Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των τριψηφίων αριθμών που έχουν ένα τουλάχιστον ψηφίο περιττό αριθμό. Δ. των τριψηφίων αριθμών που έχουν το πολύ ένα ψηφίο άρτιο αριθμό. Ε. των τριψηφίων αριθμών με κανένα ψηφίο άρτιο αριθμό. Ζ. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Η. των μεγάλων τριψηφίων αριθμών. Α: Για να σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω τριψήφιο αριθμό, θα πρέπει το ο ψηφίο να μην είναι το 0. Άρα το ο ψηφίο θα είναι ή, ενώ το ο και ο ψηφίο μπορεί να είναι 0, ή. Οι τριψήφιοι αριθμοί που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω φαίνονται στο διπλανό δενδροδιάγραμμα: Επομένως το σύνολο των τριψήφιων αριθμών που μπορεί να σχηματίσουν τα στοιχεία του Ω είναι: 00,0,0,0,,,0,,, 00,0,0,0,,,0,,. Β: Το σύνολο των τριψήφιων με διαφορετικά στοιχεία που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : 0,0,0,0 Γ: Το σύνολο των τριψήφιων με ένα τουλάχιστον ψηφίο, περιττό αριθμό, που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : 00,0,0,0,,,0,,,0, 0,,, Δ: Το σύνολο των τριψήφιων που έχουν το πολύ ένα άρτιο ψηφίο, που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : 0,0,,,,. Ε: Το σύνολο των τριψήφιων με κανένα άρτιο ψηφίο, που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : Ζ: Το σύνολο των τριψήφιων με διαφορετικά ψηφία, που μπορούν να δημιουργηθούν από 0,0,0,0 τα στοιχεία του Ω, είναι : Η: Το σύνολο αυτό δεν είναι καλώς ορισμένο, αφού δεν υπάρχει κριτήριο για το τι σημαίνει «μεγάλος τριψήφιος» αριθμός.

.. Πράξεις μεταξύ των συνόλων. Όπως και με τους πραγματικούς αριθμούς, έτσι και με τα σύνολα μπορούμε να εκτελούμε μαθηματικές πράξεις. Οι πράξεις αυτές είναι: Ένωση Ενωση δύο υποσυνόλων Α,Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β. Συμβολίζεται με Δηλαδή x / x ή x. Δηλαδή: Ένα στοιχείο x ανήκει στην ένωση των συνόλων Α και Β αν και μόνο αν το x ανήκει ή Α ή Β ή και στα δύο.,, 4,5,, 4,5 Π.χ. Ιδιότητες της ένωσης Αυτοπαθής Αντιμεταθετική ( ) ( ) Προσεταιριστική Απορροφητικό στοιχείο της ένωσης είναι το Ω Ουδέτερο στοιχείο της ένωσης είναι το κενό Τομή Τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα νέο σύνολο, που αποτελείται από όλα τα στοιχεία τα οποία ανήκουν ταυτόχρονα στα σύνολα Α και Β. Συμβολίζεται με Δηλαδή x / x και x Ιδιότητες της τομής Αυτοπαθής Αντιμεταθετική Προσεταιριστική ( ) ( ) Απορροφητικό στοιχείο της τομής είναι το κενό. Ουδέτερο στοιχείο της τομής είναι το Ω..

4. Δίνονται τα σύνολα 0,,5 και 0,,,,5 με σύνολο αναφοράς το σύνολο των φυσικών αριθμών. Να βρείτε το σύνολο όταν α). β) α) Ισχύει. Άρα το σύνολο είναι υποσύνολο του συνόλου Β. Επειδή, το σύνολο περιέχει οπωσδήποτε τα στοιχεία, που ανήκουν στο Β αλλά δεν ανήκουν στο Α. Μπορεί όμως να περιέχει και κάποια από τα στοιχεία του συνόλου Α. Επομένως το σύνολο μπορεί να είναι κάποιο από τα παρακάτω υποσύνολα του Β. 0,,5,,.,, 0,,,,,, 5,,, 0,,,, 0,5,,,,5,,, β) Ισχύει. Αφού όμως, άρα θα είναι και. Άρα το σύνολο θα περιέχει οπωσδήποτε τα στοιχεία 0,,5 που ανήκουν στο σύνολο Α. Επίσης το δεν μπορεί να περιέχει κάποιο από τα στοιχεία του Β που δεν ανήκουν στο 0,,5,. Α, π.χ. το γιατί τότε θα ήταν Όμοια το δεν μπορεί να περιέχει το. Μπορεί όμως να περιέχει οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς, εκτός από τους αριθμούς και. Για παράδειγμα το θα μπορούσε να είναι κάποιο από τα σύνολα: 0,,5,4,6 κ.λ.π. 0,,5, 0,,5,4, Γενικά αν θεωρήσουμε το σύνολο, 0,,4,5,6,..., τότε αφού, θα είναι, όπου Δ είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του Γ. 5. Δίνονται τα σύνολα x / 0 x 0 και x πολλαπλάσιο του x / 4 x, Να βρείτε τα σύνολα,,,,,( ), ( ) ( ) 0,,4,6,8 4,5,6,7,8,9,0, 0,,4,5,6,7,8,9,0, 4,6,8, 0, 5,7,9,0, ( ) 0,,5,7,9,0, ( ) ( ) 0,,5,7,9,0,,

6. Επιλέγουμε τυχαία ένα φυσικό αριθμό. Να βρείτε: α) την πιθανότητα ο αριθμός αυτός να διαιρείται με το β) την πιθανότητα να διαιρείται με το 5 γ) την πιθανότητα να διαιρείται συγχρόνως με το και το 5. Λ ύ σ η α) Έστω Α το ενδεχόμενο: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το». Από την ευκλείδεια διαίρεση γνωρίζουμε ότι ένας φυσικός αριθμός ν διαιρούμενος με τον αριθμό δίνει υπόλοιπο ή 0 ή ή. Ένας φυσικός αριθμός διαιρείτε με τον αριθμό όταν το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού με το είναι 0. Οπότε ο δειγματικός χώρος είναι: 0,, και ( ) Α: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το» είναι 0, ( ) Η επιλογή γίνεται με τυχαίο τρόπο και λόγω της περιοδικότητας των φυσικών αριθμών ως προς τα υπόλοιπα της διαίρεσής τους με το, τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) β) ( ) Όμοια Β: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5» οπότε : ( ) ( ) 5 γ) Όμοια Γ: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το και το 5» Η πρόταση «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το και το 5» είναι ισοδύναμη με την πρόταση «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το.5=5» 0,,,...,4 και ( ) 5 0, ( ) Οπότε έχουμε : Οπότε : ( ) ( ) ( ) 5 0. Δίνεται η συνάρτηση f x. f x 8x 45x 6x α, όπου α πραγματικός αριθμός και x. Έστω επίσης, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν τα εξής: Η πιθανότητα είναι ίση με τη ρίζα x 0, της εξίσωσης 9x 6x 0, ενώ η πιθανότητα είναι ίση με την τιμή Α: Να βρείτε την πιθανότητα. Β: Να αποδείξετε ότι Γ: Αν και α 7, να αποδείξετε ότι. 0 9 α : Α: Η εξίσωση 9x 6x 0 έχει διακρίνουσα 0, επομένως έχει μία διπλή ρίζα x β 6 0 α 8 Άρα. Β: Από την υπόθεση έχουμε f x0 f 8 45 α 7 9.. 8 45 6 α

.. ΙΙ: Aξιοσημείωτες ταυτότητες Ταυτότητα είναι μία ισότητα που περιέχει μεταβλητές και η οποία επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών που περιέχει. Τετράγωνο αθροίσματος δύο αριθμών (α+β) Τετράγωνο διαφοράς δύο αριθμών (α-β) Κύβος αθροίσματος δύο αριθμών (α+β) Κύβος διαφοράς δύο αριθμών (α-β) Τετράγωνο αθροίσματος τριών αριθμών (α+β+γ) Διαφορά τετραγώνων α ( )( ) Διαφορά κύβων α ( )( Άθροισμα κύβων α ( )( Ταυτότητα του Euler α β γ αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα α β γ α β β γ γ α Ταυτότητα α Lagrange β x y αx βy αy βx

0. Αν x y z 0, να δείξετε ότι x y yz y z zx z x xy 0 x y y z z x. Αφού x y z 0, θα είναι x y z, y z x, z x y. Επομένως έχουμε: x y yz y z zx z x xy x y y z z x x yx y yz y z y z zx z xz x xy z x y x yz yz y zx zx z xy xy z x y z x y y z x y z z x y z x x y ( x y z) 0.. Αν α β γ, α β γ, παράστασης. Έχουμε α β γ αβ βγ γα α β γ, να υπολογίσετε την τιμή της α β γ α β γ αβ βγ γα αβ βγ γα αβ βγ γα. Παίρνουμε τώρα την ταυτότητα του Euler και έχουμε: α β γ αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα α β γ αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα αβγ αβγ 4.

4. Αν α+β γ 0, και αβγ 0, να αποδείξετε ότι 0 β γ α γ α β α β γ. Έχουμε α β γ 0 β γ α Όμοια έχουμε Έτσι έχουμε: β γ α γ α β γα και β βγ γ α β γ α βγ. α β γ αβ. β γ α γ α β α β γ α β γ 0 0. βγ γα αβ αβγ αβγ βγ γα αβ 7.. Για ποιες τιμές του ρητού αριθμού ο αριθμός είναι ρητός.. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι άρρητος.. Έχουμε: Αν 0 τότε 0 ρητός. Αν 0, τότε έχουμε επομένως αν ο αριθμός Α είναι ρητός τότε ο αριθμός θα ήταν ρητός ως πηλίκο ρητών αριθμών. Άτοπο γιατί που είναι άρρητος. Άρα ο αριθμός είναι ρητός όταν 0.. Έχουμε 4 4 Αν ο αριθμός είναι ρητός τότε ο αριθμός 4 είναι ρητός ως πηλίκο ρητών. Άτοπο γιατί ο 4 που είναι άρρητος. Άρα ο ( ) είναι άρρητος.

8. Αν για τους αριθμούς x, y, z ισχύει, xyz( x y z) 0 x y z x y z να αποδείξετε ότι: Α: Δύο τουλάχιστον από τους αριθμούς x, y, z είναι αντίθετοι. Β: Αν ν θετικός ακέραιος, ισχύει x y z x y z Α: Έχουμε: x y z x y z x xy z y ν ν ν ν x yz x y z xyzx y z x y z xyz x y z yz x y z xz x y z xy x y z xyz xyz y z yz x z xyz xz x y xy xyz xyz z x y z yz y z x z y xz y z xy y z 0 y z yz x xz xy 0 y zz y x xx y 0 y zx yz x 0 yz 0 ή x y 0 ή z x 0 y z ή x y ή zx. Άρα δύο τουλάχιστον από τους x, y, z είναι αντίθετοι.. Β: Έστω ότι ισχύει y z. Τότε το πρώτο μέλος της ζητούμενης ισότητας γράφεται: ν ν ν x y z x ν z ν z ν ν ν ν ν x z z x. Ο αριθμός ν z z. είναι περιττός, άρα ν ν Το δεύτερο μέλος της ζητούμενης ισότητας γράφεται: ν x y z ν x z z ν x.άρα ισχύει x ν y ν z ν x y z ν. Όμοια αποδεικνύεται η ισότητα και όταν ισχύει x y ή z x.

Ι Ι Ι : Π α ρ α γ ο ν το π ο ί η σ η Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης λέμε τη διαδικασία μετατροπής της παράστασης από άθροισμα σε γινόμενο. Η διαδικασία της παραγοντοποίησης είναι η αντίστροφη διαδικασία της ανάπτυξης. Η χρησιμότητα της παραγοντοποίησης είναι στην εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων, στην απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,στην πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων, στην επίλυση εξισώσεων δευτέρου και ανώτερου βαθμού, να δείξουμε ότι ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιος ενός αριθμού ή διαιρεί τον αριθμό. Μεθοδολογία Η διαδικασία μετατροπής μιας αλγεβρικής παράστασης από άθροισμα σε γινόμενο γίνετε με τους παρακάτω τρόπους: Κοινός παράγοντας. Ομαδοποίηση (Κοινός παράγοντας κατά ομάδες ) Διαφορά τετραγώνων. Διαφορά - Άθροισμα κύβων Γενικά: Διαφορά - Άθροισμα όρων της μορφής Άθροισμα κύβων τριών όρων (Euler) Ανάπτυγμα τετραγώνου ή κύβου Παραγοντοποίηση τριωνύμου. Σπάσιμο όρου της παράστασης σε δύο ή περισσότερους όρους Τέχνασμα προσθαφαίρεσης όρων Αντικατάσταση κοινών ομάδων γραμμάτων. Μέθοδος ρίζας της παράστασης. Συνδυασμός όλων των περιπτώσεων.

Μέθοδος ρίζας. Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα μιας αλγεβρικής παράστασης όταν η τιμή της παράστασης για την τιμή x = ρ είναι 0. Βρίσκουμε τη ρίζα ρ αλγεβρικής παράστασης ( συνήθως είναι διαιρέτης του σταθερού όρου της αλγεβρικής παράστασης) Πχ Αν το ρ είναι ρίζα του τριωνύμου x x, 0 τότε από τον ορισμό της ρίζας ισχύει: 0 () Από το τριώνυμο αφαιρώ το 0 το οποίο αντικαθιστώ με το ίσο του από τη σχέση (). Κάνω ομαδοποίηση. Ισχύουν x x x x (0) x x ( ) (x ) (x ) (x )(x ) (x ) (x )[ (x ) ]. Να γίνει παραγοντοποίηση της παράστασης αν γνωρίζουμε ότι το ρ είναι ρίζα του Β. x x x Το ρ είναι ρίζα της παράστασης Β. Οπότε ισχύει 0 () x x x.. x x x () x x x (0) ( ) (x ) (x ) (x ) (x )(x x ) (x )(x ) (x ) (x )[ (x x ) (x ) ]

.. Σπάσιμο όρου ή προσθαφαίρεση όρων Μεθοδολογία Συνήθως με προσθαφαίρεση του ίδιου όρου ή με σπάσιμο κάποιου όρου ή με τις ταυτότητες xy, x y (x y) xy(x y), x x (x ) ( ) σχηματίζουμε ανάπτυγμα τετραγώνου (x y) ή κύβου, (x y) και με τους υπόλοιπους όρους x y (x y) της παράστασης εφαρμόζω διαφορά τετραγώνων ή κύβων ή βγάζω κοινό παράγοντα 9 x yx xy y Να απλοποιηθεί η παράσταση x yx y x 4 y 4. 9 x yx xy y 9 x 6 yx yx xy y x y x yx y x 4 y x yx xy yx 4 y x 4 y (9 x 6 yx ) ( yx y x) (xy y ) x (x y) xy(x y) y (x y) (x yx ) ( yx 4 y x) ( xy 4 y ) x ( x 4 y) xy( x 4 y) y ( x 4 y ) x y (x y )(x yx y ) x 4y ( x 4 y )(x yx y ) 5. (x x x ) x B 4 4 4 Να γίνει παραγοντοποίηση των παραστάσεων (x x x ) x (x x x ) x [(x x x ) ] (x ) [(x x x ) ]. [(x x x ) ] (x )(x x ) (x x x) (x x x ) (x )(x x ) x(x x ) (x x x ) (x )(x x ) (x x ) [x(x x x ) (x )] (x x ) (x 4 x x x ).

..

Bασικές ανισοταυτότητες Ισχύουν: x 0, x x x x 0 0 0 x y xy x y x y x xy y xy ( ) 0 0 x xy y xy x y xy x y ( x y) 4 xy x 0, y 0,( x y) 0 x xy y 0 xy x y 4 4 xy0 x y x y xy xy x y x y x y ( ) 0 ( ) 4 y y y x xy y 0 ( x ) ( ) y 0 ( x ) y 0 4 y y y x xy y 0 ( x ) ( ) y 0 ( x ) y 0 4 Το άθροισμα θετικών αντιστρόφων αριθμών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του Αν : x x 0,( x ) 0 x x 0 x x x x Το άθροισμα αρνητικών αντιστρόφων αριθμών είναι μικρότερο ή ίσο του - Αν : x0 x 0,( x ) 0 x x 0 x x x x Oι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.

Ανισότητα του Schwars. (x x... x ) (y y... y ) (xy xy... xy ) Ανισότητα του Weirstrass Για τους θετικούς αριθμούς,,..., με ν > φυσικό αριθμό ισχύει: ( )( )...( ) (... ) Ανισότητα του Cauchy Για τους θετικούς αριθμούς x, x,..., x,, ισχύει:... x x x x x... x y z 0 x y z xyz x x x... x Ανισότητα του Εullet x y z 0 x y z xyz Ανισότητα του Bernolli.. Για κάθε αριθμό και * ισχύει: ( ). Για κάθε αριθμό και * * ισχύει: ( ) Για τους θετικούς αριθμούς,,..., με... και φυσικό αριθμό ισχύει:...

6. Αν 0x να διατάξετε τους αριθμούς: 0, xx,,,. x Αφού 0x θα έχουμε 0 x x x x 0 x x. Επίσης αφού 0 x x x. Άρα τελικά έχουμε: 0 x x. x 7. Να βρείτε τους x και y σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Aν (x ) (y ) 0 ii) Αν x y x 4y 5 0 i) Ισχύει (x ) 0 x 0 x (x ) (y ) 0 (x ) (y ) 0 (y ) 0 y 0 y ii) Ισχύει x y x 4y 5 0 (x x ) (y 4y 4) 0 (x ) (y ) 0 (x ) 0 x 0 x (y ) 0 y 0 y 8. Για κάθε x, y, z, να δείξετε ότι i) ii) Αν επιπλέον ισχύει xyz τότε x y xy 4 4 4 x y z x y z x y i) Ισχύουν: (x y) 0 x y xy 0 x y xy xy () x y ii) Ισχύουν xyz, xy. Θέτοντας όπου x το x και όπου y το y στη σχέση () έ- 4 4 x y χουμε x y () x y z (x y z) xyz(x y z) x (yz) y (xz) z (xy) z y x z y x x ( ) y ( ) z ( ) x y y z z x 4 4 4 4 4 4 x y y z z x 4 4 4 x y z

Μέθοδος της διαφοράς Βρίσκουμε το πρόσημο της διαφορά α-β χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που μας δίνει η άσκηση. Συνήθως πρόσημο της διαφορά το βρίσκουμε κάνοντας τα παρακάτω. Στη διαφορά α-β κάνω ομώνυμα πράξεις.. Κάνοντας παραγοντοποίηση των όρων ή γράφοντας τους όρους σε άθροισμα μη αρνητικών όρων βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς. Σχόλια Προσπαθώ στη διαφορά α-β, κάνοντας της κατάλληλες πράξεις να σχηματίσω όρους με σταθερό πρόσημο. Συνήθως σχηματίζω την ταυτότητα ( ) 0 Ισχύουν 0 0 (Άθροισμα μη αρνητικών όρων). x x x (Συμπλήρωμα τριωνύμου ) x x x (Σπάσιμο όρου ) Αν στους όρους της διαφοράς υπάρχει όρος της μορφής α. β τότε πολλαπλασιάζω και διαιρώ τους όρους της διαφοράς με το ώστε να σχηματίσω την ταυτότητα ( ) Αν έχω άθροισμα ή διαφορά κύβων τότε όρος που προκύπτει από την ταυτότητα ( )( ) είναι μη αρνητικός γιατί: ( ) ( ) ( ) 0 4 Στα μαθηματικά λέμε: Ότι δεν πάει με τη διαφορά πάει με πηλίκο. 0, 0

9. Για τους πραγματικούς αριθμούς,,..., να δείξετε ότι: (... )... Το πρόσημο της διαφοράς των (... ), (... ) είναι: (... ) (... ) ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) 0 Άρα (... ) (... ) 0 (... ) (... ) 0. Αν x, y,z R να δείξετε ότι x y z xyz Το πρόσημο της διαφοράς των αριθμών (x y z ),(xyz) είναι: Από τη ταυτότητα του Euler έχουμε: x y z xyz (x y z)[(x y) (y z) (z x) ] 0 x y z xyz 0 x y z xyz 8. Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με υποτείνουσα α, να δείξετε ότι: Από το πυθαγόρειο έχουμε: 0 () 0 Θα δείξουμε ( ) 0 ( ) ( ) 0 που ισχύει 9. i) Να δείξετε ότι αν x 0 τότε x x ii) Για τους θετικούς x, x,..x να δείξετε ότι.. ( x )( x )...( x ) x x...x

. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι, i) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου. ii) Με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας να αποδείξετε ότι i) Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0 έχουμε: ( ) ( ). ii) Γνωρίζουμε ότι σε κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου Οπότε ισχύει στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

Μετατροπή διπλού ριζικού x y σε απλό Μεθοδολογία Πρέπει να φέρω το υπόριζο στη μορφή ώστε να έχω. Εμφανίζω το μπροστά από το μέσα ριζικό ώστε να έχω τη μορφή x y x. Βρίσκω δύο θετικούς αριθμούς, με γινόμενο. Έτσι έχουμε: x z z z και άθροισμα x. Πχ 9 80 9 4.0 9 0 5 4 5 4 ( 5 4) 5 4. Αν α, β, γ είναι ρητοί αριθμοί και 5 να δείξετε ότι α =β =γ =0 5 ( 5 ) ( ) 5 0 0 5 (). Αν 0 τότε από () έχουμε 0 0 ή 0. Αν 5 0 Άτοπο ( ρητός= άρρητος) () 0, 0. Άτοπο ( ρητός= άρρητος) Άρα β=0 Άρα. Για 0 από τη σχέση 5 () έχουμε 0 Όμοια αν. 6. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ρίζα της παράστασης x x 4 Η αριθμητική τιμή της παράστασης x x 4, για x είναι ( ) ( ) 4. 4. 4 0 Άρα ο αριθμός είναι ρίζα της παράστασης

. Να δείξετε ότι ο αριθμός 5 είναι ρητός. Έχουμε: 8 64. 6. 8. 4( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) Q ( ). Να δείξετε ότι ο αριθμός 5 είναι ρητός. Έχουμε: 8 64. 6. 8. 4( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) Q ( )

5. Για τους μη αρνητικούς αριθμούς x, y, z, u, να δείξετε ότι: x y x y z u x y z i) xy ii) 4 xyzu. iii) xyz. 4 i) Θα δείξουμε ότι: x y xy x y xy ( x y) ( xy) x xy y 4xy x xy y 0 ( x y) 0 που ισχύει. x y xy x y xy Όμοια z u zu ii) Από i) ισχύουν Οπότε λόγου της () έχουμε: ( x y) ( z u) ( x y)( z u) ( xy)( zu) ( x y) ( z y) 4 xyzu ) x y z u 4 ( x y) ( z y) 4 xyzu xyzu. iii) Από ii) i) ισχύουν 6. Να υπολογιστεί η τιμή του 4 ( ) αν Θέτω x, y Οπότε έχουμε x y Απο την ταυτότητα ( x y) x x y xy y x y xy( x y) έχουμε: ( x y) ( x y) [ x y xy( x y)] ( x y) ( ) ( ) ( ).( ). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα η τιμή της παράστασης Α είναι

7. Αν 0 y x, x y 5 το x x y x x y Θέτοντας στη παράσταση Α όπου έχουμε: x y x y x y () x x y Άρα έχουμε: ( x x x y x ) () x x x x x x x 4 x y 5 5 8. Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό * ισχύει () ( ) ( ) () ( ) () Θα δείξουμε ότι (),() ( ) ( ) ( ) που ισχύει.

9. Α: Να λύσετε ανίσωση την λ x λ για τις διάφορες τιμές του λ. Β: Αν η ανίσωση λ x λ αληθεύει μόνο για τους αριθμούς που ανήκουν στο διάστημα 4,4, να βρείτε το λ. Α: Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: λ 0. Τότε έχουμε ισοδύναμα: λ x λ λ x λ λ λ x λ λ λ λ x. λ λ λ 0. Επειδή x 0 θα είναι λ x 0. Επίσης για κάθε λ ισχύει Άρα η ανίσωση λ x λ αληθεύει για κάθε λ. λ 0. λ 0. Τότε η ανίσωση γίνεται 0 x η οποία αληθεύει για κάθε λ. Β: Αφού η ανίσωση λ x λ αληθεύει μόνο για τους αριθμούς που ανήκουν στο διάστημα 4,4, θα είναι λ 0 και επομένως η ανίσωση αληθεύει στο διάστημα λ λ λ,. Άρα θα είναι 4 λ 4λ λ 4λ 0. Η εξίσωση λ λ λ λ 4λ 0 έχει διακρίνουσα 4, άρα λ ή λ. 0. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση x x 4 4 x. Επειδή x 0 και x 4 0, για να αληθεύει η ανίσωση θα πρέπει να είναι 4 x 0 x 4. Τότε θα είναι x 40, άρα x 4 x 4. Έτσι η ανίσωση γίνεται: x 4 x 4 x x 0. Επειδή x 0, συμπεραίνουμε ότι η ανίσωση αυτή αληθεύει μόνο ως ισότητα, για x 0 x...

. Δίνεται η ανίσωση α 4... x x x Α: Να αποδείξετε ότι για να έχει η εξίσωση λύσεις θα πρέπει να ισχύει α. Β: Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της επαληθεύουν και μία από τις ανισοτικές σχέσεις: x ή x. 4 α 4 α Γ: Αν ο α είναι θετικός ακέραιος, να λύσετε την ανίσωση. Α: Έχουμε α 4 α 4 x x x. x x x Γνωρίζουμε ότι ισχύει x x x x 0. Άρα θα πρέπει να ισχύει και x α 4 x. x, θα είναι και α 4 0 Αν α 4 0, επειδή 0 α 4 x είναι αδύνατη. Επομένως θα πρέπει να ισχύει α 4 0 α 4 x 0, άρα η ανίσωση α 4 α α. Β: Έστω ότι η ανίσωση έχει λύσεις. Τότε όπως είπαμε στο προηγούμενο ερώτημα θα ισχύει α και θα ισχύει Από την ανίσωση αυτή επειδή α 4 α 4 x α 4 α 4 x. α 4 0, έχουμε ισοδύναμα: x 4 α. x α 4 Η ανίσωση αυτή έχει λύσεις: x x ή 4 α 4 α 4 α Γ: Όπως είδαμε στο ερώτημα Α, αν α 4 0 x. 4 α α 4 x x x είναι αδύνατη. Έστω τώρα ότι x, η ανίσωση α 4 0, δηλαδή α α. Επειδή όμως ο α είναι θετικός ακέραιος, η μόνη τιμή που μπορεί να πάρει ο α είναι α. Για α γίνεται:. Έχουμε x 0 x. η x x x Ο πίνακας με το πρόσημο των παραστάσεων x και x είναι ο παρακάτω: x 0 x x Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

x 0. Τότε x x και γίνεται: x x x x 9 x x x x x 9 x 7. x x. Άρα η ανίσωση Οι ανισώσεις x 0 και x 7 συναληθεύουν για x 0. 0x. Τότε x x και x x. Άρα η ανίσωση γίνεται: 7 x x x x 9 x x x x x 9 x 7 x. 7 7 Οι ανισώσεις 0x και x συναληθεύουν για 0 x. x. Τότε x x και x x. Άρα η ανίσωση γίνεται: x x x x 9 x x x x x 9 x x x. Οι ανισώσεις συναληθεύουν για x. Άρα τελικά η ανίσωση x x x αληθεύει για x 0, για 7 0 x και για x. Άρα για κάθε x 7,,..

. Μια ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει: *, Απόδειξη i) Αν ακολουθία (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος τότε υπάρχει * R τέτοιο * * ώστε,, () Θέτοντας στην () όπου ν το ν+ έχουμε : () ) Από τις ισότητες (),() προκύπτει *, ii) Η ακολουθία (α ν ) έχει την ιδιότητα Από την () προκύπτει... Άρα ισχύει. Άρα η ακολουθία είναι αριθ. Πρόοδος. * 5. Θεωρούμε την ακολουθία (αν) τέτοια ώστε, i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος. ii) Να βρεθεί ο νιοστός όρος της αριθμητικής προόδου όταν ο πρώτος όρος είναι το α. i) Η ακολουθία (α ν ) έχει την ιδιότητα () Ισχύει: Θέτω στη σχέση () όπου ν το ν+ έχουμε ( ) () ( ) Προσθέτοντας τις ισότητες κατά μέλη έχουμε 4 ( ) Άρα η ακολουθία (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος. ii) Για ν= από τη σχέση () έχουμε () Οπότε ο νιοστός όρος της αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το α και διαφορά ω = α είναι: * ( ) ( ) ( ),

. Αν αν, ακ, αλ είναι διαφορετικοί όροι Α.Π να δείξετε ότι αριθμός είναι ρητός Oι αριθμοί α ν, α κ, α λ είναι διαφορετικοί όροι Α.Π. οπότε οι αριθμοί ν, κ, λ είναι φυσικοί διαφορετικοί μεταξύ τους. Έχουμε: [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Άρα ο αριθμός είναι ρητός. Σε μια αριθμητική πρόοδο δίνονται οι όροι πρώτος όρος και η διαφορά ω της προόδου. ( ) ( ) και Να βρεθούν ο Έχουμε αριθμητική πρόοδο με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Σε μια αριθμ. πρόοδο ισχύουν: S, S, Να δείξετε ότι S Ισχύουν: ( ) S S ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ] [ ( ) ]

.. 7. * Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με 0, ισχύει S, Να δείξετε S ότι: Έχουμε S S ( ) ( ) S S Ασκήσεις Αριθμητικής Προόδου που λύνονται με Άτοπο Για δείξουμε ότι ένας όρος δεν είναι όρος Α.Π υποθέτω ότι είναι όρος Α.Π και καταλήγω σε μία σχέση η οποία δεν ισχύει από τα δεδομένα της άσκησης. Συνήθως δείχνω ότι ο δείκτης του όρου δεν είναι φυσικός αριθμός.. : Λυμένες Ασκήσεις 0. Να δείξετε ότι οι αριθμοί,, 7 δεν μπορεί να είναι όροι Α.Π Έστω οι αριθμοί,, 7 είναι όροι μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά. Άρα υπάρχουν όροι,, αυτής με έτσι ώστε να ισχύουν:, και 7 7. Η ισότητα γράφεται ισοδύναμα 4. Αντικαθιστώντας την σχέση (4) στις () και () έχουμε διαδοχικά: 7 7

4. Να βρείτε το άθροισμα : A 00 98 96... ) (99 97 95... ).B..4.5.. ( )( ),. (00 99 ) (98 97 ) (96 95 )... ( ) (00 99)(00 99) (98 97)(98 97)... ( )( ) ()(99) ()(95) ()(9)... 99 95 9.. Οι όροι του αθροίσματος 99 95 9.. είναι όροι αριθμ. προόδου με 99 4 99 4( ) 99 4 ( ) 99 4 50 Άρα το πλήθος των όρων του αθροίσματος 99 95 9.. είναι 50. Οπότε έχουμε ( 50 )50 S50 (99 ).50 0.50 5050. Παρατηρώ ότι οι όροι του αθροίσματος μπορούν να γραφούν στη μορφή ( ), Οπότε έχουμε...4..5.4... ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις ισότητες έχουμε (.... ) (... ) ( )( ) ( ) 6 ( )( ) ( ) 6 ( )( )( 9) 6

5. Να δείξετε ότι: + +.. + = Από την ταυτότητα έχουμε: ( ) ( ) Άρα + + = +.. + = +.. + = = = 7. Να βρείτε την γωνία των ευθειών : y x : y x = = είναι παράλληλη της ευθείας : y x γιατί Η ευθεία Η ευθεία : y x είναι παράλληλη της ευθείας : y x : y x Έχουμε: 0 45 γιατί Έχουμε: 60 H γωνία θ των, H γωνία 0 είναι ίση με γωνία των,. 60 45 5 0 0 0

: y 0,, : x 0 5 : y 00x 6 Να τις γράψετε σε αύξουσα σειρά τις γωνίες των 8. Δίνονται οι ευθείες: : y 5x 4, : y x, : x y, 4 παραπάνω ευθειών που σχηματίζει η κάθε μια με τον άξονα x x. Γνωρίζουμε ότι: Αν, [0. ) :, (, ) : 5,,, 4 0, 6 00, ο 5 Εχουμε: 5 0 00 Αρα: 4 δεν ορίζεται άρα ω =90 0 6 5 9. Να βρείτε το είδος της γωνίας ω για τις διάφορες τιμές του που σχηματίζει με τον άξονα x x οι ευθείες: i) ( ) : y ( )x 4 ii) ( ) : y ( )x Γνωρίζουμε ότι το είδος της γωνίας ω που σχηματίζει μια ευθεία με τον άξονα με x x εξαρτάται από το πρόσημο του συντελεστή διεύθυνσης λ ε τη ευθείας: i) ( ) ( ) Άρα η γωνία είναι οξεία. ( ) 0,. ii) Η γωνία είναι οξεία όταν 0 0 ή..η γωνία είναι αμβλεία όταν 0 0. Η γωνία είναι 0 0 όταν 0 0 ή. 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (μ,0) και Β (0, κ) x y είναι η,, 0 τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (μ, 0) και Β (0, κ) Έστω : y x η εξίσωση της ευθείας.ισχύουν: (,0) (0, ) 0 : y x y x 0 Άρα y x x y y x.

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 5,), Β (,) και η εξίσωση της διχοτόμου ΒΔ της γωνίας Β είναι ε:y = x. Nα βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ. Η εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας Β είναι ε: y = x η οποία είναι η εξίσωση της διχοτόμου της ης γωνίας. Επομένως το συμμετρικό του σημείου Α( 5,) ως την διχοτόμο της ης γωνίας είναι το σημείο Δ(,5) το οποίο είναι και σημείο της ΒΓ..Οπότε ισχύουν: Έστω : y x η εξίσωση της ευθείας. Ισχύουν: (,) (,5) 5 5 5 8 Άρα : y x 8 η εξίσωση της ευθείας. 9.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (, ).. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (, ). i.έστω Μ(x,y) ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (, ) που θέλω με x x x y y x y x x y Άρα τα σημεία (, ) είναι σημεία της ευθείας (ε): y x = - ii.έστω Μ(x,y) ο γεωμετρικός τόπος των σημείων A(, ) που θέλω με x y 0 x y x 0

Να γραφούν τα σημεία μιας γραμμής f(x,y) = 0 ως σημεία δύο ή περισσοτέρων ευθειών. Μεθοδολογία. Κάνω πράξεις στην ισότητα που μου δίνουν,φέρνω τους όρους αυτής στο πρώτο μέλος.. Γράφω το πρώτο μέλος σε μορφή γινομένου πρωτοβαθμίων όρων.. Κάθε όρος του γινομένου = 0 είναι ο τύπος των ευθειών που θέλω. Ισχύουν Αν ρ, ρ είναι ρίζες του τριωνύμου τότε ισχύουν: x x (x )(x ) Αν η ισότητα f(x,y)=0 είναι τριώνυμο ως προς τη μεταβλητή x τότε οι εξισώσεις των ευθειών είναι ε : x = ρ, ε : x = ρ γιατί κάνοντας το τριώνυμο γινόμενο έχουμε: x x x 0 (x )(x ) 0 ή x Συμπλήρωμα τριωνύμου: x x (x ) ( ) 5. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ(y) της x 4xy 4y 4 0 είναι σημεία δύο ευθειών (ε),(ε). Ισχύει x 4xy 4y 4 0 x y 0 ή x y 0 Άρα τα σημεία Μ(x,y) της εξίσωσης (x y) 0 (x y ) (x y ) 0 ( ) : x y 0 ( ) x y 0 x 4xy 4y 4 0 είναι σημεία των ευθειών Οι συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου Α σε μια ευθεία ε. Μεθοδολογία. Βρίσκω την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στη ευθεία ε..οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α στην ευθεία ε είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων των ε, ε. * Το σημείου Κ της ευθείας ε το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α εκτός ευθείας είναι η προβολή του Α στην ευθεία ε.

Οι συντεταγμένες του συμμετρικού ενός σημείου Α σε μια ευθεία ε Μεθοδολογία. Βρίσκω τις συντεταγμένες της προβολής Δ του σημείου Α στην ευθεία ε.. Αν το σημείο Κ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε,τότε το Δ είναι μέσο του x x y y ΑΚ. Οπότε ισχύουν: x, y Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών ε,ε Μεθοδολογία. Βρίσκω τις συντεταγμένες ενός σημείου Α στην ευθεία ε..βρίσκω τις συντεταγμένες της προβολής Δ του σημείου Α στην ευθεία ε.. Ισχύει Η Απόσταση παραλλήλων ευθειών ε,ε είναι ίση με την ΑΔ. d(, ) d(, ) 7. Δίνεται σημείο Α( -,) και η ευθεία : y x i) Να βρείτε την προβολή Δ του σημείου Α στην ευθεία ε. i) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ευθεία ε. Το σημείο Α( -,) δεν είναι σημείο της ευθείας : y x γιατί οι συντεταγμένες του σημείου Α δεν επαληθεύουν την εξίσωση της ε. Ισχύει: ( ) Oι συντεταγμένες της προβολής Δ του σημείου Α στην ευθεία ε είναι η λύση του συστήματος με ε- ξισώσεις τις εξισώσεις των ευθειών της ευθείας ε και της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε. Έστω : y x η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε (,).. 0 y x Άρα : Oι συντεταγμένες της προβολής Δ είναι η λύση του συστήματος με εξισώσεις y x y x y 4y y 5 Αν y x x y x y 6 x 5 το σημείο (x, y ) είναι συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ευθεία ε τότε το σημείο 6 (, ) είναι μέσο του τμήματος ΑΚ..Οπότε 5 5 x x x 6 x 5.