ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2015 2016 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Γ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 08.06.2016 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ: ΤΜΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ: Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 10 δακτυλογραφημένες σελίδες. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. Τα σχήματα επιτρέπεται να γίνουν με μολύβι. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. ΜΕΡΟΣ Α : Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Να υπολογίσετε τον όγκο και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας κύβου με ακμή α = 2cm. 2. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) (3x 4) 2 = β) (5x 2)(5x + 2) = 3. Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τα πιο κάτω πολυώνυμα: α) 5α 3 β 10α = β) 4x 2 49 = 1
4. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών : ε1: 3x + 2y = 1 ε 2: 2x y = 4 5. Ένας παρατηρητής θέλει να υπολογίσει το ύψος ενός δέντρου. Τοποθέτησε ένα γωνιόμετρο σε απόσταση ΑΓ = 10m από τον κορμό του δέντρου και υπολόγισε ότι το μέτρο της γωνιάς προς την κορυφή του δέντρου είναι 35. α) Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου. β) Αν ο παρατηρητής μετακινήσει το γωνιόμετρο στο μέσο Μ της ΑΓ, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιάς ΒΜΑ που θα δείχνει το γωνιόμετρο. (Οι απαντήσεις σας να δοθούν κατά προσέγγιση ακεραίου.) B Α 35 Γ 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε 2 που περνά από το σημείο Α( 2, 3) και είναι κάθετη με την ευθεία ε 1 : 4x + 2ψ = 3. 2
7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 3 4x = 0 β) 2x 2 + 3 = 5x 8. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = AΓ. Στις προεκτάσεις της ΒΓ παίρνουμε σημεία Ε και Ζ, έτσι ώστε ΒΕ = ΓΖ. Να δείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΕΑΖ είναι ισοσκελές, β) οι αποστάσεις των σημείων Β και Γ από τις ΑΕ και ΑΖ αντίστοιχα, είναι ίσες. 3
9. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής με εξίσωση y = (λ + 1)x 2, λ 1. α) Να γράψετε την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της. (μον. 0, 5) β) Να γράψετε δύο συμμετρικά σημεία της παραβολής ως προς τον άξονα συμμετρίας της. (μον. 0, 5) γ) Να γράψετε τις συντεταγμένες της κορυφής της. δ) Να βρείτε κατά πόσο έχει μέγιστο ή ελάχιστο. ε) Να υπολογίσετε τη τιμή της παραμέτρου λ. (μον. 0, 25) (μον. 0, 25) (μον. 0, 5) στ) Να γράψετε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της. (μον. 1) ζ) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της παραβολής που έχει τετμημένη 2. (μον. 1) η) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της παραβολής που έχουν τεταγμένη 18. 4 (μον. 1)
10. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 90 και ΒΔ διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ. Από το σημείο Δ φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε. Αν Μ το μέσο της ΒΔ και η προέκταση της ΕΜ τέμνει τη BΓ στο Ζ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι τετράγωνο. 5
ΜΕΡΟΣ Β : Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. α) Να λύσετε την εξίσωση: x + 2 x + 3 + 2x 1 5 x = 8 x 2 2x 15 β) Αν 2xy = 3 και 8x 3ψ = 5 να αποδείξετε ότι : (2x ψ) 3 ψ(2x ψ)(2x + ψ) 8x 3 = 15 6
2. Να κάνετε τις πράξεις: α) 4αx 6x 10α+15 4x 2 20x+25 4x2 10x 4α 2 9 = β) ψ 2 ψ 6 ψ 3 +4ψ 2 +4ψ ( 5 ψ+2 3 ψ ) = 7
3. α) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = (x + 1) 2 m, ΔΓ = (8x 1) m και διάμεσο ΕΖ = (3x 2 ) m. Να υπολογίσετε τα μήκη των βάσεων του τραπεζίου. (x + 1) 2 3x 2 8x 1 β) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 και Γ = 30. Αν Δ είναι το μέσο της ΒΓ και Ε μέσο της ΒΔ, να προεκτείνετε την ΑΕ κατά τμήμα ΕΖ = ΑΕ. Να δείξετε ότι: i ) ΑΒΔ είναι ισόπλευρο τρίγωνο, (μον.3) ii) ΑΒΖΔ είναι ρόμβος, (μον.1) iii) αν Η μέσο της ΑΓ, η ΔΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΔΓ. (μον.1) 8
4. Δίνονται τα σημεία Α(9, 0), Β(2, 3), Γ(4, 2). α) Να βρείτε το μήκος της πλευράς ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. γ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΓΔ. δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της ΒΓ και ακολούθως τις συντεταγμένες του σημείου Ε έτσι ώστε το ΑΒΕΓ να είναι παραλληλόγραμμο. 9
5. Το διπλανό στερεό είναι αποθήκη σιτηρών, ανοικτή από πάνω και φτιαγμένη από λαμαρίνα κόστους 20 το m 2. Το ύψος του κυλίνδρου είναι 5 m και το ύψος του κώνου είναι 4 m. α) Αν ο όγκος του στερεού είναι 57π m 3, να βρείτε το κόστος κατασκευής του. β) Αν το στερεό είναι γεμάτο με σιτάρι και θα το μεταφέρουμε με φορτηγό σε άλλη αποθήκη, να υπολογίσετε πόσες διαδρομές θα κάνει το φορτηγό, του οποίου η καρότσα είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις 5 m, 3 m και 1,8 m. Οι εισηγητές: Κουρουζίδου Δέσποινα (Β. Δ.) Αριστοδήμου Άννα Αντωνίου Ιωάννης Η Διευθύντρια Κλεάνθους Αθηνά 10