תמסורת גלים הרצאה

תמסורת גלים הרצאה 1 21.2.10 הקדמה: הקורס דן בהתקנים נושאי גל )קווי תמסורת(. השינוי המהותי שהקורס מביא עימו הוא השינוי התפיסתי שכאשר אנו דנים בהתקנים אלקטרומגנטיים, אנו לא עוסקים יותר במצב סטטי, כלומר קיימת תלות בזמן. במלים אחרות, מאחר ומהירות האור אינה עוד מהירות הנתפסת כאינסופית במערכת הייחוס, השינוי במרחב אינו יכול להיתפס כמיידי, ובזה נבחין כאשר אנו עוסקים בתחום גלים בעלי תדר גבוה /אורך גדול. המחשה אפשרית לכך היא כאשר מכוונים פנס על קיר במרחק 10 מטרים, ניתן לומר כי אלומת האור תופיע ותיעלם מיידית לאחר הדלקת וכיבוי הפנס בהתאם, עקב מהירות האור הגבוהה ביחס למרחק. בניגוד לכך, אם נבחן מרחק בעל סדר גודל זהה לשל אורך הגל המתפשט, תהיה תלות בזמן שלא ניתן להזניח. גלים מתקיימים מחולקים לתחומי תדרים שונים: עשרות הרץ, קילו הרץ, מגה הרץ, טרה הרץ, אינפרא אדום, והתחום הנראה. בתחום הטרה-הרץ והלאה, נהוג לדון באורך הגל, ולא בתדר הגל, ע"י הקשר: λ = c f I. מערכת מקובצת: מערכת בה השינויים ביחס לזמן שלוקח לגל א"מ להתקדם מצד אחד של המערכת לצידה השני, הם קטנים מאוד )סטטיקה וקווזיסטטיקה(, ומתקיים: Δt L C כאשר L הוא העתק מיקום, C מהירות האור ו- Δt הפרש הזמן של ההעתק..II מערכת מפולגת: כאשר מהירות הגל הא"מ קרובה למהירות האור. שיקול נוסף הוא כאשר המרחק, אשר הגל עובר, קרוב בגודלו לאורך הגל עצמו: למעשה, דוגמא למערכות: עד היום עסקנו במערכות מקובצות )מבוא להנדסת חשמל, קרי מעגלים חשמליים בתדרים נמוכים(. אם ניקח מוט גמיש וננדנד אותו בקצב איטי, גובה המוט בנקודות השונות יהיה יחסית זהה, כלומר השינוי ביחס לזמן הוא זניח, וזוהי דוגמא למערכת מקובצת. אם ננדנד אותו בקצב מאוד מהיר, נוכל לראות כי המוט מתנהג כמו גל והנקודות לאורכו יהיו בגבהים שונים, כלומר השינוי יהיה גדול ביחס לזמן, וזוהי מערכת מפולגת. חוקי קירכהוף אינם מתקיימים במערכת מפולגת! חוקי מקסוול בהחלט מתקיימים!

E dl = d dt μ H ds.kvl )סטטיקה/קווזיסטטיקה( כאשר התלות בזמן מאוד קטנה, ניתן להזניח את השינוי ויתקיים 0 dl E ולכן יתקיים חוק דוגמא: נביט במחשב הביתי - מהירות מעבד היום היא,3 gz ואורכו.L = 1 1.5 cm λ = v f = c ε r f = 3 10 8 3.4 3 cm λ ~ L 3 105 כלומר, אורך המעבד הוא כחצי אורך הגל העובר בו! זוהי דוגמא למערכת מפולגת, כאשר אורך המערכת הוא בסדר גודל הגל העובר בה. קווי תמסורת בציור: מודל טלגרף מופשט - קו תמסורת נושא אות-גל ממותג. עד היום, במסגרת תורת הרשתות )מבוא למערכות ליניאריות, מבוא להנדסת חשמל(, לא עסקנו באמצעי )קו התמסורת( של המערכת בין כניסה ליציאה. כאשר אנו עוסקים בהתקנים א"מ בתדרים גבוהים, איננו יכולים להזניח את התופעות המתרחשות בקו התמסורת עצמו כיוון שהמערכת אינה מקובצת, ושינויים גדולים בזמן בהכרח משפיעים על היציאה. בקורס נניח כי רכיבי המעגל מקובצים וביניהם קווי תמסורת, כך שכל תופעות המעגל המפולג יהיו בקווי התמסורת.

המעבר לקווי תמסורת "מסתם חוטים מוליכים" יתבצע בתרשים הבא: R_G V_G R_L כאשר V G הוא מקור המתח, R G הוא התנגדות הרכיב המקובץ, R L הוא התנגדות העומס, ושני הבלוקים מייצגים את קו התמסורת. בבירור, המימוש של קו תמסורת משמעותי, בניגוד למוליכים במעגלים מקובצים. כדי להקל על העיסוק במערכת מפולגת, נייצג אותה באמצעות חלוקה ל- N מקטעים מקובצים מאחר ואנו מנוסים בפתרון מערכות מקובצות: כעת נבחן כבל דו-גידי )ראה מצגת שקפים( בין החוטים קיים שדה חשמלי, זרם ושדה מגנטי מושרה, כלומר אגורה אנרגיה חשמלית ומגנטית בהתקן. מכאן, נוכל למדל את הכבל הדו-גידי כסליל וקבל, כאשר הקיבול וההשראות תלויים במאפיינים הפיסיקליים של החוטים )עובי, מרחק, חומר, אורך (.

לדוגמא, עבור קו התמסורת המתואר במודל הטלגרף )עמ' 2(: c = ε w Δz, L = μ w Δz השראות קיבול כאשר המרחק האנכי בין הלוחות, w הוא רוחב הלוחות ו- Δz הוא אורך הלוחות )אורך קו התמסורת(. או באופן אחר, נכתוב סימון עבור הביטוי ללא :Δz c = ε w, L = μ w משוואות הקיבול וההשראות יהיו כמובן שונות עבור כבל דו גידי או כל מקרה אחר. על קו תמסורת, נסתכל כך )שרטוט(: אלמנט בודד, תחת מערכת מקובצת, ניתן להיעזר בחוקי קירכהוף: KCL: I z, t = I z + Δz, t + c dv(z + Δz, t) Δz dt KVL: V z + Δz, t + L di z, t Δz dt = V(z, t) ΔV = V z + Δz, t V(z, t) ΔI = I z + Δz, t I(z, t) ΔV Δz = L di dt, ΔI dv = c Δz dt נקבל את משוואות הטלגרפיה: V z, t z I z, t z = L I z, t t = c V z, t t אלו הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות, התלויות במקום ובזמן. ע"י סידור המשוואות, נקבל את משוואות הגלים:

2 V z 2 = L c 2 V t 2 2 I z 2 = L c 2 I t 2 פתרונן הכללי של משוואות הגלים: V z, t = V + f + t z V p גל מתקדם ימינה + V f t + z V p גל חוזר שמאלה I z, t = I + f + t z V p I f t + z V p כאשר f f +, הן פונקציות כלשהן, = 1 p V היא מהירות הפאזה )מהירות I +, I, V +, V הם אמפליטודות )קבועים( הגל המתקדם והחוזר בהתאם, ו- L c התפשטות(. לדוגמא, עבור מבנה הלוחות: V p = 1 ε w μ w = 1 με מהירות האור בחומר מסקנה: לכל קו תמסורת מהירות פאזה משלו. הפתרונות הכלליים מקיימים את משוואות הטלגרפיה, ולכן נציב הפתרונות חזרה במשוואות לעיל: 1 V p v + f + t z V p + 1 V p v f t + z V p = L I + f + t z V p + L I f t + z V p )הסימון f הוא נגזרת של f לפי הארגומנט של הפונקציה( מהשוואת מקדמים של הפונקציות f,f +, נקבל: V + V p = L I + ; V V p = L I V + I + = V I = V p L = L. 1 L c = L c = Z c Z c האימפדנס האופייני של קו התמסורת. הבהרה חשובה משמעות האימפדנס האופייני: לכאורה אין הבדל בין מקור אשר מספק הספק לקו תמסורת בהשוואה למקור המחובר לנגד מבחינת המקור, הוא מבזבז הספק כך או כך. אמנם, ההבדל הוא שבנגד ההספק המבוזבז מתבטא באנרגיית חום, ואילו בקו תמסורת ההספק "המבוזבז" מתבטא ביצירת גל התפשטות של ההספק במרחב לאורך הקו )ההספק אינו נאגר!( כעת נבחן מעגל יחסית פשוט )ראה שקף 1(: בסגירת המתג, מתחיל להתפשט גל אינפורמציה על הימצאותו של מתח, ובעקבותיו גל זרם.

V G V + R G = I + ; V + החלק השמאלי של השרטוט הוא מערכת מקובצת, ולכן ניתן להשתמש בקשר האוהמי: I + = Z c V + = V G Z c R G + Z C ; I + = V G R G + Z c קיבלנו את מחלק מתח המקור בין הנגד לאימפדנס האופייני של קו התמסורת. אין התייחסות ל- R L )התנגדות העומס( מפני שגל האינפורמציה טרם הגיע אליו. )כאן באה לביטוי התלות בזמן(