Πρισµατικό σώµα και κύλινδρος (ΙΙ) Κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο (Σ 2 ) (Σ 1 ) A F εξ Ζ Ο Πρισµατικό σώµα (Σ 2 ) µάζας m = 4kg και κύλινδρος (Σ 1 ) ίσης µάζας m και ακτίνας R = 0,2m βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και είναι συνδεδεµένα µε νήµα στα σηµεία Ζ και Ο αντίστοιχα. Η σύνδεση µε το κέντρο µάζας Ο του κυλίνδρου είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει την ελεύθερη περιστροφή του γύρω από τον άξονά του που διέρχεται από το σηµείο αυτό. Ο συντελεστής τριβής µεταξύ σωµάτων δαπέδου είναι ίδιος και για τα δύο σώµατα, µ ολ = µ ορ = µ = 0,2. Σε λεπτό αυλάκι γύρω από τον κύλινδρο έχουµε τυλίξει νήµα που το συγκρατούµε από το άκρο του Α ασκώντας µικρή οριζόντια δύναµη µέτρου F εξ όπως φαίνεται στο σχήµα. Το τυλιγµένο στον κύλινδρο κοµµάτι του νήµατος έχει µήκος L = 2m. Τη στιγµή t ο = 0 η εξωτερική δύναµη αποκτά σταθερό µέτρο F εξ = 16Ν και το νήµα αρχίζει να ξετυλίγεται µέχρι να φύγει όλο από τον κύλινδρο. Ζητούνται τα εξής: 1. Να υπολογίσετε τη γωνιακή και τη µεταφορική ταχύτητα του κυλίνδρου τη στιγµή που τον εγκαταλείπει το τυλιγµένο αρχικά νήµα. 2. Να περιγράψετε την κίνηση των δύο σωµάτων µετά την κατάργηση της εξωτερικής δύναµης. 3. Να απεικονίσετε γραφικά τα µέτρα της τάσης του νήµατος και των τριβών µεταξύ σωµάτων και δαπέδου σε συνάρτηση µε τη θέση x του κέντρου µάζας Ο του κυλίνδρου (θεωρώντας ως x ο = 0 τη θέση του τη στιγµή t o = 0). 4. Να υπολογίσετε τα έργα όλων των δυνάµεων σε κάθε µία από τις φάσεις της κίνησης των σωµάτων και να τα συσχετίσετε µε τις αντίστοιχες ενεργειακές µετατροπές. Τα σώµατα είναι συµπαγή και οµογενή και το Σ 1 δεν ανατρέπεται. Τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά και αυτό που είναι τυλιγµένο στον κύλινδρο δεν ολισθαίνει µέσα στο αυλάκι µέχρι να ξετυλιχτεί όλο και να φύγει από αυτόν. ίνονται: Ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι = ½ m R² και g = 10m/s². Σελίδα 1 (από 8)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 ο ΕΡΩΤΗΜΑ 1 η ΦΑΣΗ (µέχρι να ξετυλιχτεί όλο το νήµα) Τ 2 α cm (Σ 2 ) (Σ 1 ) A A F εξ Ζ F 2 F 1 Ο Τ 1 α γων Οι δυνάµεις που ασκούνται στα σώµατα κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι: (Στον κύλινδρο Σ 1 ) η εξωτερική δύναµη F εξ που µεταφέρεται στο ανώτερο σηµείο του Α µέσω του τυλιγµένου νήµατος και τείνει να τον µεταφέρει και να τον περιστρέψει κατά τη φορά του ρολογιού. Στη µεταφορά αντιτίθεται η τάση F 1του τεντωµένου νήµατος ΖΟ και στην περιστροφή η τριβή T 1 που όµως δεν γνωρίζουµε ακόµα αν είναι στατική ή τριβή ολίσθησης. (Στο σώµα Σ 2 ) η τάση F 2 του νήµατος ΖΟ και η τριβή ολίσθησης T 2. Λόγω ίσων µαζών, το µέτρο της τριβής ολίσθησης, καθώς και της οριακής στατικής τριβής είναι το ίδιο για τα δύο σώµατα: Τ = µ m g = 8Ν (1) Έτσι, για το µέτρο της T 1 ισχύει ο περιορισµός: Τ 1 Τ (2) ενώ το µέτρο της T 2 είναι: Τ 2 = Τ (3) Οι δύο τάσεις που ασκεί το (αβαρές) νήµα ΖΟ έχουν ίσα µέτρα: F 1 = F 2 = F (4) Τα σώµατα αρχίζουν να κινούνται µε κοινή µεταφορική επιτάχυνση α cm ενώ το Σ 1 επιταχύνεται ταυτόχρονα και στροφικά µε γωνιακή επιτάχυνση α γων. Από τους νόµους του Νεύτωνα έχουµε: (Κύλινδρος Σ 1 ) Στ (Ο) = Ι α γων (F εξ Τ 1 ) R = ½ m R² α γων F εξ Τ 1 = ½ m R α γων (5) ΣF x = m α cm F εξ + Τ 1 F 1 = m α cm F εξ + Τ 1 F = m α cm (6) Σελίδα 2 (από 8)
(Σώµα Σ 2 ) ΣF x = m α cm F 2 Τ 2 = m α cm F = µ m g + m α cm (7) Συνδυάζοντας τις (6) και (7) παίρνουµε: F εξ + Τ 1 = 2 m α cm + µ m g (8) Θα εξετάσουµε τώρα αν τριβή T 1 είναι στατική, αν δηλαδή έχουµε καθαρή κύλιση. Στην περίπτωση αυτή θα ισχύει α cm = α γων R. Η (5) γίνεται: F εξ Τ 1 = ½ m α cm (5α) και µαζί µε την (8) δίνει: 2 F εξ = 2,5 m α cm + µ m g α cm = 2,4m/s² Οπότε από την (5α) βρίσκουµε Τ 1 = 11,2Ν Η τιµή αυτή όµως δεν συµφωνεί µε τον περιορισµό (2) σύµφωνα µε τον οποίο το µέτρο της T 1 δεν µπορεί να υπερβαίνει τα 8Ν. Το συµπέρασµα είναι εποµένως ότι η σύνθετη κίνηση του κυλίνδρου δεν είναι καθαρή κύλιση, αλλά υπάρχει και ολίσθηση. Η T 1 είναι τριβή ολίσθησης µε µέτρο Τ 1 = Τ = 8Ν (2α) Χρησιµοποιώντας τις (2α), (5) και (8) βρίσκουµε τις επιταχύνσεις: α γων = 20r/s² (9) α cm = 2m/s² (10) και από την (7) το µέτρο της τάσης του νήµατος ΖΟ: F = 16N (11) Αν τώρα ονοµάσουµε x την κοινή µεταφορική µετατόπιση των δύο σωµάτων, φ την αντίστοιχη γωνία στροφής του κυλίνδρου µέχρι να ξετυλιχτεί όλο το τυλιγµένο µήκος L του νήµατος και υ ο, ω ο τις αντίστοιχες ταχύτητες, τότε έχουµε: L = φ R = (½ α γων t²) R t = 1sec ω ο = α γων t ω ο = 20r/s x = ½ α cm t² x = 1m υ ο = α cm t υ ο = 2m/s 2 ο ΕΡΩΤΗΜΑ 2 η ΦΑΣΗ (µέχρι να µηδενιστεί η ταχύτητα του σηµείου επαφής Λ) Στη συνέχεια παύει να υπάρχει η F εξ ενώ ο κύλινδρος κινείται ήδη σπινάροντας (αφού το σηµείο επαφής Λ µε το έδαφος Τ 2 (Σ 2 ) Ζ F 2 F 1 (Σ 1 ) Ο Λ α γων ω ο Τ 1 Σελίδα 3 (από 8)
έχει ταχύτητα υ Λ = υ ο ω ο R = 2m/s, δηλαδή µε φορά προς τα πίσω). Έτσι δέχεται προς τα εµπρός από το έδαφος τριβή ολίσθησης µέτρου Τ 2 = Τ = 8Ν η οποία προσπαθεί να τον επιταχύνει µεταφορικά, διατηρώντας το νήµα τεντωµένο: Στο σώµα Σ 2 συµβαίνει το αντίθετο: Τ 1 F 1 = m α cm F 2 T 2 = m α cm Επειδή όµως F 1 = F 2 = F και T 1 = T 2 = Τ = 8N το αποτέλεσµα είναι να έχουµε µεταφορική επιτάχυνση α cm = 0 και µια τετράδα δυνάµεων µε ίσα µέτρα: F 1 = F 2 = T 1 = T 2 = 8N Η µεταφορική κίνηση των δύο σωµάτων είναι δηλαδή τώρα ευθύγραµµη οµαλή (!) µε σταθερή ταχύτητα υ ο = 2m/s και ταυτόχρονα, ο κύλινδρος επιβραδύνεται στροφικά µε γωνιακή επιβράδυνση: Τ 1 R = ½ m R² α γων α γων = 20r/s² Η κίνηση αυτή διαρκεί µέχρι το µέτρο της επιτρόχιας ταχύτητας ω R να γίνει ίσο µε υ ο (οπότε και µηδενίζεται η ταχύτητα υ Λ του σηµείου επαφής): ω R = (ω ο α γων t ) R = υ ο t = 0,5sec s = φ R = (ω ο t ½ α γων t ²) R s = 1,5m και x = υ ο t x = 1m ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η ευθύγραµµη οµαλή κίνηση στη φάση αυτή οφείλεται στις ίσες µάζες που προκάλεσαν ίσες τριβές ολίσθησης. Αν η µάζα του κυλίνδρου ήταν µεγαλύτερη ή µικρότερη, η µεταφορική κίνηση θα ήταν αντίστοιχα επιταχυνόµενη ή επιβραδυνόµενη. 3 η ΦΑΣΗ (µέχρι να σταµατήσουν τα σώµατα να κινούνται) Μετά το µηδενισµό της ταχύτητας του σηµείου επαφής Λ και επειδή η T α (Σ 2 ) cm (Σ 1 ) υ ο α 2 γων εξακολουθεί να αντιστέκεται στην Ζ F 2 F 1 Ο ω κίνηση του Σ 2, το νήµα παραµένει Τ 2 Τ 1 τεντωµένο επιβραδύνοντας µεταφορικά Λ και τον κύλινδρο. Θα εξακολουθήσει εποµένως να υπάρχει και η τριβή T 1 ώστε να επιβραδύνει και στροφικά τον κύλινδρο, θα πρέπει όµως να εξετάσουµε πάλι αν πρόκειται για στατική τριβή ή για τριβή ολίσθησης. Υποθέτουµε πάλι ότι έχουµε καθαρή κύλιση και εποµένως για τις δύο επιβραδύνσεις ισχύει α cm = α γων R οπότε: Σελίδα 4 (από 8)
(Κύλινδρος Σ 1 ) Στ (Ο) = Ι α γων Τ 1 R = ½ m R² α γων Τ 1 = ½ m α cm ΣF x = m α cm F 1 T 1 = m α cm F 1 = 1,5 m α cm (Σώµα Σ 2 ) ΣF x = m α cm T 2 F 2 = m α cm = 2 F 1 F T 2 = 2,5 m α cm Για την τιµή Τ 2 = 8Ν έχουµε α cm = 0,8m/s² και Τ 1 = 1,6Ν Η τιµή αυτή είναι µικρότερη από την οριακή τιµή των 8Ν, σωστά εποµένως θεωρήσαµε ότι έχουµε καθαρή κύλιση. Η τάση του νήµατος είναι τώρα F 1 = F 2 = 4,8N και τα σώµατα επιβραδύνονται οµαλά µέχρι να σταµατήσουν: υ = υ ο α cm t = 0 t = 2,5sec x = ½ α cm t² x = 2,5m 3 ο ΕΡΩΤΗΜΑ Τα στοιχεία κίνησης των τριών φάσεων είναι: 1 Η ΦΑΣΗ t = 1s x = 1m ( φ = 20rad) φ R = s = L = 2m t : 0 1s x: 0 1m υ: 0 2m/s ω: 0 20r/s F εξ = 16Ν F 1 = F 2 = F = 16N T 1 = T 2 = T = 8N 2 Η ΦΑΣΗ t = 0,5s t : 1s 1,5s x = 1m x: 1m 2m ( φ = 7,5rad ) φ R= s = 1,5m υ: 2m/s = σταθ. ω: 20r/s 10r/s F εξ = 0 F 1 = F 2 = F = 8N T 1 = T 2 = T = 8N 3 Η ΦΑΣΗ t = 2,5s t : 1,5s 4s x = 2,5m x: 2m 4,5m ( φ = 4,5rad ) φ = x = s = 0,9m υ: 2m/s 0 ω: 10r/s 0 F εξ = 0 F 1 = F 2 = F = 4,8N T 1 = 1,6N T 2 = 8N Στην επόµενη σελίδα έχουν σχεδιαστεί οι ζητούµενες γραφικές παραστάσεις. Σελίδα 5 (από 8)
F (N) 16 Εξωτερική δύναµη, F εξ Τάσεις νήµατος, F 1, F 2 Τριβές, T 1, T 2 12 8 Τ 2 4,8 4 1,6 Τ 1 0 1 2 3 4 x (m) 4 ο ΕΡΩΤΗΜΑ 1 η ΦΑΣΗ (Έργα δυνάµεων στον κύλινδρο Σ 1 ) W εξ = F εξ (L+ x) = F εξ L + F εξ x = + 32J + 16J = +48J Το έργο αυτό εκφράζει την ενέργεια που προσφέρθηκε συνολικά στον κύλινδρο από το εξωτερικό αίτιο. Λόγω της σύνθετης κίνησης του κυλίνδρου, η ενέργεια αυτή κατανέµεται και στις δύο επιµέρους κινήσεις: 1 ος όρος ενέργεια που δόθηκε στη στροφική κίνηση (+32J) 2 ος όρος ενέργεια που δόθηκε στη µεταφορική κίνηση (+16J) W F1 = F 1 x = 16J Εκφράζει την ενέργεια που αφαιρέθηκε µέσω της τάσης από τη µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου ( 16J) και µεταφέρθηκε στο δεύτερο σώµα. W Τ1 = Τ 1 ( L+ x) = Τ 1 L + Τ 1 x = 16J + 8J = 8J Το έργο της τριβής ολίσθησης T 1 εκφράζει την ενέργεια που χάθηκε σε θερµότητα, εξαιτίας της τριβής του κυλίνδρου µε το δάπεδο ( 8J). Ταυτόχρονα, εξαιτίας της δράσης της προκαλείται ανακατανοµή στις κινητικές ενέργειες των στοιχειωδών µαζών του στερεού µε αποτέλεσµα να µεταφέρεται κινητική ενέργεια από τη στροφική κίνηση (1 ος όρος, 16J) στη µεταφορική (2 ος όρος, +8J). Στο τέλος της 1 ης φάσης η µεταβολή της στροφικής και της µεταφορικής κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου είναι αντίστοιχα: Κ στρ = ½ Ι ω τ ² 0 = +16J Κ στρ = 0 + 32J 16J = +16J Κ µετ = ½ m υ τ ² 0 = +8J Κ µετ = 0 + 16J 16J + 8J = +8J Σελίδα 6 (από 8)
(Έργα δυνάµεων στο σώµα Σ 2 ) W F2 = F 2 x = +16J Εκφράζει ενέργεια που προσφέρεται µέσω της τάσης στο δεύτερο σώµα (+16J). W Τ2 = Τ 2 x = 8J Εκφράζει την ενέργεια που χάθηκε σε θερµότητα, εξαιτίας της ολίσθησης του Σ 2 στο το δάπεδο ( 8J). Στο τέλος της 1 ης φάσης η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του Σ 2 είναι: Κ = ½ m υ τ ² 0 = +8J Κ = 0 + 16J 8J = +8J (Έργα δυνάµεων στον κύλινδρο Σ 1 ) W F1 = F 1 x = 8J 2 η ΦΑΣΗ Εκφράζει ενέργεια που αφαιρείται µέσω της τάσης από τη µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου ( 8J) και µεταφέρεται στο δεύτερο σώµα. W Τ1 = Τ 1 ( s + x ) = Τ 1 s + Τ 1 x = 12J + 8J = 4J Το έργο της τριβής ολίσθησης T 1 εκφράζει την ενέργεια που χάθηκε σε θερµότητα, εξαιτίας της τριβής του κυλίνδρου µε το δάπεδο ( 4J). Ταυτόχρονα, λόγω της ανακατανοµής µεταφέρεται κινητική ενέργεια από τη στροφική κίνηση (1 ος όρος, 12J) στη µεταφορική (2 ος όρος, +8J). Στο τέλος της 2 ης φάσης η µεταβολή της στροφικής και της µεταφορικής κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου είναι αντίστοιχα: Κ στρ = ½ Ι ω τ ² ½ Ι ω α ² = 4J 16J = 12J Κ στρ = 12J Κ µετ = 0 (υ = σταθ.) Κ µετ = 8J + 8J = 0 (Έργα δυνάµεων στο σώµα Σ 2 ) W F2 = F 2 x = +8J Εκφράζει ενέργεια που προσφέρεται µέσω της τάσης στο δεύτερο σώµα (+8J). W Τ2 = Τ 2 x = 8J Εκφράζει την ενέργεια που χάθηκε σε θερµότητα, εξαιτίας της ολίσθησης του Σ 2 στο το δάπεδο ( 8J). Στο τέλος της 2 ης φάσης η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του Σ 2 είναι: Κ = 0 (υ = σταθ.) Κ = + 8J 8J = 0 Σελίδα 7 (από 8)
(Έργα δυνάµεων στον κύλινδρο Σ 1 ) W F1 = F 1 x = 12J 3 η ΦΑΣΗ Εκφράζει ενέργεια που αφαιρείται µέσω της τάσης από τη µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου ( 12J) και µεταφέρεται στο δεύτερο σώµα. W Τ1 = Τ 1 ( s + x ) = Τ 1 s + Τ 1 x = 4J + 4J = 0 Το έργο της στατικής τριβής T 1 είναι µηδενικό. Έτσι έχουµε τώρα µόνο την ανακατανοµή στις κινητικές ενέργειες των στοιχειωδών µαζών του στερεού που περιγράφεται ποσοτικά µε τους δύο επιµέρους όρους, δηλαδή µεταφορά κινητικής ενέργειας από τη στροφική κίνηση (1 ος όρος, 4J) στη µεταφορική (2 ος όρος, +4J). Στο τέλος της 3 ης φάσης η µεταβολή της στροφικής και της µεταφορικής κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου είναι αντίστοιχα: Κ στρ = ½ Ι ω τ ² ½ Ι ω α ² = 0 4J = 4J Κ στρ = 4J Κ µετ = ½ m υ τ ² ½ m υ α ² = 0 8J = 8J Κ µετ = 12J + 4J = 8J (Έργα δυνάµεων στο σώµα Σ 2 ) W F2 = F 2 x = +12J Εκφράζει ενέργεια που προσφέρεται µέσω της τάσης στο δεύτερο σώµα (+12J). W Τ2 = Τ 2 x = 20J Εκφράζει την ενέργεια που χάθηκε σε θερµότητα, εξαιτίας της ολίσθησης του Σ 2 στο το δάπεδο ( 20J). Στο τέλος της 3 ης φάσης η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του Σ 2 είναι: Κ = ½ m υ τ ² ½ m υ α ² = 0 8J = 8J Κ µετ = + 12J 20J = 8J ιονύσης Μητρόπουλος Σελίδα 8 (από 8)