Μαθηματικά Β Γυμνασίου

ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης

Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθε σίας (Ν. /99 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου». Εκδόσεις Πατάκη Βιβλία για την εκπαίδευση Φώτης Κουνάδης, Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης Υπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος ιορθώσεις: Κώστας Σίμος Σελιδοποίηση: Αλέξιος Μάστορης Φιλμ-Μοντάζ: Μαρία Ποινιού-Ρένεση Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕ Ε (Εκδόσεις Πατάκη) και Φώτης Κουνάδης, Αθήνα, 08 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Μάιος 08 ΚΕΤ Β67 ΚΕΠ 8/8 ISBN 978-960-6-775-4 ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛ ΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 8, 04 7 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 0.6.50.000, 0.5.05.600, 80.00.665, ΦΑΞ: 0.6.50.069 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 6, 06 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 0.8..078 ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΗΜΑ: ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ - ΠΕΡΙΟΧΗ Β ΚΤΕΟ), 570 09 ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, ΤΗΛ.: 0.70.6.54, 0.70.67.5, ΦΑΞ: 0.70.6.55 Web site: http://www.patakis.gr e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

Περιεχόμενα Γράμμα προς τους μαθητές και τις μαθήτριες....................................5 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΕΣΤ Διαγνωστική αξιολόγηση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου......................9 Κριτήριο ο: Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό.............................. Κριτήριο ο: Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο.............................. Κριτήριο ο: Η έννοια της μεταβλητής..................................... Κριτήριο 4ο: Εξισώσεις α βαθμού.........................................4 Κριτήριο 5ο: Εξισώσεις α βαθμού.........................................5 Κριτήριο 6ο: Προβλήματα γεωμετρίας με εξισώσεις....................... 6 Κριτήριο 7ο: Προβλήματα με εξισώσεις.....................................7 Κριτήριο 8ο: Τετραγωνικές ρίζες...........................................8 Κριτήριο 9ο: Τετραγωνικές ρίζες...........................................9 Κριτήριο 0ο: Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί..........................0 Κριτήριο ο: Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί.......................... Κριτήριο ο: Η έννοια της συνάρτησης...................................... Κριτήριο ο: Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης....... Κριτήριο 4ο: Η συνάρτηση y= α x.........................................4 Κριτήριο 5ο: Η συνάρτηση y= α x.........................................6 Κριτήριο 6ο: Η συνάρτηση y= α x+ β......................................8 Κριτήριο 7ο: Η συνάρτηση y= α x+ β......................................9 α Κριτήριο 8ο: Η συνάρτηση y = Υπερβολή.............................. x Κριτήριο 9ο: Γραφικές παραστάσεις Μέση τιμή Διάμεσος.................... Κριτήριο 0ο: Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Μονάδες μέτρησης επιφανειών.......5 Κριτήριο ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων....................................6 Κριτήριο ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων...................................7 Κριτήριο ο: Πυθαγόρειο θεώρημα.........................................8 Κριτήριο 4ο: Πυθαγόρειο θεώρημα.........................................9 Κριτήριο 5ο: Εφαπτομένη οξείας γωνίας.....................................40 Κριτήριο 6ο: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας...........................4 Κριτήριο 7ο: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας...........................4 Κριτήριο 8ο: Εγγεγραμμένες γωνίες........................................44 Κριτήριο 9ο: Κανονικά πολύγωνα..........................................45 Κριτήριο 0ο: Μήκος κύκλου..............................................47 Κριτήριο ο: Εμβαδόν κυκλικού δίσκου.....................................48 Κριτήριο ο: Εμβαδόν όγκος πρίσματος και κυλίνδρου........................49

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΩΡΙΑΙΑ ΔΙΑΓ ΩΝΙΣΜΑΤΑ Διαγώνισμα ο: Εξισώσεις................................................5 Διαγώνισμα ο: Εξισώσεις................................................55 Διαγώνισμα ο: Πραγματικοί αριθμοί Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα....................................................57 Διαγώνισμα 4ο: Πραγματικοί αριθμοί Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα....................................................59 Διαγώνισμα 5ο: Πραγματικοί αριθμοί Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα....................................................60 Διαγώνισμα 6ο: Συναρτήσεις..............................................6 Διαγώνισμα 7ο: Συναρτήσεις..............................................64 Διαγώνισμα 8ο: Τριγωνομετρία............................................66 Διαγώνισμα 9ο: Τριγωνομετρία............................................68 Διαγώνισμα 0ο: Μέτρηση κύκλου..........................................70 Διαγώνισμα ο: Μέτρηση κύκλου..........................................7 Διαγώνισμα ο: Μέτρηση κύκλου..........................................74 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Διαγώνισμα ο...........................................................79 Διαγώνισμα ο..........................................................8 Διαγώνισμα ο..........................................................8 Διαγώνισμα 4ο..........................................................85 Διαγώνισμα 5ο..........................................................88 Διαγώνισμα 6ο..........................................................9 Διαγώνισμα 7ο..........................................................94 Διαγώνισμα 8ο..........................................................97 Διαγώνισμα 9ο.........................................................00 Διαγώνισμα 0ο.........................................................0 Διαγώνισμα ο.........................................................04 Διαγώνισμα ο.........................................................06 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ............................................................ 4

Γράμμα προς τους μαθητές και τις μαθήτριες Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε εσάς τους μαθητές και τις μαθήτριες της Β Γυμνασίου και έχει προσαρμοστεί στις τελευταίες οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Πιστεύω ότι με την ποικιλία των θεμάτων που παρατίθενται, θα μπορέσετε να αντιμετωπίσετε οποιασδήποτε μορφής εξετάσεις και συγχρόνως θα αποκομίσετε σημαντικό όφελος για μια καλύτερη κατανόηση των Μαθηματικών. Στο βιβλίο περιέχονται: Ένα κριτήριο διαγνωστικής αξιολόγησης στην ύλη της Α Γυμνασίου. κριτήρια αξιολόγησης (τεστ) για κάθε παράγραφο. ωριαία διαγωνίσματα για κάθε κεφάλαιο ή ενότητα. διαγωνίσματα προσομοίωσης για τις προαγωγικές εξετάσεις του Ιουνίου. Αναλυτικές απαντήσεις όλων των παραπάνω. Φώτης Κουνάδης Μαθηματικός Υ.Γ. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον γιο μου Ανδρέα για τις χρήσιμες παρατηρήσεις του, καθώς και όλους τους συνεργάτες των εκδόσεων Πατάκη για την πολύτιμη βοήθειά τους. 5

o Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ o Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: α)... = β) ( ) 4 0 =... γ) 9 0 =... δ) 0 =... ε) ( ) =... μονάδες 5 ΘΕΜΑ o Α. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λάθος: 5 α) + = β) ( ) 8 8 4 4 7 7 = γ) = 4 4 = 4 δ) ( ) 6 9 Β. Να γράψετε με τη μορφή δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις: β) ( ) ( ) ( ) α) 4 4 4 4 5 5 5 γ) 0, 0 δ) ( α α 8 ):( α ) 4 μονάδες 8 ΘΕΜΑ o Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 08 Α = ( ) + + ( ) 8 μονάδες 7

ΘΕΜΑ ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) 0 ισούται με: Α. 0 Β. 0 Γ. 0,0 Δ. 0 β) ( ) 0 ισούται με: Α. Β. Γ. 0 Δ. γ) o Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο 0 ισούται με: Α. Β. Γ. 0 Δ. δ) 5 ισούται με: Α. 6 5 Β. 6 5 Γ. 5 6 Δ. 5 4 Διάρκεια 0 μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή δύναμης. α) 4 9 4 5 6 4 β) ( ) ( ) 8 9 7 7 7 δ) 6 6 6 : γ) 4 ε) ( ) ( ) 4 4 μονάδες 0 ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την τιμή της παράστασης x+ 4 x+ Α = x + x, όταν x =. μονάδες 6

o Κριτήριο αξιολόγησης Η έννοια της μεταβλητής Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε με μαθηματικά σύμβολα τις παρακάτω εκφράσεις: α) Η περίμετρος ενός τετραγώνου πλευράς α. β) Το εμβαδόν τριγώνου με βάση 0 cm. γ) Το κόστος x κιλών πορτοκαλιών, όταν το ένα κιλό κοστίζει 0,60. δ) Το διπλάσιο ενός αριθμού μειωμένο κατά 0. ε) Τον αριθμό των αγοριών μιας τάξης με 4 μαθητές, αν x είναι ο αριθμός των κοριτσιών της τάξης. μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε πιο απλά την παράσταση Α =( α β+) ( γ + β α), και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της, όταν α =, β = και γ =. μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Στο σχήμα δίνονται οι διαστάσεις ενός οικοπέδου σε μέτρα. α) Να βρείτε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει την περίμετρο του οικοπέδου και να τη γράψετε στην απλούστερη μορφή της. β) Αν x + y = 00, να υπολογίσετε την περίμετρο του οικοπέδου. 4 Δ x+ Γ y+ Α (x ) Β μονάδες 7

4o Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ ο Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α α. Εξίσωση x = 9. Είναι αδύνατη ΣΤΗΛΗ Β β. Εξίσωση 5x = 0. Είναι ταυτότητα γ. Eξίσωση 0x =. Έχει λύση τον αριθμό 0 δ. Eξίσωση 0x = 0 4. Έχει λύση τον αριθμό Α α β γ δ Β μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις παραστάσεις: α) 5α + α β) 4 ω 9ω+ ω γ) x ( 4x 5 ) ( ) + μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο Nα λύσετε την εξίσωση: x x = + 5x 6 μονάδες 8 4

5o Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ ο Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: α) Η εξίσωση x 5= 5 έχει μία λύση.... β) Η εξίσωση x ( + ) = x ( + ) είναι ταυτότητα.... γ) Η εξίσωση 0x = έχει λύση το 0.... δ) Η εξίσωση x+ = x δεν έχει λύση.... ε) Η εξίσωση x+ = x+ έχει λύσεις όλους τους αριθμούς.... ΘΕΜΑ ο Δίνεται η εξίσωση ( λ 0 ) x = ( μ + ). α) Να βρείτε τη λύση της όταν λ = 5 και μ = 4. β) Η εξίσωση έχει λύση όταν λ = 0 και μ = 4; γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ και του μ η εξίσωση είναι ταυτότητα. μονάδες 5 μονάδες 9 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι παραστάσεις Α =0( x ) ( x+) ( x 5) και Β = 5 ( x 7). α) Να γράψετε τις παραστάσεις A και B πιο απλά. Α Β β) Να βρείτε για ποια τιμή του x ισχύει η ισότητα =. μονάδες 6 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α) Να λύσετε την εξίσωση: x+ x x = 4. Στη συνέχεια, να δείξετε ότι η λύση 5 της είναι και λύση της εξίσωσης: x x =. 5 β) Αν με κ συμβολίσουμε την κοινή λύση των δύο εξισώσεων, να υπολογίσετε την κ κ+ κ+ κ+ τιμή της παράστασης ( ) ( ) ( ) ( ) Α = + + +. μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4ο Δίνονται οι εξισώσεις ( α + x ) = 0και ( ) β 4 x =, όπου η πρώτη είναι ταυτότητα και η δεύτερη είναι αδύνατη. Να βρείτε τους αριθμούς α, β και να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ = α + αβ + β. μονάδες 5 54

o Ωριαίο διαγώνισμα Εξισώσεις Διάρκεια 45 ΘΕΜΑ ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Η παράσταση 7x x + x x ισούται με: Η παράσταση ( + ) ( + ) x x 4 ισούται με: Η εξίσωση x = Η εξίσωση 0x = Η εξίσωση x = x Α Β Γ Δ 8x 9x 7x 5x x x 4x x Έχει λύση το Έχει λύση το 0 Έχει μοναδική λύση το Έχει λύση το Έχει λύση το Έχει μοναδική λύση το Είναι αδύνατη Είναι αδύνατη Είναι αδύνατη Είναι ταυτότητα Είναι ταυτότητα Είναι ταυτότητα μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Να λύσετε την εξίσωση: x ( ) ( x) = x+. Στη συνέχεια, για τη λύση x που βρήκατε, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x x x Α = + +. μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο x+ x+ 5 ( x) α) Να λύσετε την εξίσωση: =. 4 4 β) Αν με α συμβολίσουμε τη λύση της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι η εξίσωση x ( ) + α x= 4α xείναι αδύνατη, ενώ η εξίσωση ( ) είναι ταυτότητα. α x+ α = x + μονάδες 5 55

Απαντήσεις Διαγνωστική αξιολόγηση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου Α. Συμπληρώνουμε τον πίνακα: Αριθμός Ο αντίθετος του αριθμού Ο αντίστροφος του αριθμού Η απόλυτη τιμή του αριθμού Το τετράγωνο του αριθμού α α α, όταν α 0 α α + 5 5 + + +5 5 5 = ( ) + 5 = 5 = ( ) = 9 = = 4 Β. 0 + 6 : 4 = =0 + 6 :6 = 0 + 6 = 5. Γ. ( ) ( ) 5 + + 5+ :4= = 5 ( 4+ 9) + 4 :4= 5 + 4= 4. Δ. α) 7 4 = 4 8 δ) 9 > 8 β) > 5 5 ε) 5 > 5 γ) < 7 Ε. α) 7 + = 8 = β) = 6 5 = 4 4 4 5 0 0 0 γ) 5 = 5 = 0 7 7 7 9 9 5 45 45 :5 δ) : = = = = 0 5 0 0 0 :5 ΣΤ. Η έκπτωση σε ευρώ είναι Ζ. 0 50 5 = =,5. Επομένως πληρώσαμε 00 00 5,5 =,5. Βάρος κρέατος (g) 5 450 Θερμίδες 700 x Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε: 700 x 5000 = ή 5x = 450 700 ή x = ή 5 450 5 x = 50 θερμίδες. Η. α) x β) x γ) ( 4+6 9 )x = x = x Θ. Κάνουμε αντικατάσταση και έχουμε: ( α + β ): γ = ( 8 ): ( + ) = 40 : = 0. Ι. α) Α α β γ δ ε Β 5 4 β) Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι 80 ο. Επομένως στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α ˆ + Β ˆ + Γ ˆ = 80 ή 80 + 40 +Γ ˆ = 80 ή 0 +Γ ˆ = 80 ή Γ ˆ = 60. γ) Τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους είναι το ορθογώνιο, το οξυγώνιο και το αμβλυγώνιο. Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Ισόπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές ίσες.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Κριτήρια αξιολόγησης Β Γυμνασίου ο Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό ΘΕΜΑ ο α) δ) 8 = β) ( ) 4 0 = ε) ( ) ΘΕΜΑ ο Α. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ 4 Β. α) 4 4 4 4= 4 9 0 = 0000 γ) 0 = 0 = 7 + + β) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) 5 5 9 γ) ( ) 5 0, 0 = 0, 0 = 5 5 5 8 0 0 8 α α : α = α : α = α = α. δ) ( ) ( ) 4 ΘΕΜΑ ο 08 Α = ( ) + + ( ) = 8 = 9+ + = 9 + = 8 6 8 6 4 5 = 8 = =. ο Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο ΘΕΜΑ ο α) Γ β) Β γ) Α δ) Δ ΘΕΜΑ ο + α) 6 4 = =. β) ( ) ( ) 4 9 4 4 9 4 9 5 : = 6 4 5 0 8 = : = = = = 0. 4 ( ) + 5 γ) = 4 = 4 = 4. 4 8 9 8 9 7 7 7 7 7 7 δ) = = 6 6 6 6 6 6 8+ 9 0 0 7 7 6 ( ) 4 ( = = =. ε) ) = 6 6 7 4 6 0 0 = = = = =. ΘΕΜΑ ο Αντικαθιστούμε στην παράσταση Α όπου x = Α = + + = και έχουμε: + 4 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 4 0 = + = = 9 + 6 = 8 + 6 = 9 9 8 6 = = =. 9 9 9 9 ο Κριτήριο αξιολόγησης Η έννοια της μεταβλητής ΘΕΜΑ ο α) 4α. β) Για να βρούμε το εμβαδόν ενός τριγώνου πρέπει να βρούμε το μισό γινόμενο της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος υ. Επομένως το εμβαδόν είναι 0 υ =5υ cm. γ) 0,60x. δ) Αν x ο αριθμός, το διπλάσιο του μειωμένο κατά 0 είναι x 0. ε) Ο αριθμός των αγοριών της τάξης είναι 4 x. ΘΕΜΑ ο Α = ( α β+ ) ( γ+ β α) = =α β + γ β +α = = α+α β β γ = = ( +) α + ( ) β γ =5α 5β γ. Στη συνέχεια υπολογίζουμε την τιμή της, όταν α =, β = και γ = και έχουμε: Α = 5 5 ( ) = 0+ 5+ = 6. ΘΕΜΑ ο α) Η περίμετρος του οικοπέδου είναι Π = 4 + ( x + ) + ( y + ) + ( x ) = = 4 + x + + y + + x = = 5 + x + y = 5 + ( x + y). β) Αν x + y = 00, η περίμετρος του οικοπέδου είναι Π = 5 + 00 = 5 + 00 = 5 m. 4ο Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού ΘΕΜΑ ο Α α β γ δ Β 4

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α) 5α +α = ( 5+) α =7α. β) 4ω 9ω + ω = ( 4 9+) ω = 4ω. γ) x ( + 4x 5 ) ( ) = x+ 8x+ 0= x 8x 0 ( 8) x = + + = + = 5x +. ΘΕΜΑ ο Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών 6, και που είναι το 6 και πολλαπλασιάζουμε με αυτό τα μέλη της εξίσωσης. Προκύπτει τότε μία εξίσωση χωρίς παρονομαστές. x x 5x = + ή 6 x ( x ) ( 5x ) 6 = 6 + 6 ή 6 x = ( x ) + ( 5x ) ή x = x + 0x 6 ή x x 0x = 6 + ή ( ) x = 6 ή 0 x = 6 ή 6 x = ή x =. 5ο Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού ΘΕΜΑ ο α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ ο α) Για λ = 5 και μ = 4, η εξίσωση γράφεται: ( 5 0) x = 4+ ή 5x = 5 ή x =. β) Για λ = 0 και μ = 4, η εξίσωση γράφεται: ( 0 0) x = 5 ή 0x = 5, η οποία είναι αδύνατη. γ) Για να είναι η εξίσωση ταυτότητα θα πρέπει να έχει τη μορφή 0x = 0, δηλαδή θα πρέπει λ = 0 και μ =. ΘΕΜΑ ο α) Α = 0( x ) ( x + ) ( x 5) = = 0x 0 x 6x + 5 = = ( 0 6) x + 4 = x + 4. 5 ( x 7) ( 5 x 7) Β = = + = = 5+ x 7= x 0. β) Η ισότητα Α = Β γράφεται: x + 4 x 0 = ή ( x 4) ( x 0) + = ή 6x + 8 = x 0 x = 8 ή ή 6x x = 0 8 ή 8 x =. 6ο Κριτήριο αξιολόγησης Προβλήματα γεωμετρίας με εξισώσεις ΘΕΜΑ ο α) B β) Γ γ) Α ΘΕΜΑ ο α) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ = ΑΓ. Αντικαθιστούμε και έχουμε την εξίσωση: x x + = ή x ( ) = x ( + ) ή x = x + 4 ή x x = 4 + ή x = 7. β) ΑΒ = ΑΓ = cm, 7 4 5 9 ΒΓ = = = cm. 5 5 5 5 ΘΕΜΑ ο Οι γωνίες ˆΑ και ˆΔ του παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές, δηλαδή Α ˆ + Δ ˆ = 80, οπότε x + 5 + x + 5 = 80 ή x+0 = 80 ή x = 80 0 ή x = 50 ή 50 x = ή x = 50. Επομένως είναι Α ˆ = 50 + 5 = 5, οπότε και Γ ˆ = 5, αφού οι απέναντι γωνίες σε ένα παραλληλόγραμμο είναι ίσες. Επίσης βρίσκουμε ότι Δ ˆ = 55 και Β ˆ = 55. Επειδή οι απέναντι πλευρές σε ένα παραλληλόγραμμο είναι ίσες, έχουμε ΑΒ = ΓΔ, δηλαδή y + 0 = y 0 ή y y = 0 0 ή y = 50 ή y = 5. Οπότε βρίσκουμε: ΑΒ = 5 + 0 = 55 cm, ΓΔ =55cm, ΒΓ = 5 5 = 0 cm και ΑΔ = 0 cm. 7ο Κριτήριο αξιολόγησης Προβλήματα με εξισώσεις ΘΕΜΑ ο Έστω x o αριθμός που πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμητές των κλασμάτων και 5 4, ώστε να γίνουν ίσα. Προκύπτει τότε η εξίσωση: + x 5+ x = ή 4 ( + x) = 5 ( + x) ή 4 4 + 4x = 5 + x ή 4x x = 5 4 ή x =.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α) Έστω x o μικρότερος από τους δύο φυσικούς αριθμούς, τότε ο επόμενός του είναι ο x+. Επειδή το άθροισμά τους είναι 7, έχουμε την εξίσωση x+ ( x+ ) = 7 ή x = 7 ή x = 6 ή 6 x = ή x = 8. Επομένως οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 8 και 9. β) Λύνουμε την εξίσωση x ( + ) + x= ή x + + x = ή 5x = ή 5x = 0 ή 0 x = ή x =. Επομένως οι ζητούμενοι 5 αριθμοί είναι οι και. ΘΕΜΑ ο Αν x ο αριθμός των αντρών που παρακολούθησαν την παράσταση, τότε ο αριθμός των γυναικών είναι x και ο αριθμός των παιδιών είναι x+ x = x+ x = x+ x. Επειδή τα άτομα που παρακολούθησαν την παράσταση είναι συνολικά 90, έχουμε την εξίσωση: x+ x+ x+ x = 90 ή 6 x+ 6 x+ 6 x+ 6 x = 6 90 ή 6x + 4x + x + x = 540 ή 5x = 540 ή 540 x = = 6. Επομένως παρακολούθησαν την 5 παράσταση 6 άντρες, 6 = 4 γυναίκες και 90 6 4 = 0 παιδιά. 8ο Κριτήριο αξιολόγησης Τετραγωνικές ρίζες ΘΕΜΑ ο 0 = 0, =, 64 = 8, ( 4 ) = 6 = 4, ( 9) = 9 ΘΕΜΑ ο 4 = 6 = 4, 9 =, 0,64 = 0,8, 00 0 44 =, ( 6) = 4, 5+ 0 = 5, 90 9 9 =, ( ) 9 8 0 = 0, + =, ( ) ( ) 49 7 =, 6 6 6 + 4 = 0 ΘΕΜΑ ο Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε: 5x ( ) = 7x ( + ) ή 5x 6 = 4x + 4 ή 5x 4x = 4 + 6 ή x = 0. Άρα ΒΓ = 0 cm. ΑΓ = y= + 7+ 4 = + 7 + = = + 9 = + = 6 = 6 cm. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ ή ΑΒ = ΒΓ ΑΓ ή ΑΒ = 0 6 ή ΑΒ = 00 6 ή ή ΑΒ = 64 ή ΑΒ = 8 cm. 9ο Κριτήριο αξιολόγησης Τετραγωνικές ρίζες ΘΕΜΑ ο Α α β γ δ ε Β 5 4 ΘΕΜΑ ο Α = 9α + 6β + α β= = 9 9 + 6 6 + 9 6 = = 8 + 56 + 4 = 9+ 6+ = 7. α Β = 6α + 9β = β = ΑΒ = 9 6 9 + 9 6 = 4 + 4 = 6 4 = + = 4 = 4 4 ΘΕΜΑ ο 96 9 =. 4 4 4 64 Από το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την υποτείνουσα x: x = + 9 ή x = 44 + 8 ή x = 5 ή x = 5 ή x = 5cm. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την κάθετη πλευρά y: y + 5 = 7 ή y + 5 = 89 ή y = 89 5 ή y = 64 ή y= 64 ή y= 8cm. 4