Κεφάλαιο 5: Ειδικά Θέματα των Δυναμικών Συστημάτων

Κεφάλαιο 5: Ειδικά Θέματα των Δυναμικών Συστημάτων 5. Το Συνεχές Δυναμικό Σύστημα Ενα συνεχές δυναμικό σύστημα έχει άπειρους βαθμούς ελευθερίας, άπειρο αριθμό ιδιοσυχνοτήτων οι ιδιομορφές του είναι συνεχείς συναρτήσεις του χώρου όχι διανύσματα, όπως συμβαίνει με τους πολυβάθμιους ταλαντωτές που περιγράφονται με ένα πεπερασμένο αριθμό κόμβων. Οπως φαίνεται στα Σχήματα 5. 5. για την απλά εδραζόμενη δοκό, όλες οι κατασκευές στην πράξη είναι συνεχή δυναμικά συστήματα οι προσομοιώσεις με πολυβάθμιους ταλαντωτές είναι προσεγγιστικές. Σχήμα 5. Η απλά εδραζόμενη δοκός ως διακριτό τριτοβάθμιο δυναμικό σύστημα με τον ορισμό των ανάλογων συντελεστών ευκαμψίας. Στη δεύτερη περίπτωση, ορίζονται N ιδεατοί κόμβοι κατά μήκος της δοκού, επιπλέον των κόμβων που είναι απαραίτητοι για την υλοποίηση των συνθηκών στήριξης. Αρχικά, η μάζα της δοκού συμπυκνώνεται στους ιδεατούς κόμβους απαρτίζουν το διαγώνιο μητρώο μάζας Μ. Ακολούθως, υπολογίζονται οι συντελεστές ευκαμψίας IJ ( i, N, j, N). Αντιστρέφοντας τους συντελεστές ευκαμψίας, έχουμε τους συντελεστές δυσκαμψίας kij ( i, N, j, N), οι οποίοι απαρτίζουν το μητρώο δυσκαμψίας Κ. Στην πρώτη περίπτωση, διατηρείται η συνεχής κατανομή μάζας δυσκαμψίας, δείτε Σχήμα 5.. 89

Σχήμα 5. Η απλά εδραζόμενη δοκός ως συνεχές δυναμικό σύστημα με κατανεμημένη την μάζα m. 5.. Εξισώσεις Δυναμικής Ισορροπίας της Δοκού Οπως φαίνεται στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος του Σχήματος 5., η εξίσωση δυναμικής ισορροπίας της δοκού προκύπτει τη στατική συνθήκη ισορροπίας με την εισαγωγή των αδρανειακών δυνάμεων ως εξής: 4 y EI my p 4 x, t x (5.) Έχουμε πως EI (σε kn m ) είναι η δυσκαμψία της δοκού με σταθερή διατομή, m (σε kg / m ) η μάζα ανά μήκος (ή ανά τρέχον μέτρο), pxt (,) (σε kn / m ) το κατανεμημένο δυναμικό φορτίο yxt (,)(σε m) η βύθιση της δοκού. Παρατηρούμε πως αν αγνοηθεί η χρονική μεταβολή της φόρτισης οι αδρανειακές δυνάμεις της δοκού, η Εξίσωση (5.) παίρνει την κλασική μορφή για κάμψη δοκού στη στατική των κατασκευών. Το ιδιομορφικό πρόβλημα ορίζεται για την περίπτωση ελεύθερης ταλάντώσης, οπότε με τη χρήση της έννοιας του διαχωρισμού των μεταβλητών του προβλήματος (separation of variables) έχουμε πως pxt (,), yxt, y( xt,) ( x) f() t n n n n n Στην παραπάνω εξίσωση, n( x ) είναι η n-ιοστή ιδιομορφή fn() t η αντίστοιχη χρονική συνάρτηση της ταλάντωσής της. Αντικαθιστώντας για τη βύθιση, η εξίσωση δυναμικής ισορροπίας διασπάται σε δύο ανεξάρτητες εξισώσεις, δηλαδή στις εξής: (5.) 4 d dx 4 f t f t n() n n() m n n( x) n( x) EI (5.3) δίδονται παρα- Οι λύσεις για τη χρονική f n() t τη χωρική n( x ) κάτω ως μεταβολή της δυναμικής βύθισης yxt (,) f ( t) C sin t C cos t n n n ( x) Dsin axe cos axgsinh ax H cosh ax n n n n n n n n n (5.4) όπου C, D, E, G, H είναι σταθερές ολοκλήρωσης. Όπως πριν, n (σε rad/s) είναι η n-ιοστή ιδιοσυχνό- a 4 n m n EI τητα του συνεχούς δυναμικού συστήματος (σε /m) είναι ο αντίστοιχος αριθμός κύματος 9

(wave number). Οι ιδιομορφικές ταλαντώσεις είναι θεωρητικά άπειρες, η κάθε μία απ αυτές είναι αρμονικού τύπου. Οι σταθερές ολοκλήρωσης στη δεύτερη των Εξισώσεων (5.4) εξαρτώνται τις συνοριακές συνθήκες του εκάστοτε προβλήματος δίδονται στον Πίνακα 5. για τρείς βασικές περιπτώσεις, δηλαδή τον πρόβολο, τη μονόπακτη δοκό την αμφίπακτη δοκό. G ( x) sinhnxsinnx coshnxcosnx H Είδος Δοκού Ιδιομορφή n Αμφίπακτη Μονόπακτη Πρόβολος n 3 3 3 G H ( x) dx Πίνακας 5. Σταθερές ολοκλήρωσης για τις ιδιομορφές της γραμμικής δοκού. n -.985 -.7 -. -.7 -. -. -.734 -.84 -.999 Για όλες τις περιπτώσεις ισχύει πως ( x).838.364.864.89.3343. 783.434.544 dx Μετά τη λύση του ιδιοπροβλήματος, η δυναμική κριση της δοκού λόγω φόρτισης pxt (,) όπως στην περίπτωση πολυβάθμιων ταλαντωτών με επαλληλία όλων των ιδιομορφών ως εξής: βρίσκεται n n (5.5) n, () y xt A t x A Στην κριση της δοκού, έχουμε πως () n t είναι το εύρος της n-ιοστής ιδιομορφικής ταλάντωσης (ή ιδιομορφική συντεταγμένη ή γενικευμένη συντεταγμένη) που εξαρτάται 9

Σχήμα 5.3 Ιδιομορφές ιδιοσυχνότητες τεσσάρων συνεχών δοκών με διαφορετικές συνθήκες στήριξης. το είδος της εξωτερικής φόρτισης pxt (,), καθώς την ιδιοσυχνότητα που συνοδεύει την αντίστοιχη ιδιομορφή n( x ). 9

5.. Παράδειγμα Εφαρμογής Ι Εδώ απλώς εξετάζουμε στο Σχήμα 5.3 τις ιδιομορφές τις ιδιοσυχνότητες για τέσσερις τυπικές περιπτώσεις, δηλαδή για την αμφιέρειστη δοκό, τον πρόβολο, την αμφίπακτη τέλος τη μονόπακτη δοκό. 5. Ελαστο-πλαστικά Δυναμικά Συστήματα Οταν το επίπεδο φόρτισης ξεφεύγει τα σχετικά χαμηλά όρια που προβλέπονται στους κανονισμούς σχεδιασμού για την ομαλή λειτουργία της κατασκευής, η εντατική κατάσταση το πεδίο των μετακινήσεων που αναπτύσσονται στα επιμέρους δομικά στοιχεία αρχίζουν να παρουσιάζουν υψηλές τιμές. Τότε, ο νόμος υλικού δεν είναι πλέον η απλή γραμμική σχέση που προσδιορίζεται την κλίση της ευθείας στα διαγράμματα δυνάμεων-μετακινήσεων ή στα διαγράμματα τάσεων-παραμορφώσεων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του μονοβάθμιου ταλαντωτή, χρησιμοποιείται μία πιο γενικού τύπου συνάρτηση που δίδει τη δύναμη επαναφοράς ως f R(u), αντί για το προϊόν της ελατηριακής σταθεράς επί τη μετακίνηση, δηλαδή το d = ku. Ο ελαστοπλαστικός νόμος υλικού αποτελεί ειδική περίπτωση των μη-γραμμικών καταστατικών νόμων, οι οποίοι περιγράφουν τη σχέση μεταξύ του τανυστή των τάσεων (που περιλαμβάνει τρείς ορθές τρείς διατμητικές τάσεις) με τον ανάλογο τανυστή των παραμορφώσεων (που επίσης περιλαμβάνει τρείς ορθές τρείς διατμητικές παραμορφώσεις). Οι καταστατικοί αυτοί νόμοι είναι πολύπλοκοι, καθώς αφορούν το τρισδιάστατο συνεχές υλικό όχι τις απλές μονοδιάστατες σχέσεις μεταξύ δύναμης-μετακίνησης για τη ράβδο ή μεταξύ καμπτικής ροπής-καμπυλότητας για τη δοκό. Περισσότερες πληροφορίες για ανελαστική ανάλυση υπάρχουν στη βιβλιογραφία (π.χ., Shames and Cozzarelli, 99). Εδώ απλώς θα δοθεί η διατύπωση του ελαστοπλαστικού νόμου μέσω ενός απλού παραδείγματος ακολούθως θα εφαρμοσθεί για τον μονοβάθμιο ταλαντωτή. Παρακολουθώντας την πορεία του απλού πειράματος του Σχήματος 5.4, παρατηρούμε τον σχηματισμό μίας πλαστικής άρθρωσης στο κέντρο της αμφίπακτης δοκού καθώς αυξάνει το μέγεθος της ομοιόμορφα κατανεμημένης εξωτερικής φόρτισης p. Στο σημείο αυτό η βύθιση στο κέντρο έχει φθάσει στο ελαστικό όριο yel η δοκός αποτελείται δύο προβόλους με κοινή άρθρωση. Ακολούθως, περαιτέρω αύξηση του φορτίου δημιουργεί δύο ταυτόχρονες αρθρώσεις στις στηρίξεις έτσι η αρχική δοκός μετατρέπεται σε κινηματική αλυσίδα που σηματοδοτεί την κατάρρευση. Πιο συγκεκριμένα, η κατανομή της ορθής καμπτικής τάσης καθ ύψος της διατομής γραμμική γίνεται σταδιακά σταθερή, που σηματοδοτεί πλαστικοποίηση. Αυτό οδηγεί στην πλήρη οριακή τάση Y κατ' ύψος της διατομής, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί η πλήρης πλαστική ροπή M P η διατομή να αρχίσει να διαρρέει να μετατρέπεται σε άρθρωση. Σε άλλα πειράματα παρόμοια με αυτό του Σχήματος 5.4, η διαρκώς αυξανόμενη φόρτιση P δημιουργεί λόγω ασυμμετρίας ασύγχρονες πλαστικές αρθρώσεις στο μέσον στα δύο άκρα της δοκού, με αποτέλεσμα το διάγραμμα αντίστασης-μετατόπισης R-y να παρουσιάζει μη- γραμμική σχέση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Σχήμα 5.4 Σταδιακή δημιουργία πλαστικών αρθρώσεων σε αμφίπακτη δοκό λόγω αύξησης της ομοιόμορφα κατανεμημένης φόρτισης μέχρι την κατάρρευση. 93

Σχήμα 5.5 (a) Μη-γραμμικά μοντέλα αντίστασης-μετακίνησης για δοκούς (b) το ιδεατό ελαστοπλαστικό μοντέλο. Σημειώνουμε πως παρατηρούνται τρείς βασικές περιπτώσεις καθώς η βύθιση y (συνήθως στο κέντρο της δοκού) αυξάνει χωρίς όριο: η τιμή του φορτίου παραμένει σταθερή ως P max (ελαστοπλαστικός καταστατικός νόμος), συνεχίζει να αυξάνει (κράτυνση του υλικού) ή μειώνεται. Για παράδειγμα, η συνεχής αύξηση μίας έκκεντρη σημειακής φόρτισης P σε αμφιέρειστη δοκό δημιουργεί σταδιακά τις τρείς πλαστικές αρθρώσεις, ξεκινώντας το σημείο εφαρμογής πηγαίνοντας διαδοχικά στη μία στην άλλη στήριξη καταλήγοντας ξανά σε κινηματική αλυσίδα. Συνεπώς το ανάλογο διάγραμμα R-y, είναι τριγραμμικό καθώς αλλάζει η κλίση του κάθε φορά που σχηματίζεται μία πλαστική άρθρωση, ο φορέας γίνεται ολοένα πιο εύκαμπτος, μέχρι την τελική κατάρρευση. Τέλος, μία πιο γενική, συνεχής σχέση για το διάγραμμα καμπτικής ροπής-καμπυλότητας μίας δοκού είναι παρόμοια με την καμπύλη Β του Σχήματος 5.5(a), όπου παρατηρούμε σταδιακή συνεχή μείωση της αντοχής της διατομής μέχρι να αναπτυχθεί η οριακή τιμή M P. 5.. Παράδειγμα Εφαρμογής ΙΙ Ο μονοβάθμιος ταλαντωτής που προσομοιώνει την απλά εδραζόμενη δοκό του Σχήματος 5.6, η οποία στηρίζει ένα δευτερεύον σύστημα με μάζα m= W / g πάνω στο οποίο ασκείται μία σταθερή στον χρόνο φόρτιση Ft () = f, παρουσιάζει ελαστοπλαστική συμπεριφορά υλικού. Πιο συγκεκριμένα, η δύναμη επαναφοράς είναι γραμμική μέχρι το ελαστικό όριο y = uel, πέραν του οποίου παραμένει σταθερή με τιμή R M. Οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές, η δε κριση μπορεί να διαιρεθεί σε τρία συνεχόμενα στάδια. Στο πρώτο στάδιο, u uel συνεπώς R( u) = ku. Η εξίσωση κίνησης έχει τη μορφή που δίδεται την Εξίσωση (.). Η κριση σε σταθερό φορτίο είναι επίσης γνωστή έχει τη μορφή u u cost ST u u sint ST όπου ust = f k km είναι η ισοδύναμη στατική μετακίνηση είναι η συχνότητα της ταλάντωσης. Η μετακίνηση φθάνει την οριακή τιμή u EL στον χρόνο t EL, οπότε αλλάζουν τα δυναμικά χαρακτηριστικά του ταλαντωτή με τη δύναμη επαναφοράς να έχει πλέον τη σταθερή τιμή R M. Η μετακίνηση η ταχύτητα στο τέλος του πρώτου σταδίου είναι u uel u ustsintel (5.7) Οι παραπάνω τιμές χρησιμεύουν ως αρχικές συνθήκες για το δεύτερο στάδιο, που ορίζεται για χρόνο t t t EL. Ο χρόνος t cos t EL υπολογίζεται τη σχέση EL uel ust της Εξίσωσης (5.6), η δε νέα εξίσωση κίνησης είναι η εξής: M (5.6) mu R f (5.8) 94

Η διαφορική αυτή εξίσωση εμπλέκει μόνο την επιτάχυνση επιλύεται με δύο διαδοχικές χρονικές ολοκληρώσεις, δίνοντας την μετακίνηση ως ut () f RM t Ct C (5.9) m Η πλήρης λύση με τις αρχικές συνθήκες αυτές της Εξίσωσης (5.7) είναι η εξής: ut ( ) f RM t usttsintel uel (5.) m Σημειώνουμε πως το δεύτερο στάδιο τελειώνει όταν η μετακίνηση φθάσει τη μέγιστη δυνατή τιμή ym = um στον χρόνο t t tt t M. Στο τρίτο στάδιο, που ορίζεται για χρόνο μεταγενέστερο του M EL, ο μονοβάθμιος ταλαντωτής έχει πλαστικοποιηθεί πλήρως απλώς εκτελεί αρμονική ταλάντωση γύρω την ουδέτερη θέση που δίδεται τη σχέση um RM f k. Εχουμε συνεπώς την λύση RM f RM f ut ( ) um cos t k k (5.) (a) (b) 95

Σχήμα 5.6 Ταλαντώσεις του (a) ελαστοπλαστικού μονοβάθμιου ταλαντωτή που προσομοιώνει μία απλά εδραζόμενη δοκό με φορτίο F(t) στο κέντρο (b) η δυναμική του κριση σε σταθερή φόρτιση F(t)=f. tm ( must ( RM f))sintel Στην περίπτωση που διακοπεί η φόρτιση μετά πάροδο χρόνου σταδιακά σταματήσουν οι ταλαντώσεις, ο μονοβάθμιος ταλαντωτής δεν επανέρχεται στην αρχική του θέση, αλλά έχει μία εναπομένουσα μετατόπιση που κυμαίνεται μεταξύ των ορίων um ut () umrm f k. Τέλος, το Σχήμα 5.6 δείχνει τη χρονική εξέλιξη της μετακίνησης του ελαστοπλαστικού ταλαντωτή για τις εξής τιμές των παραμέτρων του προβλήματος, όπου y(t)=u(t): RM 3 kn, k 6, 4 kn / m, f 5kN (5.) W mg 5 kn, uel.4 cm, um.cm 5.. Δείκτες Πλαστιμότητας Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 95 εκπονήθηκαν νομογραφήματα (Biggs, 965) για τον ελαστοπλαστικό u μονοβάθμιο ταλαντωτή που δίνουν τιμές του συντελεστή πλαστιμότητας M uel. Ο συντελεστής αυτός ορίζεται ως ο λόγος της μέγιστης δυναμικής προς την ελαστική κριση, ως συνάρτηση του λόγου της χρονικής διάρκειας (ή κάποιας άλλης χρονικής παραμέτρου) του εκάστοτε δυναμικού φορτίου προς την ιδιοπερίοδο του ταλαντωτή. Ταυτόχρονα, δίδονται τιμές του χρόνου t M κατά τον οποίο σημειώνεται η μέγιστη δυναμική μετατόπιση u M, ομαλοποιημένου ως προς μία χρονική παράμετρο του φορτίου. Οπως φαίνεται στο Σχήμα 6.7 (με λογαριθμικές κλίμακες) για σταθερό φορτίο f διάρκειας t d, οι καμπύλες των νομογραφημάτων εξαρτώνται τον λόγο δύο παραμέτρων, δηλαδή της μέγιστης αντίστασης του ταλαντωτή R M ως προς το μέγεθος του δυναμικού φορτίου f. Παρατηρούμε πως για RM f >., η κριση του μονοβάθμιου ταλαντωτή παραμένει ελαστική (. ),, ανεξαρτήτως της χρονικής διάρκειας της φόρτισης. Η ευθεία RM f =. αποτελεί μία οριακή (ή διαχωριστική) ζώνη, πέραν της οποίας ο συντελεστής πλαστιμότητας αυξάνει με αυξανόμενο τον χρόνο παραμονής του φορτίου πάνω στην κατασκευή. Η περιοχή RM f <. σηματοδοτεί ενδόσιμους μονοβάθμιους ταλαντωτές με δύναμη επαναφοράς μικρότερη το μέγεθος της φόρτισης, υψηλές τιμές του. Τέλος, ο χρόνος t M κατά τον οποίο υλοποιείται ο δείκτης πλαστιμότητας είναι, σε γενικές γραμμές, της τάξεως του χρόνου παραμονής του φορτίου t d, εκτός για τις περιπτώσεις του ενδόσιμου ταλαντωτή, οπότε το t M μπορεί να είναι κατά πολύ μεγαλύτερο του t d. Τέλος, στα Σχήματα 5.8 5.9 δίδονται παρόμοια νομογραφήματα με αυτά του Σχήματος 5.7, αλλά για φθίνουσα τριγωνική φόρτιση για σταδιακά ανοδική φόρτιση, αντιστοίχως. 96

(a) (b) Σχήμα 5.7 (a) Συντελεστής πλαστιμότητας μ (b) χρόνος κρισης tμ μονοβάθμιου ελαστοπλαστικού ταλαντωτή υπό σταθερή φόρτιση διάρκειας td. 97

(a) (b) Σχήμα 5.8 (a) Συντελεστής πλαστιμότητας μ (b) χρόνος κρισης tμ μονοβάθμιου ελαστοπλαστικού ταλαντωτή υπό φθίνουσα τριγωνική φόρτιση διάρκειας td. 98

(a) (b) Σχήμα 5.9 (a) Συντελεστής πλαστιμότητας μ (b) χρόνος κρισης tμ μονοβάθμιου ελαστοπλαστικού ταλαντωτή υπό σταδιακά ανοδική φόρτιση με χρόνο ανόδου tr. 99

5.3 Σεισμική Μόνωση Βάσης Στις τελευταίες δεκαετίες, έχουν ερευνηθεί συστηματικά νέες τεχνολογίες για την απορόφηση της σεισμικής ενέργειας που εισάγει η κίνηση του εδάφους στην υπερκείμενη κατασκευή. Οι τεχνολογίες αυτές αφορούν πρωτίστως την εφαρμογή συστημάτων μόνωσης (seismic isolation techniques) στη βάση μίας κατασκευής, πιο συγκεκριμένα στη διεπιφάνεια της κατασκευής με τη θεμελίωσή της. Πρακτικά, η μόνωση βάσης αλλοιώνει τα δυναμικά χαρακτηριστικά της υπερκείμενης κατασκευής καταργώντας τη μονολοθική σύνδεση των στύλων με τη θεμελίωση (π.χ., πέδιλα με συνδετήριους δοκούς, κοιτόστρωση, κ.λπ.) ταυτόχρονα φιλτράρει το συχνοτικό περιεχόμενο της δυναμικής διέγερσης στη βάση της ανωδομής. Ως αποτέλεσμα, έχουμε μία πιο εύκαμπτη κατασκευή με αυξημένη σβεση, που συνήθως συνοδεύεται με ταυτόχρονη μείωση των εντατικών μεγεθών αύξηση των κινηματικών μεγεθών που αναπτύσσονται λόγω σεισμικής διέγερσης. Μία δεύτερη κατηγορία συστημάτων απορρόφησης ενέργειας είναι οι ενεργές μέθοδοι ελέγχου της κρισης κατασκευών (active structural control techniques), αλλά αφορούν πρωτίστως πολυώροφα κτίρια υπό ανεμοπίεση δεν θα σχολιασθούν περαιτέρω. Η τεχνική της σεισμικής μόνωσης βάσης είναι μία σύγχρονη μέθοδος αντισεισμικής προστασίας κατασκευών, η οποία έχει αναπτυχθεί χρησιμοποιείται εκτενώς τα τελευταία σαράντα περίπου χρόνια. Στην ευρεία χρήση της σεισμικής μόνωσης βάσης συνετέλεσε η ανάπτυξη των ελαστομερών μονωτήρων πολλαπλών στρώσεων (multi-layer elastomeric bearings), όπως αναφέρεται τους Naeim and Kelly (999). Οι μονωτήρες αποτελούνται εναλλασσόμενες στρώσεις ελαστομερούς με λεπτές μεταλλικές πλάκες, η ιδέα προέρχεται τον διάσημο Γάλλο μηχανικό Eugene Freyssinet, ο οποίος είναι κυρίως γνωστός για την ανάπτυξη του προ-εντεταμένου σκυροδέματος για να την ανακάλυψη του ερπυσμού στο σκυρόδεμα. Ο Freyssinet συνειδητοποίησε ότι η δυνατότητα παραλαβής κατακόρυφου φορτίου του ελαστομερούς είναι αντιστρόφως ανάλογη του πάχους του, ενώ η οριζόντια δυσκαμψία του είναι ανάλογη του πάχους του μονωτήρα. Ο συνδυασμός οριζόντιας ευκαμψίας κατακόρυφης δυσκαμψίας άνοιξε τον δρόμο για τη χρησιμοποίηση των μονωτήρων σε πολλές εφαρμογές, μεταξύ των οποίων η αντισεισμική προστασία των κατασκευών (Kelly and Konstantinidis, ). Στην κατηγορία των ελαστομερών μονωτήρων υπάγονται οι ελαστομερείς μονωτήρες με πυρήνα μολύβδου (lead rubber bearings). Οι μονωτήρες αυτοί χρησιμοποιούν τον μόλυβδο για να αυξήσουν τη δυνατότητα σβεσης ενέργειας, μίας με τη χρήση φυσικού ελαστομερούς η δυνατότητα σβεσης κυμαίνεται σε χαμηλά επίπεδα. Για τον ίδιο λόγο αναπτύχθηκαν οι ελαστομερείς αποσβεστήρες υψηλής σβεσης (high-damping rubber bearings), οι οποίοι αυξάνουν τη δυνατότητα σβεσης ενέργειας με την πρόσμιξη χημικών ουσιών στο ελαστομερές. Εκτός τους ελαστομερείς μονωτήρες, οι μονωτήρες τριβής (friction bearings) είναι αρκετά διαδεδομένοι. Οι πιο γνωστοί μονωτήρες της κατηγορίας αυτής είναι οι μονωτήρες με εκκρεμές σύστημα τριβής (friction pendulum system), οι οποίοι διαθέτουν σύστημα επαναφοράς της κατασκευής στην αρχική της θέση, καθώς οι απλοί μονωτήρες ολίσθησης-τριβής (sliding friction bearings) που χρησιμοποιούνται συμπληρωματικά για την σβεση της ενέργειας, καθώς δεν διαθέτουν σύστημα επαναφοράς. Άλλη κατηγορία μονωτήρων είναι οι μονωτήρες που χρησιμοποιούν ελατήρια διαθέτουν ταυτόχρονα οριζόντια κατακόρυφη δυσκαμψία. Οι μονωτήρες αυτοί χρησιμοποιούνται για τρισδιάστατη μόνωση της κατασκευής (οι προηγούμενες κατηγορίες μόνωσης είναι για μέσα στο επίπεδο) αλλά επειδή τα ελατήρια δεν διαθέτουν καμία δυνατότητα σβεσης, χρησιμοποιούνται μαζί με αποσβεστήρες ενέργειας. Εκτός τις τρεις παραπάνω κατηγορίες σεισμικής μόνωσης υπάρχουν οι ακόλουθες περιπτώσεις: κυλιόμενα συστήματα (rolling systems), συστήματα ανατροπής (rocking systems) συστήματα πασάλων σε κατασκευές που εδράζονται σε μαλακά εδάφη (sleeved-pile systems). Γενικά, τα χαρακτηριστικά που πρέπει να διέπουν ένα σύστημα σεισμικής μόνωσης είναι μεγάλη κατακόρυφη δυσκαμψία, μεγάλη οριζόντια ευκαμψία, δυνατότητα σβεσης ενέργειας, σύστημα επαναφοράς στην αρχική θέση καθώς ικανοποιητική οριζόντια δυσκαμψία υπό χαμηλές συνθήκες φόρτισης, όπως για παράδειγμα η ανεμοπίεση. Ο μηχανισμός της σεισμικής μόνωσης βάσης βασίζεται στην ιδέα της εισαγωγής μονωτήρων μεταξύ της ανωδομής της υποδομής, οι οποίοι όμως έχουν πολύ μικρότερη οριζόντια δυσκαμψία ότι η κατασκευή,. Η εισαγωγή των μονωτήρων, στην ουσία αποσυνδέει την ανωδομή τη βάση της, όπου η σεισμική δράση λαμβάνει χώρα. Η εισαγωγή της μόνωσης βάσης επιμηκύνει την περίοδο της κατασκευής (Σχήμα 5.), μειώνοντας τις δυνάμεις που εισάγονται τη σεισμική μετακίνηση του εδάφους, αλλά ταυτόχρονα αυξάνονται οι μετατοπίσεις (Skinner et al., 993). Όλες οι μετακινήσεις συμβαίνουν στο επίπεδο της σεισμικής μόνωσης, οι οποίες συνοδεύονται μικρές μετακινήσεις της ανωδομής (Chopra, ). Από τα παραπάνω προκύπτει η ευεργετική δράση της σβεσης για ένα σύστημα σεισμικής μόνωσης βάσης, καθ ότι μειώνει τις δυνάμεις

που μεταφέρονται στην κατασκευή (Christopoulos and Filiatrault, 6). Σχήμα 5. Ελαστικά φάσματα σχεδιασμού: (a) Επιταχύνσεις (b) μετακινήσεις ως συνάρτηση της σβεσης του δυναμικού συστήματος. Στην πράξη, η οριζόντια διατμητική συμπεριφορά όλων των συστημάτων σεισμικής μόνωσης βάσης, προσομοιώνεται με τον δι-γραμμικό καταστατικό νόμο (bilinear system), (Naeim and Kelly, 999). Οι τρείς παράμετροι που απαιτούνται για τον προσδιορισμό του δι-γραμμικού συστήματος είναι (i) η ελαστική δυσκαμψία k, (ii) η μετελαστική δυσκαμψία k (iii) η χαρακτηριστική δύναμη Q, Σχήμα 5.. Σχήμα 5. Δι-γραμμικός καταστατικός νόμος για συστήματα μόνωσης βάσης. Σχήμα 5. Δι-γραμμικός καταστατικός νόμος για συστήματα μόνωσης βάσης. Σχήμα 5. Δι-γραμμικός καταστατικός νόμος για συστήματα μόνωσης βάσης. Η ενεργή δυσκαμψία του δι-γραμμικού συστήματος ορίζεται ως εξής: Η ενεργή δυσκαμψία του δι-γραμμικού συστήματος ορίζεται ως εξής: Η ενεργή δυσκαμψία του δι-γραμμικού συστήματος ορίζεται ως εξής: keff k QD; D uy (5.3) keff k QD; D uy (5.3) όπου u y είναι η μετακίνηση διαρροής ορίζεται ως: όπου όπου u u y είναι η μετακίνηση διαρροής ορίζεται ως: y είναι η μετακίνηση διαρροής ορίζεται ως: uy Q ( k k) (5.4) uy Q ( k k) (5.4) Η επιφάνεια του υστερετικού κύκλου W d δίνεται τον ακόλουθο τύπο: Η επιφάνεια του υστερετικού κύκλου W Η επιφάνεια του υστερετικού Wd Dκύκλου d δίνεται τον ακόλουθο τύπο: W d δίνεται τον ακόλουθο τύπο: (5.5) Wd 4Q D uy (5.5) Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι για μονωτήρες των οποίων η διατμητική συμπεριφορά παρουσιάζει Θα πρέπει εξάρτηση να διευκρινιστεί την παραμόρφωση ότι για μονωτήρες (strain) των οποίων την η πρώτη διατμητική χρονική συμπεριφορά παράγωγο της παρουσιάζει παραμόρφωσης εξάρτηση (strain-rate), την παραμόρφωση πιο λεπτομερή (strain) μοντέλα την το πρώτη δι-γραμμικό χρονική παράγωγο σύστημα της απαιτούνται παραμόρφωσης για την προσομοίωση (strain-rate), πιο τους, λεπτομερή όπως είναι μοντέλα το τρι-γραμμικό το σύστημα. δι-γραμμικό Τέλος, σύστημα είναι απαιτούνται για την προσομοίωση τους, όπως είναι το τρι-γραμμικό σύστημα. Τέλος, είναι

W 4Q D u (5.5) d y Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι για μονωτήρες των οποίων η διατμητική συμπεριφορά παρουσιάζει εξάρτηση την παραμόρφωση (strain) την πρώτη χρονική παράγωγο της παραμόρφωσης (strain-rate), πιο λεπτομερή μοντέλα το δι-γραμμικό σύστημα απαιτούνται για την προσομοίωση τους, όπως είναι το τρι-γραμμικό σύστημα. Τέλος, είναι σημαντικό να τονισθεί ότι τα συστήματα σεισμικής μόνωσης δεν απορροφούν τη σεισμική ενέργεια, αλλά την εκτρέπουν μέσω της δυναμικής κρισης του όλου συστήματος. 5.4 Ασύμμετρα Μητρώα με Αλλαγή των Μεταβλητών Κατά τη δυναμική ανάλυση κατασκευών, συχνά προκύπτει η ανάγκη επαναδιατύπωσης του προβλήματος με τη χρήση εναλλακτικών μεταβλητών αυτές που αρχικά επιλέχθηκαν. Αυτή η αλλαγή μπορεί να οφείλεται στην αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων (π.χ. καρτεσιανό σε πολικό), στη μεταφορά του σημείου αναφοράς (π.χ. το κέντρο μάζας στο κέντρο ελαστικής στροφής), στον μετασχηματισμό για την απαλοιφή της σύζευξης των εξισώσεων ταλάντωσης πολυβάθμιων συστημάτων (μετάβαση τις φυσικές στις γενικευμένες συντεταγμένες μέσω του ιδιομορφικού μετασχηματισμού), κ.λπ. Έστω ότι η αρχική διατύπωση των εξισώσεων κίνησης πολυβάθμιου συστήματος με διάνυσμα βαθμών ελευθερίας u, καταλήγει στα μητρώα μάζας δυσκαμψίας m k, αντίστοιχα. Η διατύπωσή του σε ένα άλλο σύστημα βαθμών ελευθερίας με διάνυσμα z το οποίο συνδέεται με το αρχικό διάνυσμα u μέσω της σχέσης: u = e z (5.6) u = e z e z (5.6) (5.6) καταλήγει καταλήγει σε σε μητρώα μάζας μητρώα μάζας δυσκαμψίας ˆm, τα ˆm οποία ˆk, τα καταλήγει καταλήγει σε σε διαφοροποιημένα διαφοροποιημένα μητρώα μητρώα μάζας μάζας δυσκαμψίας δυσκαμψίας ˆm, τα οποία προκύπτουν ˆm, τα οποία προκύπτουν οποία προκύπτουν την αρχή την αρχή διατήρησης της δυναμικής της δυναμικής κινητικής κινητικής ενέργειας ενέργειας της ελεύθερης της ελεύθερης ταλάντωσης, την την αρχή αρχή διατήρησης διατήρησης της της δυναμικής δυναμικής κινητικής κινητικής ενέργειας ενέργειας της της ελεύθερης ελεύθερης ταλάντωσης, ταλάντωσης, ανεξαρτήτως της διατύπωσης που επιλέγεται. της που ανεξαρτήτως ανεξαρτήτως της της διατύπωσης διατύπωσης που που επιλέγεται. επιλέγεται. Από τη Από διατήρηση τη διατήρηση της μέγιστης της μέγιστης δυναμικής δυναμικής ενέργειας ενέργειας ΔΕ ΔΕ max του συστήματος, έχουμε max του έχουμε Από Από τη τη διατήρηση διατήρηση της μέγιστης μέγιστης δυναμικής δυναμικής ενέργειας ενέργειας ΔΕ ΔΕ max του συστήματος, έχουμε max του συστήματος, έχουμε T T T T ΔΕ max = u max k u max = z e max k e T T ΔΕ z max T max (5.7) ΔΕ max max e max (5.7) max = umax k u max = z T e T max k e z max (5.7) όπου έγινε χρήση όπου έγινε της ιδιότητας χρήση της του ιδιότητας του ανάστροφου γινομένου μητρώων γινομένου ως μητρώων (e z) T = ως z e (e z) T. Κατ = z T e T. Κατ αναλογία όπου όπου έγινε έγινε χρήση χρήση της της ιδιότητας ιδιότητας του του ανάστροφου ανάστροφου γινομένου γινομένου μητρώων μητρώων ως ως (e z) (e z) αναλογία τη διατήρηση τη διατήρηση της μέγιστης της μέγιστης κινητικής κινητικής ενέργειας ενέργειας ΚΕ max ΚΕ, έχουμε T T = z T T e e T T.. Κατ Κατ max, έχουμε αναλογία αναλογία τη τη διατήρηση διατήρηση της μέγιστης μέγιστης κινητικής κινητικής ενέργειας ενέργειας ΚΕ ΚΕ max, έχουμε max, έχουμε ΚΕ max = T umax m u max = T T max z e m e ΚΕ z max (5.8) max T max T T ΚΕ max e max (5.8) max = T umax m u max = z T e T max m e z max (5.8) Από Από τα παραπάνω τα Από παραπάνω τα προκύπτει παραπάνω προκύπτει ότι: προκύπτει ότι: ότι: Από τα παραπάνω προκύπτει ότι: T T T T ˆm = ˆm e m Te e k T (5.9) (5.9) ˆm = e m e e k e (5.9) ˆk = ˆk ˆk = Αν τα Αν αρχικά τα μητρώα m m k ήταν k ήταν είναι είναι τα Αν Αν τα τα αρχικά αρχικά μητρώα μητρώα m k ήταν ήταν συμμετρικά, συμμετρικά, είναι είναι ενδεχόμενο ενδεχόμενο τα τα μετασχηματισμένα μετασχηματισμένα μητρώα ˆm ˆk μητρώα να μην διατηρούν την ιδιότητα αυτή. Αυτό θέτει σε αμφιβολία το εάν οι ιδιομορφές που προκύπτουν τα ˆm ˆm ˆk να μην διατηρούν την ιδιότητα αυτή. Αυτό θέτει σε αμφιβολία το εάν οι μητρώα μητρώα ˆm να μην διατηρούν την ιδιότητα αυτή. Αυτό θέτει σε αμφιβολία το εάν οι ˆm να μην διατηρούν την ιδιότητα αυτή. Αυτό θέτει σε αμφιβολία το εάν οι που διαθέτουν την ιδιότητα τα της ορθογωνικότητας (δείτε Ενότητα 4.5). Επιπλέον, στην περίπτωση σεισμικής ˆm διαθέτουν την ιδιότητα της ιδιομορφές ιδιομορφές διέγερσης, που που το προκύπτουν προκύπτουν διάνυσμα επιρροής τα τα ˆm διαθέτουν την ιδιότητα της ορθογωνικότητας δ ˆm πιθανόν διαθέτουν να μην είναι την πλέον ιδιότητα μοναδιαίο, της ορθογωνικότητας π.χ., Εξισώσεις (4.34) (4.35), (δείτε Ενότητα συνεπώς 4.5). οι σχέσεις Επιπλέον, υπολογισμού στην περίπτωση των συντελεστών σεισμικής διέγερσης, το L διάνυσμα j Γ j των επιρροής Εξισώσεων δ (δείτε (δείτε Ενότητα Ενότητα 4.5). 4.5). Επιπλέον, Επιπλέον, στην στην περίπτωση περίπτωση σεισμικής σεισμικής διέγερσης, διέγερσης, το το διάνυσμα διάνυσμα επιρροής επιρροής (4.36) δ (4.38) πρέπει πιθανόν να μην τροποποιηθούν είναι πλέον μοναδιαίο, αναλόγως. π.χ., Ορισμένα Εξισώσεις (4.34) τα παραπάνω (4.35), προβλήματα συνεπώς που οι σχέσεις προκύπτουν πιθανόν πιθανόν να να μην μην είναι είναι πλέον πλέον μοναδιαίο, μοναδιαίο, π.χ., π.χ., Εξισώσεις Εξισώσεις (4.34) (4.34) (4.35), (4.35), συνεπώς συνεπώς οι οι σχέσεις σχέσεις μία (έστω στοιχειώδη) των αλλαγή μεταβλητών, διέγερσης Lαναδεικνύονται j Γ j των στο Παράδειγμα (4.36) που (4.38) ακολουθεί. πρέπει να υπολογισμού υπολογισμού των των συντελεστών συντελεστών διέγερσης διέγερσης L j j των Εξισώσεων (4.36) (4.38) πρέπει να j Γ j των Εξισώσεων (4.36) (4.38) πρέπει να αναλόγως. Ορισμένα τα παραπάνω που μία τροποποιηθούν τροποποιηθούν αναλόγως. αναλόγως. Ορισμένα Ορισμένα τα τα παραπάνω παραπάνω προβλήματα προβλήματα που που προκύπτουν προκύπτουν μία μία (έστω 5.4. Παράδειγμα αλλαγή Εφαρμογής ΙΙI στο που (έστω (έστω στοιχειώδη) στοιχειώδη) αλλαγή αλλαγή μεταβλητών, μεταβλητών, αναδεικνύονται αναδεικνύονται στο στο Παράδειγμα Παράδειγμα που που ακολουθεί. ακολουθεί. Να επαναδιατυπωθούν οι εξισώσεις ισορροπίας του διώροφου διατμητικού πλαισίου του Παραδείγματος Ι 5.4. του Κεφαλαίου 4, εαν ως βαθμοί ΙΙI ελευθερίας επιλεγούν οι σχετικές μετατοπίσεις των ζυγωμάτων ως προς την 5.4. 5.4. Να αμέσως Παράδειγμα χαμηλότερη Εφαρμογής οι εξισώσεις στάθμη. Ακολούθως, ΙΙI ΙΙI του να μορφωθούν διώροφου τα νέα μητρώα πλαισίου μάζας του δυσκαμψίας να υπολογιστούν οι ιδιοσυχνότητες Να Να επαναδιατυπωθούν επαναδιατυπωθούν οι οι εξισώσεις εξισώσεις ιδιομορφές ισορροπίας ισορροπίας που του του προκύπτουν διώροφου διώροφου διατμητικού διατμητικού τη νέα διατύπωση. πλαισίου πλαισίου Να του του ελεγχθεί το αν ισχύει η Παραδείγματος Ι του του Κεφαλαίου 4, εαν 4, εαν ως βαθμοί ως βαθμοί ελευθερίας επιλεγούν επιλεγούν οι σχετικές οι Παραδείγματος Ι του Κεφαλαίου 4, εαν ως βαθμοί ελευθερίας επιλεγούν οι σχετικές σχετικές μετατοπίσεις των ζυγωμάτων ως προς ως προς την την αμέσως αμέσως χαμηλότερη στάθμη. στάθμη. Ακολούθως, να μετατοπίσεις των ζυγωμάτων ως προς την αμέσως χαμηλότερη στάθμη. Ακολούθως, να να μορφωθούν τα νέα τα μητρώα νέα μητρώα μάζας μάζας δυσκαμψίας να να υπολογιστούν οι οι ιδιοσυχνότητες μορφωθούν τα νέα μητρώα μάζας δυσκαμψίας να υπολογιστούν οι ιδιοσυχνότητες ιδιομορφές που που προκύπτουν τη νέα τη νέα διατύπωση. Να ελεγχθεί Να ελεγχθεί το αν το ισχύει αν ισχύει η ιδιότητα ιδιότητα της ιδιομορφές που προκύπτουν τη νέα διατύπωση. Να ελεγχθεί το αν ισχύει η ιδιότητα της της ορθογωνικότητας των των ιδιομορφών. Επίσης, Επίσης, για για την την περίπτωση περίπτωση σεισμικής σεισμικής διέγερσης, διέγερσης, να ορθογωνικότητας των ιδιομορφών. Επίσης, για την περίπτωση σεισμικής διέγερσης, να να ˆk ˆk ˆk ˆk ˆk ˆk ˆk ˆk ˆk

ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών. Επίσης, για την περίπτωση σεισμικής διέγερσης, να προσδιορισθούν οι συντελεστές διέγερσης L j Γ j. Σχόλιο: Οι σχετικές μετατοπίσεις αποτελούν πολύ χρήσιμα μεγέθη κρισης καθώς συνδέονται άμεσα: () με τα εντατικά μεγέθη (τέμνουσες ροπές) των στύλων του πλαισίου () με τη γωνιακή παραμόρφωση (σχετική μετατόπιση δια του ύψους ορόφου) που αποτελεί δημοφιλή δείκτη βλάβης. Στο Παράδειγμα Ι του Κεφαλαίου 4 είχαν επιλεγεί ως βαθμοί ελευθερίας οι μετατοπίσεις u ως προς τη βάση του πλαισίου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. που ακολουθεί. Έστω d το διάνυσμα των σχετικών μετατοπίσεων των ορόφων, με στοιχεία d = u u d = u = u Οι δύο αρχικές εξισώσεις ισορροπίας μετασχηματίζονται ως εξής: m Ι u (t f (t) k m Ι u (t f (t) k Σχήμα 5. Διατμητικό πλαίσιο δύο βαθμών ελευθερίας με τους αρχικούς βαθμούς ελευθερίας. mu 3ku ku mu ku ku md kd kd md md kd (i) 3md md kd md md kd Η διατύπωση (i) προκύπτει απ ευθείας με αντικατάσταση των d d στις αρχικές εξισώσεις. Παρατηρούμε ότι τα προκύπτοντα μητρώα μάζας δυσκαμψίας είναι μη-συμμετρικά. Η διατύπωση (ii) προκύπτει την (i) αν η πρώτη εξίσωση αντικατασταθεί το άθροισμα των εξισώσεων της (i) αντιστοιχεί στην εξίσωση ισορροπίας των άνω μαζών. Η διατύπωση (ii) αντιστοιχεί σε συμμετρικά μητρώα μάζας δυσκαμψίας, τα οποία συμπίπτουν με αυτά που υπολογίζονται με την εφαρμογή της Εξίσωσης (5.9). Πράγματι, εδώ το διάνυσμα μετασχηματισμού e είναι: (ii) Οπότε έχουμε u = u (t) d (t) d (t) = d (t) d (t) e = u (t) = d (t) ˆm = ˆk = m m = m m m = 3m m m m 3k k k k = k k k = k k Αν παραμείνουμε με τη διατύπωση (i), τότε τα αντίστοιχα μητρώα μάζας δυσκαμψίας προκύπτουν ως εξής: ˆm = m m m, k k ˆk = k 3

Σύμφωνα με την Εξίσωση (4.7), οι ιδιοσυχνότητες υπολογίζονται ως ˆ k m ˆ = k m -k m k m = ω 4 m 5ω km + k = Παρατηρούμε ότι το πολυώνυμο που προέκυψε, ταυτίζεται με αυτό του Παραδείγματος Ι του Κεφαλαίου 4. φ = Οπότε οι ιδιοσυχνότητες παραμένουν ως ω = k / m, ω = k / m. Ακολούθως, οι ιδιομορφές φ = υπολογίζονται την Εξίσωση (4.8): k k ω = k/m k/ k/ = φ = φ k k ω = k/m k k = φ = -φ Ξανά παρατηρούμε ότι οι ιδιομορφές διαφέρουν αυτές του Παραδείγματος Ι του Κεφαλαίου 4. Θέτοντας φ = φ =, οι ιδιομορφές το ιδιομορφικό μητρώο είναι k k ω = k/m k/ k/ = φ = φ k k ω = k/m k k = φ = -φ Τώρα όμως, η ορθογωνικότητα ως προς το μητρώο μάζας δυσκαμψίας δεν ισχύει, καθώς: φ Τ ˆm φ = [, ] m.5 = m [3, ].5 φ Τ ˆk φ = [, ] k.5 = k [, ].5 Τ = -.5m, ομοίως φ ˆm φ Τ = -k, ομοίως φ ˆk φ Οπότε, η ιδιομορφική επαλληλία δεν οδηγεί σε αποσύζευξη των εξισώσεων ταλάντωσης. Αντιθέτως, η υιοθέτηση της διατύπωσης (ii) παρόλο που διατηρεί τις ιδιοσυχνότητες ιδιομορφές της διατύπωσης (i), την οποία προέρχεται, εν τούτοις διαθέτει την εξαιρετικά χρήσιμη ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών. Πράγματι, η οριζουσιακή εξίσωση παραμένει αμετάβλητη: ˆ k m ˆ = k 3 m - m m k m = ω 4 m 5ω km + k = ενώ οι ιδιομορφές προκύπτουν πάλι ως άρα ω = k/m ω = k/m k/ k/ k/ k/ = φ = φ 4k k k k = φ = -φ 4

φ =.., φ =.5 Ο έλεγχος της ορθογωνικότητας τώρα ικανοποιείται έχουμε φ Τ ˆm φ = [, ] m 3.5 = m [4, ].5 φ Τ ˆk φ = [, ] k.5 = k [, ].5 φ =.5 Τ =, ομοίως φ ˆm φ = Τ =, ομοίως φ ˆk φ = Σε περίπτωση σεισμικής διέγερσης με εδαφική επιτάχυνση a g (t), τα ισοδύναμα σεισμικά φορτία που αναπτύσσονται στις μάζες των ζυγωμάτων είναι την Εξίσωση (4.34) m f g(t) = -a g(t) m Δεδομένου ότι στην υπό εξέταση διατύπωση (ii), ο πρώτος όρος αναφέρεται στις σεισμικές δυνάμεις του αθροίσματος των μαζών, το διάνυσμα διέγερσης είναι: 3m f ˆ g (t) = -ag(t) m Το ανωτέρω διάνυσμα δεν μπορεί πλεον να εκφρασθεί με τον συμβατικό τρόπο (μοναδιαίο διάνυσμα επιρροής) f ˆ g (t) = - ˆm {}ag(t) συναρτήσει του τροποποιημένου μητρώου μάζας δ = (4.35) με διάνυσμα επιρροής το ˆm = 3m m m m. Εδώ, απαιτείται η εφαρμογή της Εξίσωσης f ˆ g (t) Το διάνυσμα γενικευμένου φορτίου είναι τώρα Παρατηρούμε ότι η εναλλακτική διατύπωση καταλήγει σε συντελεστές διέγερσης L = 4m L = -.5m. Τέλος, το γενικευμένο μητρώο μάζας προκύπτει ως Οπότε οι συντελεστές Γ Γ είναι οι εξής 3m = -ag(t) m = -ag(t) 3m m m m f ˆ * g (t) = φt ˆ 3m f g(t) = -a g(t).5 m = -ag(t) 4m.5m ˆm* = φ T ˆm φ = 3m.5 m m m.5 = 6m.75m L 4m L.5m Γ = Γ = ˆm* 6m 3 ˆm *.75m 3 5

Η παραπάνω εφαρμογή καταδεικνύει το γεγονώς πως η διατύπωση της δυναμικής ισορροπίας ενός φορέα εξαρτάται την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων. Η επίλυση φυσικά δίδει τα ίδια εντατικά κινηματικά μεγέθη για τον φορέα, ασχέτως της αρχικής επιλογής του συστήματος συντετεγμένων. 6