Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

13 ιαιρετότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έστω α,β δυο ακέραιοι µε β 0. Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουµε β/α όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια. ηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος κ ώστε α = κβ Στην περίπτωση αυτή λέµε ακόµη ότι: α διαιρείται µε τον β α πολλαπλάσιο του β β είναι διαιρέτης του α β είναι παράγοντας του α Αν β δεν διαιρεί τον α τότε γράφουµε β α Επισήµανση : Στο εξης όταν χρησιµοποιείται ο συµβολισµός β/α οι αριθµοί α,β είναι ακέραιοι και β 0, αν αυτό δεν αναφέρεται. Συνέπειες του ορισµού Αν β/α τότε β/α ± 1/α, α Ζ, ± α/α,α Ζ* β/0 για κάθε β Ζ* β/α τότε κβ/κα, κ Ζ* Θεώρηµα Έστω α,β,γ ακέραιοι.ισχύουν τα παρακάτω Αν α/β και β/α τότε α = ±β Αν α/β και β/γ τότε α/γ Αν α/β τότε α/λβ για κάθε λ Ζ Αν α/β και α/γ τότε α/ (β + γ) Αν α/β και β 0 τότε α β Σαν συνέπεια του πιο πάνω θεωρήµατος ισχύει: Αν α/β και α/γ τότε α / ( κβ + λγ), για κάθε κ, λ Ζ δηλ.ότι αν ένας ακέραιος α διαιρεί δύο άλλους ακεραίους β και γ διαιρεί και ένα οποιοδήποτε γραµµικό συνδυασµό των β και γ.

04. ιαιρετότητα Οι παρακάτω προτάσεις αναφέρονται σε σηµαντικά και εύχρηστα συµπεράσµατα. Όσα δεν αναφέρονται σαν προτάσεις στο σχολικό βιβλίο θα πρέπει να αποδεικνύονται. Πρόταση 1 Θεωρούµε την ευκλείδεια διαίρεση του α µε τον β και έστω κ και υ το πηλίκο και το υπόλοιπο αντίστοιχα. i. Αν ένας ακέραιος x διαιρεί και τον α και τον β τότε διαιρεί και τον υ. ii. Αν ένας ακέραιος x διαιρεί και τον β και τον υ τότε διαιρεί και τον α. Απόδειξη Η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης είναι α = κβ+ υ α κβ = υ (Τ) i. Αφού x / α είναι α = λx, λ Ζ (1) x/β είναι β = µ x, µ Z οπότε κβ = κµ x () Αφαιρώντας κατα µέλη από την (1) την () έχουµε α βκ ( λ κµ ) x = ή λόγω της (Τ) υ = ρx όπου ρ = λ - κµ, ρ Ζ. Οπότε x/υ. ii. Αφου x/β είναι β = λx, λ Ζ οπότε κβ =λκ x (3) x/υ είναι υ = µx, µ Ζ (4) Με πρόσθεση κατά µέλη των (3) και (4) έχουµε κβ + υ = ( λκ + µ ) x ή λόγω της (Τ) προκύπτει ότι α = ρx όπου ρ =λκ+µ, ρ Ζ. Αποδείξαµε ότι x/α. Η απόδειξη των παραπάνω µπορεί να γίνει πιο σύντοµα κάνοντας χρήση της ιδιότητας του γραµµικού συνδυασµού. Αποδεικνύουµε ενδεικτικά το i. x/α+ κ β οπότε λόγω της (Τ) προκύπτει ότι x / υ. Αφου x / α και x / β τότε Πρόταση Έστω α, β, γ, x, y ακέραιοι. Αν γ / α και γ /( xα yβ) ± τότε γ/ yβ Απόδειξη Αφού γ / α είναι α = κγ οπότε xα = xκγ (1),µε κ ακέραιο και xα + yβ = λγ, λ Ζ (). Με αφαίρεση κατά µέλη των (1) και () έχουµε yβ =λγ κxγ ή yβ = ( λ κx) γ ή yβ = ργ όπου ρ= λ κx, ρ Ζ. Αποδείξαµε ότι γ/ yβ. Οµοίως αποδεικνύεται για γ / ( xα - yβ ). Προσοχή!! 1. Αν γ/ yβ δεν προκύπτει ότι γ / y ή γ/ β (χωρίς να αποκλείεται βέβαια και αυτή η περίπτωση). Για παράδειγµα, 6/ ( 36= 4 9) ενω 6 4 και 6 9. γ β και γ y δεν προκύπτει ότι γ / β. Για παράδειγµα, 30 / ( 60 5 1). Αν / y χωρίς βέβαια 30 / 5. 3. αν y / γ και β / γ δεν προκύπτει y β/ γ. Για παράδειγµα 6/1 και 4/1 ενω ( 6 4 ) 1 = και 30 1

ιαιρετότητα 05. Πρόταση 3 Έστω α = κ1γ + υ1 και β = κγ + υ η ευκλείδεια διαίρεση του α µε τον γ και του β µε τον γ αντίστοιχα, κ,κ, 1 Ζ. Να δείξετε τις παρακάτω ισοδυναµίες: γ / α+ β γ / υ + υ i. γ /( α β) υ1 υ = ii. 1 ν ν iii. γ /α β γ /υ 1 υ iv. γ /α γ /υ 1 Απόδειξη (i) Είναι α = κ1γ + υ1 και β =κγ +υ κ1, κ, Ζ οπότε α β= ( κ1 κ) γ + υ1 υ (Ι) Αφού γ /( α β) από την υπόθεση είναι φανερό ότι υ1 υ = 0 υ 1 = υ = = τότε από την (Ι) προκύπτει ότι = ( ) Αντίστροφα αν υ1 υ υ1 υ 0 α β κ κ γ 1 γ κ +κ γ σύµφωνα µε την ιδιότητα του γραµµι- δηλαδή ότι γ /( α β) (ii) Έχουµε α+ β= ( κ1+ κ) γ + υ1+ υ (ΙΙ) Αφου γ /( α+ β) από την υπόθεση τότε γ / ( κ 1+κ) γ +υ 1+υ. Όµως γ / ( κ 1+κ) γ (προφανές). Σύµφωνα µε την πρόταση ισχύει / ( 1 ) Αντίστροφα αν γ / ( υ+υ 1 ), επειδή / ( 1 ) κού συνδυασµού έχουµε / ( 1 ) 1 γ /( α+β ). Οι αποδείξεις των (ii), (iv) γίνονται µε παρόµοιο τρόπο. γ υ+υ. γ κ +κ γ +υ +υ. Οπότε λόγω της σχέσης (ΙΙ) είναι και Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία - Mέθοδος 1 Για την απόδειξη ισχυρισµών: Α/ Β ή Β=πολΑ συνήθως χρησιµοποιούµε έναν από τους παρακάτω τρόπους. Παραγοντοποιούµε τον διαιρετέο Β έτσι ώστε να εµφανίσουµε τον Α ως παράγοντα της έκφρασης του Β. Κάνουµε χρήση της ευκλείδειας διαίρεσης του διαιρετέου Β µε τον ακέραιο διαιρέτη Α. (ο οποίος εν γένει µπορεί να είναι µια παράσταση ακεραίων). Εφαρµόζουµε την µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής Κάνουµε χρήση των γνωστών ταυτοτήτων µε x, y ακέραιους και ν Ν ν ν ν 1 ν ν ν 1 (i) x y = ( x y)( x + x y +... + xy + y ) =πολ.x ( y) ν ν ν (ii) 1 ν ν ν 1 x y ( x y)( x x y... xy y ).x ( y) ν ν k k = = ( k ) ( k ) ( ) k ( 1) k ( 1) + = + + + = πολ +, µε ν περιττό (iii) x y x y = ( + + ) k ( 1) k ( 1) x y x y x... y = x + y x y x +... + y =πολ.x± y, µε ν άρτιο.

06. ιαιρετότητα ς Παράδειγµα 1 ν+ ν ν ν+ ν Έστω A = 3 7 + 3 7 5 1. Να δείξετε ότι 1/Α και 53/Α ν ν ν ν ν ν Είναι A= 3 3 7 + 3 77 5 3 7 = ν ν 1 Αφού A 1 53 1 ( 1 53) ν ν ν ν ν ν ν = 3 7 3 + 7 5 = 3 7 9 + 49 5 = 3 7 53 = 1 53. = = είναι φανερό ότι 1/Α και A = 1 53, απ όπου προκύπτει ότι 53/Α. ν Παράδειγµα Να δείξετε ότι α( α )( α+ ) =πολ.3, όπου α Ζ. Η ευκλείδεια διαίρεση του α µε το 3 είναι: α= 3κ+υ µε υ= 0,1, κ Ζ. Αν υ = 0 τότε α = 3κ δηλαδή α( α )( α+ ) = = 6κ( 3κ )( 3κ+ ) = 3 κ 3κ 3κ+ = πολ3 Αν υ = 1 τότε α = 3κ + 1 δηλαδή α( α )( α+ ) = = 3 ( κ+ 1)( 3κ 1)( 3κ+ 3) = 3 3κ+ 1 3κ 1 κ+ 1 = πολ.3 Αν υ = τότε α = 3κ + δηλαδή α( α )( α+ ) = Παράδειγµα 3 Να δείξετε ότι 3/ ( 7 ν + 3ν 1) = 3κ+ 3κ 3κ+ 4 = 33 κ+ κ 3κ+ 4 =πολ.3, για κάθε ν Ν ν Έστω ο ισχυρισµός Ρ( ν ):7 + 3ν 41=πολ3 1 Για ν = 1 είναι 7 + 3 1 1= 9= πολ 3, που ισχύει δηλαδή ο Ρ(1) είναι αληθής ν Έστω ότι ισχύει ο Ρ( ν ):7 + 3ν 1=πολ 3 (1) 1 Θα δείξουµε ότι ισχύει ο Ρν+ ( 1) δηλαδή 1 Έχουµε 7 ν+ ν + 3( ν+ 1) 1= 7 7 3 3 1 = ( πολ.3 3ν+ 1) 7 + 3ν+ = Άρα ο ισχυρισµός Ρ ( v) ισχύει για κάθε * 7 ν+ + 3 ν+ 1 1 =πολ.3 + ν+ (από τη σχέση (1)) = 7 πολ.3 1ν+ 7+ 3ν+ = = 7 πολ.3 18ν+ 9= = 7 πολ.3+ 3 6ν+ 3 = πολ.3 * ν Ν

ιαιρετότητα 07. Παράδειγµα 4 Να δείξετε ότι: α. 3 / (9 004 7 004 ) β. 130 /(9 004 7 004 ) γ. 16 / (9 003 + 7 003 ) α. 9 004 7 004 = 81 100 49 100 = πολ.(81 49) = πολ.3. Άρα 3/ (9 004 7 004 ). β. 9 004 7 004 = 81 100 49 100 = πολ.(81 + 49) = πολ.130. Άρα 130/ (9 004 7 004 ). γ. 9 003 + 7 003 = πολ(9 + 7) = πολ.16. Άρα 16 /(9 003 + 7 003 ). Όλα τα παραπάνω είναι άµεση εφαρµογή της µεθόδου 1. Κατηγορία - Mέθοδος Σε ασκήσεις που ζητείται να βρεθούν οι πιθανοί κοινοί διαιρέτες δύο ακεραίων α- ριθµών βρίσκουµε τους διαιρέτες κατάλληλου γραµµικού συνδυασµού τους. Παράδειγµα 1 α. Να βρεθούν οι πιθανοί ακέραιοι που διαιρούν τους ακέραιους αριθµούς α + 3 και 3α + 4 ( α Ζ) β. Να δείξετε ότι το κλάσµα α+ 3 δεν απλοποιείται (είναι δηλαδή ανάγωγο) 3α+ 4 α. Έστω δ ο πιθανός κοινός διαιρέτης δ/ α+ 3 Τότε οπότε δ/ 3( α+ 3) ( 3α+ 4) δ/ 3α+ 4 ή δ /( 6 α+ 9 6 α 8) ή δ /1. Εποµένως είναι δ=± 1. β. Από το πρώτο ερώτηµα προκύπτει ότι οι µοναδικοί κοινοί διαιρέτες του αριθµητή α + 3 και του παρονοµαστή 3α + 4 είναι ± 1. ηλαδή το κλάσµα δεν απλοποιείται. Κατηγορία - Mέθοδος 3 Ασκήσεις που ζητείται η εύρεση ακεραίου α όταν δίνεται συνθήκη διαιρετότητας της µορφής: λ/f( α) ή f( α )/λ,λ Ζ ή f( α )/g( α) Παράδειγµα 1 Να βρεθούν ακέραιοι αριθµοί α ώστε 3/ ( α 7) Αφού α Ζ τότε: α = 3κ ή α = 3κ + 1 ή α = 3κ +, κ Z Αν α = 3κ, κ Ζ τότε α 7 = 3κ 7 πολ3 Αν α = 3κ + 1, κ Ζ τότε α 7 = 3κ 6 = 3(κ ) = πολ3 Αν α = 3κ +, κ Ζ τότε α 7 = 3κ 5 πολ3 Άρα οι ζητούµενοι ακέραιοι είναι της µορφής α = 3κ + 1, κ Ζ

08. ιαιρετότητα Παράδειγµα Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθµοί α ώστε ( α+ 5 )/3 Οι διαιρέτες του 3 είναι: ± 1, ± 3 Άρα α+ 5= 1 α = ή α+ 5= 1 α = 3 ή α+ 5= 3 α = 1 ή α+ 5= 3 α = 4 Παράδειγµα 3 Να βρείτε φυσικό αριθµό α ώστε ( α+ )/( α + 1) α + 0α+ 1 α α α+ 1 + α+ 4 5 α+ α Σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης των πολυωνύµων έχουµε: Aφού ( α )/( α 1) + + προκύπτει : α + 1= α+ α + 5 (1) (1) α + 1 α+ α + 5 5 Ζ Ζ ( α ) + Ζ. α+ α+ α+ 5 Ζ δηλ. α /5 α+ + Όµως ( α ) Ζ οπότε πρέπει Αν α+ = 5 τότε α= 3 Ν ή α+ = 5 τότε α= 7 Ν. Οι διαιρέτες του 5 είναι: ± 1, ± 5. ή α+ = 1τότε α= 1 Ν ή α+ = 1τότεα= 3 Ν. Άρα α = 3.

ιαιρετότητα 09. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Αν, * α β Ν και β ( 4α+ 3) και ( 5 4) Ισχύει ότι : ( 4 3) ( 5 4) β α+ και β α + β α+ να δείξετε ότι β = 1 οπότε ( + ) ( + ) ( + ) β 5 4α 3 4 5α 4 ή β 0α 15 0α 16 ή β 1 Γνωρίζουµε ότι οι διαιρέτες του -1 είναι οι ± 1 και επειδή β Ν * είναι β = 1. Άσκηση Έστω α, β, δ Ζ µε δ( 5α+ 17β ) και ( 7 ) Να δείξετε ότι δ( α+β ), δ( 3α+ 6β) Ισχύει ότι Άρα και δ β Επίσης δ 5α+ 17β δ α+ 7β δ 5α+ 17β δ α+ 7β δ α+ β. οπότε δ ( α+ β) ( α+ β) δ [ α+ β α β] 5 17 5 7 ή 10 34 10 35 ή δ β οπότε ( + ) ( + ) δ 7 5α 17β 17 α 7β ή δ 35α + 119β 34α 119β ή δ α Αφου δ α ισχύει ότι δ α+β και δ 3α+ 6β ως γραµµικός συνδυασµό των α, β. και δ β Άσκηση 3 Να δείξετε ότι για κάθε ν Ζ ισχύει ( ν ν+ 1 ) ( ν 4 +ν + 1) 4 4 4 ν +ν + 1=ν + ν ν + 1= ν + ν + 1 ν = ν + 1 ν = Είναι ( ν + 1+ν)( ν + 1 ν ) = ( ν +ν+ 1)( ν ν+ 1) 4 4 Άρα ( ν +ν + 1) = ( ν +ν+ 1)( ν ν+ 1) οπότε ( 1 ) ( 1) ν ν+ ν +ν +.

10. ιαιρετότητα Άσκηση 4 Να βρείτε τον φυσικό αριθµό ν για τον οποίο ισχύει : Έχουµε ότι ( 1 ) 4 ν+ ν +ν 1 4 4 8 ν+ ν + ν ν+ 1 4ν + 4ν+ 1 9 ν+ 1 ν+ 1 9 οµως( ν+ 1 ) ( ν+ 1) οπότε πρέπει και ( ν + 1 ) ( ν + 1) 9 ν+ 1 9. ν+ 1 ν +ν. Αφού ( ν+ 1 ) 9 τότε ν+ 1= 1 ν= 0 ν= 0 Ν ν+ 1 = 1 ν= ν= 1 Ν ν+ 1= 3 ν= ν= 1 Ν ν+ 1 = 3 ν= 4 ν= Ν ν+ 1= 9 ν= 8 ν= 4 Ν ν+ 1 9 10 5 Άρα ν = 0, 1, 4. Άσκηση 5 Να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες των αριθµών κ 1 και κ + 1 όπου κ Ζ Έστω δ κοινός διαιρέτης των κ 1 και κ + 1 τότε: δ/ κ 1 και Οπότε δ/ (( κ 1) ( κ+ 1) ) ή δ/ ( κ 1 κ 1), οπότε δ/. δ/ ( κ+ 1) Άρα οι πιθανοί κοινοί διαιρέτες των κ 1 και κ + 1 είναι οι διαιρέτες του -, δηλαδή δ = ±1, ±. Όµως οι κ 1 και κ + 1 είναι περιττοί αριθµοί οπότε δεν µπορούν να έχουν για διαιρέτες, τους ±. Άρα οι κοινοί διαιρέτες των κ 1 και κ + 1 είναι οι: ± 1. Άσκηση 6 ν + 3 Έστω το κλάσµα, ν Ν ν+ α. Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς v ώστε το κλάσµα να απλοποιείται. β. Να βρεθεί ο φυσικός αριθµός v ώστε το κλάσµα να είναι ακέραιος.

ιαιρετότητα 11. α. Για να απλοποιείται πρέπει να υπάρχει (ακέραιος) κοινός διαιρέτης δ του αριθµητή και του παρονοµαστή (µε 1 ή δ/ ( 3 ν) Τότε: δ/ ν+ δ/ 3 ν δ ν + δ/ ( ν+ ) δ ± ) ώστε / 3 οπότε /( ( 3 )) οπότε δ/ (( ν + 3) ν( ν+ ) ) δ ν+ + ν ή δ /7. Άρα δ=± 1, ± 7 Αφού το κλάσµα απλοποιείται και δ ± 1, πρέπει δ=± 7. ηλαδή ν+ = 7 κ ή ν= 7κ Ζ. Αφού ν Ν πρέπει 0 κ κ κ Ζ. Άρα κ 1. 7 ν οπότε 7 0 Επίσης ν +3 = (7κ ) + 3 = 49κ 8κ + 4 + 3 = 7(7κ 4κ +1) = πολ 7. Εποµένως ν= 7κ µε κ Ζ και κ 1. β. ν + 0ν + 3 ν ν ν + 3 ν + 4 7 ν + ν Από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης έχουµε ν + 3 = (ν + )(ν ) + 7. ν + 3 ( ν+ ) Έτσι έχουµε ν + 7 7 Ζ Ζ ν + Ζ και αφού (ν ) Ζ ν+ ν+ ν+ πρέπει 7 ν+ Ζ δηλαδή ( ν+ )/7. Όµως διαιρέτες του 7 είναι ± 1, ± 7 Άρα πρέπει ν + να ισούται µε ± 1 ή ± 7 Αν ν+ = 1τοτεν= 1 Ν Αν ν + = 1τοτε ν = 3 Ν Αν ν+ = 7 τοτεν= 5 Ν Αν 7 9 ν + = τοτε ν = Ν Ώστε πρέπει ν = 5 για να είναι το κλάσµα ακέραιος.

1. ιαιρετότητα Άσκηση 7 Για τους ακέραιους α,β να δείξετε ότι α β αβ =πολ Είναι α= κ 1+υ 1 µε υ 1 = 0 ή υ 1 = 1, κ1 Ζ και β = κ +υ µε υ = 0 ή υ = 1, κ Ζ Ισχύει: ( 1 1)( )( 1 1 ) ( 4 1 1 1 1 )( 1 1 ) ( ) α β αβ =αβ α β = = κ +υ κ +υ κ +υ κ υ = = κ κ + κ υ + κ υ +υ υ κ κ +υ υ = = κ1κ +κ1υ +κυ 1 +υ1υ κ1 κ +υ1 υ = = λ+υυ µ +υ υ µε λ= κκ +κυ +κυ, λ Ζκαιµ =κ κ, µ Ζ 1 1 1 1 1 1 Με την βοήθεια του πίνακα διαπιστώνουµε ότι σε κάθε περίπτωση επειδή ή υ1 υ = 0 ή υ1 υ = 0 οπότε ο ακέραιος α β αβ =πολ. Άσκηση 8 Έστω α, β Ζ µε 9/(5α + 4β), να αποδείξετε ότι 9/(4α + 5β) Έχουµε 9/(5α + 4β) (1) Όµως 9/9οπότε 9/9( α+β ) ή 9/ ( 9α+ 9β ) () Από (1) και () ισχύει ότι 9/ ( 9α+ 9β) ( 5α+ 4β) ή 9/ ( 9α+ 9β 5α 4β ) ή 9/ ( 4α+ 5β) Άσκηση 9 Αν 17/(3α + β) µε α,β Ζ να δείξετε ότι: 17/(5α + 9β) Αφού 17/(3α + β) τότε κ α 3α+ β= 17 κ, κ Ζ β= 17κ 3α β= 16κ α+κ α β= 8κ α+ (1)

ιαιρετότητα 13. Επειδή β Ζ τότε κ α κ α Ζ δηλαδή =λ, λ Ζ κ α= λ α=κ λ () Η (1) λόγω της () γίνεται β = 8κ ( κ λ ) +λ β = 8κ κ+ λ+λ β = 7κ+ 3λ (3) Λόγω των () και (3) έχουµε 5α+ 9β = 5( κ λ ) + 9( 7κ+ 3λ ) = 5κ 10λ+ 63κ+ 7λ = = 68κ+ 17λ = 17( 4κ+λ ) =πολ17 Άρα 17/(5α + 9β) Άσκηση 10 Αν Α = 3 + 3 + 3 3 + 3 4 +.+ 3 40 να δειχθεί ότι : α. 3/Α β. 4/A γ. 40/Α α. A = 3 + 3 + 3 3 + 3 4 +.+ 3 40 = 3(1 + 3 + 3 + 3 3 +..+ 3 39 ) = πολ.3 Άρα 3/Α β. Α = 3 + 3 + 3 3 + 3 4 +.+ 3 40 = 3( 1 + 3 ) +3 3 ( 1+3 )+. + 3 39 ( 1 + 3 ) = 3 4 + 3 3 4 + 3 39 4 = 4(3 + 3 3 + +3 39 ) =πολ.4 Άρα 4/Α γ. A = 3 + 3 + 3 3 + 3 4 +3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8.+ 3 40 = 3(1 + 3 + 3 + 3 3 )+ 3 5 (1 + 3 + 3 + 3 3 )+.+ 3 37 (1 + 3 + 3 + 3 3 ) =3 40 + 3 5 40 +. + 3 37 40 = 40(3 + 3 5 +. +3 37 ) = πολ.40 Άρα 40/Α Άσκηση 11 Αν οι ακέραιοι x και y δεν είναι πολλαπλάσια του 3 να δείξετε ότι α. x = 3κ + 1, κ Ζ β. 9/(x 6 y 6 ) x 3 α. Είναι οπότε x = 3p + υ, p Z και υ = 0,1, υ p Aφού το x δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 το υ 0 Αν υ = 1 τότε x = 3p + 1 οπότε x = 9p + 6p + 1 x = 3(3p + p) + 1 ή x = 3κ + 1, κ Ζ Αν υ = τότε x = 3p + οπότε x = 9p + 1p + 4 x = 9p + 1p + 3 + 1 x = 3(3p + 4p + 1) + 1 Άρα x = 3κ + 1, κ Ζ β. Από το α. αφού x πολ 3 τότε x = 3κ + 1, κ Ζ οπότε x 6 = (x ) 3 = (3κ + 1) 3 = 7κ 3 + 7κ + 9κ + 1= 9(3κ 3 + 3κ + κ) +1 = 9λ + 1, λ Z Οµοίως y 6 = 9µ + 1, µ Ζ

14. ιαιρετότητα Έτσι x 6 y 6 = (9λ + 1) (9µ + 1) = 9λ +1 9µ 1 = 9(λ µ) = πολ9 οπότε 9/( x 6 y 6 ) Άσκηση 1 Αν ο ακέραιος α δεν διαιρείται µε το 4, να αποδείξετε ότι και ο αριθµός α + 3α δεν διαιρείται µε το 4. Εφόσον ο ακέραιος α δεν διαιρείται µε το 4, θα είναι της µορφής : 4κ+1, 4κ+, 4κ+3 µε κ Ζ Αν α = 4κ + 1 τότε: α + 3α = (4κ + 1) + 3(4κ + 1) = (16κ + 8κ + 1) +1κ + 3 = 3κ + 16κ + +1κ + 3 = 3κ + 8κ + 5 = 4(8κ + 7κ + 1) + 1 = 4µ + 1 πολ4 Αν α = 4κ + τότε: α + 3α = (4κ + ) + 3(4κ + ) = (16κ + 16κ + 4) +1κ + 6 = 3κ + 3κ + 8 + 1κ + 6 = 3κ + 44κ + 14 = 4(8κ + 11κ + 3) + = 4µ + πολ4 Αν α = 4κ + 3 τότε: α + 3α = (4κ + 3) + 3(4κ + 3) = (16κ + 4κ + 9) + 1κ + 9 = 3κ + 48κ + 18 +1κ + 9 = 3κ + 60κ + 7 =4(8κ + 15κ + 6) + 3 = 4µ + 3 πολ4 Άρα ο α + 3α δεν διαιρείται µε το 4 όταν ο α δεν διαιρείται µε το 4. Άσκηση 13 Να δείξετε ότι, για κάθε ν Ν *, ισχύει : 3 ν+1 + ν+ = πολ 7. 1 ος τρόπος: * Για κάθε ν Ν έχουµε: 3 ν+1 + ν+ = 3 ν 3 + ν =3 9 ν + 4 ν = = 3 9 ν + 7 ν 3 ν = 3(9 ν ν ) + 7 ν = Ισχύει α ν β ν * = πολ(α β) αν ν Ν = 3 πολ(9 ) + 7 ν = 3 πολ 7 + ν πολ 7 = πολ 7. oς τρόπος: Έστω P(ν) ο προς απόδειξη ισχυρισµός Για ν =1 ισχύει 3 1 + 1 + 1 + = 35 = πολ 7 Έστω ότι ισχύει ο P(ν) δηλαδή 3 ν + 1 + ν + = πολ 7 (1) Θα δείξουµε ότι ισχύει ο P(ν + 1) δηλαδή 3 (ν + 1)+1 + (ν + 1) + = πολ 7 Πράγµατι είναι 3 (ν + 1) + 1 + (ν + 1) + = 3 ν + + 1 + ν + 3 = 3 ν + 1 3 + ν 3 (από (1) )

ιαιρετότητα 15. = (πολ7 ν 4) 9 + ν 8 = 9πολ7 36 ν + 8 ν = 9πολ7 8 ν = 9πολ7 7 (4 ν ) = πολ7. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Να δειχθεί ότι 3/ν(ν + 1)(ν + 1), όπου ν θετικός ακέραιος. (Υπ.: Ευκλείδεια ιαίρεση). Αν * ν Ν να δειχθεί ότι 9/(3 4 ν+ +10 ν +5). 4ν+ 1 ν 3. Να δείξετε ότι 9/ ( 1) για κάθε ν Ν *. 1 4. Να δείξετε ότι για κάθε ν Ν * ισχύει: 7 ν+ 48ν 7 =πολ48 5. Να δείξετε ότι για κάθε * ν ν ν Ν ισχύει: 5 ( 16 + 9 7 ) 6. Να δειχθεί ότι για κάθε ν θετικό ακέραιο ισχύει : ν /(ν +1) (ν + )..(ν). 7. Να δειχθεί ότι 7 + 333 = πολ57 8. Αν 7/ ( α+ 5) και 7/ ( 40 β) µε µ α,β ακέραιους να δείξετε ότι 7/ ( α β) + (θέµα 001) 9. ίνεται ο αριθµός α = ν + ν+ 5. Να εξετάσετε αν υπάρχουν φυσικοί αριθµοί ν ώστε 3/α. 10. Να βρεθούν οι ακέραιοι α ( α 3) ώστε το κλάσµα α 4α+ 4 α 3 να είναι ακέραιος 11. Να δείξετε ότι το κλάσµα 5ν+ 4 κ=, ν Ν * 6ν+ 5 δεν απλοποιείται για καµµία τιµή του ν. 1. Αν α,β Ζ για τους οποίους ισχύει: 3 ( α+ β) και 3 ( 5α 3β) 13. Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς α Ν + να δείξετε ότι: 9 α β. ώστε να ισχύει: ( α+ ) ( α + 4)

16. ιαιρετότητα 14. Αν α Ν 3 * και α ( 3x x) και α ( x 1) + να δείξετε ότι α = 1 15. Αν οι αριθµοί ν,κ είναι ακέραιοι µε ν/(κ + 1) και ν/(κ 3 + ), να βρεθούν οι πιθανές τιµές του ν. 00 003 16. Να δείξετε ότι για κάθε 003 00 + 003 4 4 17. Αν α, β, γ περιττοί ακέραιοι αριθµοί να δείξετε ότι 16 α + β 18. Αν x,y Z 4 4 4 4 4 4 (Aπ.: και x y να δείξετε ότι ( 8 x 1 ) ( 8 4 1 ) α + β = α + β 1 1 = α 1 + β 1 =... ) 3 3 3 19. Αν α, β, γ Ζ και ισχύει α+ β+ γ = 0 να δείξετε ότι οι α, β, γ διαιρούν τον αριθµό α + β + γ (Υπ.: ταυτότητα Euler: 3 3 3 α + β + γ = 3αβγ αν α + β + γ = 0) Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Να δείξετε ότι : 6 / α 3-6α - 7α, για κάθε ακέραιο α. ( Υπ.: α 3-6α - 7α =... = α(α+1)(α-1)-6α(α+1) )