ΕΤΟΣ-ΔΕΚΑΕΤΙΑ-ΑΙΩΝΑΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 000 ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 10 000. Αρ2.2 Συγκρίνουν και διατάσσουν τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 10 000. Αρ2.4 Αναλύουν και συνθέτουν με διαφορετικούς τρόπους αριθμούς μέχρι το 10 000. Αρ2.8 Αναγνωρίζουν και ορίζουν τους άρτιους, τους περιττούς, τους τετράγωνους και τους πρώτους αριθμούς. Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.10 Χρησιμοποιούν διάφορους τρόπους εκτίμησης του πληθικού αριθμού ενός συνόλου. Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης, χρησιμοποιώντας υλικό όπως κύβους Dienes, εικόνες, εφαρμογίδια και σύμβολα. 1
Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους αριθμούς και της διαίρεσης με μονοψήφιο διαιρέτη, χρησιμοποιώντας ποικιλία στρατηγικών, μέσων και αναπαραστάσεων. Αρ2.15 Χρησιμοποιούν και διατυπώνουν στρατηγικές εκτέλεσης νοερών υπολογισμών με αριθμούς μέχρι το 10 000. Αρ2.16 Εκτιμούν το αποτέλεσμα μιας πράξης, εφαρμόζοντας στρατηγικές στρογγυλοποίησης ακέραιων αριθμών στην πλησιέστερη δεκάδα, εκατοντάδα και χιλιάδα. Αρ2.17 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλήματα διαδικασίας και λεκτικά προβλήματα με περισσότερες από μία πράξεις και ελέγχουν τη λογικότητα της απάντησής τους. ΑΛΓΕΒΡΑ Διερεύνηση σχέσεων και μοτίβων Α2.1 Αναγνωρίζουν, περιγράφουν και επεκτείνουν μοτίβα. Α2.3 Χρησιμοποιούν λεκτικές και αλγεβρικές εκφράσεις, για να αναπαραστήσουν αθροιστικές και πολλαπλασιαστικές σχέσεις. Α2.4 Χρησιμοποιούν γραφικές παραστάσεις, για να αναπαραστήσουν αριθμητικές σχέσεις. Α3.1 Περιγράφουν, συμπληρώνουν, επεκτείνουν, κατασκευάζουν, επεξηγούν τον κανόνα και βρίσκουν με επαγωγικό τρόπο το γενικό όρο αριθμητικών και γεωμετρικών μοτίβων. 2
Διερεύνηση εξισώσεων Α2.7 Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική), για να απλοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς και να ελέγχουν τα αποτελέσματά τους. Α2.8 Επιλύουν προβλήματα ρουτίνας και διαδικασίας χρησιμοποιώντας ποικιλία στρατηγικών. Α2.9 Επιλύουν προβλήματα λογικής σκέψης. Α2.10 Κατασκευάζουν προβλήματα χρησιμοποιώντας δεδομένα από πίνακες, εικόνες και γραφικές παραστάσεις. ΜΕΤΡΗΣΗ Εκτίμηση και μέτρηση Μ2.7 Μοντελοποιούν και επιλύουν προβλήματα αναπαριστώντας, προσθέτοντας και αφαιρώντας ποσά χρημάτων. Έννοιες χρόνου, ρυθμού και μεταβολής Μ3.10 Επιλύουν προβλήματα που περιέχουν σχέσεις μεταξύ έτους, δεκαετία και αιώνας. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Μάθημα 1 (σελίδες 8-9): Έτος, δεκαετία, αιώνας Μαθήματα 2 και 3 (σελίδες 10-14): Στρογγυλοποίηση αριθμών Εκτίμηση αθροίσματος και διαφοράς 3
Μάθημα 4 (σελίδες 15-17): Κατανόηση Επίλυσης Προβλήματος - Νοεροί υπολογισμοί πρόσθεσης και αφαίρεσης τετραψήφιων αριθμών Μάθημα 5 (σελίδες 18-20): Διερεύνηση Προβλημάτων αλλαγής - Νοεροί υπολογισμοί πρόσθεσης και αφαίρεσης τετραψήφιων αριθμών Μάθημα 6 (σελίδες 21-23): Αλγόριθμοι πρόσθεσης και αφαίρεσης τετραψήφιων αριθμών Μάθημα 7 (σελίδες 24-25): Πρόβλημα Μοντελοποίησης -Πρόσθεση και αφαίρεση τετραψήφιων αριθμών Μάθημα 8 (σελίδες 26-28): Διερεύνηση προβλημάτων ομαδοποίησης - Πρόσθεση και αφαίρεση τετραψήφιων αριθμών Μάθημα 9 (σελίδες 29-31): Στρατηγικές νοερών υπολογισμών αφαίρεσης τετραψήφιων αριθμών Μαθήματα 10 και 11 (σελίδες 32-35): Αλγόριθμος αφαίρεσης τετραψήφιων αριθμών με χάλασμα Μάθημα 12 (σελίδες 36-37): Επίλυση και κατασκευή προβλήματος Μαθήματα 13 και 14 (σελίδες 38-41): Διερεύνηση αριθμητικών μοτίβων (Τετράγωνοι, Άρτιοι και Περιττοί αριθμοί) Μάθημα 15 (σελίδες 42-43): Προβλήματα διαδικασίας Στρατηγική δοκιμή και έλεγχος ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μάθημα 1 (σελίδες 8-9) Διερεύνηση (σελ. 8) Για να απαντήσουν τα ερωτήματα της διερεύνησης, τα παιδιά μπορεί να αξιοποιήσουν την ιστορική γραμμή από το μάθημα της Ιστορίας ή μια αριθμητική γραμμή που θα σχεδιάσουν στον πίνακα ή στο τετράδιό τους. Στο ερώτημα (στ), τα παιδιά αναμένεται να αναφέρουν ότι επειδή οι ίδιοι είναι γεννημένοι στις αρχές του 21 ου αιώνα, τα παιδιά και τα εγγόνια τους θα γεννηθούν τον 21 ο αιώνα. Στο ερώτημα (ζ), τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι είναι πιθανόν δύο αδέλφια να γεννήθηκαν σε 4
διαφορετικό αιώνα, αν το ένα παιδί γεννηθεί προς το τέλος του ενός αιώνα και το άλλο στις αρχές του επόμενου αιώνα. Για παράδειγμα, ένα παιδί μπορεί να γεννήθηκε το 1995 (20 ος αιώνας), ενώ το άλλο παιδί να γεννήθηκε το 2003 (21 ος αιώνας). Μαθήματα 2 και 3 (σελίδες 10-14) Διερεύνηση (σελ. 10) Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να διακρίνουν πότε μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε τους αριθμούς. Για παράδειγμα, στο ερώτημα (β) τα παιδιά θα πρέπει να παρατηρήσουν ότι ο αριθμός του τεύχους, η Ταχυδρομική Θυρίδα (Τ.Θ.) και το τηλέφωνο είναι αριθμοί που δεν θα πρέπει να στρογγυλοποιηθούν. Δραστηριότητα 2 (σελ. 11) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι για να ισχύουν και οι δύο συνθήκες του προβλήματος, οι αριθμοί που θα γράψουν θα πρέπει να είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από το 1850 αλλά μικρότεροι από το 1855. Δραστηριότητα 7 (σελ. 13) Τα παιδιά αναμένεται να κάνουν την εκτίμηση στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς. Μάθημα 4 (σελίδες 15-17) Διερεύνηση 1 (σελ. 15) Στη διερεύνηση δίνεται έμφαση στην κατανόηση της ερώτησης ενός προβλήματος. Τα παιδιά θα πρέπει να τροποποιήσουν το πρόβλημα και να κατασκευάσουν ερωτήσεις οι οποίες ανταποκρίνονται στην αντίστοιχη μαθηματική πρόταση ή να κατασκευάσουν ερωτήσεις οι οποίες να αφορούν δύο από τα τρία δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα, στο ερώτημα (β) η ερώτηση είναι «Πόσοι επιβάτες από τον Πειραιά παρέμειναν στο πλοίο;». Εναλλακτικά, τα παιδιά μπορούν να διατυπώσουν το πρόβλημα παραλείποντας την πληροφορία σχετικά με τους επιβάτες που επιβιβάστηκαν στην Τήνο, ώστε το πρόβλημα να γίνει «Ένα πλοίο ξεκίνησε από τον 5
Πειραιά με 1450 επιβάτες. Στην Τήνο αποβιβάστηκαν 350. Πόσοι είναι τώρα οι επιβάτες στο πλοίο;». Στο ερώτημα (γ), η ερώτηση είναι «Πόσοι περισσότεροι επιβάτες επιβιβάστηκαν από αυτούς που αποβιβάστηκαν;». Διερεύνηση 2 (σελ. 15) Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να κατανοήσουν τη σημασία της ερώτησης σε ένα πρόβλημα και ότι η ίδια ερώτηση μπορεί να αντιστοιχεί σε διαφορετική μαθηματική πρόταση με βάση τα δεδομένα του προβλήματος. Μάθημα 5 (σελίδες 18-20) Διερεύνηση (σελ. 18) Μέσα από τη διερεύνηση τα παιδιά έρχονται σε επαφή με το σχεδιάγραμμα αλλαγής. Πρέπει να δοθεί έμφαση στη δομή των προβλημάτων αλλαγής. Τα παιδιά αναμένεται να κατανοήσουν ότι στα προβλήματα αλλαγής, περιλαμβάνεται μια μόνο ποσότητα, η οποία μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου. Ως εκ τούτου, τα προβλήματα αυτά περιλαμβάνουν τρεις αριθμούς: τον αριθμό που εκφράζει την ποσότητα πριν την αλλαγή, τον αριθμό που εκφράζει τη μεταβολή της ποσότητας (αύξηση ή μείωση) και τον αριθμό που εκφράζει την τελική ποσότητα. Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να διακρίνουν τους διαφορετικούς τύπους των προβλημάτων αλλαγής, με βάση τη θέση της άγνωστης ποσότητας. Μάθημα 6 (σελίδες 21-23) Διερεύνηση (σελ. 21) Στη διερεύνηση τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι η Ελπίδα πρόσθεσε τους αριθμούς αναλύοντάς τους και προσθέτοντας πρώτα τις χιλιάδες, μετά τις εκατοντάδες, τις δεκάδες και στο τέλος τις μονάδες. Ο Βασίλης πρόσθεσε τους αριθμούς εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο, αρχίζοντας από τις μονάδες και σημειώνοντας τα κρατούμενα. 6
Δραστηριότητα 2 (σελ. 22) Στη δραστηριότητα αυτή, τα παιδιά ξεκινούν από τον αριθμό που βρίσκεται στο μοβ εξάγωνο, προσθέτουν ή αφαιρούν τους αριθμούς που βρίσκονται στο πορτοκαλί εξάγωνο για να καταλήξουν στους αριθμούς του κίτρινου εξαγώνου. Για παράδειγμα, για να βρουν τον αριθμό Α, τα παιδιά αναμένεται να κάνουν 6147+Α=8523, άρα Α=8523 6147. Για να βρουν τον αριθμό Β, τα παιδιά αναμένεται να κάνουν 6147 Β=3271, άρα Β=6147 3271. Μάθημα 7 (σελίδες 24-25) Εξερεύνηση (σελ. 24-25) Στην εξερεύνηση αυτή τα παιδιά καλούνται να λύσουν ένα πρόβλημα μοντελοποίησης. Οι τρεις προσφορές δίνουν τις τιμές για διαφορετικές μέρες και πακέτα διαφήμισης. Για να απαντηθούν τα ερωτήματα της εξερεύνησης, τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν το κόστος της διαφήμισης με βάση τη μέρα που θα ξεκινήσει (πόσες καθημερινές και πόσα Σαββατοκύριακα θα περιλαμβάνει). Τα ερωτήματα (α) και (β) αναφέρονται για 10 συνεχόμενες μέρες. Στο ερώτημα (α), υπάρχουν τρεις περιπτώσεις: (i) Όταν έχουμε 8 καθημερινές μέρες και 1 Σαββατοκύριακο. Στην περίπτωση αυτή, η Προσφορά 1 θα στοιχίσει 1900. Η Προσφορά 2 θα στοιχίσει 1800 και η Προσφορά 3 θα στοιχίσει 2000. (ii) Όταν έχουμε 2 Σαββατοκύριακα και 6 καθημερινές μέρες. Στην περίπτωση αυτή, η Προσφορά 1 θα στοιχίσει 2300. Η Προσφορά 2 θα στοιχίσει 2200 και η Προσφορά 3 2000. (iii) Όταν ξεκινήσει η διαφήμιση από τη μέρα Πέμπτη, όποτε θα έχουμε 1 Σαββατοκύριακο, 1 Σάββατο και 7 καθημερινές μέρες. Στην περίπτωση αυτή, η Προσφορά 1 θα στοιχίσει 2100. Η Προσφορά 2 θα στοιχίσει 2000 και η Προσφορά 3 2000. 7
Στο ερώτημα (β) τα παιδιά μπορούν να επιλέξουν μια οποιαδήποτε προσφορά από τις τρεις πιο πάνω περιπτώσεις φτάνει να αιτιολογήσουν την απάντησή τους. Σε κάθε περίπτωση είναι σημαντικό να επιλέξουν τη φθηνότερη προσφορά. Κάποια παιδιά μπορούν να επιλέξουν τη φθηνότερη προσφορά από όλες τις περιπτώσεις ( 1800), ενώ κάποια άλλα παιδιά μπορούν να λάβουν υπόψη τους και άλλους παράγοντες, όπως το ότι τα Σαββατοκύριακα υπάρχουν περισσότεροι αναγνώστες του έντυπου τύπου και άρα να επιλέξουν την Προσφορά 3 από την περίπτωση 2. Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά μπορούν να εισηγηθούν τη διαφήμιση του παιδότοπου για περισσότερες μέρες (π.χ. Προσφορά 2 και ακόμα ένα Σαββατοκύριακο ή Προσφορά 3 και μία καθημερινή και ένα Σάββατο ή Κυριακή) ή άλλους τρόπους διαφήμισης (π.χ. έκδοση διαφημιστικού φυλλαδίου). Μάθημα 8 (σελίδες 26-28) Διερεύνηση (σελ. 26) Μέσα από τη διερεύνηση τα παιδιά έρχονται σε επαφή με το σχεδιάγραμμα ομαδοποίησης. Όπως και με το προηγούμενο σχεδιάγραμμα, η έμφαση πρέπει να δοθεί στη δομή των προβλημάτων ομαδοποίησης. Τα παιδιά αναμένεται να κατανοήσουν ότι στα προβλήματα ομαδοποίησης, ένας αριθμός υποομάδων (δύο ή περισσότερες) ενώνονται ώστε να δημιουργηθεί μια μεγαλύτερη ομάδα. Τα προβλήματα αυτά περιλαμβάνουν τρεις τουλάχιστον ποσότητες: τις ποσότητες των δύο τουλάχιστον υποομάδων και τη συνολική ποσότητα. Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να διακρίνουν διαφορετικούς τύπους προβλημάτων ομαδοποίησης, με βάση τη θέση της άγνωστης ποσότητας. Μάθημα 9 (σελίδες 29-31) Εξερεύνηση (σελ. 29) Για την εύρεση της διαφοράς, τα παιδιά μπορούν να ακολουθήσουν διάφορες στρατηγικές νοερών υπολογισμών, όπως: (α) να προσθέσουν τον αριθμό 3 στον αφαιρετέο (6214-4000 = 2214) και στη συνέχεια να προσθέσουν 3 στη διαφορά που 8
βρήκαν (2214+3=2217), (β) να προσθέσουν τον αριθμό 3 στον μειωτέο και στον αφαιρετέο (6217-4000=2217), ή (γ) συμπληρωματική πρόσθεση: να ξεκινήσουν από το 3997 και να προσθέτουν μέχρι να φτάσουν στο 6214. Διερεύνηση (σελ. 29) Στη δραστηριότητα αυτή, τα παιδιά αναμένεται να εντοπίσουν ότι τα δύο παιδιά ακολούθησαν διαφορετικές στρατηγικές νοερών υπολογισμών αφαίρεσης. Η Αλεξία πρόσθεσε τον αριθμό 2 στον αφαιρετέο ώστε να στρογγυλοποιηθεί και στη συνέχεια πρόσθεσε τον αριθμό 2 στη διαφορά που βρήκε. Ο Σωτήρης εργάστηκε χρησιμοποιώντας τη στρατηγική της συμπληρωματικής πρόσθεσης, προσθέτοντας σταδιακά αριθμούς στον αφαιρετέο μέχρι να φτάσει στον μειωτέο. Δραστηριότητα 1 (σελ. 30) Στη δραστηριότητα αυτή, τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν διάφορες στρατηγικές νοερών υπολογισμών: (α) Να προσθέσουν τον ίδιο αριθμό στον μειωτέο και στον αφαιρετέο π.χ. 4256-2997 = (4256 + 3) (2997+3)=4259 3000 = 1259 (β) Να προσθέσουν έναν αριθμό είτε στον μειωτέο είτε στον αφαιρετέο τον οποίο στο τέλος θα αφαιρέσουν ή θα προσθέσουν αντίστοιχα π.χ. 9850 6255 = (9850 6250) 5 = 3600 5 = 3595 (γ) Να κάνουν συμπληρωματική πρόσθεση π.χ. 7032 6987 6987 + = 7032 Όλα τα πιο πάνω θα γίνουν νοερά και τα παιδιά καλούνται να εξηγήσουν τους συλλογισμούς τους. Μαθήματα 10 και 11 (σελίδες 32-35) Διερεύνηση (σελ. 32) Στόχος της διερεύνησης είναι να προκύψει από τα παιδιά ο τρόπος εκτέλεσης της αφαίρεσης τετραψήφιων αριθμών, όπου ο μειωτέος είναι πολλαπλάσιο του 1000. Για παράδειγμα, στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι το κιβώτιο των 9
1000 μπαλονιών (χιλιάδα) περιέχει 10 κουτιά των 100 μπαλονιών (10 εκατοντάδες) και κάθε κουτί των 100 μπαλονιών περιέχει 10 σακουλάκια των 10 μπαλονιών (10 δεκάδες). Άρα χαλώ τη μία χιλιάδα σε 10 εκατοντάδες. Από αυτές χαλώ τη μία εκατοντάδα σε 10 δεκάδες και από αυτές χαλώ τη μία δεκάδα σε δέκα μονάδες, για να αφαιρέσουμε τις 8 μονάδες. Η διερεύνηση μπορεί να γίνει με τη χρήση του υλικού Dienes ή του ψηφιακού υλικού Dienes από το εφαρμογίδιο στην ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_155_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.h tml. Στόχος είναι τα παιδιά να συσχετίσουν τον τρόπο εργασίας με το υλικό με την κατακόρυφη συμβολική αναπαράσταση της αφαίρεσης (κατακόρυφος αλγόριθμος). Αυτό θα μπορούσε να γίνει στον πίνακα ή στο τετράδιό τους όπως πιο κάτω: Δραστηριότητα 2 (σελ. 34) Πιθανές απαντήσεις θα μπορούσαν να ήταν: Ερώτημα (α): 5478 124 = 5354 Ερώτημα (β): 1457 589 = 868 Ερώτημα (γ): 1024 948 = 76 Ερώτημα (δ): 1002 998 = 4 Δραστηριότητα 4 (σελ. 35) 10
Η απάντηση στη δραστηριότητα αυτή θα μπορούσε να ήταν 2000 2 = 1998. Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις, όπως 3000 3 = 2997 ή 4000-4 = 3996 ή 6000 6 = 5994 ή 7000 7 =6993 ή 8000 8 = 7992. Μάθημα 12 (σελίδες 36-37) Εξερεύνηση (σελ. 36) Στόχος της εξερεύνησης είναι η κατανόηση προβλήματος και ο εντοπισμός των πληροφοριών που χρειάζονται για να απαντηθεί μια ερώτηση. Στο ερώτημα (α), τα παιδιά καλούνται να εντοπίσουν ότι δεν υπάρχουν πληροφορίες στο κείμενο για το ύψος της κορυφής του Κιλιμάντζαρου (ελλιπή δεδομένα). Στο ερώτημα (β), τα παιδιά καλούνται να εντοπίσουν ότι το ύψος της κορυφής του Έβερεστ και η χρονολογία απόκτησης του πτυχίου του είναι περιττά δεδομένα. Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά καλούνται να σχηματίσουν από μόνοι τους τα διαστήματα στην αριθμητική γραμμή και να τοποθετήσουν τους αριθμούς που τους δίνονται σε αυτήν. Είναι σημαντικό να υπάρχει μια αναλογία μεταξύ των διαστημάτων της κενής αριθμητικής γραμμής, αλλά δεν είναι απαραίτητη η ακρίβεια. Μαθήματα 13 και 14 (σελίδες 38-41) Εξερεύνηση (σελ. 38) Στο ερώτημα (α) τα παιδιά καλούνται να σχεδιάσουν τον 4 ο και 5 ο τετράγωνο αριθμό και να παρατηρήσουν ότι είναι οι αριθμοί 16 (4Χ4) και 25 (5Χ5) αντίστοιχα. Στο ερώτημα (β) τα παιδιά θα μπορούσαν να βρουν απευθείας το 10 ο (10Χ10 =100) και 20 ο (20Χ20=400) τετράγωνο αριθμό χωρίς κατ ανάγκη να τους σχεδιάσουν. Διερεύνηση (σελ. 39) Στη διερεύνηση αυτή, υπάρχουν δύο ορθές απαντήσεις, ανάλογα με το αν τα παιδιά θα ξεκινήσουν με άρτιο ή περιττό αριθμό. Για παράδειγμα, αρχίζοντας από άρτιο αριθμό: 1234 + 1235 + 1236 = 3705 (άθροισμα περιττός αριθμός). Σε αυτή την περίπτωση, τα παιδιά μπορούν να παρατηρήσουν ότι το άθροισμα δύο άρτιων αριθμών είναι πάντα άρτιος αριθμός, έτσι όταν προστεθεί σε αυτό ένας περιττός αριθμός το άθροισμα που 11
θα προκύψει θα είναι περιττός αριθμός. Αν τα παιδιά ξεκινήσουν από περιττό αριθμό: 1233 + 1234 + 1235 = 3702 (άθροισμα άρτιος αριθμός). Σε αυτή την περίπτωση τα παιδιά μπορούν να παρατηρήσουν ότι το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι πάντα άρτιος αριθμός, έτσι όταν προστεθεί σε αυτό ένας άρτιος αριθμός το άθροισμα που θα προκύψει θα είναι άρτιος αριθμός. Στη δραστηριότητα αυτή είναι σημαντικό να δοθεί έμφαση στη διατύπωση και στην αιτιολόγηση ισχυρισμών. Δραστηριότητα 3 (σελ.41) Στη δραστηριότητα αυτή, τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι για να προσθέσουν δύο αριθμούς από το κουτί και το άθροισμα τους να είναι μικρότερο από 3000, τότε οι αριθμοί αυτοί πρέπει να έχουν το ψηφίο 1 στη θέση των χιλιάδων. Στη συνέχεια, βρίσκοντας το άθροισμα των αριθμών αυτών (δοκιμάζοντας δύο κάθε φορά), αναμένεται να προσθέσουν σε αυτό τον αριθμό 3884 και να δουν αν το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός που υπάρχει στο κουτί. Η λύση στο πρόβλημα είναι ότι διάλεξε τους αριθμούς 1289, 1023 και 6196. Μάθημα 15 (σελίδες 42-43) Διερεύνηση (σελ. 42) Για να λύσουν το πρόβλημα, τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τη στρατηγική «δοκιμή και έλεγχος». Οι σωστές απαντήσεις είναι: 4100 7700 2200 1400 Δραστηριότητα 1 (σελ.43) 12
Τα παιδιά αφού χρησιμοποιήσουν τη στρατηγική «δοκιμή και έλεγχος» θα παρατηρήσουν ότι οι απαντήσεις που βρίσκουν είναι διαδοχικοί αριθμοί, όπως και οι αριθμοί του προβλήματος. Δραστηριότητα 2 (σελ. 43) Για τη δραστηριότητα αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί το αντίστοιχο εφαρμογίδιο από την ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_273_g_2_t_4.html?from=category_g_2_t_4.h tml (βλ. Τεχνολογία). Δραστηριότητες Εμπλουτισμού (σελίδες 44-56) Δραστηριότητα 5 (σελ. 46) Στη δραστηριότητα αυτή η σωστή απάντηση είναι η (δ). Δραστηριότητα 6 (σελ. 46) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά αναμένεται να εντοπίσουν όλους τους αριθμούς που στρογγυλοποιούνται στον αριθμό που τους δίνεται με στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα ή χιλιάδα. Για παράδειγμα στο ερώτημα (α) οι απαντήσεις είναι: Στρογγυλοποίηση Στρογγυλοποίηση Στρογγυλοποίηση Στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη στην πλησιέστερη στην πλησιέστερη στην πλησιέστερη χιλιάδα χιλιάδα χιλιάδα χιλιάδα, ή εκατοντάδα, ή δεκάδα Δραστηριότητα 8 (σελ. 47) 13
Στη δραστηριότητα αυτή υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Για παράδειγμα, στο ερώτημα (α) οι δύο αριθμοί μπορεί να είναι 2100 και 3850, ενώ στο ερώτημα (β) οι δύο αριθμοί μπορεί να είναι 8380 και 5100. Δραστηριότητα 9 (σελ. 47) Στη δραστηριότητα αυτή, αναμένεται από τους μαθητές να δοκιμάζουν αριθμούς, αποκλείοντας με τις δοκιμές τους κάποιους άλλους αριθμούς με βάση το μέγεθός τους. Η απάντηση στο ερώτημα (α) είναι οι αριθμοί 4538 και 3419. Η απάντηση στο ερώτημα (β) είναι οι αριθμοί 4538 και 3543. Δραστηριότητα 10 (σελ. 48) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά χρησιμοποιούν την στρατηγική δοκιμή και έλεγχος. Η σωστή απάντηση στο ερώτημα της δραστηριότητας είναι το (β). Δραστηριότητα 19 (σελ. 55) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά μπορούν να δουλέψουν με διάφορους τρόπους όπως: (α) να δοκιμάζουν και να ελέγχουν τιμές για το κάθε αντικείμενο και στο τέλος να βρουν το ζητούμενο άθροισμα. (β) να παρατηρήσουν ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με την τρίτη συνθήκη (που ισούται με 3200) συν μία πυξίδα (η τιμή της πυξίδας μπορεί να υπολογιστεί με βάση το άθροισμα που δίνεται στη δεύτερη και στην τέταρτη συνθήκη). Η πυξίδα ισούται με 800, το τηλεσκόπιο με 1000, το μπουκάλι με 300 και το μπαούλο με 1100. Άρα: 4700 14
Δραστηριότητα 20 (σελ. 56) Για την επίλυση του προβλήματος, τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τη στρατηγική «δοκιμή και έλεγχος». Η σωστή απάντηση είναι 8 πακέτα των 1000 g και 2 πακέτα των 500 g. Δραστηριότητα 21 (σελ. 56) Για την επίλυση του προβλήματος, τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τη στρατηγική «δοκιμή και έλεγχος». Η σωστή απάντηση είναι ότι τα αγόρια είναι 3897. Δραστηριότητα 22 (σελ. 56) Για την επίλυση του προβλήματος, τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τη στρατηγική «δοκιμή και έλεγχος». Η σωστή απάντηση είναι ότι οι γυναίκες είναι 1700. 15
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως τα πιο κάτω: 1. Στρογγυλοποίηση αριθμών 1.1. Ιστοσελίδα http://www.topmarks.co.uk/flash.aspx?f=dartboardroundingv2 Τα παιδιά καλούνται να στρογγυλοποιήσουν αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα, εκατοντάδα ή χιλιάδα. Το εφαρμογίδιο δίνει δύο επιλογές. Με την επιλογή Reveal Answers, τα παιδιά, πατούν πάνω σε αριθμούς και τους στρογγυλεύουν επαληθεύοντας την απάντησή τους (μπορεί να γίνει και το αντίστροφο: να δουν τον στρογγυλοποιημένο αριθμό και να βρουν ποιος μπορεί να ήταν ο αριθμός πριν από τη στρογγυλοποίηση). Με την επιλογή Input answers, τα παιδιά μπορούν να γράψουν τον στρογγυλοποιημένο αριθμό με βάση τον αριθμό που τους δίνεται και να ελέγξουν την απάντησή τους. 16
1.2. Ιστοσελίδα http://www.topmarks.co.uk/flash.aspx?f=functionwheelv6 Στο εφαρμογίδιο αυτό τα παιδιά στρογγυλοποιούν αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα και ελέγχουν την απάντησή τους. 1.3. Ιστοσελίδα http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspdetail&resourceid=10 24 Στο εφαρμογίδιο αυτό, τα παιδιά μπορούν να στρογγυλοποιήσουν στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα. Τα παιδιά τοποθετούν αριθμούς στην αριθμητική γραμμή, όταν είναι επιλεγμένη στην οθόνη η επιλογή Flat. Στη συνέχεια με την επιλογή Hill, οι αριθμοί μετακινούνται στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα ανάλογα με την επιλογή τους. Οι αριθμοί που έχουν 5 στη θέση των μονάδων (ή στη θέση των δεκάδων αν στρογγυλοποιηθούν σε εκατοντάδα) στρογγυλοποιούνται προς τα πάνω πατώντας την επιλογή Nudge midpoints. 17
1.4. Ιστοσελίδα http://mathsframe.co.uk/en/resources/resource/53/rounding Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να στρογγυλοποιήσουν τους τετραψήφιους αριθμούς στην πλησιέστερη εκατοντάδα, παρουσιάζοντας τον αριθμό πάνω σε αριθμητική γραμμή. 1.5. Ιστοσελίδα http://mathsframe.co.uk/en/resources/resource/275/rounding_crystal_crash Στο εφαρμογίδιο τα παιδιά στρογγυλοποιούν τετραψήφιους αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα, εκατοντάδα ή χιλιάδα και ρίχνουν το τσεκούρι πατώντας στον σωστό αριθμό ώστε να σπάσει η σειρά που τον περιέχει. Τα επίπεδα δυσκολίας διαφοροποιούνται ως προς τους σχηματισμούς που έχουν οι πέτρες τις οποίες θα σπάσουν οι μαθητές με το τσεκούρι. 18
1.6. Ιστοσελίδα http://www.free-training-tutorial.com/rounding/rounding-spaceships.html Τα παιδιά στρογγυλοποιούν τους αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα πατώντας πάνω στο σωστό διαστημόπλοιο. 1.7. Ιστοσελίδα http://www.free-training-tutorial.com/rounding/sharks.html Τα παιδιά στρογγυλοποιούν τους αριθμούς στην πλησιέστερη εκατοντάδα, πατώντας πάνω στο σωστό καρχαρία. 19
1.8. Ιστοσελίδα http://www.free-training-tutorial.com/word-games/crossword-puzzles-rounding- 10.html Τα παιδιά συμπληρώνουν το σταυρόλεξο στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα. 1.9. Ιστοσελίδα http://www.free-training-tutorial.com/word-games/crossword-puzzles-rounding- 100.html Τα παιδιά συμπληρώνουν το σταυρόλεξο στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στην πλησιέστερη εκατοντάδα. 20
1.10. Ιστοσελίδα http://mrnussbaum.com/rounding/ Στο εφαρμογίδιο αυτό τα παιδιά στρογγυλοποιούν αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα. Αν η στρογγυλοποίησή τους είναι σωστή, ο καλαθοσφαιριστής βάζει το καλάθι, ενώ εάν είναι λανθασμένη αστοχεί. Στην αρχική οθόνη θα πρέπει να επιλεγεί το No Decimals και για να εμφανιστούν τετραψήφιοι αριθμοί τα παιδιά πρέπει να πατήσουν έξω από την περιοχή. 2. Νοεροί υπολογισμοί πρόσθεσης και αφαίρεσης τετραψήφιων 2.1. Λογισμικό «Παίζω με τους αριθμούς» - Μετρώντας με τον Άρη Τα παιδιά καλούνται να βρουν τους επόμενους αριθμούς του μοτίβου γνωρίζοντας το βήμα, το οποίο μπορεί να είναι πρόσθεση ή αφαίρεση. 21
2.2. Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_326_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t _1.html Στο εφαρμογίδιο αυτό τα παιδιά τοποθετούν τους δικούς τους αριθμούς στις τέσσερις γωνιές του τετραγώνου και μετά συμπληρώνουν τις διαφορές στους ενδιάμεσους κύκλους. 2.3. Ιστοσελίδα http://www.math4children.com/grade4/games/classgames/bravo/addition/ Τα παιδιά καλούνται να βρουν το άθροισμα τετραψήφιων αριθμών. 22
3. Πρόσθεση και αφαίρεση τετραψήφιων 3.1. Πρόσθεση τετραψήφιων Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_154_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.h tml Τα παιδιά αναπαριστούν μαθηματικές προτάσεις πρόσθεσης με κύβους Dienes. Για τετραψήφιους αριθμούς ρυθμίζουμε τον αριθμό των στηλών στο 4. 3.2. Πρόσθεση τετραψήφιων Ιστοσελίδα http://www.numbernut.com/basic/activities/add_quiz_4carry.shtml Στο εφαρμογίδιο αυτό τα παιδιά καλούνται να επιλέξουν το σωστό άθροισμα τετραψήφιων αριθμών εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο. 23
3.3. Αφαίρεση τετραψήφιων Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_155_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.h tml Τα παιδιά αναπαριστούν μαθηματικές προτάσεις αφαίρεσης με κύβους Dienes. Για τετραψήφιους αριθμούς ρυθμίζουμε τον αριθμό των στηλών στο 4. Πατούμε στην επιλογή Create Problem ώστε να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς με δύο διαφορετικά χρώματα. Για να μπορέσει το εφαρμογίδιο να δείξει την κατακόρυφη συμβολική αναπαράσταση της αφαίρεσης (κατακόρυφος αλγόριθμος), θα πρέπει να επιλέξουμε Begin Problem αμέσως μετά την αναπαράσταση των αριθμών. 3.4. Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_152_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.h tml Το εφαρμογίδιο μπορεί να αξιοποιηθεί για αφαίρεση αριθμών ως εξής: ο χρήστης αναπαριστά τον μειωτέο και στη συνέχεια αφαιρεί κύβους (ίσους με τον αφαιρετέο) ρίχνοντάς τους στο καλάθι που βρίσκεται στο κάτω μέρος της οθόνης. Στην περίπτωση όπου, για παράδειγμα, οι μονάδες του μειωτέου είναι λιγότερες από τις μονάδες του αφαιρετέου (π.χ. 3467 1635), το εφαρμογίδιο επιτρέπει το χάλασμα μιας 24
εκατοντάδας σε δέκα δεκάδες. Για να το πετύχει αυτό, ο χρήστης μεταφέρει μια εκατοντάδα στο χώρο των δεκάδων. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να εργαστεί στην περίπτωση όπου απαιτείται χάλασμα χιλιάδας ή δεκάδας. 3.5. Αφαίρεση τετραψήφιων Ιστοσελίδα http://www.numbernut.com/basic/activities/sub_quiz_4borrow.shtml Στο εφαρμογίδιο αυτό τα παιδιά καλούνται να επιλέξουν τη σωστή διαφορά τετραψήφιων αριθμών εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο. 25
4. Λύση προβλήματος Στρατηγική δοκιμή και έλεγχος 4.1. Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_273_g_2_t_4.html?from=category_g_2_t_4.h tml Στο εφαρμογίδιο αυτό, πατώντας στην επιλογή New Problem, θα εμφανιστούν οι αριθμοί του προβλήματος της σελίδας 43 (δραστηριότητα 2). Πατώντας στην επιλογή Fill κάτω από το κάθε δοχείο, τα παιδιά γεμίζουν το αντίστοιχο δοχείο, ενώ με την επιλογή Empty αδειάζουν το κάθε δοχείο. Για να μεταγγίσουν το νερό από το ένα δοχείο στο άλλο, πατούν τα τόξα που βρίσκονται ανάμεσα στα δύο δοχεία. 26