۱ ﻞﺼﻓ ﺮﺗ : ﻮﻴﭙﻣﺎﻛ ﻪﺘﺷﺭ ﻥﺎﻳﻮﺠﺸﻧﺍﺩ.ﺪﺷﺎﺑ ﺪﺷﺭﺍ ﻲﺳﺎﻨﺷﺭﺎﻛ ﻥﻮﻣﺯﺁ ﺭﺩ ﺎﻤﺷ ﺖﻴﻘﻓﻮﻣ ﺖﻬﺟ ﺭﺩ ﻲﻜﻤﻛ ﺪﻧﺍﻮﺘﺑ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﻳﺍ ﺖﺳﺍ ﺪﻴﻣﺍ

دانشجوي گرامي هدف از تدوين اين مجموعه بررسي نكات مهم سوالات ا مار رشته برق و كامپيوتر در سالهاي اخير بوده است بهجز فصل اول كه در قالب سوالات چهارگزينهاي مورد بررسي قرار گرفته بقيه فصول شامل تحليل نكات و بررسي سوالات چهارگزينهاي است. دانشجويان رشته برق: فصل ۱ تا ۴ دانشجويان رشته كامپيوتر: فصل ۱ تا ۵ اميد است اين مجموعه بتواند كمكي در جهت موفقيت شما در ا زمون كارشناسي ارشد باشد. مولف

در جدول ذیل دروس به سرفصلهاي مهم آن طبقه بندي شده و مشخص شده است که در هر سال از هر مبحث چند تست سوال شده است و دانشجوي محترم می تواند زمان باقیماندة خود را با توجه به اهمیت مباحث مدیریت نماید. رشته: کامپیوتر درس: آمار و احتمال 89 تعداد تست 88 تعداد تست 87 تعداد تست 86 تعداد تست 85 تعداد تست ردیف مبحث مجموع 5 سال نسبت از کل % 6 آنالیز ترکیبی و احتمال 7% متغیرهاي تصادفی % متغیرهاي تصادفی توام % 6 توزیع گسسته و پیوسته 8% 5 توزیع هاي نمونه اي برآورد و آزمون % 7 5 5 5 6 6 جمع

ا ناليز تركيبي و احتمال روابط احتمالاتی. فرض کنید A و B دو پیشامد تصادفی مستقل باشند به قسمی که احتمال وقوع همزمان آنها و احتمال اینکه هیچیک رخ 6 ندهد باشد. در این صورت: (برق سراسري 7) P( A ), P( B) ( P( A ), P( B) ( P A P B P A P B ( حل:گزینه درست است. یادآوري: هرگاه A و B مستقل باشند A و B نیز مستقل هستند. B, A مستقل P( AB) P( AB) P( A) P( B) () I همزمان رخ دهند. 6 6,A B مستقل ) ( B P A B P( A B ) P( A ) P( هیچیک رخ ندهند. ) ( PA )( PB ) PA P( B) + PAPB PA + PB ( II) 6 5 6

۲ ا مار و احتمال P( A B مقدار احتمال ) از طریق قانون دمورگان نیز به دست میآید: P A i P A i i i ( ) ( ) ( ) + ( ) PA PB PA B PA B PA B PA PB PA B 5 6 6 5 + 6 یادآوري: قانون دمورگان باتوجه به روابط (I ( و II) ( به این نتیجه میرسیم که حاصلضرب دو احتمال 6 است. دیگري اما دقت کنید که مشخص نیست مقدار احتمال کدامیک و حاصلجمع آنها است پس احتمال یکی و و کدامیک است زیرا با حل دستگاه تشکیل شده از P( A) P( B) داریم: یا یا روابط I) ( و II) ( پس گزینههاي و نادرست هستند و گزینه درست است. باشد کدامیک از گزارههاي زیر صحیح است (برق سراسري 76) ( B) P A ( B) P A ( ( B) P A < اگر P( A B) < 8 (, P( A) P B (. P A 6 P( AB) P( AB) P( A) + P( B) P( AB) P B حل:گزینه درست است. P A صحیح است باشد کدامیک از گزارههاي زیر در رابطه با (B ( (کامپیوتر سراسري 76) ( B) P A P B ( اطلاعات دادهشده براي اظهارنظر در مورد (B ( P A کافی نیست. P A و 8 ( B) P A ( B) P A. اگر ( 8 ( حل:گزینه درست است.

ا ناليز تركيبي و احتمال ۳ P A P( AB) P( AB) P( A) + P( B) P B P( AB) P( AB) P( AB) 8 P( AB) 9 P( AB) 9 8 P( AB) + 8 8 ( ) و.6 B P A است در. فرض کنید A و B دو پیشامد از فضاي نمونهاي Ω هستند به طوري که. A P B.,P.7. ( کدام است (کامپیوتر سراسري 8). ( این صورت B) ( P A. ( حل:گزینه درست است. با توجه به شکل داریم: ( ) ( ) P A B P A B P A P A B..6. P( A).,P( AB).6 دو پیشامد مستقل باشند. احتمال اینکه هیچکدام اتفاق نیفتند برابر با a و احتمال اینکه B اتفاق افتد برابر با b باشد.. 5 اگر A و B آنگاه احتمال اینکه A اتفاق افتد کدام است (کامپیوتر سراسري 8) P A P A b a b b a b ( a P( A) b a b P( A) b ( ( و B ( ) A نه ) P A B a حل:گزینه درست است. و نه P(B ) هیچ یک از پیشامدهاي A اتفاق نیفتد )P P( B) b, P( A )? راه حل اول: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) P A B P A.P B P A P B P A b a a a b a P( A ) P( A) b b b یادآوري: هرگاه A و B مستقل باشند B,A نیز مستقلاند.

۴ ا مار و احتمال راه حل دوم: P A i P A i i i ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A B P A B P A + P B P A P B a P A + P B P A P B a P A + b P A b a a b P( A)( b) a b P( A) b یادآوري: قانون دمورگان.9 احتمال اینکه در طول.8 ) زنده ماندن P(A.9 ) زنده ماندن P(B. 6 احتمال اینکه دو فرد به نامهاي A و B بیست سال دیگر زنده بمانند بهترتیب برابر است با:.8 و بیست سال حداقل یک نفر از این دو زنده بماند چقدر است (کامپیوتر آزاد 8).98. (.7 (.7 ( حل:گزینه درست است. راه حل اول: حداقل یک نفر زنده بماند )P ( ) P A B P A P B بماند )P ( ) ( ) ) P A B P A + P B P A B.8+.9.8.9.98.).)( (.9).8)( ( ) هیچکدام زنده نمانند P( ).98 چون زنده ماندن هر فرد مستقل از دیگري است داریم: راه حل دوم: استقلال پیشامدها حداقل یک نفر زنده اتومبیل I در جاده ناگهان توقف میکند و اتومبیل II از عقب به آن برخورد مینماید درحالیکه ناظران B A و C شاهد آنها هستند. اگر احتمال اینکه این ناظران به درستی رویداد را ملاحظه و گواهی کرده باشند به ترتیب برابر.8.9 و.7 باشد آنگاه احتمال اینکه لااقل دو شاهد رویداد را صحیح گواهی نمایند برابر کدام است (برق سراسري 86) )P حداقل نفر گواهی درست دهند ) )P.99.98 (.9 (.5 +.98 ) هر نفر گواهی درست دهند )P + ( نفر گواهی درست دهند.9.89 (. 7 حل:گزینه درست است.

ا ناليز تركيبي و احتمال ۵ با توجه به اینکه هر یک از ناظران مستقل از یکدیگر رویداد را ملاحظه میکنند داریم: P( نفر گواهی درست دهند. ( ) ( ) ( ) ) P A B C + P A B C + P A B C.6+.6+.56.98.9.8. +.9..7 +..8.7 P( نفر گواهی درست دهند ( ) P( A).9 P( B).8 P( C).7 و مستقل از.5.7.8.9 C P A B ) هر. 8 فرض کنید در ارسال اطلاعات بین دو کامپیوتر بستههاي اطلاعاتی ارسالی بیتی بوده و احتمال خطا در هر بیت آن هم باشند. احتمال اینکه بستهاي را صحیح دریافت کنیم برابر است با:(کامپیوتر آزاد 86) P( سالم بودن بسته ) P(.5.6 ( 6 ).97. 8. (. ( حل:گزینه درست است. دقت کنید که چون احتمال خطا در هر بیت است احتمال درست بودن هر بیت درست بودن هر بیت خواهد بود و چون احتمال خطا در هر بیت مستقل. است احتمال درست بودن بیت به دلیل استقلال برابر با ضرب احتمال درست بودن هر یک از بیت خواهد بود یعنی. 9 ظرفی حاوي سه گوي قرمز دو گوي سفید و یک گوي آبی است. ظرف دیگري حاوي یک گوي قرمز دو گوي سفید و سه گوي آبی است. اگر از هر ظرف یک گوي انتخاب کنیم احتمال اینکه دو گوي انتخابی همرنگ باشند چقدر است (علوم کامپیوتر 8) 5 8 ( ( ( P( دو گوي همرنگ ) P( هر دو قرمز ) + P( هر دو سفید ) + P( حل:گزینه درست است. ) هر دو آبی 5 + + + + + + + + + + + + + + + + 6 6 6 6 6 6 6 8 احتمال کلاسیک. ظرفی شامل 5 توپ شمارهگذاريشده از تا 5 است. میکنیم. به این ترتیب که توپهاي شمارهj +k که در آن ( ) ( 7 5 9 توپها را یکی یکی استخراج و بین چهار بازیکنj,,, مراحل توزیع را مشخص میکند و به بازیکن j توزیع ام داده k,,,..., میشود. اگر توپهاي,,, به عنوان توپهاي بخت خوب ) خوش یمن) در نظر گرفته شده باشند احتمال اینکه هر بازیکن یک توپ بخت خوب را به چنگ آورد چیست (برق سراسري 8) ( ) 5 5 9 ( ) 7 5 9 ( ) 7 5 9 ( (

۶ ا مار و احتمال حل:گزینه درست است. یادآوري: اگر بخواهیم شیء متمایز را بین k شیء متمایز برسد داریم: نفر تقسیم کنیم به طوري که به فرد اول شیء متمایز به فرد دوم شیء متمایز و به فرد k ام k! ;... k... + + + k!!... k! ( S ) کل تعداد حالات توزیع 5 نفر توپ بین 5!!!!! ( A ) P A! 8! تعداد حالات مساعد براي توزیع توپها!!!!!!!! 8!! ( A)!!!! ( ) ( S) 5! 7 5 9!!!! تعداد حالات توزیع تعداد حالات توزیع 8 توپ معمولی توپهاي خوشیمن باقیمانده وقتی میگوید که توپهاي شمارهj k,,,,... +k, به بازیکن j ام میرسد یعنی توپها یکی یکی بین بازیکنان توزیع میشوند و درواقع به هر بازیکن به تعداد مساوي توپ میرسد. پس ابتدا توپ خوشیمن را به صورت مساوي بین نفر تقسیم میکنیم )! ( و توپ باقیمانده را نیز به صورت مساوي بین نفر تقسیم میکنیم. لازم به ذکر است که در کل 5 توپ را به صورت مساوي نفر تقسیم کردهایم. سپس 8 بین j k + 5 9 7... 9 k + j j k + 6 8... 5 k,,,... j k + 7 5 9... 5 j k + 8 6... 5 پس به هر بازیکن توپ میرسد.. کیسهاي شامل گلوله با شمارههاي,,,... تا 9 است. گلولهاي را به طور تصادفی انتخاب کرده و شماره آن را بررسی میکنیم. احتمال آنکه شماره گلوله فرد بوده و مضرب نیز باشد چقدر است (برق سراسري 8).. (.8 (.5 (

ا ناليز تركيبي و احتمال ۷ ( S) تعداد کل حالات انتخاب یک گلوله,,5,7,9} { شماره گلوله فرد B,6,9} { شماره گلوله مضرب C ( A) B شماره گلوله فرد و مضرب ( A) P( A). S {,,,...,9} C {,9} حل:گزینه درست است. ( (.پنج دانشجوي رشته برق سه دانشجوي رشته کامپیوتر و دو دانشجوي رشته شیمی به تصادف روي قرار دارند مینشینند. احتمال آنکه تمام دانشجویان همرشته کنار هم باشند چیست ( 5 حل:گزینه درست است. یادآوري: جایگشت نفر در یک ردیف برابر! است. صندلی که در یک ردیف (کامپیوتر سراسري 79 و آزاد 88) P( A )!!!!5 حالات مساعد! حالات ممکن حالات ممکن: تعداد کل حالات نشستن نفر در یک ردیف! است. حالات مساعد: 5 دانشجوي برق به! 5 دانشجوي کامپیوتر به! دانشجوي شیمی به! حالت میتوانند کنار یکدیگر بنشینند. حالت میتوانند کنار یکدیگر بنشینند. حالت میتوانند کنار یکدیگر بنشینند. دانشجویان همرشته را مثل یک گروه مجزا در نظر میگیریم درنتیجه این هم قرار گیرند. گروه (برق کامپیوتر شیمی) نیز به! حالت میتوانند کنار. عددي به تصادف از فاصله (, ( انتخاب میکنیم. چقدر احتمال دارد که رقم دوم اعشار آن 5 باشد (علوم کامپیوتر 85).5. (.7 (. ( حل:گزینه درست است. دقت کنید که هر رقم اعشار میتواند از باشد بنابراین در حالت کلی انتخاب براي هر رقم اعشار وجود خواهد داشت: حالات ممکن تا 9

۸ ا مار و احتمال حال میخواهیم رقم دوم اعشار عدد 5 باشد بنابراین عدد 5 همان انتخاب را میتوانیم داشته باشیم بنابراین: را در آن قرار داده و تنها یک انتخاب براي آن خواهیم داشت. اما براي رقم اول اول دوم ارقام اعشار تعداد حالات مساعد 5 احتمال مورد نظر حالات مساعد. حالات ممکن احتمال با جایگذاري و بدون جایگذاري. جفتکفش مختلف در یک کیسه وجود دارد. 8 لنگه کفش را به طور تصادفی بیرون میکشیم. احتمال آنکه لااقل یک جفت ) هیچکدام 8 8 8 ( کفش با هم جور باشد چیست (برق سراسري 76) 8 8 8 ( 8 8 ( )P ) حداقل یک جفت کفش جور )P 8 8 ) 8 حل:گزینه درست است. هیچ جفت کفشی جور نباشد کل حالات: تعداد کل حالات انتخاب 8 لنگه کفش از بین جفت کفش لنگه : S ( 8 8 حالات مساعد: براي محاسبه تعداد حالات مساعد (هیچ جفت جور) ابتدا 8 جفت از جفت کفش را انتخاب میکنیم جفت یک لنگه بر میداریم تا هیچ دو لنگهاي جفت نباشند. سپس از هر 8 8 8 جفت هشتم جفت دوم جفت اول

ا ناليز تركيبي و احتمال ۹ جعبه به ترتیب شامل یک مهره سفید و دو مهره سیاه است. از هر جعبه یک مهره به تصادف بیرون میکشیم احتمال اینکه حداقل یکی سفید باشد برابر است با: (برق سراسري 7) ( ( (. 5 حل:گزینه درست است. ) همه مهرهها سیاه باشند )P ) حداقل یکی از مهرههاي خارجشده سفید باشد )P... تا توجه: مستقل از دیگري و برابر است. احتمال خارج شدن مهره سیاه از هر جعبه ظرفu, u N,...,u u, قرار میدهیم. احتمال اینکه در ظرف k u مهره قرار N N مهره را یکی یکی به طور تصادفی درون. 6 بگیرد چیست (گنجایش ظرفها محدودیتی ندارد.)(برق سراسري 77 ) ( N ) k k N N+ k k k N+ ( N k N N+ k k N+ ( ( حل:گزینه درست است. میدانیم که تعداد کل حالات توزیع مهره متمایز در N ظرف متمایز با فرض عدم محدودیت گنجایش ظرفها است. حال براي تعداد حالات مساعد به تعداد k مهره از مهره را انتخاب کرده و در ظرف U قرار میدهیم. در ادامه (k ( مهره باقیمانده را k N حالت توزیع صورت خواهد در N ظرف قرار میدهیم. در این حالت نیز چون گنجایش ظرفها محدودیتی ندارد با k گرفت (دقت کنید در پیشفرض مهرهها و جعبهها را متمایز در نظر گرفتهایم). P( A ) k ) ( حالات مساعد N k کل حالات N. 7 ظرفی حاوي توپ سفید و توپ سیاه است. هر بار توپ به تصادف و بدون جایگذاري از ظرف بیرون میآوریم تا زمانی که همه توپها بیرون آورده شوند. احتمال آنکه در هر مرحله یک توپ سفید و یک توپ سیاه بیرون آورده شود کدام است (! ) (! (برق سراسري ۸۱)!! (! )! (! )! ( (

۱۰ ا مار و احتمال 99 9! (! ) P...... 8 9 8 7!! حل:گزینه درست است. در مرحله اول توپ از توپ سفید دوم توپ از 9 توپ سفید باقیمانده در ظرف و توپ از توپ سیاه خارج میکنیم و توپ از 9 توپ سیاه باقیمانده و در کل توپ از توپ در مرحله خارج میکنیم و در کل توپ از 8 توپ 9 9 8 باقیمانده و به همین ترتیب تا مرحله آخر ادامه میدهیم. توجه کنید که چون انتخاب توپ بدون جایگذاري است و ترتیب خارج شدن توپها از ظرف اهمیتی ندارد از ترکیب استفاده میکنیم.. 8 از یک ظرف شامل M توپ که از یک تا M شمارهگذاري شده بار و هر بار یک توپ با جایگذاري استخراج کرده و سپس مجددا در ظرف جایگزین نمودهایم. حساب کنید احتمال اینکه هیچ توپی دوبار از ظرف خارج نشده باشد.(کامپیوتر سراسري 7) P M P... M M M ( P... M M M ( M! ) P M! ( ( حل:گزینه درست است. توجه کنید چون انتخاب با جایگذاري است در هر بار انتخاب تعداد حالات فضاي نمونه برابر M است. بار اول با احتمال M M M M ( ) ( ) P(... ) هیچ توپی دو بار از ظرف خارج نشده باشد... M M M M M M M یکی از M توپ انتخاب میشود. در انتخاب دوم چون یکی از توپها قبلا انتخاب شده است پس تعداد توپهایی که M M M M میتوانیم براي خارج شدن انتخاب کنیم برابرM انتخاب قبل توپ برداشته شده است پس است که احتمال آن توپ باقیمانده میتوانند انتخاب شوند و احتمال آن میشود. در انتخاب سوم نیز با توجه به اینکه در دو است و بالاخره در بار ام M M توپ انتخاب شده است پس تعداد توپهایی که میتوانیم براي خارج شدن انتخاب M ) انتخاب امین توپ) چون در دفعه قبل M ( ) کنیم برابر است با ( ) M که احتمال آن برابر با است. M

ا ناليز تركيبي و احتمال ۱۱ ( ( 9.از ظرفی شامل مهره سفید و مهره مشکی مهرهها را یکی یکی بدون جایگذاري و به تصادف خارج میکنیم. احتمال اینکه دومین مهره مشکی در انتخاب چهارم به دست آید چقدر است 5 ( حل:گزینه درست است. (کامپیوتر سراسري 78 و آزاد 88) راه حل اول: دومین مهره مشکی در انتخاب چهارم باشد بدین معنی است که در سه انتخاب قبلی یک مهره مشکی و در انتخاب چهارم نیز دومین مهره مشکی به دست آمده است. چهارم چهارم چهارم ) مشکی مشکی سفید سفید) P + ) مشکی سفید مشکی سفید) P + ) مشکی سفید سفید مشکی )P + + + + 6 5 6 5 6 5 5 5 5 5 5 دقت کنید که چون انتخاب بدون جایگذاري است در هر بار انتخاب یک مهره از ظرف کم میشود. راه حل دوم: چون میخواهیم دومین مهره مشکی در انتخاب چهارم به دست آید پس در سه انتخاب قبلی مهره مشکی و مهره سفید حاصل شده است و براي انتخاب چهارم نیز چون مهره مشکی و مهره سفید در ظرف باقیمانده است با احتمال بنابراین چون در سه انتخاب اول ترتیب مهرهها مهم نیست میتوانیم براي سه انتخاب اول از ترکیب استفاده کنیم. مهره مشکی انتخاب میشود 6 P 6 5 دقت کنید که در این حالت نمیتوان از توزیع دوجملهاي منفی استفاده کرد چون انتخاب بدون جایگذاري است احتمال موفقیت ثابت نیست و میدانیم که در توزیعهاي دوجملهاي دوجملهاي منفی و هندسی باید احتمال موفقیت ثابت باشد. (انتخاب با جایگذاري).جعبهاي شامل مهره آبی مهره بنفش و 5 مهره قرمز است. احتمال همرنگ بودن مهرهها را حساب کنید.(کامپیوتر آزاد 8) اگر دو مهره به طور تصادفی انتخاب کنیم (بدون جایگزینی)..7 (. (.88 (

۱۲ ا مار و احتمال حل:گزینه درست است. راه حل اول: احتمال همرنگ بودن مهرهها برابر این است که یا هر دو مهره آبی یا هر دو مهره بنفش و یا هر دو مهره قرمز کل نیز مهره از بین مهره انتخاب میکنیم. 5 باشند. در 5 ( A + + ) + 6+ 9 P( A).88 ( S) 66 66 5 + +.88 راه حل دوم: احتمال مورد نظر مهره قرمز مهره بنفش مهره آبی مدارهاي سري و موازي.احتمال کار کردن هر یک از قطعات مستقل C B A و D در یک سیستم الکتریکی به ترتیب.9.9.8 و.7 است. اگر براي کار کردن این سیستم کار کردن قطعات A و D و یکی از قطعات B یا C الزامی باشد احتمال کار کردن این سیستم برابر است با: (برق سراسري ۷۷).55.55 (.55 (.55 ( حل:گزینه درست است. با توجه به استقلال قطعات و صورت مسي له شکل زیر در نظر گرفته میشود. و P[(A ) کارکردن سیستم P( و (D (C یا B)] PA BC D PA PBC PD.8.99.7.55 ( ) ( ) B) P(C و نه B ) نه P( B C ) P( B ) P( C )...99 P(C یا B) PB C PB + PC PB C PB + PC PBPC.9+.9.9.9.99 یا P(C یادآوري: یا: ) همیشه «و» به معنی اشتراك و «یا» به معنی اجتماع دو پیشامد است. مستقل باشند B و C نیز مستقل هستند. ) در صورتی که B و C

ا ناليز تركيبي و احتمال ۱۳. میان دو نقطه A و B ارتباط از طریق شبکهاي است که احتمال وصل بودن قطعات آن در شکل زیر نشان داده شده است. احتمال برقراري ارتباط میان نقاط A و B برابر است با:(کامپیوتر سراسري 77).5 (.5796 (.88.78 ( حل:گزینه درست است. اگر در این شکل گره,N N,N,N به منظور برقراري جریان بین A را در نظر بگیریم با توجه به اینکه وصل بودن یا قطع بودن هر گره مستقل از سایر گرههاست N و و B گرههاي N باید وصل باشند و از بین گرههاي N و N :( یا N N ) وصل بودن یکی کافی است یا ( ( ) ) N ] P N N N N.7.9.9.5796 و (N یا (N و P[N ) وصل بودن سیستم P( ( ) ( ) ( ) P N N P N + P N P N N.8+.6.8.6.9 N ) حداقل یکی از گرههاي,N )P.9.6.8 ) هر دو قطع حرف اضافه «و» بین دو پیشامد یعنی «اشتراك» و حرف اضافه «یا» یعنی «اجتماع». وصل باشند )P %75 ( %68 (. یک سیستم کامپیوتري داراي سه بخش B A و C است. احتمال آنکه B A و C هر یک بدون خرابی به مدت ساعت کار کند به ترتیب %9 %8 و %7 است. احتمال آنکه B و C هر دو به مدت ساعت کار کنند %6 است. کارکرد بخش A مستقل از کارکرد بخشهاي B و C است. براي آنکه این سیستم کار کند باید بخش A و حداقل یکی از بخشهاي B و C کارکنند. در این صورت احتمال آنکه این سیستم بدون خرابی به مدت ساعت کار کند برابر است با: (کامپیوتر سراسري 8) %86 %8 ( حل:گزینه درست است. با توجه به صورت مسي له میتوان شکل سیستم را رسم کرد. در مسي له گفته شده براي کار کردن سیستم برقراري بخش A از بین B و C کار کردن یکی کافی است یعنی: الزامی است و یا C) و P[A ) کار کردن سیستم )P ( ) B)] P A B C

۱۴ ا مار و احتمال PA BC P A P BC.9.9.8 ( ) ( ) ( ) P B C P B + P C P B C.8+.7.6.9 P B,C P B C.6,P A.9 به دلیل اینکه کارکرد بخش A مستقل از کارکرد بخشهاي B و C است داریم: دقت کنید که «و» به معنی اشتراك دو پیشامد «یا» به معنی اجتماع آن دو است. باشد احتمال اتصال ارتباط بین B و B برابر است با:. در شکل زیر اگر احتمال آزاد بودن هر خط برابر با p (کامپیوتر آزاد 79) p p ( p p p p ( ( ( ) p p حل:گزینه درست است. B B B B B براي اتصال بین B و باید حداقل یکی از و مدار بین متصل باشد و اتصال بین و نیز که مستقل از اتصال بین B و B است برقرار باشد پس داریم: P(B و اتصال بین B ) P(B مدار بین B و P(B و P(B ) اتصال حداقل یکی از مدار بین B و ) اتصال حداقل یکی از )P B ) ( p) اتصال p دقت کنید هر اتصال با احتمال p مسي له بازيها p) ( ) متصل نبودن هیچکدام از مدار وصل است و با احتمالp وصل نیست ضمنا اتصال مستقل از یکدیگر هستند.. 5 ظرفی شامل یک توپ قرمز و توپ سیاه است. بازیکنهاي A و B به طور متوالی و هر دفعه یک توپ به تصادف از جعبه خارج میکنند تا زمانی که یک توپ قرمز انتخاب شود. اگر A بازي را شروع کند و انتخاب بدون جایگذاري باشد احتمال برنده شدن A 9 ( چقدر است (کامپیوتر سراسري 79) 9 ( ( حل:گزینه درست است. ) برنده شدن P(A A) دفعه اول توپ قرمز را خارج کند )P توپ قرمز را خارج کند )P ABA A) در نوبت بعدي (دفعه سوم)

ا ناليز تركيبي و احتمال ۱۵ ) + دفعه سوم برنده شود) P + ) دفعه اول برنده شود P(A برنده شدن ) P( توجه کنید که چون انتخاب بدون جایگذاري است در هر بار انتخاب یک توپ از ظرف خارج خواهد شد پس هر بار از تعداد توپها یکی کم میشود. همچنین دقت کنید که چون توپ در ظرف است اگر A در دفعه سوم هم توپ قرمز را خارج نکند (برنده نشود) دیگر امکان برنده شدن او وجود ندارد. مسي له کلاسیک روز تولد نفر ( ( 65) که به صورت تصادفی انتخاب میشوند روز تولد متفاوت داشته باشند چقدر است 65... 65 65 65 (كامپيوتر ا زاد ۸۱). 6 احتمال اینکه ( (! ) ( 65 حل:گزینه درست است. با توجه به اینکه یک سال 65 روز است و تعداد این نفر نیز کمتر از 65 است داریم: اولین نفر میتواند در هر روز از 65 ( ) 65 65 65 65...... 65 65 65 65 65 65 65 روز متولد شده باشد. باشد نفر سوم نیز به غیر از روزهاي تولد دو نفر قبل 65 روزهاي تولد احتمال شرطی نفر دوم به غیر از روز تولد نفر اول 65 روز باقیمانده میتواند نفر قبل ( ) 65 روز باقیمانده سال میتواند روز تولدش باشد. روز باقیمانده میتواند روز تولدش روز تولدش باشد و بالاخره نفر ام نیز به غیر از برابر.5. پرتاب میکنیم. اگر احتمال زدن هدف A برابر و احتمال زدن B. 7 موشکی را براي زدن منطقهاي با هدفهاي A و B باشد و بدانیم که هدف A زده نشده باشد احتمال زدن B چقدر است (برق سراسري 7) 6 6 ( 5 6 ( 6 ( حل:گزینه درست است. و B زدن هدف A ارتباطی با زدن هدف B ندارد پس با توجه به ناسازگار بودن هدفهاي A داریم: ( ) ( ) P A B P A P B A P B

۱۶ ا مار و احتمال ( ) P( زده نشده A وقتی B زدن ) P( B A ) ( ) P B A P B.5 5 P A P A.6 6 P A. P A..6,P B.5 توجه: A و B مستقل نیستند (وابستهاند) چون میدانیم که هرگاه A و B ناسازگار باشند وابسته نیز هستند. مستقل بودن یعنی وقوع یکی تا ثیري و B در وقوع دیگري نداشته باشد ولی در اینجا مثلا اگر A مورد هدف قرار گیرد B دیگر نمیتواند مورد هدف قرار گیرد پس A وابستهاند. E F) )P باشد کدام یک از موارد زیر درست است (برق سراسري 7).8 P( E F).5 P( E F).5 ( P( E F). F) P( E ) P( و.6 ( P( E F).. 8 اگر ( ( ) P( F ) ( ) P( F ) P E F P E F P( E F ) ; P( E F ) P( E F ) P( E F ) حل:گزینه درست است. با توجه به گزینهها باید و را بیابیم یعنی: P( E F ) خواهد بود پس تنها باید به دنبال P( E ) P( F F) P( E) P( است. ) چون.6 F P( E باشیم: و ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P E P E F + P E F.6 P E F +.8 P E F. P EF P EF P( EF ). P E F.8.8 P E F.8 P E F. P F.6 P( F ). ( ) ( ) P E F.8 P( E F ).7 P F. P( E F ) P( EF) P( EF).7.8 P( EF) P( E) + P( F) P( EF).6 +.6.8.7 P( AB ) 5,P( AB ) 5,P( AB). 9 اگر A و B دو پیشامد باشند به طوري که: ) A یعنی مکمل ( A آنگاه: (کامپیوتر سراسري 8) P( B A)., P( A B)., P( B A) ( P( A B)., P( B A)., P( B A) ( P( A B ), P( B A)., P( B A). ( P( B A)., P( B A ), P( A B).

ا ناليز تركيبي و احتمال ۱۷ ( ) ( ) ( ) ( ) P A B.5 P( A B) P B.5 P A B.5 P( B A). P A.5 P B A.. P( B A ). P A.5.5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A B + P A B.5+.5.5 P B P A B + P A B.5+..5 ( ) ( ) ( ) P A B.5 ;P A B.5 ;P A B. حل:گزینه درست است. ( ) ( ) و. B P A B.,P A آنگاه: (كامپيوتر سراسري ۸۳). اگر A و B دو پیشامد باشند به طوري که.5 AB P AB.,P P( A B).8 P( A B).7 P( A B).8 P( A B).7 مستقل نیستند و مستقل هستند و مستقل هستند و مستقل نیستند و و B و B و B و B A ( A ( A ( A ( ) P A B P A P B P A B P A,P B A P B ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A B + P A B.5+..7 P B P A B + P A B.5+..6 ( ) P A B.5 P( A B).8.7 P A P B.6 و B حل:گزینه درست است. در صورت برقراري یکی از شرایط زیر A مستقلاند. ( ) P A B.5.7.6 P A P B بنابراین A و B مستقل نیستند.. فرض کنید در کیسهاي مهره سفید و مهره آبی وجود دارد. از این کیسه یک مهره را بیرون آورده و بدون نگاه کردن به رنگ آن آن را کنار میگذاریم. احتمال اینکه مهره دوم که از کیسه بیرون میآید سفید باشد چقدر است (کامپیوتر سراسري 85) 7 7 ( 6 ( 6 (

۱۸ ا مار و احتمال حل:گزینه درست است. راه حل اول: هرگاه از رنگ مهرههاي قبلی خارجشده اطلاعی نداشته باشیم احتمال بیرون آوردن هر مهره در هر بار انتخاب بدون در نظر گرفتن اینکه احتمال مورد نظر مهره اي از ظرف خارج شده باشد عبارت است از: تعداد مهره مورد نظر در ظرف در ابتدا کل مهرهها در این سو ال چون از رنگ مهره اول اطلاعی نداریم احتمال بیرون آوردن مهره سفید در انتخاب دوم برابر همان 7 راه حل دوم: از طریق فرمول احتمال متوسط با شرط بر روي رنگ مهره اول داریم: ) اولی آبی )P( اولی آبی دومی سفید) P + ) اولی سفید )P( اولی سفید دومی سفید است. P( دومی سفید ) P( + 6 7 6 7 7 دقت کنید که چون انتخاب بدون جایگذاري است در هر بار انتخاب یک مهره از ظرف کم خواهد شد.. فرض کنید A و B دو پیشامد با احتمالهاي مثبت باشند به طوري که > B. P A + P است (علوم کامپیوتر 85) یک کران پایین براي B A) )P کدام ( ) P( A) + P( B) P( B) ( P B P( A) P B P A ( ( حل:گزینه درست است. با توجه به خاصیت احتمال و فرمول احتمال شرطی داریم: P B A P A + P B P B P B P B P( B A) + P A P A P A P A P A ( ) ( ) ( ) P A B P A + P B P A B P A B P A + P B. در کیسهاي چهار مهره سفید دو مهره آبی و چهار مهره قرمز وجود دارد. از این کیسه یک مهره بیرون میآوریم و بدون توجه به رنگ آن در گوشهاي آن را قرار میدهیم. اکنون مهره دومی بیرون میآوریم. احتمال اینکه مهره دوم سفید باشد چقدر است (مكاترونيك ۸۵) 9 ( ( ( 9

ا ناليز تركيبي و احتمال ۱۹ حل:گزینه درست است. راه تستی: هرگاه از رنگ مهرههاي بیرونآمده قبلی هیچگونه اطلاعی نداشته باشیم احتمال خارج شدن هر مهره از هر رنگ در هر مرحله با در نظرگرفتن اینکه مهرهاي از ظرف خارج نشده است عبارت است از: در این سو ال نیز چون از رنگ مهره خارجشده هیچگونه اطلاعی نداریم احتمال سفید بودن مهره دوم برابر تعداد مهره رنگ خاص در جعبه اگر از راه تستی مسي له را حل نکنیم باید تک تک حالات رابا شرط بر روي رنگ مهره اول محاسبه کنیم یعنی: احتمال متوسط ) دومی سفید و اولی سفید) P + ) است. کل مهرهها دومی سفید و اولی آبی) P + ) دومی سفید و اولی قرمز )P 6 + + 9 9 9 9. بیتهاي تصادفی یک خط مخابراتی تکبیتی ارسال میشوند به طوري که هر بیت ارسالی با احتمال p برابر" " است. اگر هر بیت ارسالی تا رسیدن به گیرنده با احتمال ε تغییر وضعیت دهد یک بیت دریافتی در گیرنده با چه احتمالی" " است (برق سراسري ۸۲) p ε+ pε p+ε pε ( p +ε ( p ε ( حل:گزینه درست است. ( برابر است و هر بیت ارسالی با احتمال p برابر صفر است پس با احتمال (p همچنین هر بیت با احتمال ε تغییر وضعیت میدهد پس با احتمال ε تغییر وضعیت نخواهد داد بنابراین داریم: حال براي اینکه در گیرنده بیت صفر دریافت شود باید یا بیت ارسالی صفر باشد و با احتمال با احتمال ε تغییر کند بنابراین داریم: ε تغییري نکند و یا بیت ارسالی باشد و در گیرنده )P p ε + p ε p pε+ε pε p+ε pε ) دریافت. 5 در کارخانهاي سه بخش تولیدي وجود دارد که میزان تولیدات بخش دوم و سوم به ترتیب دو برابر و برابر بخش اول است. همچنین به ترتیب % %5 و %6 تولیدات بخشها معیوب هستند. کالایی از تولیدات انتخاب میشود احتمال اینکه معیوب باشد چقدر است (کامپیوتر سراسري 86) ( 75 7 75 65 75 ( 75 (

۲۰ ا مار و احتمال حل:گزینه درست است. E: معیوب بودن کالا P( تولید بخش اول ) k P( ) تولید بخش دوم k P( ) تولید بخش سوم k k + k + k k 6 با استفاده از قضیه احتمال متوسط داریم: 5 6 P( E) P( A) P( E A) + P( BP ) ( E B) + P( CP ) ( E C) + + 6 6 6 6 75. 6 یک جعبه (شماره ) محتوي سه عدد توپ قرمز و دو عدد توپ آبی است. جعبه دیگر (شماره ( شامل دو عدد توپ قرمز و هشت عدد توپ آبی است. یک سکه پرتاب میشود. اگر شیر بیاید یک توپ از جعبه اول برداشته خواهد شد و اگر خط بیاید توپ از جعبه دوم برداشته خواهد شد. احتمال انتخاب یک توپ قرمز چقدر است (کامپیوتر آزاد 8) P( E) P( E H) P( H) + P( E T) P( T) + 5 5 ( 5 ( 5 ( حل:گزینه درست است. E: قرمز بودن توپ H: سکه شیر بیاید T: سکه خط بیاید حال با توجه به قضیه احتمال متوسط داریم:. 7 جعبه A شامل مهره سفید و 7 مهره قرمز جعبه B شامل مهره سفید و 6 مهره قرمز و جعبه C شامل 5 مهره سفید و 5 مهره قرمز میباشند. یکی از جعبهها را به طورتصادفی انتخاب نموده و یک مهره از آن انتخاب میکنیم احتمال قرمز بودن مهره.6.67 (.5 ( چقدر است (کامپیوتر آزاد 85). (

ا ناليز تركيبي و احتمال ۲۱ حل:گزینه درست است. E: قرمز بودن مهره 7 6 5 P( E) P( E A) P( A) + P( E BP ) ( B) + P( E C) P( C) + +.6 با توجه به قضیه احتمال متوسط داریم: دقت کنید که وقتی در سو ال گفته شده یکی از جعبهها را به طور تصادفی انتخاب میکنیم پس احتمال انتخاب هر جعبه جعبه داریم). است (چون. 8 ظرفی داراي مهرهسفید و مهره سیاه است. یک مهره به تصادف از ظرف انتخاب و پس از رؤیت رنگ مهره همراه با دو مهره مخالف رنگ مشاهدهشده به ظرف برمیگردانیم. مقدار چقدر باشد تا در انتخاب مرحله دوم شانس مشاهده مهره سفید باشد (علوم كامپيوتر ۸۸) ( ( ( حل:گزینه درست است. با توجه به فرمول احتمال متوسط با شرط بر روي رنگ مهره اول داریم: ) اولی سیاه )P( اولی سیاه دومی سفید) P + ) اولی سفید )P( اولی سفید دومی سفید ) دومی سفید P( P( دومی سفید ) P( 5 9+ 5 + 8+ + 8+ 5 5+ + 5+ + 5+ + غ ق ق ( + )( ) ق ق

۲۲ ا مار و احتمال توجه کنید درصورتیکه مهره اول انتخابشده با احتمال + سفید به ظرف برگردد یعنی در ظرف مرحله است. + + مهره سفید و + سفید باشد باید مهره به رنگ مخالف یعنی سیاه به همراه همان مهره مهره سیاه موجود است که احتمال سفید خارج شدن از آن در این در صورتیکه مهره اول انتخابشده با احتمال سیاه باشد باید مهره به رنگ مخالف یعنی سفید به همراه همان مهره سیاه به ظرف + برگردد یعنی در ظرف 5 قضیه بیز مهره سفید و مهره سیاه موجود است که احتمال سفید خارج شدن از آن در این مرحله 5 5+ است.. 9 در پاسخ دادن به یک سو ال در یک آزمون m گزینهاي امتحاندهنده یا جواب را میداند و یا حدس میزند. فرض کنید p احتمال آن باشد که او جواب را میداند وp ( ( ( احتمال آن باشد که آن را حدس میزند. فرض کنید احتمال جواب صحیح دادن به یک سو ال براي امتحاندهندهاي که جواب را میداند برابر یک و براي امتحاندهندهاي که حدس میزند برابر است. احتمال شرطی اینکه یک m امتحاندهنده جواب یک سو ال را میدانسته با فرض اینکه آن را به طور صحیح پاسخ داده باشد چیست (برق سراسري 8) mp + ( m p ) p+ m ( p) p + p m m + p حل:گزینه درست است. پاسخ درست E: A: جواب را میداند P A E P( E A) P( A) p mp + ( ) ( ) + ( ) P E A P A P E A P A p+ p m p m.کاسهاي داراي b گلوله سیاه و r کاسه c گلوله قرمز است. گلولهاي به تصادف بیرون میکشیم و هر رنگی که درآمد ضمن برگرداندن گلوله به گلوله از همان رنگ به کاسه اضافه میکنیم و سپس یک گلوله بیرون میکشیم. اگر بدانیم گلوله دوم قرمز است احتمال آنکه گلوله اول سیاه بوده باشدکدام است (برق سراسري 8) r+ c b+ r+ c b+ c b+ r+ c b b+ r+ c r b+ r+ c ( ( (

ا ناليز تركيبي و احتمال ۲۳ حل:گزینه درست است. b: گلوله اول سیاه r: گلوله اول قرمز :E گلوله دوم قرمز بنا بر قضیه بیز داریم: P b E r b P( be) P( E b) P( b) r+ b+ c b+ r b P( E) P( E b) P( b) + P( E r) P( r) r b r+ c r r+ b+ c + r+ b+ c b+ r r+ b+ c b+ r r دقت کنید که وقتی b گلوله سیاه و r گلوله قرمز در جعبه است احتمال انتخاب یک گلوله قرمز و احتمال انتخاب یک گلوله b+ r b سیاه است. b+ r حال اگر یک گلوله قرمز انتخاب کنیم هنگام برگرداندن آن به ظرف c گلوله قرمز (همرنگ) نیز به همراه آن به ظرف برمیگردانیم پس در ظرف b گلوله سیاه وc +r گلوله قرمز خواهد بود و درنتیجه احتمال انتخاب گلوله قرمز در دفعه دوم وقتی گلوله اول قرمز بوده r+ c برابر است. r+ b+ c در صورتی که یک گلوله سیاه انتخاب کنیم هنگام برگرداندن آن به ظرف c گلوله سیاه (همرنگ) نیز به همراه آن به ظرف برمیگردانیم پس در ظرف c +b باشد r r+ b+ c است. گلوله سیاه و r گلوله قرمز وجود دارد و درنتیجه احتمال انتخاب گلوله قرمز در دفعه دوم وقتی گلوله اول سیاه بوده.در یک شهر بزرگ.5 درصد به ویروس خاصی آلوده هستند. آزمایش تشخیص این ویروس توانایی تشخیص 8 درصد موارد را براي افراد سالم و 98 درصد موارد را براي افراد بیمار دارد. فردي آزمایش شده و بیمار تشخیص داده شده است احتمال آنکه تشخیص غلط باشد چیست (کامپیوتر سراسري 75).795.976 (.99 (.5 ( حل:گزینه درست است. :E :A فرد آزمایششده بیمار تشخیص داده شود فرد سالم A: فرد بیمار ( ) ( ) P E A P A..995 P( A E).976 P E A P A + P E A P A..995+.98.5

۲۴ ا مار و احتمال دقت کنید که وقتی فرد بیمار تشخیص داده شود احتمال آنکه تشخیص غلط باشد یعنی همان احتمال سالم بودن فرد. و 6 (کامپیوتر سراسري 77). سه شخص B A و C به هدفی تیراندازي میکنند. احتمال زدن به هدف این سه شخص به ترتیب فقط یک تیر به هدف خورده است احتمال آنکه تیر شخص A به هدف خورده باشد برابر است با: است. اگر بدانیم که 5 ( 6 ( 7 ( P A E P( E A) P( A) + + P E A P A P E BP B P E C P C 6 P( A E) 6 5 5 + + 6 6 6 حل:گزینه درست است. E :فقط یک تیر به هدف خورده است. بنا بر قضیه بیز داریم:. درس شبکههاي کامپیوتري به احتمال %6 در ترم آینده اراي ه خواهد شد. اگر این درس اراي ه شود مهشید به احتمال %7 در بیش از 8 واحد ثبتنام خواهد کرد و اگر اراي ه نشود مهشید به احتمال %5 در بیش از 8 واحد ثبتنام خواهد کرد. اگر پس از شروع ترم مهشید در بیش از 8 واحد ثبتنام کرده باشد احتمال آنکه درس شبکههاي کامپیوتري اراي ه شده باشد برابر است با: (كامپيوتر سراسري ۸۳) %5 ( % ( ) دادههاي مسي له براي محاسبهاحتمال مورد نظر کافی نیست. %67 ( حل:گزینه درست است. درس شبکههاي کامپیوتري اراي ه شده باشد. مهشید بیش از 8 واحد ثبتنام کرده باشد. :A :E ( ) ( ) P E A P A.7.6 P( A E ).67 %67 P E A P A + P E A P A.7.6+.5. بنا بر قضیه بیز داریم:

ا ناليز تركيبي و احتمال ۲۵ تعمیرات دستگاههاي الکترونیکی در یک کارخانه توسط شرکت هاي B A و C انجام میپذیرد به طوري که %7 موارد از A و % موارد از B و % موارد از شرکت C استفاده میشود. همچنین به ترتیب در %5 %6 و % موارد شرکتهاي B A و C کار خود را به درستی انجام نمیدهند. در یک زمان مشخص اگر تعمیر دستگاه الکترونیکی این کارخانه به درستی انجام نشده باشد 9 5 چقدر احتمال دارد توسط شرکت B انجام شده باشد (کامپیوتر سراسري 87) %5. ( 5 ( %. (. حل:گزینه درست است. E: درست انجام نشدن تعمیر P E BP B.6. P( B E) P E A P A + P E BP B + P E C P C.5.7+.6.+.. 5+ + 5 بنا بر قضیه بیز داریم:. 5 احتمال اینکه فردي که داراي مدرك کارشناسی است در یک آزمون استخدامی قبول شود. است. احتمال اینکه فردي که استخدام میشود داراي مدارك کارشناسی باشد. است. احتمال اینکه در این جامعه آماري فردي داراي مدرك کارشناسی است. مطلوب است احتمال اینکه یک فرد قبول شود. (کامپیوتر سراسري 87) 8 ( ).8 ( P A E P E A P A..7 8 P A E. P( E) P E P E P E P E A.,P A E.,P A.7,P E? ( باشد.7. ( حل:گزینه درست است. قبول شدن در آزمون استخدامی یا همان استخدام شدن داراي مدرك کارشناسی بودن. 6 احتمال اینکه فردي در یک آزمون استخدامی شرکت کند %6 است. درصورتیکه این فرد در آزمون شرکت کند احتمال قبول شدن او %5 است. تجربه قبلی نشان میدهد شانس قبول شدن افراد در این آزمون % است. حال اگر فرد مطمي ن شود که میتواند در آزمون قبول شود احتمال شرکت کردن او در آزمون چند درصد است (کامپیوتر سراسري 88) 6 ( 5 ( ( :E :A

۲۶ ا مار و احتمال حل:گزینه درست است..5.6..5 x E: قبول شدن A: شرکت کردن x حال با توجه به اینکه در صورت سو ال قبولی را. داریم: دادهاند با استفاده از فرمول احتمال متوسط و شرط آن روي شرکت کردن در آزمون ( ) ( ) P E. P E A P A + P E A P A..5.6+ x.. x ( ) P E A P E A P A.5.6 P( A E) % P E P E. بنابراین طبق قضیه بیز داریم:. 7 شخصی دو سکه در جیب دارد که یکی سالم و دیگري هر دو رو شیر است. وي یک سکه را به تصادف از جیب خود اختیار و وقتی پرتاب میکند شیر مشاهده میشود. احتمال اینکه سکه سالم انتخاب شده باشد کدام است (علوم کامپیوتر 87) P( E A) P( A) P( A E) P( E A) P( A) + P( E BP ) ( B) + 5 ( ( ( حل:گزینه درست است. با توجه به قضیه بیز داریم: E: هر دو بار شیر مشاهده کند A: سکه سالم B: سکه هر دو شیر

ا ناليز تركيبي و احتمال ۲۷. 8 جعبهاي شامل سه سکه A A و A است که شانس شیر آمدن هر یک به ترتیب برابر با و است. یک سکه به تصادف از این جعبه انتخاب و 6 مرتبه پرتاب میشود. تعداد دفعاتی که شیر مشاهده میشود است. احتمال اینکه سکه A انتخاب شده باشد کدام است (علوم کامپیوتر 88) + + ( + ( + ( حل:گزینه درست است. A 6 از 6 پرتاب شير p :H مشاهده شیر سكه A A 6 6 از 6 پرتاب شير p 6 از 6 پرتاب شير p حال بنا بر قضیه بیز داریم: ( H ) P A P( H A) P( A) + + P H A P A P H A P A P H A P A 6 6 6 6 6 6 + + + + + + + + +

متغيرهاي تصادفي تابع احتمال گسسته Fuctio) (Discrete Probability متغیر تصادفی گسسته باشد آنگاه (x )f با داشتن شرایط زیر تابع احتمال متغیر خواهد بود: x x x P x f x f x f x f x P x درصورتیکه x: f ( x) P( x) الف) ب) x f x P تابع چگالی احتمال پیوسته Fuctio) (Cotiuous Probability Desity (x )f براي متغیر تصادفی پیوسته در بازه α تا β تابع چگالی احتمال است اگر: الف) x f β+ f ( x) ب) dx α

متغيرهاي تصادفي ۲۹ b P( a < < b) f( x) dx a a P( a) f ( x) dx a تا. b P( a b) P( a < b) P( a < b) P( a < < b) محاسبه احتمال اولا : احتمال در بازه a تا b برابر است با سطح زیرمنحنی چگالی در بازه a ثانیا : به ازاي هر نقطه پیوسته x a احتمال آنکه متغیر تصادفی دقیقا مقدار a را اختیار کند برابر صفر است. حال از دو رابطه بالا میتوانیم تساوي زیر را نتیجه بگیریم: یک متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال زیر باشد مقدار ثابت C کدام است (برق سراسري 8). اگر Y f Y( y). ; < y ;.+ Cy ; < y سایر مقادیر.. ( (. ( حل:گزینه درست است. cy c.dy+ (. cy) dy [.y].y.. c. + + + + + P برابر است با: تابع چگالی احتمال دامنه یک سیگنال تصادفی به صورت زیر است احتمال < A f ( x ) ; < x< + x (برق سراسري 8) π ( π ( π (. + + A + π π ) f ( x ) dx dx A.Arctgx [ ] A A + x π π π ) P ( < ) P( < < ) dx [ Arctgx] π + π π ( x ) حل:گزینه درست است.

۳۰ ا مار و احتمال چندكها در تابع احتمال پیوسته براي محاسبه چندكها در تابع چگالی متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر عمل میکنیم: b P( b) f( x) dx حد پایین a a a b Md ; a,, b Qa ; a,,...,9 b Da ; a,,...,99 b Pa (میانه) (چارك a ام) (دهک a ام) (صدك a ام) امید ریاضی Value) (Expected xf ( x) E x E + x f x dx ) گسسته) ) پیوسته) ( ) E g g x f x x E( g( ) ) g( x) f ( x) dx حد بالا حد پایین E( g( x) ) امید ریاضی تابعی از درصورتیکه x) g( تابع دلخواهی برحسب x باشد براي محاسبه به صورت زیر عمل میکنیم: گسسته) پیوسته) ) )

متغيرهاي تصادفي ۳۱ E( ) درباره امید ریاضی ( µ ) خواص امید ریاضی با توجه به یکسان بودن مفهوم امید ریاضی با میانگین تمام خواص میانگین حسابی است: با فرض آنکه a و b اعداد ثابتی باشند (مثبت یا منفی): نیز به شرح زیر برقرار )E( a) a ) E( + a) E( ) + a ) E( b) be( ) ) E( b+ a) be( ) + a E( ) µ است.)( ( )))) ( ( ( ( 5) E E E...E E E 6) E E (ازا نجاكه اميد مقدار ثابتي است (( ( ( برابر با ( )E E E (اميدانحرافات از ميانگين هميشه صفر است.) 7) E E( ) E a (اميد مجذور تفاضلات از ميانگين هميشه مينيمم است.) 8) E( Md ) E( a (اميد قدرمطلق انحرافات از ميانه هميشه مينيمم است.) ) ازا نجاكه اميد رياضي همان ميانگين است داريم: P( i) cp( i ) ; i, داشته باشیم: c+ c + c+ c. فرض کنید متغیر تصادفی مقادیر,, را انتخاب میکند و براي یک ثابت c c + c+ c ( امید متغیر تصادفی کدام است (برق سراسري 8) + c + c+ c ( c+ c + c+ c ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P cp P( i) cp( i ) ;i, P cp c P حل: گزینه درست است. P( ) P( ) + P( ) + P( ) + c+ c c P( ) + cp( ) + c P( ) P( ) cp( ) c c + + P( )( + c + c ) c P( ) cp( ) + c+ c

۳۲ ا مار و احتمال P x c c + c+ c + c+ c + c+ c حال میتوان جدول توزیع احتمال آن را رسم کرد. c c c+ c E( ) xp( x) + + + c+ c + c+ c + c+ c + c+ c میانه x x )f x ) است. در این صورت احتمال آنکه بین میانگین و در غير اين صورت (کامپیوتر سراسري 77 آزاد ( 88 8 (. تابع احتمال متغیر تصادفی به صورت 6 ( توزیع باشد برابر است با: ( حل:گزینه درست است. E( ) x.xdx x m m x xdx x m m P( µ< < m) P < < xdx x 9 8 x ; x f x ( x) b ; < x< a سایر جاها ; (برق سراسري 86) 5 یک متغیر تصادفی با میانگین و داراي تابع چگالی احتمال زیر است مقادیر a و b به ترتیب برابر است با: b,a b,a ( b,a ( b,a (. 5 حل:گزینه درست است. a x bx b( a ) b( a ) + + a ) x dx + bdx a a 5 b 5 )E( ) x.x dx + x.bdx x x +

متغيرهاي تصادفي ۳۳ b 5 b b( a )( a + ) + a a جایگذاري در () در رابطه () ( a + ) a + a b ba ( ) h( a) E ( a) را با ضابطه (برق سراسري 8) تعریف. 6 یک تابع توزیع احتمال با میانگین در نظر میگیریم. به ازاي هر عدد حقیقی a تابع h میکنیم. کمترین مقدار (a )h کدام است E E ( ) ( E( ) ( ( ) E ( حل:گزینه درست است. ) σ ( است. ( x N,...,x) واریانس (Variace) یکی از مهمترین شاخصهاي اندازهگیري پراکندگی مشاهدات متغیر تصادفی مفروض است واریانس از روابط زیر محاسبه میشود: حول میانگین واریانس () σ E( µ ) E ( E( ) ) σ E( ) E( ) در منابع مختلف از علایم متفاوتی براي نمایش واریانس استفاده میشود از جمله: ) ( پراش واریانس σ V D Var خواص واریانس ) σ a ) σ b b σ ) σ b± a اگر ثابتهاي a و b (مثبت یا منفی) را در نظر بگیریم: b σ انحراف معیار Deviatio) (Stadard انحراف معیار (σ ( σ جذر مثبت واریانس را مینامیم.

۳۴ ا مار و احتمال خواص انحراف معیار ) σ a ) σ b b σ ) σ b ± a b σ اگر ثابتهاي a و b (مثبت یا منفی) را در نظر بگیریم: ضریب پراکندگی Variatio) (Coefficiet of حاصل تقسیم انحراف معیار به میانگین را ضریب تغییرات مینامند و آن را با CV نشان میدهند. CV σ µ تابع مولد گشتاور( Fuctio (Momet Geeratig t () M t E e t R تابع مولد گشتاور مرتبه t ام متغیر تصادفی به صورت زیر بیان میشود: تابع مولد گشتاور براي متغیر تصادفی گسسته و پیوسته با تابع احتمال (x )f به صورت زیر است: t tx () M t E e e f x t tx () M t E e e f x dx گسسته پيوسته r E( ) در نقطه t كاربرد تابع مولد گشتاور اگر t) M ( گشتاور مرتبه تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی r ام حول مبدأ است. مشتق باشد r ام تابع مولد گشتاور را تولید میکند که برابر () r r d M t M ( t ) E r dt t r ( ) E M t ( ) E M t r ( r) ( ) E M t مشتق اول تابع مولد گشتاور اميد رياضي است. مشتق دوم تابع مولد گشتاور اميد رياضي است. r مشتق r ام تابع مولد گشتاور اميد رياضي است.

متغيرهاي تصادفي ۳۵ ) )E برابر است با: M () t ( t) t < به صورت داده شده است. در این صورت (كامپيوتر سراسري ۷۶). 7 تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی 6 6 6 ( 6 ( 6 6( M() t ( t ) ; t< t E( ) حل:گزینه درست است. مشتق بگیریم و قرار دهیم t به دست میآید: M t t 8 t E 8 t M t 8 t 96 t E 96 6 5 t M t 96 t E 96 6 اگر بار از t) M ( (کامپیوتر سراسري 86) مطلوب است واریانس : t برابر است با e M () t (. 8 فرض کنید تابع مولد متغیر تصادفی.5 ( ( Var E E e e e e E e e e t t t t E( ) ( e ) e e t t ( ) t t حل:گزینه درست است. در این سو ال واریانس خواسته شده است بنابراین با توجه به فرمول واریانس داریم: پاسخ درست در گزینهها وجود ندارد زیرا تابع دادهشده تابع مولد گشتاور نیست. یادآوري: یکی از خصوصیات تابع مولد گشتاور این است که مقدار آن در نقطه صفر برابر یک است. M ( t ) M t e e درصورتیکه در این سو ال داریم:

۳۶ ا مار و احتمال ( a b) تابع یکنواخت پیوسته متغیر تصادفی پیوسته فواصل هماندازه در بازه a را در نظر بگیرید که مقادیر خود را در بازه a تا b یکسان باشد آنگاه داراي توزیع یکنواخت پیوسته خواهد بود. اختیار میکند. اگر احتمال وقوع در تا b تابع چگالی یکنواخت f( x ) ; α< x <β β α واریانس امید ریاضی (میانگین) E( ) µ α+β σ ( β α) هرگاه تابع چگالی (x )f در بازهβ > >α x به صورت (ثابت ) x ( f( باشد آنگاه حتما ) x f( β α است و برعکس. F عبارت است از «احتمال مقادیر کوچکتر یا مساوي x» به عبارت دیگر: تابع توزیع تجمعی Fuctio) (Cumulative Distributio ( x) تابع توزیع تجمعی (تراکمی) متغیر تصادفی F ( x) P( x) P( x) + P( > x) ازآنجاکه رابطه همواره برقرار است رابطه (x )P > (x F ( نیز همواره برقرار است. مشخصات کلی تابع توزیع تجمعی تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی (گسسته یا پیوسته) باشد خصوصیات زیر همواره براي آن صادق است: است x) F ( اگر x) F ( F ( x) P( ازآنجاکه (x تجمع مقادیر احتمال کوچکتر یا مساوي x را محاسبه میکند و همواره مجموع F P F F + P + F + F x a < b Fa Fb را محاسبه میکند طبیعی است که هرچه مقدار x بزرگتر شود F ( x) F ( x) - احتمالها برابر است بنابراین: همواره بین و است. با توجه به رابطه مقدار (x F ( تابع (x F ( همواره صعودي است. x مجموع مقادیر احتمال کمتر یا مساوي F ( x) P( ازآنجاکه (x مقدار (x F ( نیز بزرگتر خواهد شد (زیرا تجمع مقادیر احتمال بیشتر شده و مقدار به نزدیک میشود) بنابراین تابع - - غیر نزولی (صعودي) است. + ( x) lim F F a F a + x a - تابع توزیع تجمعی (x F ( همواره از راست پیوسته است.

متغيرهاي تصادفي ۳۷ Y F آنگاه متغیر تصادفی پیوسته داراي تابع توزیع (x F ( است. F اگر تابعی اکیدا صعودي و. 9 حاصل PY EY [ ] < ( کدام است (کامپیوتر سراسري 8) ( (. ( y F ( x ) ) داراي توزیع یکنواخت در بازه,) ( است Y باشد آنگاه همواره ) x F ( حل: گزینه درست است. اگر داراي تابع توزیع ) x F ( a + Y~U(,) f( y), E( Y) b [ ] PY E Y < PY < PY< f y dy.dy y حدپایین ( F ( x) ) P( x) f x تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی گسسته اگر متغیر تصادفی گسسته مفروض و تابع احتمال آن زیر محاسبه میشود: باشد تابع توزیع تجمعی (تراکمی) آن به صورت ( ) F x P x P x f x x ( F ( x) ) تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته هرگاه (x )f تابع چگالی متغیر تصادفی پیوسته میشود: با يك ضابطه باشد آنگاه تابع توزیع تجمعی آن به صورت زیر محاسبه x F( x) P( x) f( x) dx حدپايين

۳۸ ا مار و احتمال + f x F x F x (x) F (تابع توزیع تجمعی) F ( x) محاسبه x) f ( با استفاده از از روي تابع توزیع تجمعی (x F ( به صورت زیر عمل میکنیم: + Fx ( ) Fx F (مشتق تابع تجمعی) x( x) درنقاط مرزي : + - F x F x در فواصل : (x) f (تابع احتمال) براي محاسبه تابع احتمال (x )f هرگاه در يكي از نقاط مرزي تابع توزيع تجمعي رابطه البته فقط در توابع چندضابطهاي باید پیوسته بودن نقاط مرزي را کنترل کنیم. محاسبه احتمال برقرار باشد ا نگاه: f x ( x) )P تابع توزیع تجمعی درصورتیکه x) x ) F ( (تراکمی) متغیر تصادفی با تابع احتمال باشد براي محاسبه احتمال میتوانیم از قواعد زیر استفاده کنیم: + ( ) ( < ) ) P a F a F a ) P a F a ( ) ) P a F a + ( < < ) )P a b F b F a x< x x< F ( x) x< x x< x تابع توزیع (پخش) متغیر تصادفی به صورت زیر تعریف شده است: ( )E )P,( به ترتیب با کدام گزینه برابر هستند (کامپیوتر سراسري 8) E( ) 9,P( ) 6 ( E( ) 9,P( ). در این صورت E( ),P( ) 9 6 ( E( ),P( ) 9 (

متغيرهاي تصادفي ۳۹ F( x) با استفاده از f( x) حل:گزینه درست است. براي به دست آوردن رابطه در توابع پیوسته در فواصل از (x )F به دست میآوریم. سایر جاها مشتق میگیریم و مقدار احتمال در نقاط مرزي را از F ( x) f ( x) < x< x + x P F F + P( ) F F + P( ) F F 6 + P( ) F F x 6 < x< x E( ) xf( x) dx+ xp( x) x. dx+ P( ) + P( ) + x. dx x x 9 9 + () + + + + + 6 6 6 6 6 6 6 Y + ( ) P a F a F a محاسبه Y(y) F به کمک (x) F اگر (x) F تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته باشد آنگاه براي محاسبه تابع توزیع تجمعی (y) F به صورت زیر عمل میکنیم: P g (y) F g (y) FY( y) P( Y y) P( g() y) P g (y) F g (y) x وb x a بازه مربوط به y را به ترتیب با قرار دادن در ( Y )g به دست میآوریم. t < F() t t t< t> Y L کدام است (کامپیوتر سراسري 8) F Y() t FY () t t< e t t< t e t (. اگر تابع توزیع به صورت زیر باشد تابع توزیع FY FY () t t< t e t ( t< () t ( t e t

۴۰ ا مار و احتمال محاسبه تابع احتمال Y پیوسته g براي محاسبه تابع چگالی ( Y )g که در آن یک متغیر تصادفی پیوسته است میتوانیم به یکی از دو روش زیر عمل کنیم: - تکنیک تبدیل متغیر - تکنیک تابع توزیع تجمعی تکنیک تبدیل متغیر متغیر تصادفی پیوسته (x )f در نظر بگیرید. به ترتیب زیر عمل میکنیم: را در بازهb a < x < متغیر باشد آنگاه براي محاسبه تابع چگالی با تابع چگالی f( y) ( متغیر را برحسب Y ) با استفاده از رابطه زیر تابع درواقع به دست میآوریم. اگر ( Y )g تابعی یکبهیک و معکوسپذیر از Y g g Y fy ( y) را محاسبه میکنیم: - - fy y g (y) f g (y) fy ( y) بازه مربوط به y از حاصلضرب «قدرمطلق مشتق (y) را به ترتیب با قرار دادن تکنیک تابع توزیع تجمعی در این روش ابتدا تابع توزیع تجمعی عبارت دیگر: «به دست میآید.» f «در (y) g g x وb x a در ( Y )g به دست میآوریم. g() Y را محاسبه میکنیم سپس با مشتقگیري از آن تابع چگالی احتمال را به دست میآوریم به F y P Y y P g(x) y Y ( ) ( ) Y را به دست میآوریم: ) تابع توزیع تجمعی g() Y را به دست آوریم: ) با مشتقگیري از تابع توزیع تجمعی میتوانیم تابع چگالی g() fy y F Y(y)

متغيرهاي تصادفي توا م تابع توأم متغیرهاي تصادفی گسسته الف) x,y f x,y P ب) x,y f x,y f x y y x تابع توأم متغیرهاي تصادفی پیوسته f( x,y) الف) ب) dydx f x,y dxdy f x,y x y Ae e, y x< f,y ( x,y ) سایر جاها, (برق سراسري 79) ) pdf )f x,y)( Joit را به صورت زیر در نظر میگیریم. ضریب A کدام است ( (. تابع چگالی احتمال مشترك (

۴۲ ا مار و احتمال f x,y dxdy x x y f( x,ydydx ) Ae e dydx عمودي Y x y x x x Ae. e dx A e e + dx x x x x A ( e + e ) dx A e e A( ) A A حل:گزینه درست است. یادآوري: مقدار انتگرال روي کل بازه تابع چگالی پیوسته برابر یک است. المانگیري محاسبه احتمال در توابع توأم توابع پیوسته و Y غيريكنواخت: اگر x,y) )f تابع توأم (مشترك) متغیرهاي تصادفی پیوسته باشد براي محاسبه احتمال روي ناحیه دلخواه A از رابطه زیر استفاده میکنیم: P A f x,y dxdy f x,y dydx A A به عبارت دیگر از تابع توأم روي ناحیه A انتگرال میگیریم. f, x,x فرض کنید تابع چگالی احتمال توأم متغیرهاي تصادفی و به صورت زیر باشد: x+ x ; < x<,< x< ; ساير جاها 7 P < در این صورت برابر است با:(برق سراسري 85) 5 ( 9 ( (. P < P( < ) f( x,x) dxdx < حل: گزینه درست است. یادآوري: احتمال در ناحیه برابر انتگرال در ناحیه است. بنابراین با توجه به شکل داریم: المان عمودي

متغيرهاي تصادفي توام ۴۳ x ( x+ x) dxdx xx+ x dx x x 5 5 9 x x dx x x + + 8 8 (,) (به نحوه المانگیري در متن درس مراجعه کنید.) و در فاصله مساحت مورد نظر به مساحت کل استفاده کرد. دقت کنید که چون توزیع یکنواخت نیست نمیتوان در این سو ال براي به دست آوردن احتمال از تقسیم f,y ( x,y) 6x < x < y < ساير نقاط. تابع چگالی احتمال توأم متغیرهاي تصادفی و Y به صورت زیر مفروض است: ) < Y P( + کدام است (کامپیوتر سراسري (8 ( ( در این صورت مقدار ( حل:گزینه درست است. ابتدا ناحیه مربوط به x,y) )f را رسم کرده و سپس خطy< +x به دست آوردن جواب باید با المانگیري در ناحیه هاشورخورده از را در نظر میگیریم. براي x,y) f( انتگرالگیري کنیم. المان عمودي x P( (,Y ) A) f ( x,y) P( + Y < ) 6xdydx x A x [ 6xy] 6x( x x) dx x ( 6x x ) dx x x 8 یادآوري: احتمال در ناحیه برابر انتگرال در ناحیه است. دقت کنید که چون توزیع و Y یکنواخت پیوسته نیست نمیتوان مقدار احتمال مورد نظر را از تقسیم مساحت هاشورخورده به مساحت کل به دست آورد اگرچه ممکن است به طور اتفاقی مقدار مساحت مورد نظر با احتمال بهدستآمده از انتگرال ناحیه مورد نظر برابر شود.

۴۴ ا مار و احتمال P( A ) زيرا: يكنواخت: اگر و Y دو متغیر تصادفی یکنواخت باشند رابطه بالا به صورت زیر خواهد بود: مساحت ناحیه A مساحت کل P A A f x,y dxdy و Y يكنواخت P( A ) A dxdy مساحت كل که در آن A مساحت ناحيه A مساحت كل ناحیهاي در کل ناحیه و Y است. دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت در فاصله (, ( PY باشند کدام گزینه خواهد بود (كامپيوتر ا زاد ۸۵). اگر و Y.75.875 (.5 (.5 ( f( x,y) حل:گزینه درست است. یادآوري: احتمال در ناحیه برابر با انتگرال در آن ناحیه است بنابراین ابتدا ناحیه مزبور را رسم میکنیم و سپس در آن ناحیه از و Y x,y) )f را به دست آوریم. داراي توزیع یکنواخت در فاصله (, ( بوده و مستقل از یکدیگر نیز هستند تابع چگالی توأم انتگرالگیري میکنیم پس ابتدا باید به دو روش زیر به,Y f ( x,y) f( x.f ) ( y) چون و Y دست میآید: راه حل اول: مستقل ~U(,) f ( x) Y~U(,) f ( y) f x,y f x f y f ( x,y) dxdy f( x,y) dxdy f ( x,y ) (A ) مساحت ناحیه f ( x,y) A A و : Y راه حل دوم: از طریق محاسبه مساحت ناحیه

متغيرهاي تصادفي توام ۴۵ تابع حاشیهاي (کنارهاي) Fuctio) (Margial f x f x,y, f y f x,y y x توابع حاشیهاي گسسته توابع حاشیهاي پیوسته f x f x,y dy, f y f x,y dx Y f( x,y) f ( x) f ( y) را مستقل (ناوابسته) گویند اگر و فقط اگر به ازاي تمام نقاط x,y) ( رابطه استقلال دو متغیر تصادفی دو متغیر تصادفی و Y به عبارت دیگر: برقرار باشد به ازاي تمام نقاط x,y) f( x,y) f( x) f( y ) ; ( و Y مستقل f( y) f( x) ابتدا توابع کنارهاي Y بررسی استقلال دو متغیر گسسته براي بررسی استقلال دو متغیر و را براي تمام زوجهاي بررسی میکنیم. و را به دست میآوریم سپس درستی رابطه ( x,y i j) ( i j) ( i) ( j) f x,y f x f y x y y j xi f x,y i j f xi ( j ) f y بررسی استقلال دو متغیر پیوسته براي متغیرهاي تصادفی پیوسته و Y الف) حدود مستقل باشند درصورتیکه: ب) تابع چگالی توام x,y) )f را بتوان به صورت حاصلضرب دو تابع مستقل بر حسب و Y نوشت و Y آنگاه و Y مستقل هستند و در غیر این صورت وابسته خواهند بود.

۴۶ ا مار و احتمال تابع توزیع تجمعی توأم Fuctio) (Cumulative Joit Distributio و Y تعریف: تابع توزیع تجمعی توأم متغیرهاي تصادفی به صورت زیر است: F x,y P x Y y f x,y,y (, ) محاسبه تابع چگالی توأم از روي تابع توزیع توأم پیوسته براي به دست ا وردن تابع چگالي توا م از روي تابع توزيع توا م بايد از هر متغير مشتق جزيي بگيريم. البته فرقي نميكند كه ابتدا كدام متغير را ثابت در نظر گرفته و نسبت به ديگري مشتق بگيريم. f(x,y) F(x,y) F(x,y) x y y x روابط احتمالی بین متغیرهاي تصادفی اگر و Y دو متغیر تصادفی دلخواه باشند همواره: ) >Y ; P( <Y ) +P( Y ) +P( و Y گسسته ) >Y ; P( <Y ) +P( و Y پیوسته یادآوري: در متغیرهاي تصادفی پیوسته همواره P( Y ) است. متغیرها با توزیع یکسان متغیرهاي تصادفی و Y درنتیجه براي متغیرهاي همتوزیع همواره را همتوزیع (با توزیع یکسان) گویند اگر و فقط اگر: امید واریانس تابع مولد گشتاور و... در صورت وجود برابر خواهند بود. f t fy t ; t براي مثال دو متغیر تصادفی و Y با توابع چگالی زیر همتوزیعاند: f x x ; < x < f y y ; < y<

متغيرهاي تصادفي توام ۴۷ متغیرهاي مستقل با توزیع یکسان Distributio) (Idepedet Idetically متغیرهاي تصادفی مستقل با توزیع یکسان iid) ( باشند آنگاه: اگر و Y P( <Y)P(>Y) نتایج: دو متغیر تصادفی پیوسته مستقل با توزیع یکسان iid) ( باشند آنگاه: ( اگر و Y P <Y +P >Y P <Y P >Y P( <Y ) P( >Y ) دو متغیر تصادفی گسسته مستقل با توزیع یکسان iid) ( باشند آنگاه: ( اگر و Y P <Y +P Y +P >Y P <Y P >Y -P Y P( <Y ) P( >Y ) ) با توجه به نتایج () و () براي هر و Y مستقل با توزیع یکسان iid) ( همواره داریم: P( <Y ) P( >Y) دقت کنید! P( Y ) P Y P x,y P x Y : ( iid) براي هر دو متغیر مستقل و Y الف) اگر و Y پيوسته باشند: ب) اگر و Y گسسته باشند: با توزیع یکسان P( x ) θ, x,,..., θ P( Y y ) θ, y,,..., θ. 5 فرض کنید دو متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر داراي توزیع یکنواخت گسسته باشند به صورت زیر: θ θ θ ( P کدام است (مکاترونیک 88) θ θ ( احتمال اینکه Y) ( θ (

۴۸ ا مار و احتمال حل:گزینه درست است. در این سو ال که و Y مستقل و همتوزیع هستند داریم: θ θ θ θ P Y θ x θ x θ θ x θ θ P( Y) P( Y) θ θ P برابر است با: دو متغیر تصادفی مستقل و با توزیع یکسان iid) ( باشند آنگاه (Y > ( (برق سراسري 85) ( ) بستگی به توزیع و Y دارد. اگر و Y ( (. 6 P ( < Y) P ( > Y) P( < Y) + P( Y) + P( > Y) P > Y P Y و Y مستقل و هم توزیع حل:گزینه درست است. و Y پیوسته P( Y) P( Y) P ( > Y) P( < Y) و Y گسسته P Y و Y دقت کنید که اگر در گزینهها گزینه حداکثر اگر گسسته باشند کمتر یا مساوي خواهد بود. بود میتوانست جواب باشد زیرا اگر پیوسته باشند این احتمال برابر با است و

متغيرهاي تصادفي توام ۴۹ تابع احتمال شرطی Fuctio) (Coditioal Probability مفروض باشند داریم: f( y) و y) f( و توابع کنارهاي (x )f f ( x) f x,y f x,y f x y, f y x اگر تابع احتمال توأم x,y) )f P Y اگر,Y) ( داراي تابع چگالی توأم زیر باشند آنگاه کدام است x y x f x,y( x,y) سایر مقادیر (کامپیوتر سراسري 8). 7 ( ( ( حل:گزینه درست است. f x,y x x x 8 f ( x y) f x y x f y y ( y ) f ( y) f ( x,y) dx x dx x ( y ) x y y 8 8 8 P Y fx Y dx xdx x f x,y y < x< y < به صورت ساير نقاط است. P < Y برابر است با: (علوم كامپيوتر ۸۴) R. 8 تابع چگالی احتمال توأم و Y ( ( ) صفر

۵۰ ا مار و احتمال حل:گزینه درست است. ابتدا x y) )f را به دست آورده سپس احتمال مورد نظر را محاسبه میکنیم: y f( x,y) y y x f( x y) f( x Y ) ; f( y) f( x,ydx ) dx f( y) y x y y x P< Y f ( x Y dx ) dx F( y) و y) F( و y x) F( و توابع تجمعی کنارهاي (x )F توابع توزیع تجمعی شرطی x y) )F درصورتیکه تابع توزیع تجمعی توأم x,y) )F مفروض باشند: F( x) F x,y F x,y F x y, F y x. 9 فرض میکنیم و Y متغیرهاي تصادفی مستقل بوده و هر کدام به طور یکنواخت بر بازه [, [ توزیع شده باشند وY Z Fz x fz x ) A P( و { } و Y A در این صورت و به ترتیب برابرند با:(برق سراسري 87),,,, x x x f( x ) ; < x < F( x) f ( x) dx dx y y y f( y ) ; < y< F( y) f( y) dy dy x y xy f( x,y) f ( x) f ( y) F( x,y) dydx ( ) (,,(,, ( حل:گزینه درست است. هر دو داراي توزیع یکنواخت در بازه (, ( هستند بنابراین: فلا( P A, P Y, P Y, P( A ) f f f y P( < Y <, ) P ( < Y<, ) f(,ydy ) dy f( ) f( ) Y و

ب( ج( متغيرهاي تصادفي توام ۵۱ fz f( Z, ) f ( Y ) Y f ( ) f( ) FZ xy F( Z, ) F ( Y ) Y F ( ) F ( ) x یادآوري: هرگاه یک متغیر تصادفی داراي توزیع یکنواخت پیوسته باشد تابع چگالی آن یک عدد ثابت خواهد بود بنابراین به ازاي هر مقدار یا Y تابع همان مقدار ثابت خواهد ماند. براي مثال در این سو ال: U(,) f ( x) f ( ),Y U(,) f ( x,y) f (,Y ) امید ریاضی شرطی درصورتیکه و Y دو متغیر تصادفی گسسته باشند به صورت زیر است: E y xf x y, E Y x yf y x x y یادآوري: اگر (Y )g )g,( تابعی از دو متغیر تصادفی گسسته و Y باشد: ( ) ( ) E g Y E g Y g x f x y dx g y f y x dy و درصورتیکه و Y دو متغیر تصادفی پیوسته باشند به صورت زیر است: E y xf x y dx, E Y x yf y x dy یادآوري: اگر (Y )g )g,( تابعی از دو متغیر تصادفی پیوسته و Y باشد: + ( ) E g Y g x f x y dx + E g( Y ) g y f y x dy

۵۲ ا مار و احتمال f,y ( x,y) x+y<,x>,y> سایر جاها تابع چگالی احتمال توأم متغیرهاي تصادفی و Y به صورت زیر است: ( x) E Y کدام است (برق سراسري 88) x ( + x ( مقدار امید ریاضی شرطی x (. x x x E( Y ) yf( y x) dy y. dy y. ( x) y x x ( x) حل:گزینه درست است. f y x ( ) f x,y f x x x x f x f x,y dy dy y x y x [ ] ( ) f,y ( x,y) y e < x < y< تابع چگالی احتمال توأم متغیرهاي تصادفی و Y به صورت زیر مفروض است: در این صورت مقدار کدام است (کامپیوتر سراسري 8) سایر نقاط ( E Y ( (. حل:گزینه درست است. y + y E( Y y) x.f ( x y) dx x. dx x y E ( Y ) y y f x,y y e f ( x y) f y y ye y y y y y y f ( y) f( x,y) dx e dx xe ye x