ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Εμμανουήλ Αντ. Δρης από τη Νάξο Ομότιμος Καθηγητής Ε.Μ.Πολυτεχνείο
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1.1 Συντεταγμένες θέσης 1.2 Δεσμοί 1.3 Είδη μετατοπίσεων 1. Πραγματική μετατόπιση (Actual displacement) 2. Πιθανή μετατόπιση (Possible displacement) 3. Δυνατή μετατόπιση (Virtual displacement) 1.4 Παραλλαγή ή μεταβολή (Variation) 1.5 Δυνατό έργο 1.6 Μηδενικό δυνατό έργο δυνάμεων μερικών δεσμών Παραδείγματα Προβλήματα 2. ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE 2.1 Αρχή D Alembert 2.2 Φορμαλισμός χωρίς δεσμούς 2.3 Φορμαλισμός με δεσμούς Α. Δυνάμεις δεσμών Β. Μετάβαση σε γενικευμένες συντεταγμένες Γ. Αρχή D Alembert σε γενικευμένες συντεταγμένες 2.4 Δυναμικά που εξαρτώνται από τις ταχύτητες
iv 2.5 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη - Αδρανειακές δυνάμεις. 2.6 Ισοδύναμες λαγκρανζιανές 2.7 Μη ολόνομοι δεσμοί -Υπολογισμός δυνάμεων δεσμών 2.8 Διερεύνηση 2.9 Εξισώσεις Lagrange με γενικούς δεσμούς 2.10 Ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων 2.11 Ταλαντώσεις A) Ελεύθερες ταλαντώσεις Β) Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις 2.12 Το Αντίστροφο Πρόβλημα της Μηχανικής - Περί μη μοναδικότητας της λαγκρανζιανής Παραδείγματα 1. Δυνάμεις απωλειών 2. Από την άμεση ενσωμάτωση δεσμευτικής σχέσης στη λαγκρανζιανή, μετάβαση στην τροποποίηση λαγκρανζιανής με παράθεση δεσμευτικής σχέσης. 3. Ενσωμάτωση και παράθεση δεσμευτικών σχέσεων 4. Συζευγμένα εκκρεμή 5. Εφαρμογή της λαγκρανζιανής μεθόδου στην ηλεκτροτεχνία 6. Μηχανική ομοιότητα Προβλήματα 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 3.1 Αρχή (του) Hamilton 3.2 Πιθανές τροχιές
3.3 Εξισώσεις του Lagrange από την αρχή του Hamilton για διακριτά συστήματα Α) Λαγκρανζιανό σύστημα χωρίς δεσμούς B) Λαγκρανζιανό σύστημα με ανολόνομους δεσμούς 3.4 Διευκρινίσεις για την Αρχή Hamilton 3.5 Εισαγωγή για εφαρμογές στη Γενική Σχετικότητα 3.6 Θεωρία μεταβολών με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές 3.7 Θεωρία μεταβολών με με μια ανεξάρτητη και μια εξαρτημένη μεταβλητή και με ανώτερες παραγώγους 3.8 Συνοριακές συνθήκες 1. Φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες ελεύθερου συνόρου 2. Ισοπεριμετρικά προβλήματα 3.9 Εξάλειψη συντεταγμένων Παραδείγματα 1. Διαφορετικός τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος της θεωρίας μεταβολών 2. Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων στο επίπεδο 3. Το πρόβλημα του βραχυστόχρονου 4. Το πρόβλημα της ελαστικής ράβδου 5. Μελέτη της ταλάντωσης χορδής με χρήση της θεωρίας μεταβολών 6. Το παράδειγμα 3 του Κεφαλαίου 2 με θεωρία μεταβολών 7. Μελέτη της ανάκλασης του φωτός με χρήση της θεωρίας μεταβολών Προβλήματα v
vi 4. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ 4.1 Ενεργειακή συνάρτηση Διατήρηση της ενέργειας 4.2 Θεώρημα της Noether για διακριτά συστήματα Παραδείγματα 1. Διατήρηση ενεργειακής συνάρτησης 2. Θεώρημα του κέντρου μάζας 3. Κίνηση σε πεδίο Schwarzschild 4. Διάνυσμα Laplace Runge - Lenz 5. Θεώρημα του Bertrand 6. Θεώρημα virial 7. Εισαγωγή στα βαρυτικά κύματα και την ανίχνευσή τους με συμβολομετρία Προβλήματα 5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΣΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 5.1 Απλή διαδικασία για την εύρεση μιας σχετικιστικής λαγκρανζιανής 5.2 Εμφανώς συναλλοίωτος λαγκρανζιανός φορμαλισμός 6. ΧΑΜΙΛΤOΝΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ 6.1 Εξισώσεις του Hamilton 6.2 Αγνοήσιμες συντεταγμένες και θεωρήματα διατήρησης 6.3 Η διαδικασία του Routh 6.4 Εξισώσεις του Hamilton από μια αρχή παραλλαγών (μεταβολών)
vii 6.5 Η αρχή της ελάχιστης δράσης 6.6 Πότε τα στάσιμα σημεία είναι σημεία ελάχιστου 6.7 Γενικά χαρακτηριστικά της κίνησης συστήματος 6.8 Το απλό εκκρεμές στο χώρο των φάσεων 6.9 Λαγκρανζιανές με ανώτερες παραγώγους και το θεώρημα του Ostrogradsky 6.10 Από τo λαγκρανζιανό φορμαλισμό στον χαμιλτονιανό χωρίς το μετασχηματισμό Legendre Παράδειγμα Προβλήματα 7. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 7.1 Εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης από τις εξισώσεις κανονικού μετασχηματισμού 7.2 Ένα άλλο κριτήριο για το αν ένας μετασχηματισμός είναι κανονικός 7.3 Αγκύλες του Poisson 7.4 Συμπλεκτική μορφή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού Παράδειγμα 7.5 Αναλλοίωτο των αγκύλων του Poisson σε κανονικούς μετασχηματισμούς στο συμπλεκτικό φορμαλισμό 7.6 Αναλλοίωτα ολοκληρώματα (του) Poincare 7.7 Εξισώσεις κίνησης με αγκύλες του Poisson 7.8 Απειροστοί κανονικοί μετασχηματισμοί και θεωρήματα διατήρησης
viii 7.9 Το Θεώρημα του Liouville 7.10 Χαμιλτονιανός φορμαλισμός με δεσμούς. Αγκύλες του Dirac. Προβλήματα 8. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ HAMILTON-JACOBI 8.1 Χωρισμός μεταβλητών της εξίσωσης Hamilton-Jacobi Παραδείγματα 1. Εφαρμογή της μέθοδο Hamilton-Jacobi στον αρμονικό ταλαντωτή 2. Κίνηση σωματίου υπό την επίδραση κεντρικής δύναμης, σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες 8.2 Γωνίες και δράσεις ως κανονικές συντεταγμένες 1. Κυκλικά συστήματα 2. Γωνίες και δράσεις ως μεταβλητές Παραδείγματα 1. Αρμονικός ταλαντωτής. 2. Κίνηση υλικού σημείου σε ελκτικό κεντρικό δυναμικό της μορφής k k V() r, 0, 0 2 r r Προβλήματα 9. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9.1 Ο τανυστής μηχανικής τάσης-ενέργειας και θεωρήματα διατήρησης 9.2 Χαμιλτονιανός φορμαλισμός 9.3 Σχετικιστική θεωρία πεδίου
ix 9.4 Θεωρήματα της Noether για πεδία Α. Πρώτο θεώρημα της Noether για πεδία Β. Δεύτερο θεώρημα της Noether για πεδία 9.5 Η χορδή ως όριο συζευγμένων σωματίων 9.6 Αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας Παραδείγματα 1. Νευτωνικό πεδίο βαρύτητας 2. Συνήθης πυκνότητα ρεύματος στην κβαντομηχανική του Schroedinger Προβλήματα 10. ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ 10.1 Θεωρία διαταραχών με εξάρτηση από το χρόνο Παράδειγμα 10.2 Θεωρία διαταραχών χωρίς εξάρτηση από το χρόνο Παράδειγμα 10.3 Αδιαβατικά αναλλοίωτα Παράδειγμα Προβλήματα 11. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 11.1 Ισορροπία 11.2 Παραμετρικός συντονισμός
x 1) Ορθό διαταραγμένο εκκρεμές 2) Αντεστραμμένο διαταραγμένο εκκρεμές 11.3 Κλασικό χάος 1) Μερικά χρήσιμα εργαλεία για την μελέτη της χαοτικής συμπεριφοράς 2) Περιοδική κίνηση 3) Ολοκληρωσιμότητα δυναμικών συστημάτων 4) Διαταραχές και το θεώρημα Kolmogorov-Arnold-Moser (ΚΑΜ) 5) Το σύστημα Henon- Heiles 6) Η εξίσωση van der Pol 7) Το σύστημα του διαταραγμένου εκκρεμούς 8) Εκθέτες Liapunov 9) Διαγράμματα διακλάδωσης 10) Διαστατικότητα 11) Λογιστική απεικόνιση Προβλήματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Π1. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π2. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Π3. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΙΔΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ
xi Π4. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ-ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ NOETHER Π4.1 Εξισώσεις των Euler-Lagrange από θεωρία μεταβολών Π4.2 Θεωρήματα της Noether Π4.2.1 Πρώτο θεώρημα της Noether Π4.2.2 Δεύτερο θεώρημα της Noether Π5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Π6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LEGENDRE Π7. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ JACOBI Π8. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Βιβλιογραφία
ANALYTICAL DYNAMICS Manolis A. Dris from Naxos Professor Emeritus N.T.U. of Athens
xv CONTENTS 1. INTRODUCTORY 1.1 Position Coordinates 1.2 Constraints 1.3 Classification of Displacements 1. The Actual Displacement 2. The Possible Displacement 3. The Virtual Displacement 1.4 The Variation 1.5 The Virtual Work 11.6 Zero Virtual Work of Some Constraints Examples Problems 2. LAGRANGE FORMULATION 2.1 D Alembert s Principle 2.2 Formulation without Constraints 2.3 Formulation with Constraints A. The Forces of the Constraints B. Transition to Generalized Coordinates C. D Alembert s Principle in Generalized Coordinates 2.4 Velocity Dependent Potentials
xvi 2.5 Electromagnetic Force - Inertial Forces 2.6 Equivalent Lagrangians 2.7 Non Holonomic Constraints Calculation of Constraint Forces 2.8 Further Investigation 2.9 Lagrange Equations with General Constraints 2.10 Embedding of Virtual Displacements 2.11 Oscillations A) Free Oscillations B) Forced Oscillations 2.12 The Inverse Problem of Mechanics - Non Uniqueness of the Lagrangian Examples 1. Dissipative Forces 2. From the Direct Embedding of a Constraint Equation to the Lagrangian, Transition to a Modified Lagrangian with the Constrained Equation Adjoined 3. Embedding and Adjoining of Constrained Equations 4. Coupled Pendula 5. Application of the Lagrangian Method in Circuit Theory 6. Mechanical Similarity Problems 3. INTRODUCTION TO VARIATIONAL THEORY 3.1 Hamilton s Principle 3.2 Possible Paths
xvii 3.3 Lagrange s Equations from Hamilton s Principle for Discrete Systems A) Lagrangian System without Constraints B) Lagrangian System with Constraints 3.4 Further Explanations for Hamilton s Principle 3.5 Introduction to Applications in General Relativity 3.6 Variational Theory for Many Independent Variables 3.7 Variational Theory with One Independent and One Dependent Variable with Higher Derivatives 3.8 Boundary Conditions 1. Natural Boundary Conditions for Free Boundaries 2. Isoperimetric Problems 3.9 Coordinate Elimination Examples 1. Different Approach to the Variational Problem 2. Minimum Distance Between two Points on a Plane 3. The Brachistochrone Problem 4. The Problem of the Elastic Bar 5. Study of the String Vibration with the Variational Method 6. Study of Example 3 of Chapter 2 with Variational Method 7. Study of Light Reflection with the Use of the Variational Method Problems
xviii 4. SYMMETRIES AND CONSERVATION THEOREMS 4.1 Energy Function and Conservation of Energy 4.2 Noether s Theorem for Discrete Systems Examples 1. Energy Function Conservation 2. Center of Mass Theorem 3. Motion in the Schwarzschild Field 4. Laplace Runge Lenz Vector 5. Bertrand Theorem 6. Virial Theorem 7. Introduction to Gravity Waves and their Detection with Intereferometry Problems 5. THE LAGRANGIAN FORMULATION OF THE DYNAMICS OF SPECIAL RELATIVITY 5.1 A Simple Procedure to the Relativistic Lagrangian 5.2 Covariant Lagrangian Formulation 6. HAMILTONIAN FORMULATION 6.1 The Hamilton Equations 6.2 Ignorable Coordinates and Conservation Theorems 6.3 Routh s Procedure 6.4 Derivation of Hamilton s Equations from a Variational Principle
xix 6.5 The Principle of Least Action 6.6 When the Stationary Points are Minima Points 6.7 General Characteristics of a System s Motion 6.8 The Simple Pendulum in the Phase Space 6.9 Lagrangians with Higher Derivatives and the Ostrogradsky Theorem 6.10 From the Lagrangian to the Hamiltonian Formalism with no Use of the Legendre Transform Example Problems 7. CANONICAL TRANSFORMATIONS 7.1 Finding a Generating Function from the Canonical Transformation Equations 7.2 Another Test for a Transformation to be Canonical 7.3 Poisson Brackets 7.4 Symplectic Form of the Hamiltonian Formalism Examples 7.5 Poisson Bracket Invariance to Canonical Transformations in the Symplectic Approach 7.6 Invariant Integrals of Poincare 7.7 The Equations of Motion with Poisson Brackets 7.8 Infinitesimal Canonical Transformations and Conservation Theorems
xx 7.9 The Liouville Theorem 7.10 Hamiltonian Formalism with Constraints Dirac Brackets Problems 8. THE HAMILTON JACOBI METHOD 8.1 Separation of Variables in the Hamilton Jacobi Equation Examples 1. Application of the Hamilton Jacobi Method in the Harmonic Oscillator 2. Particle Motion in a Central Field of Force, in Spherical Polar Coordinates 8.2 Angles and Actions as Canonical Coordinates (Action - Angle Variables) 1. Cyclic Systems 2. Angles and Actions as Variables Examples 1. Harmonic Oscillator 2. Motion of a Particle inside a Potential of the Form k V() r, k 0, 0. 2 r r Problems
xxi 9. CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS 9.1 Tension-Energy Tensor and Conservation Theorems 9.2 Hamiltonian Formalism 9.3 Relativistic Field Theory 9.4 Noether s Theorems for Fields A. First Noether s Theorem for Fields B. Second Noether s Theorem for Fields 9.5 The String as a Limit of Infinite number of Coupled Particles 9.6 Spontaneous Symmetry Breaking Examples 1. Newtonian Gravity Field 2. The Usual Current Density in the Schroedinger Quantum Mechanics Problems 10. CANONICAL PERTURBATION THEORY 10.1 Time Dependent Perturbation Theory Example 10.2 Time - Independent Perturbation Theory Example 10.3 Adiabatic Invariants Example Problems
xxii 11. NON LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS 11.1 Equilibrium 11.2 Parametric - Resonance 1) The Normal Perturbed Pendulum 2) The Inverted Perturbed Pendulum 11.3 Classical Chaos 1) Some Useful Tools for Studying Chaotic Behavior 2) Periodic Motion 3) Integrability of Dynamical Systems 4) Disturbances and the Kolmogorov Arnold Moser Theorem (KAM) 5) The Henon Heiles System 6) The van der Pol Equation 7) The System of Perturbed Pendulum 8) The Liapunov Exponents 9) Bifurcation Diagrams 10) Dimensionality 11) The Logistic Map Problems APPENDICES A1. INTEGRAL OF A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS A2. THE KINETIC ENERGY IN GENERALIZED COORDIANETS
xxiii A3. VARIOUS TYPES OF FORCE COMPONENTS A4. VARIATIONAL THEORY NOETHER S THEOREMS A4.1 The Euler Lagrange Equations from a Variational Theory A4.2 Noether s Theorems A4.2.1 The First Noether s Theorem A4.2.2 The Second Noether s Theorem A5. MATHEMATICAL AID FOR SPECIAL RELATIVITY A6. THE LEGENDRE TRANSFORM A7. THE PROOF OF JACOBI S IDENTITY A8. ELEMENTS OF THE THEORY OF DIFFERENTIAL FORMS Bibliography
xxv ΠΡΟΛΟΓΟΣ Timeo hominem unius libri. Thomas Acquinas Φοβού τον άνθρωπο του ενός βιβλίου. Θωμάς Ακινάτης Αυτό το βιβλίο μπορεί να είναι βοήθημα για φοιτητές που παρακολουθούν σχετικό μεταπτυχιακό μάθημα που μπορεί να έχει τίτλο Κλασική Μηχανική ή κάτι παρόμοιο, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και από προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές. Μέρος από αυτό το βοήθημα διδάχτηκε από τον γράφοντα στο Μεταπτυχιακό: Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρμογές, ΕΜΠ/Δημόκριτος, στα πλαίσια του μαθήματος Κλασική Μηχανική. Είναι καλό οι φοιτητές που παρακολουθούν ένα τέτοιο μάθημα να έχουν γνώση Μηχανικής επιπέδου Γενικής Φυσικής και κάποια γνώση πιο προχωρημένης Μηχανικής προπτυχιακού επιπέδου, καθώς και γνώση Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Η Μηχανική γενικώς και ειδικότερα η Αναλυτική Μηχανική ή η Αναλυτική Δυναμική, είναι κλάδοι της επιστήμης, που μπορεί να ισχυριστεί κάποιος, αποτελούν το αλφάβητο, το βασικό εργαλείο, που είναι χρήσιμο για τη μετάβαση σε άλλους κλάδους της φυσικής και της επιστήμης του μηχανικού. Το περιεχόμενο είναι, κυρίως, κλασική Αναλυτική Δυναμική. Επίσης περιλαμβάνονται και τα βασικά για τη Μη Γραμμική Δυναμική και το Χάος. Επίσης περιλαμβάνεται και ο παραμετρικός συντονισμός. Ακόμη περιλαμβάνονται θέματα κλασικής Θεωρίας Πεδίου και τα θεωρήματα της Noether. Δίνονται στοιχεία από τη θεωρία μεταβολών για συστήματα με φυσικές συνοριακές συνθήκες. Εξετάζονται οι περιπτώσεις όπου η λαγκρανζιανή εξαρτάται από ανώτερες παραγώγους και επίσης το θεώρημα Ostrogradsky. Αναλύονται διάφορα θέματα που σχετίζονται με τη Γενική Σχετικότητα. Ακόμη εξετάζεται το αντίστροφο πρόβλημα της Μηχανικής, δηλαδή αν από τις εξισώσεις κίνησης μπορεί να βρεθεί λαγκρανζιανή που να περιγράφει το σύστημα. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να μην ισχύει η «συνταγή» L T V. Η Αναλυτική Δυναμική είναι το θεμέλιο πολλών κλάδων της Φυσικής και του κλάδου των Μηχανικών. Οι προχωρημένες θεωρίες σωματιδίων, σχετικότητας, αστροφυσικής κτλ στηρίζονται στην Αναλυτική Δυναμική. Επίσης σε θέματα της επιστήμης του Μηχανικού γίνεται μεγάλη χρήση της Αναλυτικής Μηχανικής, π.χ. κύματα, ταλαντευόμενες κατασκευές, ρευστά, χαοτικά συστήματα κτλ. Κατά τη συγγραφή αυτού του πονήματος θεωρήσαμε καλό να εξετάζονται και θέματα που μπορεί να συσχετιστούν με την παλαιότερη ή σημερινή έρευνα διαφόρων κλάδων της Φυσικής, όπως αυτοί που αναφέραμε παραπάνω. Το βιβλίο απευθύνεται σε όσους θέλουν να αποκτήσουν μια γεύση από τα αντικείμενα που πραγματεύονται στις σελίδες του. Για περισσότερες γνώσεις κάποιος μπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία που παρατίθεται εδώ και σε άλλα συγγράμματα που είναι πιο εξειδικευμένα. Η βιβλιογραφία περιέχει βιβλία και
xxvi δημοσιεύσεις που χρησιμοποιήσαμε σε μικρό ή μεγάλο βαθμό για τη συγγραφή αυτού του πονήματος και άλλα για παραπάνω μελέτη. Το βιβλίο δε μπορεί να διδαχτεί ολόκληρο σε ένα ή ακόμη και σε δυο εξάμηνα, ο διδάσκων πρέπει να κάνει κατάλληλη επιλογή της ύλης που διδάσκει. Τέλος, ας μη ξεχνούμε τον Θωμά Ακινάτη με τον οποίο ξεκινήσαμε αυτόν τον πρόλογο, κανένα βιβλίο δεν είναι αρκετό από μόνο του. Το κάθε βιβλίο έχει την αξία του, μπορεί να εξηγεί καλύτερα κάτι που κάποιο άλλο δεν το κάνει. Αυτό εξαρτάται και από τον αναγνώστη ο οποίος μπορεί να καταλάβει κάτι όταν του δίνεται με τρόπο που εκείνος καταλαβαίνει καλύτερα. Εμμανουήλ Αντ. Δρης