ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Ασύμπτωτη Συνάρτησης Μια συνάρτηση μπορεί, καθώς τείνει στο άπειρο, να προσεγγίζει ασυμπτωτικά μια ευθεία y = ax+b. lim x ( x) ax b lim x ( x) x x b x x 4
Ασύμπτωτη Συνάρτησης Μια συνάρτηση μπορεί, καθώς τείνει στο άπειρο, να προσεγγίζει ασυμπτωτικά μια ευθεία y = ax+b. lim x ( x) ax b lim x ( x) x x b x x lim x ( x) x a lim x b x 5
Ασύμπτωτη Συνάρτησης Οπότε προκύπτει: a lim x ( x) x και lim x ( x) ax 6
Ακρότατα Θυμίζουμε ότι βρίσκουμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης από τις ρίζες τις εξίσωσης που προκύπτει αν θέσουμε την πρώτη παράγωγο ίση με μηδέν: '( x) Βρίσκουμε, επίσης, το είδος του ακρότατου (μέγιστο ή ελάχιστο) από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου στο κάθε ακρότατο: ''( x) έ '( x ) ά ' 7
Ακρότατα Τα απόλυτα μέγιστα ή ελάχιστα μιας συνάρτησης εντοπίζονται με σύγκριση των ακροτάτων που έχουμε βρει. 8
Ακρότατα Τα απόλυτα μέγιστα ή ελάχιστα μιας συνάρτησης εντοπίζονται με σύγκριση των ακροτάτων που έχουμε βρει. Αν μας ζητηθούν τα ακρότατα συνάρτησης εντός ενός συγκεκριμένου πεδίου ορισμού, πρέπει να εξετάσουμε και τις τιμές των άκρων του πεδίου ορισμού. 9
Κανόνας de l Hospital Απροσδιόριστες μορφές:,,,,1,,, 1
Κανόνας de l Hospital: Εφαρμογή Να υπολογιστεί το όριο limx x1 1 x 1 11
Κανόνας de l Hospital: Εφαρμογή limx x1 lim x1 1 x1 Να υπολογιστεί το όριο ln x lim x 1 x1 lim x1 1 x e ln x 1 1 x1 lim e x1 1 ln x x1 limx x1 1 x 1 lim e x1 1 ln x x1 e 12
Σειρές Taylor, Maclaurin Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά γύρω από ένα σημείο x : 1 2 3 x x a x x a x x a x x n ( x) a a1 2 3... n Αν το σημείο x είναι το μηδέν, η σειρά λέγεται Maclaurin. Αλλιώς, λέγεται σειρά Taylor. 13
Σειρές Taylor, Maclaurin Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά γύρω από ένα σημείο x : 1 2 3 x x a x x a x x a x x n ( x) a a1 2 3... n Συντελεστές α: Με παραγώγιση της (x), προκύπτουν οι αντίστοιχοι συντελεστές: a ( ) x a1 '( x) 1 a ''( 2 2 x ) a n 1 n! ( n) ( x ) 14
Σειρές Taylor, Maclaurin Με χρήση των σειρών (πολυωνύμων) Taylor ή Maclaurin, μπορούμε να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση γύρω από ένα σημείο. Όσους περισσότερους όρους της σειράς χρησιμοποιούμε, τόσο πιο ακριβής είναι η προσέγγιση μας. Ταυτόχρονα όμως, οι περισσότεροι όροι που προκύπτουν την κάνουν πιθανώς πιο δύσχρηστη. 15
Σφάλμα Σειράς Taylor Η ακρίβεια της προσέγγισης μέσω σειράς Taylor (ή Maclaurin) είναι ίση με τον μεγαλύτερο όρο που απορρίπτουμε. 16
Σφάλμα Σειράς Taylor Η ακρίβεια της προσέγγισης μέσω σειράς Taylor (ή Maclaurin) είναι ίση με τον μεγαλύτερο όρο που απορρίπτουμε. Για παράδειγμα, αν κρατήσουμε όρους μέχρι και 2 ης τάξης στο πολυώνυμο, το σφάλμα της προσέγγισης θα είναι: R 3 '''( x 3! ) x 3 17
Σφάλμα Σειράς Taylor Γενικά, το σφάλμα θα είναι: ( x n! ( n) R n n x ) Αν αναζητούμε την ακρίβεια της προσέγγισης για να έχουμε κάποιο συγκεκριμένο μέγιστο σφάλμα, τότε λύνουμε την παραπάνω σχέση για το επιθυμητό σφάλμα, ως προς n. 18
Σειρές Taylor: Εφαρμογή Να προσεγγιστεί η παρακάτω συνάρτηση με σειρά Taylor, γύρω από το σημείο x = 8: 3 ( x) x Να υπολογίσετε την ακρίβεια της προσέγγισης, αν το x είναι μεταξύ των τιμών 7.8 και 8. 19
Σειρές Taylor: Εφαρμογή Να προσεγγιστεί η παρακάτω συνάρτηση με σειρά Taylor, γύρω από το σημείο x = 8: 3 ( x) x Να υπολογίσετε την ακρίβεια της προσέγγισης, αν το x είναι μεταξύ των τιμών 7.8 και 8. Η σειρά Taylor θα είναι: 1 1 ( x) 12 288 x 8 x 8 2 Με σφάλμα: R. 3 (8) 3! ''' 3 2 2
Σειρές Taylor: Εφαρμογή 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω, με χρήση σειρών Taylor: 3 1. 1 cos(31) 21
Σειρές Taylor: Εφαρμογή 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω, με χρήση σειρών Taylor: 3 1. 1 Αναπτύσσουμε γύρω από το σημείο x = 1: x (1) '(1)( x 1) ''(1) 2! ( x 1) 3 2... 1.1 (1) '(1)(.1) ''(1) (.1) 2! 3 2 1.3222 22
Σειρές Taylor: Εφαρμογή 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω, με χρήση σειρών Taylor: cos(31) Αναπτύσσουμε γύρω από το σημείο x = 3: cos(3) cos(3) cos(3) ' ( x 3) cos(3) '' 2! ( x 3) x3 2 x3... 23
Σειρές Taylor: Εφαρμογή 3 Πώς προκύπτουν οι παρακάτω προσεγγίσεις; Gm1m 2 r 2 2 1 E mc 1 2 u 1 c gm 1 E mu 2 2 24
Σειρές Taylor: Εφαρμογή 3 GM m K GM GM 2 2 r R h R m K 2 m 1 1 1 R 2 Αναπτύσσοντας τον όρο εντός της αγκύλης σε πολυώνυμο Taylor, μπορούμε να πετύχουμε πιο ακριβή προσέγγιση. 25
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση: 1.. Θεσσαλονίκη 214. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.auth.gr/eclass_courses.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4./
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 215
ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.