ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΝΑΜΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΕΝΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΛΥΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΝΑΜΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΕΝΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΛΥΣΕΙΣ Σε µια κατασκευαστική εργασία χρησιµοποιείτε ένα µικρό γερανό ο οποίος έχει τις εξής προδιαγραφές: Όριο θραύσης συρµατόσχοινου: T 55 Ν Ο κινητήρας προσδίδει στο φορτίο µέγιστη επιτάχυνση α 5, m/s όταν αυτός ξεκινά να ανεβάζει το φορτίο του. Α. Να υπολογίσετε τη µάζα του µέγιστου φορτίου την οποία µπορεί να ανυψώσει κατακόρυφα ο συγκεκριµένος γερανός χωρίς να σπάσει το συρµατόσχοινο. Β. Να υπολογίσετε τη µάζα του µέγιστου φορτίου στην περίπτωση που το φορτίο είναι τοποθετηµένο µέσα σε µεταλλικό κάδο ο οποίος ολισθαίνει σε µεταλλική ράµπα που σχηµατίζει γωνία θ75 µε το οριζόντιο επίπεδο. ίδονται οι συντελεστές τριβής ολίσθησης µεταξύ µεταλλικών επιφανειών. Χωρίς λίπανση: µ s,8 και µ,6. Με λίπανση: µ s,1 και µ,5 T mg Οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στη m είναι το βάρος και η δύναµη τάσης T από το συρµατόσκοινο. Τα µέτρα των δυνάµεων αυτών είναι ίσα (T) µόνο στην περίπτωση που η µάζα m κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Στην περίπτωση αυτή το συρµατόσκοινο θα µπορούσε να σηκώσει µάζα µε βάρος ίσο µε το T 55N το οποίο θα αντιστοιχούσε σε µάζα: m /g(55n)/(9,8m/s )536 g. Α. Το πρόβληµα µε την αντοχή του συρµατόσκοινου παρουσιάζεται στο ξεκίνηµα του κινητήρα όταν το σώµα αρχίζει να ανέρχεται µε επιτάχυνση a 5, m/s. Για να αποκτήσει η µάζα την επιτάχυνση αυτή πρέπει η τάση T> και µάλιστα πρέπει ο Β νόµος του Νεύτωνα να ικανοποιεί τη σχέση: T m a T mg+ m a T m( g+ a ) (1) Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η δύναµη T της τάσης του νήµατος είναι ανάλογη µε τη µάζα m του σώµατος που ανεβάζει ο γερανός, ή αντίστροφα, αν είναι δεδοµένη η µέγιστη δύναµη T µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέγιστη µάζα m που θα µπορούσε να ανυψώσει ο γερανός. Συγκεκριµένα: T 55 N T m ( g+ a ) m 35g g+ a 9,8m / s + 5,m / s

y Τ n x x y f θ75 Β. Στην περίπτωση αυτή, πάνω στο σώµα ασκούνται οι εξής δυνάµεις: Το βάρος της µάζα m: mg το οποίο αναλύεται στις εξής συνιστώσες: x mg sin(θ) και y mg cos(θ) Η δύναµη της τάσης του συρµατόσκοινου: T Η κάθετη δύναµη n η οποία πρέπει να είναι ίση µε την συνιστώσα y : nmg cos(θ) Η δύναµη κινητικής τριβής ολίσθησης f µ n f µ mg cos(θ) Για να αποκτήσει η µάζα m επιτάχυνση a πρέπει από το Β νόµο του Νεύτωνα, η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται πάνω στη µάζα να ικανοποιεί τη σχέση: T f ma T mg sin( θ ) µ mg cos( θ ) + ma x T m( g sin( θ ) µ g cos( θ ) + a ) () Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η δύναµη T της τάσης του νήµατος είναι ανάλογη µε τη µάζα m του σώµατος που ανεβάζει ο γερανός, ή αντίστροφα, αν είναι δεδοµένη η µέγιστη δύναµη T µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέγιστη µάζα m που θα µπορούσε να ανυψώσει ο γερανός. Συγκεκριµένα: T m (3) g sin( θ ) + µ g cos( θ ) a + Ράµπα χωρίς λίπανση, µ,6: 55 N m 33g (9,8m / s )sin(75 ) +,6(9,8m / s )cos(75 ) + 5,m / s Ράµπα χωρίς λίπανση, µ,5: 55 N m 36g (9,8m / s )sin(75 ) +,5(9,8m / s )cos(75 ) + 5,m / s ΑΣΚΗΣΗ Έχετε φορτώσει στην καρότσα ενός φορτηγού ένα µαρµάρινο όγκο που έχει µάζα m35 g. Να υπολογίσετε τη µέγιστη γωνία ανατροπής της καρότσας του φορτηγού ώστε ο µαρµάρινος όγκος να µην ολισθήσει. Ο συντελεστής στατικής τριβής ολίσθησης µεταξύ µαρµάρινου όγκου και καρότσας φορτηγού είναι µ s,85 y x n f s x Οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στη µαρµάρινη µάζα είναι: r Το βάρος του µαρµάρου: mg ˆj Η κάθετος δύναµη: n r Η στατική τριβή ολίσθησης: f r s Το σύστηµα συντεταγµένων που επιλέγουµε έχει τον άξονα x παράλληλο µε την επιφάνεια της καρότσας του φορτηγού. θ θ θ Αναλύουµε το βάρος του σώµατος στις δυο συνιστώσες του: y x sin(θ) και y cos(θ)

Συνθήκες ισορροπίας: Σ x f s x f s x f s mg sin(θ) (1) Σ y n y n y n mg cos(θ) () Από τη Σχέση (1) προκύπτει ότι όσο µεγαλώνει η γωνία θ ανατροπής της καρότσας τόσο µεγαλώνει η τιµή του sin(θ) µε αντίστοιχη αύξηση της τιµής της στατικής τριβής ολίσθησης f s η οποία δεν µπορεί να υπερβεί τη µέγιστη τιµή f s, η οποία αντιστοιχεί σε γωνία ανατροπής θθ και είναι ίση µε: f s, µ s n µ s mg cos(θ ) (βλέπε σχέση ()) (3) Για γωνίες ανατροπής θ>θ η συνιστώσα x του βάρους θα είναι µεγαλύτερη από τη µέγιστη στατική τριβή ολίσθησης f s, και το µάρµαρο θα να ολισθαίνει προς το κάτω µέρος της καρότσας. Από τις σχέσεις (1) και (3) προκύπτει: µ s mg cos(θ ) µ s mg sin(θ ) sin( θ cos( θ ) µ θ θ s tan( ) µ s arctan( µ s) arctan(,85) 4 ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Ως συνεργάτης µηχανικός σε ένα έργο έχετε αναλάβει την ευθύνη για την ασφαλή µεταφορά µαρµάρινων όγκων µε φορτηγά. Γνωρίζετε από την τεχνική µελέτη του έργου ότι κάθε µαρµάρινος όγκος έχει µάζα m35 g. Γνωρίζετε επίσης ότι, από µελέτες που έχουν γίνει, τα περισσότερα τροχαία συµβάντα καταλήγουν σε ανθρώπινα θύµατα και σε καταστροφή οχηµάτων όταν ο οδηγός δεν αντιδράσει γρήγορα και το όχηµα ακινητοποιηθεί σε χρονικό διάστηµα t c >, s. Ως υπεύθυνος µηχανικός πρέπει να υποδείξετε στους οδηγούς των φορτηγών την µέγιστη ταχύτητα υ µε την οποία πρέπει να κινούνται τα φορτηγά για την ασφαλή κίνησή τους. Να υπολογίσετε τη µέγιστη αυτή ταχύτητα. Ο συντελεστής στατικής τριβής ολίσθησης µεταξύ µαρµάρινου όγκου και καρότσας φορτηγού είναι µ s,85 f s y n x α υ Στο χρονικό διάστηµα που το φορτηγό επιβραδύνεται, οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στο µάρµαρο είναι: Η στατική τριβή ολίσθησης f s το βάρος του µαρµάρου και η κάθετη δύναµη n που ασκείται από τη καρότσα. Επειδή η καρότσα είναι οριζόντια, η κάθετη δύναµη n είναι ίση µε το βάρος του µαρµάρου n mg (1) Όταν το φορτηγό φρενάρει, αυτό επιβραδύνεται µε µια αρνητική επιτάχυνση α µέχρι να σταµατήσει. Την ίδια αρνητική επιτάχυνση α έχει και το µάρµαρο που είναι φορτωµένο στην καρότσα του. Η δύναµη που προκαλεί αυτήν της αρνητική επιτάχυνση στον µαρµάρινο όγκο είναι η στατική τριβή ολίσθησης η οποία σύµφωνα µε το ο νόµο του Νεύτωνα είναι ίση µε: f s m a () Η αρνητική επιτάχυνση α εξαρτάται από τα ανακλαστικά του οδηγού, την ποιότητα των φρένων και τροχών οπότε το δεξιό σκέλος της Εξίσωσης () µπορεί να πάρει από πολύ µικρές τιµές µέχρι πολύ µεγάλες τιµές. Στην περίπτωση που µελετάµε, γνωρίζουµε µόνο το χρονικό

διάστηµα t c, s ακινητοποίησης του φορτηγού. Αν υ είναι η µέγιστη επιτρεπτή ταχύτητα του φορτηγού, τότε η αρνητική επιτάχυνση α του φορτηγού θα δίνεται από τη σχέση: a υ υ υ t t t c c c (3) Αντίθετα, το µέτρο της στατική τριβή ολίσθησης f s είναι πάντα µικρότερο από το µέτρο της µέγιστης στατικής τριβής ολίσθησης, η οποία είναι αρνητική και ίση µε: f s, µ s n µ s mg (4) Στις περιπτώσεις που m a f s,, ο µαρµάρινος όγκος δεν ολισθαίνει πάνω στην καρότσα. Αντίθετα, όταν m a f s, η καρότσα έχει µεγαλύτερη επιβράδυνση από το µαρµάρινος όγκος. Αυτό έχει ως συνέπεια να ακινητοποιείται πρώτα η καρότσα και µετά ο µαρµάρινος όγκος. Αυτό σηµαίνει ότι ο µαρµάρινος όγκος συνεχίζει να κινείται ακόµα και στην περίπτωση που η καρότσα είναι ακίνητη, ή µε άλλα λόγια, ο µαρµάρινος όγκος ολισθαίνει πάνω στην καρότσα. Στην περίπτωση που η αρνητική επιτάχυνση είναι α, στην περίπτωση δηλαδή που ο µαρµάρινος όγκος οριακά αρχίζει να ολισθαίνει, ο Β νόµος του Νεύτωνα δίνει: f s, m a (5) Από τις Εξισώσεις 3, 4 και 5 παίρνουµε τελικά: υ µ smg m υ µ sg tc,85(9,8m / s )(,s) υ 17 m / s t c 6m / h ΑΣΚΗΣΗ 4 Τα φορτηγά µε τα φορτία που αναφέρονται στην άσκηση 3 πρέπει να ανέβουν ένα ανηφορικό δρόµο ο οποίος σχηµατίζει γωνία θ35 µε το οριζόντιο επίπεδο. Στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν τα φορτηγά αναβαίνουν ανηφόρες, οι στροφές την µηχανής πέφτουν και οι οδηγοί είναι αναγκασµένοι να ανεβάσουν τις στροφές για να µη σβήσει η µηχανή. Αυτό σηµαίνει ότι ο οδηγός πατάει περισσότερο το γκαζ και το αυτοκίνητο επιταχύνεται µέχρι να φθάσει την επιθυµητή ταχύτητα. Ως υπεύθυνος µηχανικός πρέπει να υποδείξετε στους οδηγούς των φορτηγών να προσέξουν να µην υπερβούν µια µέγιστη επιτάχυνση α γιατί θα υπάρξει κίνδυνος να ολισθήσουν οι µαρµάρινοι όγκοι προς το πίσω µέρος της καρότσα. Να υπολογίσετε τη µέγιστη αυτή επιτάχυνση. +y n x θ35 ο y +x f s Στο χρονικό διάστηµα που το φορτηγό επιταχύνεται στην ανηφόρα, οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στο µάρµαρο είναι: Το βάρος mg (1) Η κάθετη δύναµη n που ασκεί η καρότσα του φορτηγού. Η στατική τριβή ολίσθησης f s. Το σύστηµα συντεταγµένων που επιλέγουµε έχει το θετικό άξονα x προς την κατεύθυνση που το φορτηγό κινείται Στο σύστηµα αυτό, ο άξονας y σχηµατίζει γωνία θ35 µε τη κατακόρυφη. Αναλύουµε τη δύναµη του βάρους στο επιλεγµένο σύστηµα συντεταγµένων:

x mg + sinθ () y mg + cosθ (3) Στον άξονα y ο πρώτος νόµος του Νεύτωνα δίνει : n + y mg cosθ (3) Στον άξονα x ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα δίνει : f s x mα ή f s mg sinθma (4) όπου m και a είναι η µάζα και η επιτάχυνση του µαρµάρου η οποία, όσο το µάρµαρο δεν ολισθαίνει πάνω στη καρότσα, είναι ίση µε την επιτάχυνση του φορτηγού. Από την Εξίσωση (4) και µε δεδοµένο ότι η ποσότητα mg sinθ είναι σταθερή, προκύπτει ότι όσο µεγαλώνει η επιτάχυνση α του φορτηγού τόσο θα µεγαλώνει και η στατική τριβή ολίσθησης f s µέχρι αυτή γίνει ίση µε τη µέγιστη στατική τριβή ολίσθησης f s, η οποία είναι ίση µε: f s, µ s nµ s mg cosθ (5) και η οποία αντιστοιχεί σε µέγιστη επιτάχυνση a Καταλήξαµε στην Εξίσωση (5) χρησιµοποιώντας και την Εξίσωση (3). Οπότε, από τις Εξισώσεις (4) και (5) έχουµε: f s, mg sinθma µ s mg cosθ mg sinθma a (µ s cosθ sinθ)g [,85 cos(35 ) sin(35 )](9,8m/s ) a 1, m/s ΑΣΚΗΣΗ 5 Θέλετε να κρεµάσετε µια ατσάλινη δοκός που έχει µάζα m1 g σε δυο σκοινιά µε τον τρόπο που δείχνει το παρακάτω σχήµα. 3 Το σχοινί ή τα σχοινιά που θα χρησιµοποιήσετε για το κρέµασµα της δοκού σε ποιες δυνάµεις πρέπει να αντέχουν για να µη σπάσουν; T 1 T 1x T 1y +y T y θ 1 T θ T x +x Οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στα σκοινιά εξαιτίας του βάρους της δοκού είναι οι T 1 και η T. Το πιο βολικό σύστηµα συντεταγµένων είναι αυτό µε τον οριζόντιο άξονα x και τον κατακόρυφο άξονα y. Η δύναµη του βάρους της δοκού βρίσκεται πα νω στον άξονα y και έχει µέτρο m g (g9,8 m/s είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Τις δυνάµεις T 1 και T αναλύουµε στις συνιστώσες T 1x, T 1y και T x, T y, όπου: T 1x T 1 sinθ 1 T 1y T 1 cosθ 1

T x T sinθ T y T cosθ Από τις συνθήκες ισορροπίας: x T x T1 x T x T1 x T sinθ T1 sinθ1 (1) 1 y T y + T1 y T cosθ + T1 cosθ mg () sinθ1 Λύνουµε την Εξίσωση (1) ως προς T : T T1 (3) sinθ Αντικαθιστούµε την Εξίσωση (3) στην Εξίσωση (): sinθ1 sinθ1 T 1 cosθ + T1 cosθ1 mg T1 + T1 cosθ1 mg T1 sinθ tanθ (1g )(9,8m / s ) T1 64 N sin + cos tan 3 mg sinθ1 + cosθ1 tanθ sinθ1 sin T T1 (64 N) 44 N sinθ sin 3 ΑΣΚΗΣΗ 6 Μια σφαίρα κατεδαφίσεων συγκρατείται στη θέση της από δυο ελαφρά ατσάλινα συρµατόσχοινα, όπως δείχνει το παρακάτω σχήµα: 4 T T 1 m Εάν η µάζα m45 g, τότε να υπολογίσετε τις δυνάµεις Τ 1 και Τ που ασκούνται πάνω στα δυο συρµατόσχοινα εξαιτίας του βάρους της µάζας m. ίνονται: το συρµατόσκοινο πάνω στο οποίο ασκείται η δύναµη Τ 1 είναι οριζόντιο, το συρµατόσκοινο µε τη δύναµη Τ σχηµατίζει γωνία θ4 µε την κατακόρυφο. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g9,8 m/s Σχεδιάζουµε το διάγραµµα ελεύθερου σώµατος το οποία αφορά τη µάζα m. Το διάγραµµα αυτό περιλαµβάνει τη µάζα m µαζί µε τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω σε αυτή. Οι δυνάµεις αυτέ είναι: Το βάρος της µάζα: mg Η δύναµη T 1 της τάσης πάνω στο οριζόντιο σκοινί. H δύναµη T της τάση πάνω στο άλλο σκοινί.

T 1 y T y 4 T m T x 4 x Το πιο βολικό σύστηµα συντεταγµένων είναι αυτό που έχει τον x-άξονα οριζόντιο και τον y-άξονα κατακόρυφό. Αναλύω τη δύναµη T στις συνιστώσες: T x T sin4 T y T cos4 Νόµος Νεύτωνα στον x-άξονα: Σ x T x T 1 T sin4 T 1 (1) Νόµος Νεύτωνα στον y-άξονα: Σ y T y T cos4 mg () ιαιρώντας κατά µέλη της Εξισώσεις (1) και () παίρνουµε: T sin 4 T 1 T1 mg tan 4 (45g)(9,8m / s )(,84) T 1 T cos4 mg Οπότε, από την Εξίσωση (1) προκύπτει: T1 37 N T T 58 N sin 4,64 37 N ΑΣΚΗΣΗ 7 Μια µάζα Μ15 g ανέρχεται µε σταθερή ταχύτητα όπως δείχνει το σύστηµα τροχαλιών του παρακάτω σχήµατος: T 3 T 1 T T T 1 T 3 m Αν οι τροχαλίες είναι αβαρείς, τότε να υπολογίσετε τη δύναµη που κρατά σε ισορροπία τη µάζα m. Τι συµπέρασµα εξάγετε από την τιµή του µέτρου της δύναµης αυτής;

Από τη συνθήκη ότι η µάζα m ανέρχεται µε σταθερή ταχύτητα προκύπτει ότι: T 1 +T (1) Το γεγονός ότι µια αβαρής τροχαλία αλλάζει µόνο την κατεύθυνση της δύναµης µας δηλώνει ότι στη µικρή και στη µεγάλη τροχαλία θα ισχύουν οι σχέσεις: T 1 T T και Τ 1 Τ 3 () οπότε η Σχέση (1) γίνεται T (3) Από τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (δράση ίση και αντίθετη µε την αντίδραση) προκύπτει ότι: T 1 T 1 T Τ Τ T T 3 T 3 και Τ 3 (4) Από τις Σχέσεις () και (4) προκύπτει ότι: T 1 T 1 T T T 3 T 3 T (5) Από τις Σχέσεις (3) και (5) προκύπτει: / ΑΣΚΗΣΗ 8 1. Θέλετε να τοποθετήσετε ένα κιβώτιο µε µάζα m1 g πάνω στην καρότσα ενός φορτηγού σπρώχνοντας αυτό κατά µήκος µιας ράµπας η οποία σχηµατίζει γωνία θ µε το οριζόντιο επίπεδο. Οι συντελεστές τριβής ολίσθησης µεταξύ κιβωτίου και ράµπας είναι µ s,9 και µ,6. Η µέγιστη δύναµη που µπορείτε να ασκήσετε πάνω στο κιβώτιο είναι 1 N. ιαπιστώνετε ότι στο οριζόντιο επίπεδο πριν εισέλθετε στη ράµπα µπορείτε να µετακινήσετε το κιβώτιο. Παίρνετε λοιπό φόρα σπρώχνοντας το κιβώτιο στο οριζόντιο επίπεδο και εισέρχεστε µε κίνηση στη ράµπα. Α. Θα τα καταφέρετε µόνο σας να ανεβάσετε το κιβώτιο στην καρότσα του φορτηγού ή θα χρειαστείτε βοήθεια; Β. Αν για κάποιο λόγο σταµατήσετε το κιβώτιο να ολισθαίνει πάνω στη ράµπα, θα είστε τότε σε θέση να θέσετε το κιβώτιο σε κίνηση σπρώχνοντάς το; Α. Αυτό που είναι δεδοµένο είναι ότι το κιβώτιο εισέρχεται στη ράµπα κινούµενο. Αυτό σηµαίνει ότι πάνω στο κιβώτιο θα ασκείται κινητική τριβή ολίσθησης f µε αντίστοιχο συντελεστή µ,6. Εκτός από την κινητική τριβή ολίσθησης f ασκείται και το βάρος του κιβωτίου καθώς και η κάθετη δύναµη n (βλέπε Σχήµα) +y n x f θ θ y +x Το πιο βολικό σύστηµα συντεταγµένων είναι αυτό που έχει το θετικό ηµιάξονα +x παράλληλο µε την κατεύθυνση της κίνησης κιβωτίου πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στο κιβώτιο είναι: Το βάρος: mg (1) Η κάθετη δύναµη : n Η κινητική τριβή ολίσθησης: f µ n () Η δύναµη µε την οποία σπρώχνουµε το κιβώτιο:. Επειδή δεν δίνεται το µήκος της ράµπας, για να µεταφερθεί το κιβώτιο πάνω στην καρότσα του φορτηγού πρέπει οπωσδήποτε να ισχύει Σ x (3)

Σ x x f mg sinθ µ n (4) Επίσης, στον άξονα y πρέπει να ισχύει: Σ y ή ισοδύναµα: n y nmg cosθ (5) Από τις Εξισώσεις (4) και (5) προκύπτει: Σ x mg sinθ µ mg cosθ Σ x 1Ν (1g)(9,8m/s )sin (,6)(1g)(9,8m/s )cos 11 N Σ x 11 N Σύµφωνα µε την Εξίσωση (3), θα µπορέσετε να ωθήσετε το κιβώτιο στην καρότσα του φορτηγού. Β. Αν για κάποιο λόγο σταµατήσετε να ωθείτε το κιβώτιο πάνω στη ράµπα, τότε για να αρχίσετε να ωθείτε και πάλι το κιβώτιο πρέπει: Σ x > (6) Σ x x f s mg sinθ µ s n (7) Η Εξίσωση (7) διαφέρει από την Εξίσωση (4) µόνο στη δύναµη τριβής. Στην Εξίσωση (4) το κιβώτιο είναι σε κίνησης, οπότε πάνω στο κιβώτιο δρα η κινητική τριβή ολίσθησης f. Στην Εξίσωση (7) το κιβώτιο είναι ακίνητο, οπότε στην προσπάθειά µας να το µετακινήσουµε πάνω σε αυτό ασκείται η στατική τριβή ολίσθησης f s. Εξίσωση (7) σε συνδυασµό την Εξίσωση (5) δίνει: Σ x mg sinθ µ s mg cosθ Σ x 1Ν (1g)(9,8m/s )sin (,9)(1g)(9,8m/s )cos - 164 Ν Σ x - 164 Ν < Στην περίπτωση που το κιβώτιο σταµατήσει να ολισθαίνει πάνω στη ράµπα, τότε δεν θα έχετε τη δυνατότητα µόνος σας να θέσετε σε κίνηση το κιβώτιο. ΑΣΚΗΣΗ 9 Η µέγιστη δύναµη µε την οποία ένας κινητήρας ωθεί σε κίνηση ένα sport αυτοκίνητο σε οριζόντιο δρόµο είναι 35 N. ιατηρώντας τη δύναµη αυτή σταθερή, να υπολογίσετε τη µέγιστη ταχύτητα υ την οποία θα µπορούσε να αποκτήσει το αυτοκίνητο αυτό όταν είναι γνωστά: η µάζα του αυτοκινήτου m1 g, ο συντελεστής τριβής κύλισης µ r, των τροχών του αυτοκινήτου πάνω στο οδόστρωµα, ο συντελεστής οπισθέλκουσας δύναµης (αεροδυναµικός συντελεστής) του αυτοκινήτου C D,5 και η ενεργός διατοµή του αυτοκινήτου A(1,5x1,) m 1,5 m. ίνονται επίσης, η πυκνότητα του αέρα ρ α 1,3 g/m 3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g9,8 m/s. D n f r x

Εκτός από τη δύναµη 35 N η οποία επιταχύνει το αυτοκίνητο, πάνω σε αυτό ασκούνται και οι εξής δυνάµεις: Το βάρος του αυτοκινήτου: mg(1g)(9,8m/s )98 N (1) Η κάθετος δύναµη που ασκεί το οδόστρωµα στο αυτοκίνητο: nmg98 N () Η δύναµη της τριβής κύλισης η οποία είναι αντίθετη της ταχύτητας: f r µ r n µ r mg f r (,)(98 N)196 N (3) 1 1 3 Η οπισθέλκουσα δύναµη: D ACDρυ (1,5 m )(,5)(1,3 g / m ) υ,3υ ( N) (4) Η εφαρµογή του δεύτερου νόµου του Νεύτωνα πάνω στο αυτοκίνητο δίνει : Σ x f r D 35N 196 N,19 υ Σ x 334N,3 υ (5) Από την Εξίσωση (5) προκύπτει ότι όσο αυξάνεται η ταχύτητα του αυτοκινήτου τόσο θα µειώνεται η συνισταµένη δύναµη που ασκείται πάνω στο αυτοκίνητο. Θα υπάρχει λοιπόν µια ταχύτητα υ η οποία ονοµάζεται οριακή ταχύτητα για την οποία η συνισταµένη δύναµη που ασκείται πάνω στο αυτοκίνητο θα είναι µηδέν (). Οπότε από την Εξίσωση (5) προκύπτει ότι: 334 N,3 υ 334N υ υ 1 m/s43 m/h,3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Και λίγα µαθηµατικά!! Ένα αυτοκίνητο µε µάζα m15 g και µε εγκάρσια διατοµή Α, m εκτοξεύεται οριζόντια πάνω σε πάγο χωρίς τριβή. Τη χρονική στιγµή t s, η αρχική ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι υ 5 m/s Να δείξετε ότι η ταχύτητα υ(t) συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από τη σχέση: υ υ( t) όπου C D,31 είναι ο συντελεστής οπισθέλκουσας δύναµης του ACDρυt 1+ m αυτοκινήτου στον αέρα. Σε πόσο χρόνο το αυτοκίνητο θα έχει ταχύτητα υ5, m/s; D n υ x Πάνω στο αυτοκίνητο ασκείται µόνο η οπισθέλκουσα δύναµη: 1 AC D ρυ D (1) η οποία έχει αντίθετη διεύθυνση σε σχέση µε την ταχύτητα υ και η οποία θα επιβραδύνει το αυτοκίνητο. Η εφαρµογή του Β Νόµου του Νεύτωνα πάνω στο αυτοκίνητο δίνει: 1 ACDρ dυ ACDρ Σ x - m a x ACD ρυ ax υ υ m dt m

d ACC ACC dt d dt m m Παίρνουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα της Εξίσωσης () στο χρονικό διάστημα (, t) στο οποίο η ταχύτητα μεταβάλλεται από υ σε υ, όπου υ<υ. d t t () 1 ACC ACC ACC 1 dt dt t m m 1 m 1 1 ACC 1 ACC 1 1 ACC t t t 1 m m m AC D t 1 m (3) Αντικαθιστούμε τα δεδομένα στην Εξίσωση (3) και έχουμε: 5m / s 5,m / s 3 (,m )(,31)(1,3g/ m )(5m / s) t 1 (15g) t 5m / s 5,m / s (,7/ s) t 1 ACC t m (,35m/s ) t + 5, m/s 5 m/s (,35 m/s ) t m/s t 57 s ή t9,5 min Το αυτοκίνητο θα μειώσει την ταχύτητά του στα 5, m/s σε χρονικό διάστημα t9,5 min. t

ΑΣΚΗΣΗ 11 Ένα ξύλινο κουτί που έχει µάζα m, g γλιστράει προς τα κάτω πάνω σε ένα κατακόρυφο ξύλινο τοίχο, ενώ το σπρώχνετε υπό γωνία θ45 όπως δείχνει το παρακάτω Σχήµα. Ποιο είναι το µέτρο της δύναµης που πρέπει να ασκήσετε πάνω στο κουτί ώστε αυτό να ολισθαίνει µε σταθερή ταχύτητα; r ) f µ n j r ) n ni r θ r ) mg j i ) x, ) y, j Το πρόβληµα δεν αναφέρει αν το σώµα ολισθαίνει προς τα κάτω ή προς τα πάνω Οι πραγµατικές δυνάµεις που ασκούνται πάνω στη µάζα είναι οι: r ) Η δύναµη του βάρους: mg j r ) ) Η δύναµη που ασκούµε εµείς: i j x, + y, x, cosθ και y, sinθ r ) Η κάθετη δύναµη που ασκείται από το κατακόρυφο ξύλο : n ni Θεωρούµε ότι η µάζα ολισθαίνει προς τα κάτω, οπότε πάνω στο σώµα ασκείται και η δύναµη r ) κινητικής τριβής που έχει φορά προς τα πάνω: f µ n j Αφού η µάζα ολισθαίνει προς τα κάτω µε σταθερή ταχύτητα, πρέπει η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται πάνω σε αυτή να είναι ίση µε το µηδέν: r r r r r r r + + n+ f ) ) ) ) ) r x, i + y, j mg j+ ni + µ n j (βγάζω κοινούς παράγοντες τα i ) και ) j ) ) ) r + n) i + ( mg+ n) j ( x, y, µ Προκύπτει το σύστηµα: + n x, y, mg+ µ n Από την πρώτη εξίσωση του συστήµατος βρίσκετε την κάθετη δύναµη n x, την οποία αντικαθιστάτε στην δεύτερη εξίσωση. Οπότε έχουµε: mg+ µ y, x, x, cosθ και y, sinθ sinθ + µ cosθ mg mg sinθ + µ cosθ

Στην περίπτωση που το σώµα ολίσθαινε προς τα πάνω µε σταθερή ταχύτητα, τότε θα ακολουθούσατε την ίδια διαδικασία µε τη διαφορά ότι η κινητική τριβή ολίσθησης θα είχε φορά r ) προς τα κάτω, δηλαδή: f µ n j Ο συντελεστής κινητικής τριβής µ, (βλέπε πίνακα 5.1 σελίδας 136) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το σώµα µάζας 1, g στο παρακάτω Σχήµα είναι δεµένο στον τοίχο µε ένα σκοινί και είναι τοποθετηµένο στην πάνω επιφάνεια ενός σώµατος που έχει µάζα, g. Το από κάτω σώµα έλκεται προς τα δεξιά µε µια δύναµη τάσης Ν. Ο συντελεστής της τριβής ολίσθησης και στην κάτω και στην πάνω επιφάνεια του σώµατος των, g είναι µ,4. α. Ποια είναι η τάση στο σκοινί που κρατάει στον τοίχο το σώµα του 1, g; β. Ποια είναι η επιτάχυνση του σώµατος των, g; T m 1 1 g n 1 f 1 f 1 m g f 1 n Στην άσκηση αυτή θα χρησιµοποιήσουµε τα µέτρα των δυνάµεων. Τα πρόσηµα των δυνάµεων αυτών προκύπτουν από το παραπάνω σχήµα. Πάνω στη µάζα m 1 ασκούνται οι εξής δυνάµεις: Το βάρος 1 m 1 g, η κάθετη δύναµη n 1 που ασκεί η µάζα m πάνω στη µάζα m 1. Ισχύει: n 1 1 m 1 g (1) Επειδή η µάζα m ολισθαίνει και η µάζα m 1 είναι ακίνητη, στην επιφάνεια επαφής των δυο µαζών αναπτύσσεται δύναµη τριβής ολίσθησης f 1 η οποία ασκείται πάνω στη µάζα m και η οποία εξ ορισµού είναι ίση µε: f 1 µn 1 µm 1 g () όπου µ,4 είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης. Εξαιτίας όµως του Γ Νόµου του Neton (δράση ίση µε αντίδραση) και η µάζα m ασκεί µια δύναµη f 1 πάνω στην µάζα m 1 η οποία είναι ίση και αντίθετη µε την f 1 : f 1 f 1 µm 1 g (3) Πάνω στη µάζα m 1 ασκείται επίσης και η τάση T του νήµατος το οποίο κρατά τη µάζα αυτή ακίνητη. Συνθήκη ισορροπίας της µάζας m 1 : Tf 1 µm 1 g,4x(1,g)x(9,8m/s ) T3,9 Πάνω στη µάζα m ασκούνται οι εξής δυνάµεις: Η f 1 την οποία ορίσαµε µε την εξίσωση (), f 1 µm 1 g 1 + Το βάρος της µάζας m g και η δύναµη του βάρους 1 m 1 g που ασκεί η µάζα m 1 πάνω στη µάζα m.

Η κάθετη δύναµη n που ασκεί η οριζόντια επιφάνεια πάνω στη µάζα m είναι ίση µε n + m g+ m g m m ) g 1 1 ( 1+ Επειδή η µάζα m ολισθαίνει πάνω σε µια οριζόντια επιφάνεια µε συντελεστή τριβής ολίσθησης µ,4 πάνω στη µάζα m θα ασκείται τριβή ολίσθησης: f µ n f µ ( m1+ m) g Η δύναµη που έλκει τη µάζα. Η συνισταµένη δύναµη που ασκείται πάνω στη µάζα m είναι ίση µε: f f 1 εύτερος Νόµος του Neton για τη µάζα m : f f1 m a µ m1 g µ ( m1 + m) g m a µ m g µ ( m a m,16 m/s + m),4 1,g 9,8m / s,4 (1, g+,g),g 1 1 9,8m / s a ΑΣΚΗΣΗ 13 υο σώµατα µε µάζες m 1 1, g και m, g είναι τοποθετηµένα πάνω σε µια ατριβή οριζόντια επιφάνεια όπως δείχνει το διπλανό σχήµα. Ο συντελεστής στατικής τριβής ολίσθησης στην κοινή m 1 επιφάνεια των δυο σωµάτων είναι µ s,8. Μια δύναµη οριζόντια δύναµη ασκείται στο σώµα µε µάζα m 1. Όταν η δύναµη είναι m σχετικά µικρή, τα δυο σώµατα κινούνται ταυτόχρονα (το πάνω σώµα παρασύρει το κάτω εξ αιτίας της στατικής τριβής ολίσθησης που υπάρχει µεταξύ των σωµάτων). Όταν η δύναµη είναι σχετικά µεγάλη, τότε το σώµα m 1 αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στη µάζα m. Να υπολογίσετε το µέτρο min της ελάχιστης δύναµης που πρέπει να έχει η δύναµη για να αρχίσει η µάζα m 1 να ολισθαίνει σε σχέση µε τη µάζα m. f m 1 s m 1 1 1 1 α 1 α α c min > min f s m 1 f m 1 s, f m 1 f s, 1 f f 1, f 1, 1 α 1 m α m α c m α α c Για να αντιληφθείτε τη συµπεριφορά της στατικής τριβής ολίσθησης παραθέτουµε το παραπάνω σχήµα. Παρατηρούµε ότι όταν η δύναµη είναι σχετικά µικρή (βλέπε δυο πρώτες εικόνες), η στατική τριβής ολίσθησης f s που ασκείται πάνω στη µάζα m 1 είναι τέτοια ώστε η συνισταµένη δύναµη f s να προσδίδει στη µάζα m 1 επιτάχυνση α η οποία σύµφωνα µε το ο νόµο του Νεύτωνα προκύπτει από τη σχέση: f m a (1) s 1 Από τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (δράση ίση µε αντίδραση) προκύπτει ότι, αφού η δύναµη f s ασκείται από τη µάζα m πάνω στη µάζα m 1, και η µάζα m 1 θα ασκεί µια δύναµη f 1 πάνω στη µάζα m που θα είναι ίση και αντίθετη µε την f s (f 1 f s ). Αυτή δύναµη είναι η αιτία που

παρασύρεται σε κίνηση η µάζα m ακόµα και αν η δύναµη ασκείται πάνω στη µάζα m 1. Για σχετικά µικρές δυνάµεις, η δύναµη f 1 f s, ως η µοναδική οριζόντια δύναµη που ασκείται πάνω στη µάζα m, θα προσδίδει σε αυτή την ίδια επιτάχυνση α. Και για τη µάζα m, ο ος Νόµος του Νεύτωνα δίνει: f s m a () Προσθέτοντας κατά µέλη τις Σχέσεις (1) και () παίρνουµε: ( m1+ m) a ή ισοδύναµα a (3) m 1 + m Όσο µεγαλώνει η δύναµη µεγαλώνει και η στατική τριβή ολίσθησης f s. Επειδή όµως η στατική τριβή ολίσθησης f s έχει ένα ανώτατο όριο τιµής, την f s,, που µπορεί να λάβει, οι παραπάνω παρατηρήσεις ισχύουν µέχρις ότου η δύναµη λάβει µια ελάχιστη τιµή min για την οποία το σύστηµα των δυο µαζών θα έχει οριακά την ίδια επιτάχυνση α c η οποία θα προκύπτει από τη Σχέση (3) αν σε αυτή θέσουµε min : a c m + m min (4) 1 Στην οριακή αυτή κατάσταση (βλέπε εικόνα 3) η µάζα m θα έχει την ίδια επιτάχυνση α c η οποία δίνεται από τη σχέση: f s, ma c (5) όπου η f s, είναι εξ ορισµού ανάλογη της κάθετης δύναµης Ν την οποία ασκεί η µάζα m πάνω στη µάζα m 1. Και επειδή η επιφάνεια επαφής είναι οριζόντια, η κάθετη δύναµη Ν είναι ίση µε το βάρος 1 της µάζα m 1 : Συγκεκριµένα: 1 1 m g και fs, µ s 1 fs, µ s m1 g (6) Οι Σχέσεις (5) και (6) σε συνδυασµό µε τη Σχέση (4) δίνουν: min m + m µ m s m a c µ s m1 g m µ s m1 g min 1,8 (1, g)(9,8m / s )(1, g+,g) min min 1,g 1 g ( m1 + m ) m Στην περίπτωση που η δύναµη γίνει µεγαλύτερη από την min (> min ), η συνισταµένη των δυνάµεων που θα ασκούνται πάνω στη µάζα m 1, δηλαδή η δύναµη f s θα είναι µεγαλύτερη από την συνισταµένη min f s µε αποτέλεσµα η επιτάχυνση που θα αποκτήσει η µάζα m 1 να είναι µεγαλύτερη από την κρίσιµη επιτάχυνση α c, ενώ η µάζα m θ συνεχίζει να έχει επιτάχυνση α c. Αυτό σηµαίνει ότι σε ίδιο χρονικό διάστηµα, το πάνω σώµα µε µάζα m 1 θα έχει αποκτήσει µεγαλύτερη ταχύτητα από το κάτω σώµα µε µάζα m ή µε άλλα λόγια το πάνω σώµα θα κινείται πιο γρήγορα από το κάτω σώµα. Αυτό σηµαίνει ότι το πάνω σώµα θα ολισθαίνει στην πάνω επιφάνεια του σώµατος µε µάζα m.

ΑΣΚΗΣΗ 14 Στο πάτωμα ενός ανελκυστήρα βρίσκεται ένας ζυγός. Αν πάνω στο ζυγό τοποθετηθεί ένα αντικείμενο το οποίο έχει μάζα m85, g και ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή επιτάχυνση της οποίας το μέτρο είναι α,5 m/s, να υπολογίσετε την ένδειξη του ζυγού στις περιπτώσεις που ο ανελκυστήρας: (α) ανέρχεται επιταχυνόμενος, (β) κατέρχεται επιταχυνόμενος, (γ) ανέρχεται επιβραδυνόμενος, και (δ) κατέρχεται επιβραδυνόμενος. Δίνεται g 9,8 m/s. Η κίνηση του ανελκυστήρα είναι κατακόρυφη με θετική φορά προς τα πάνω. Σε κάθε περίπτωση, το αντικείμενο που βρίσκεται πάνω στο ζυγό θα κινείται με την επιτάχυνση την οποία θα έχει ο ανελκυστήρας. Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αντικείμενο είναι: Το βάρος του αντικειμένου: mgj (1) και η αντίδραση του ζυγού: j () Το πραγματικό βάρος του αντικειμένου είναι mg (85,g)(9,8m/s ) 833 N Το μέτρο της δύναμης αντίδρασης του ζυγού είναι ίσο με την ένδειξη που δείχνει ο ζυγός όταν ο ανελκυστήρας κινείται με επιτάχυνση. Η ένδειξη αυτή του ζυγού ονομάζεται φαινόμενο βάρος του αντικειμένου. Η συνισταμένη δύναμη net που ασκείται πάνω στο αντικείμενο θα πρέπει να ικανοποιεί το Β νόμο του Νεύτωνα: net ma + ma j mgj ma (3) (α) Ο ανελκυστήρας ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση α +(, 5 m/s )j Το πρόσημο (+) μπήκε επειδή η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση προς τα πάνω. Για να είναι θετική η επιτάχυνση α, το μέτρο της δύναμης αντίδραση του ζυγού πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του βάρους του αντικειμένου. Σύμφωνα με το διπλανό Σχήμα, η Εξίσωση (3) γίνεται: j mgj +mαj mg ma m(g + a) (85, g)[(9,8m/s ) + (,5m/s )] 15 N υ j α +αj mgj (β) Ο ανελκυστήρας κατέρχεται με σταθερή επιτάχυνση α (, 5 m/s )j

Το πρόσημο (-) μπήκε επειδή η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση προς τα κάτω (οι ταχύτητες είναι αρνητικές και η τελική ταχύτητα είναι αρνητικότερη της αρχικής ταχύτητας). Για να είναι αρνητική η επιτάχυνση α, το μέτρο της δύναμης αντίδραση του ζυγού πρέπει να είναι μικρότερο από το μέτρο του βάρους του αντικειμένου. Σύμφωνα με το διπλανό Σχήμα, η Εξίσωση (3) γίνεται: j mgj mαj mg ma m(g a) (85, g)[(9,8m/s ) (,5m/s )] 6 N υ j α αj mgj (γ) Ο ανελκυστήρας ανέρχεται με σταθερή επιβράδυνση α (, 5 m/s )j Το πρόσημο (-) μπήκε επειδή η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση προς τα κάτω (οι ταχύτητες είναι θετικές και η τελική ταχύτητα είναι μικρότερη από την αρχική ταχύτητα). Για να είναι αρνητική η επιτάχυνση α, το μέτρο της δύναμης αντίδραση του ζυγού πρέπει να είναι μικρότερο από το μέτρο του βάρους του αντικειμένου. Σύμφωνα με το διπλανό Σχήμα, η Εξίσωση (3) γίνεται: j mgj mαj mg ma m(g a) (85, g)[(9,8m/s ) (,5m/s )] 6 N υ j α αj mgj (δ) Ο ανελκυστήρας κατέρχεται με σταθερή επιβράδυνση α +(, 5 m/s )j Το πρόσημο (+) μπήκε επειδή η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση προς τα πάνω (οι ταχύτητες είναι αρνητικές και το μέτρο της τελικής ταχύτητας είναι μικρότερο του μέτρου της αρχικής ταχύτητας). Για να είναι θετική η επιτάχυνση α, το μέτρο της δύναμης αντίδραση του ζυγού πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του βάρους του αντικειμένου. Σύμφωνα με το διπλανό Σχήμα, η Εξίσωση (3) γίνεται: j mgj mαj mg +ma m(g + a) (85, g)[(9,8m/s ) + (,5m/s )] 15 N υ j α +αj mgj