει ανάμεσα σε 2 ψηφία): 3)Για να κερδίσει κάθε ομάδα πρέπει να συνεργαστεί ομαδικά και χωρίς ζαβολιές, αλλιώς θα διακοπεί το παιχνίδι. Σκοπός, λοιπόν, της κάθε ομάδας είναι να φτιάξει 4 τετράγωνα από τέσσερα πλακίδια ντόμινο χρησιμοποιώντας όλα τα πλακίδια που τους δόθηκαν. Όμως, τίποτα δεν είναι τόσο εύκολο όσο ακούγεται! Κάθε πλακίδιο περιλαμβάνει όπως μπορείτε να δείτε 2 αριθμούς.
Κατά την κατασκευή του τετραγώνου θα πρέπει ο αριθμός που εκφράζει κάθε πλακίδιο να ισούται με τον αριθμό του άλλου πλακιδίου που το ενώνουμε. Για να βοηθηθείτε δείτε το παρακάτω σχήμα : Από το παραπάνω σχήμα μπορείτε να δείτε ότι το πλακίδιο που έχει τους αριθμούς 0,8 και 40% ενώνεται από την κάτω μεριά με το πλακίδιο που έχει τους αριθμούς 80% και 0,3 και από πάνω με το πλακίδιο που έχει τους αριθμούς 2/5 και 1/4. ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΜΩΣ! Παρατηρείτε ότι το 0,8 ισούται με το 80% και το 40% με το 2/5; Παρατηρείστε πώς έχει φτιαχτεί και όλο το τετράγωνο. Έτσι πρέπει να είναι και τα τετράγωνα των ομάδων. 4)Αξίζει να σημειωθεί ότι κατά τη διανομή των ντόμινο θα μοιραστούν 4 ντόμινο σε κάθε παιδί κάθε ομάδας. Νικήτρια ομάδα ανακηρύσσεται, όπως είπαμε επομένως, αυτή που θα μπορέσει να φτιάξει 4 τέτοια μαθηματικά ντόμινο(ένα ντόμινο από κάθε παίκτη κάθε ομάδας) πιο γρήγορα. Για να τελειώσετε πιο γρήγορα μπορούν να βοηθιούνται οι παίκτες κάθε ομάδας μεταξύ τους και στις πράξεις αλλά και στο σχηματισμό των τετραγώνων τους σιωπηλά. Το έπαθλο για τη νικήτρια ομάδα είναι να αποφασίσει που θα πραγματοποιηθεί η επόμενη εκδρομή της τάξης!