ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική ρίζα. εχόµαστε ότι το Ρ (x) έχει ρίζα ρ R τότε Ρ (p) = 0. Επειδή για κάθε x R ισχύει ( Ρ (x)) + ( P (x)) = ( P (x )) θα ισχύει και ( Ρ (p)) + ( P (p)) = ( P (p)) δηλαδή ( P (p)) + ( P (p)) = 0 () Όµως Ρ (p), P (p) είναι πραγµατικοί αριθµοί ως αριθµητικές τιµές των πολυωνύµων για x = ρ έτσι από την () προκύπτει Ρ (p) = P (p) = 0. ηλαδή το ρ είναι κοινή ρίζα των Ρ (x), P (x) που είναι άτοπο, σύµφωνα µε την υπόθεση. Εποµένως το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική ρίζα.. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(x) x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(x)) x. Αν g(x) = P(x) x αφού το ρ είναι ρίζα του θα ισχύει g(p) = P(p) p = 0 δηλαδή P(p) = p () Έστω h(x) = P(P(x)) x τότε h(p) = P(P(p)) p = P(p) p = p p = 0 άρα το p είναι ρίζα του h(x) = P(p(x)) x. Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς α, β ώστε το πολυώνυµο Ρ(x) = 4x 4 + αx + x + βx + να είναι το τετράγωνο ενός πολυωνύµου. Το ζητούµενο πολυώνυµο του οποίου το τετράγωνο είναι το Ρ(x) θα έχει µορφή f(x) = x + κx + λ. Έτσι P(x) = [ f(x)] 4x 4 + αx + x + βx + = ( x + κx + λ ) 4x 4 + αx + x + βx + = 4x 4 + κ x + λ + 4λx + κλx 4x 4 + αx + x + βx + = 4x 4 + 4κx + ( κ + 4λ )x + κλx + λ Από την θεωρία των ίσων πολυωνύµων προκύπτει :

2 4κ = α λ = ±,() κ + 4λ = κ + 4λ =,() κλ = β α = 4κ,() λ = β = κλ,(4) τότε Για λ = έχουµε κ + 4. = κ = - αδύνατη. Για λ = - έχουµε κ + 4. ( - ) = κ = 6 κ = ± 6 Εποµένως για λ = -, κ = 6 είναι α = 4 6, β = - 6 Ισχύει : 4x x + x - 6. x + = ( x + 6. x ) Και για λ = -, κ = - 6 είναι α = - 4 6, β = 6 Ισχύει 4x x + x + 6. x + = (x - 6. x ). 4. Αν α+β+γ = 4 να υπολογίσετε του α,β,γ R ώστε το κλάσµα ( α )x (4 β)x + γ 6 για κάθε x R να έχει σταθερή τιµή και να x + x + υπολογίσετε την τιµή αυτή. Έστω κ R η σταθερή τιµή τότε (α ) x ( 4 βx + γ 6 ) = κ ( x + x + ) (α ) x ( 4 β )x + γ 6 = κx + κx + κ α = κ α = κ + (4 β) = κ β = κ + 4 γ 6 = κ γ = κ + 6 αλλά α + β + γ = 4 τότε ( κ + ) + ( κ + 4 ) + ( κ + 6 ) = 4 κ = που είναι η σταθερή τιµή του κλάσµατος. Επίσης α=4, β=8, γ=. ( α )x (4 β)x + γ 6 x + 4x + 6 (x + x + ) Πράγµατι = = =. x + x + x + x + x + x + 5. Να βρείτε ακέραιο πολυώνυµο Ρ(x) δευτέρου βαθµού ώστε Ρ( Ρ(x) ) = Q(x) όταν Q(x) = x 4 + x + 4x + x + Έστω Ρ(x) = αx + βx + γ µε α, β, γ R και α 0 Τότε Ρ ( Ρ(x) ) = Q(x) α ( Ρ(x)) + β (Ρ (x) ) + γ = Q(x) α ( αx + βx + γ ) + β ( αx + βx + γ ) + γ = Q(x)

3 α (α x 4 + β x + γ + αβx + αγx + βγx ) + βαx + β x + βγ + γ = Q(x) α x 4 + α βx + ( αβ + α γ + βα )x + ( αβγ + β )x + αγ + βγ + γ = = x 4 + x + 4x + x + α = α = α β = β = α = αβ + α γ + βα = 4 + γ + = 4 β = γ + = γ = αβγ + β = γ + γ + γ = αγ + βγ + γ = ( Για τις τιµές αυτές επαληθεύονται οι άλλες δύο ισότητες ) Άρα το Ρ(x) = x + x Να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του πολυωνύµου P(x) = 9x 4 + 6x + x + 4x + 4 Η τετραγωνική ρίζα του P(x) θα είναι ένα πολυώνυµο δευτέρου βαθµού ως προς x της µορφής g(x) = x + αx + β και θα ισχύει P(x) = [ g(x)] 9x 4 + 6x + x + 4x + 4 = 9x 4 + α x + β + 6αx + 6βx + αβx 9x 4 + 6x + x + 4x + 4 = 9x 4 + 6αx + ( 6β + α ) x + αβx + β Εξισώνοντας τους ισοβάθµιους όρους του x των δύο ίσων πολυωνύµων έχουµε : 6α = 6 α =,() 6β + α = 6β + α =,() αβ = 4 αβ = 4,() β = 4 β = ±,(4) Παρατηρούµε ότι για β=, α= επαληθεύονται οι ισότητες () και () αφού 6β + α = 6. + = και αβ =.. = 4 Για β = - α = δεν επαληθεύονται οι ανισότητες () και () αφού 6β + α = 6. (-) + = -. Έτσι η τετραγωνική ρίζα του P(x) είναι το πολυώνυµο g(x) = x + x +

4 7. Να προσδιορίσετε το κ, λ ώστε η εξίσωση x 4x 7 = 0 να µπορεί να πάρει µορφή x x α β α = β µε α β και κατόπιν να λυθεί η εξίσωση. x α α = β(x α) α(x β) = 0 x β β β(x x α + xα α ) α(x x β + xβ β ) = 0 ( β α)x + αβ( α β)x + αβ( β α)( β + α) = 0 ιαιρώντας µε β α 0 έχουµε x αβx + αβ ( α + β ) = 0 Έτσι προκύπτει η ισότητα : x 4x 7 = x αβx + αβ( α+β ) οπότε εξισώνοντας του συντελεστές των ισοβάθµιων όρων του x προκύπτει : αβ = 4 αβ = 8 αβ = 8 αβ( α + β) = 7 8( α + β) = 7 α + β = 9 α = α = 8 ή β = 8 β = τότε η εξίσωση θα έχει τη µορφή x + x + = ( Ι). Για να λυθεί θέτουµε = y έτσι x x + 8 y y = y = 0 y y = 0 y = x + άρα = x + = x + 8 x = 6. x ίνεται το πολυώνυµο P(x) = x 4 -ηµ θ x -x + ηµθ. Να βρείτε το θ [ π,π ] ώστε η P(x) : ( x+ ) να δίνει υπόλοιπο υ =. Γνωρίζουµε ότι η P(x) : ( x + ) δίνει υπόλοιπο υ = P(-). Άρα σύµφωνα µε την υπόθεση θα είναι : P(-) = ( -) 4 ηµ θ ( -) (-) + ηµx = ηµ θ + ηµθ + = 0 ( ηµθ + ) = 0 π ηµθ = - ηµθ = ηµ 4

5 π θ = κπ +, κ Ζ η π θ = λπ + π, λ Ζ π i) Με θ = κπ +, κ Ζ και π π θ π π κπ + π κ + κ 4 4 π Άρα κ=0. ηλαδή θ =. π ii) Με θ = λπ + π -,λ Ζ και π θ π. π 5 π λπ π λ λ 4 4 π π Άρα λ=. ηλαδή θ = π + π - =. 9.Να βρείτε τις σχέσεις που ικανοποιούν οι αριθµοί κ,λ,µ,ν ώστε για κάθε π x κπ +, κ Z να ισχύει κηµ x + ληµxσυνx + µσυν x + ν = 0 (Ι) π Επειδή x κπ +, κ Z το συνx 0. Αν διαιρέσουµε και τα δύο µέλη της (Ι) µε το συν x ισοδύναµα θα έχουµε : κ. εφ x + λεφx + µ + ν ( + εφ x ) = 0 ( κ + ν ) εφ x + λεφx + ( µ + ν ) = 0 ( ΙΙ) Αν θέσουµε εφx = y, y R η (ΙΙ) γράφεται ( κ + y ) y + λy + µ + ν = 0 που είναι µηδενικό πολυώνυµο άρα κ + ν = 0 και µ + ν = 0 και λ = i) Αν το πολυώνυµο Ρ(x) = αx + βx + γ α, β, γ R έχει τρεις διαφορετικές ρίζες τότε αυτό είναι το µηδενικό πολυώνυµο iii) αν f(x) = ( α-β) (x-α) (x-β) + ( β-γ ) ( x-β) (x-γ) + + ( γ α ) ( x-γ ) ( x-α)+(α-β)(β-γ)(γ-α) µε α,β,γ R διαφορετικά ανά δύο µεταξύ τους. Να δείξετε ότι είναι το µηδενικό πολυώνυµο χωρίς να φέρετε το f(x) στην µορφή f(x) = κx + λx + µ. 5

6 i) Από την υπόθεση έχουµε P P P P οι ρίζες του P(x) τότε θα ισχύουν αp + βp + γ = 0,() και αp + βp + γ = 0,() τότε θα ισχύουν και και αp + βp + γ = 0,() α(p α(p p ) + β(p p ) + β(p p ) = 0 p ) = 0 ή α(p α(p p )(p + p ) + β(p p ) = 0 ή p )(p + p ) + β(p p ) = 0 α(p α(p + p ) + β = 0 (4) + p ) + β = 0 (5) ή (p p ) = 0 οπότε α = 0 ( αφού P P ) εποµένως από τις (4) και () προκύπτει β=γ=0 έτσι P(x) = 0. ii) ιαπιστώνουµε ότι f(α) = 0 και f(β) = 0 και f( γ) = 0. ηλαδή το δευτέρου βαθµού πολυώνυµο έχει τρεις διαφορετικές ρίζες εποµένως το.. είναι το f(x) µηδενικό πολυώνυµο. Σχόλιο!! Αν το πολυώνυµο P(x) = α ν x ν + α ν- x ν- + +α x+α 0 µηδενίζεται για ( ν + ) διαφορετικές τιµές του x τότε το P(x) είναι µηδενικού βαθµού πολυώνυµο. Η απόδειξη γίνεται µε παρόµοιο τρόπο.. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (0x 4 + x 40x + 0x + ) (5x x ) χωρίς να γίνει η διαίρεση. Το πηλίκο θα είναι πολυώνυµο δευτέρου βαθµού µε πρώτο όρο τον 0x 4 5x = 4x έτσι θα έχει τη µορφή Π(x) = 4x + αx +β το δε υπόλοιπο θα είναι πρώτου βαθµού δηλαδή u(x) = γx + δ. Γράφουµε την ταυτότητα της διαίρεσης : 0x 4 + x 40x + 0x + = ( 5x x ) (4x + αx + β ) + ( γx + δ ) 0x 4 + x 40x + 0x + = = 0x 4 + 5αx + 5βx 8x αx βx + γx + δ 0x 4 + x 40x + 0x + = = 0x 4 + (5α 8 )x + ( 5β α)x + ( γ β )x + δ 6

7 5α 8 = 5β α = 40 γ β = 0 δ = α = 4 5β 8 = 40 γ β = 0 δ = α = 4 β = 5 6 γ = 0 + = 5 5 δ = τότε Π(x) = 4x 6 + 4x - και u(x) = x Αν η διαίρεση του P(x) : ( x + ) (x ) (x+ ) δίνει υπόλοιπο u(x) = x + x να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P(x) : (x+), P(x) : ( x+ ) και P(x) : (x + x + ). Από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε P(x) = ( x+ ) (x-) (x+). Π(x) + ( x + x ) (I). Η διαίρεση P(x) : ( x+) δίνει υπόλοιπο u = P(-) τότε από την (I) Έχουµε u = P(-) = (-) + (-) = - οµοίως Η διαίρεση P(x): ( x+) δίνει υπόλοιπο u = P(-) =. Η διαίρεση P(x) : ( x + x + ) δίνει πηλίκο Q(x) και υπόλοιπο u(x) = κx + λ Έτσι P(x) = ( x+)(x+)q(x) + κx + λ (II) Για x= - και x = - από την (II) προκύπτουν Ρ( ) = κ + λ κ + λ = λ = 5 άρα u(x) = -x-5. Ρ( ) = κ + λ κ + λ = κ =. Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς κ,λ ώστε το πολυώνυµο Ρ(x) = x κx + λx + διαιρούµενο µε το x να δίνει υπόλοιπο u(x) = x 5. Από την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει P(x) = (x )Π(x) + x 5 για κάθε x R. x κx + λx + = ( x + )(x- ). Π(x) + x 5 (I) για κάθε x R.. Έτσι για x = από την (Ι) προκύπτει 7

8 ( ) κ( ) + λ += κ +. λ + = λ 4κ = -4-7 () και για x = - (- ) κ( ) + λ (- ) + = (- ) κ-. λ + = λ + 4κ = () Οι ισότητες (), () ορίζουν το σύστηµα λ λ + 4κ = 4 4κ = λ = 8 8κ = 4 λ = 4 7 κ = 4 4. Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς κ και λ ώστε το πολυώνυµο P(x) = 4x 4 6x + κx + x + να έχει παράγοντα ( ή να διαιρείται ή να είναι διαιρετέο ) το φ(x) = x x + λ. Επειδή το P(x) είναι τετάρτου βαθµού και το φ(x) είναι δευτέρου βαθµού το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x) x = x δηλαδή το πηλίκο θα έχει µορφή. Π(x) = x + αx + β και u(x) = 0. Έτσι από την ταυτότητα της διαίρεσης θα έχουµε : 4x 4 6x + κx + x + = ( x x + λ )( x + αx + β) για κάθε x R 4x 4 6x + κx + x = = 4x 4 + αx + βx x αx βx + λx + αλx + λβ 4x 4 6x + κx + x = = 4x 4 + (α )x + (β α + λ )x + (αλ β )x + λβ Η ισότητα () είναι µία ισότητα πολυωνύµων τότε οι συντελεστές των ισοβάθµιων δυνάµεων του x θα είναι ίσοι. ( α ) β α + λ = κ ηλαδή αλ β = λβ = α = β + + λ = κ λ β = λβ = α =,() κ = β + + λ,() β = λ,() λ( λ ) =,(4) Από την (4) -λ λ + = 0 λ + λ = 0 8

9 λ = ± 4 9 λ =, λ =. Εποµένως από το σύστηµα έχουµε : - Για λ = - προκύπτει β = και κ = - Για λ = προκύπτει β = - και κ = ίνεται το Ρ(x) = x + x + να δείξετε ότι το Q(x) = P( P(x)) P(x) έχει παράγοντα το P(x)- κατόπιν να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Q(x) (P(x) ). Αφού P(x) = x + x + το Q(x) = P (P(x) P(x) = [ P(x) + P(x) + ]- P(x) = ( P(x)) άρα Q(x) = (P(x) )(P(x) + ) (). ηλαδή το (P(x)-) είναι παράγοντας του Q(x). Από την (Ι) προκύπτει ότι η διαίρεση Q(x) ( P(x) ) δίνει πηλίκο Π(x) = P(x) + 6. Να βρείτε το πολυώνυµο f(x) δευτέρου βαθµού που είναι διαιρετέο δια του g(x) = x + και f() + f() = f(), f(0) = 4. Έστω ότι f(x) = αx + βx + γ αφού είναι διαιρετέο δια του g(x) = x +. Θα ισχύει f(-) = 0. Εποµένως έχουµε τις σχέσεις f () + f () = f () f (0) = 4 f ( ) = 0 ( α + β + γ) + 4α + β + γ = 9α + β + γ γ = 0 α β + γ = 0 γ = 0 4α = 0 α β + γ = 0 α = β = γ = 0 έτσι f(x) = 0 7. ίνεται το πολυώνυµο P(x) = αx + βx + γx + δ που δέχεται διπλή p ρίζα β α καθώς και την p. Να δείξετε ότι =. γ δ 9

10 Αφού το P(x) δέχεται διπλή ρίζα τη p και τη ρίζα p θα έχει παράγοντες ( x p) και ( x + p ) τότε θα έχει ως παράγοντα και το γινόµενό τους ( x p ) ( x + p ) που είναι τρίτου βαθµού πολυώνυµο. Η διαίρεση P(x) : ( x p ) ( x + p ) δίνει πηλίκο µηδενικού βαθµού και µάλιστα το α x πηλίκο των µεγιστοβάθµιων όρων. ηλαδή Π(x) = = α. x Έτσι P(x) = α ( x p ) (x + p ) ή P(x) = αx αpx αp x + αp. Εποµένως αx + βx + γx + δ = αx αpx αp x + αp β = αp γ = αp δ = αp β α Άρα = =. γ p δ β α τότε = και = γ p δ p 8. Όταν το πολυώνυµο P(x) = x + αx + (β-)x + γ έχει παράγοντα ( x ) να δείξετε ότι γ = 8α + 6. Αφού το P(x) έχει παράγοντα ( x ) θα ισχύει ότι το ( x ) είναι παράγοντας του P(x) καθώς επίσης και του πηλίκου Π(x) της διαίρεσης. P(x) : (x-). Εποµένως θα ισχύουν p() = 0 και Π() = 0. Από P() = 0 + α + (β-). + γ = α + β + γ = α + β + γ = 0 γ = - 8α β 6 () τότε το P(x) γράφεται P(x) = x + αx + ( β-)x 8 α β 6 θα υπολογίσουµε το πηλίκο της P(x) : ( x ) εφαρµόζοντας το σχήµα του Horner. SXIMAAAAA άρα Π(x) = x + (α + )x + 4 α + β + Έτσι θα έχουµε 0

11 Π() = 0 + (α + ). + 4α + β + = 0 8α + β + = 0 Έτσι β = -8 α () τότε από την () προκύπτει γ = -8 α (-8α ) 6 ηλαδή γ = 8α + 6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 9. ίνεται το P(x) = x 4 + (α β )x + ( β )x + x + β δείξτε ότι δεν υπάρχουν α, β R ώστε το P(x) να έχει παράγοντα ( x ). Για να έχει το P(x) παράγοντα ( x ) αρκεί P() = ( α β ). + (β ) β = 0 β + β + α = 0 α = - β β () Το τριώνυµο του δευτέρου µέλους έχει διακρίνουσα = - 7, άρα για κάθε β R το -β β < 0 δηλαδή δεν υπάρχουν α, β R ώστε να ισχύει η (). Εποµένως δεν υπάρχουν α,β R ώστε ( x ) παράγοντας του P(x). 0. Αν P(x) = x + κx + λx + µ να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς κ,λ,µ ώστε το P(x) να έχει παράγοντα x(x - ). Για να έχει το P(x) παράγοντα x(x-- ) πρέπει P(0) = 0 () και P( + ) = 0 (). Έτσι P(0) = 0 µ = 0 µ = () και P( + ) = 0 ( + ) + κ( + ) + λ( + )+ µ = 0 [ + + ( ) + ( ) ] + κ ( + + ) + λ + λ + = κ + 4κ + 4κ +λ + λ =0 (6κ + λ + 7 ) + (5 + 4κ + λ ) = 0 () Η ισότητα () έχει τη µορφή α + β = 0 () αν β 0 τότε β = -α = - β α αυτό όµως είναι άτοπο αφού ένας άρρητος είναι πάντοτε διαφορετικός από ένα ρητό, εποµένως θα είναι β = 0 και από την () προκύπτει ότι α = 0. Έτσι από την () θα έχουµε το σύστηµα : 6κ + λ + 7 = 0 λ = 6κ 7 λ = 6κ 7 λ = και µ = κ + λ = κ 6κ 7 = 0 κ = κ =. ίνεται το πολυώνυµο Ρ(x) ώστε να ισχύει Ρ(x) = Ρ( x ) για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Να δείξετε ότι το πολυώνυµο f(x) = P(x) P(0) διαιρείται µε το ( x x ).

12 Για να διαιρείται το f(x) µε το (x x) = x(x ) αρκεί να έχει παράγοντες τους x και x-. Τότε f(0) = P(0) P(0). Έτσι ο x είναι παράγοντας του f(x) και f() = P() P(0) (). Όµως από την υπόθεση για x = 0 έχουµε P(0) = P( 0) ή P() = P(0) άρα από την () προκύπτει f() = 0 δηλαδή και ο ( x ) είναι παράγοντας του f(x). Εποµένως το f(x) έχει παράγοντα το γινόµενο x (x ) άρα το f(x) διαιρείται µε το x(x-).. ίνεται το πολυώνυµο P(x) = x ν + αx +, ν R, ν > και α R να δείξετε ότι δεν έχει ακέραιες ρίζες. Γνωρίζουµε ότι οι πιθανές ακέραιες ρίζες θα είναι οι διαιρετέες του σταθερού όρου α 0 = δηλαδή οι αριθµοί ±, ±. Παρατηρούµε ότι : P() = ( + α ) 0αφού α Ζ, P(-) = [ (-) ν α + ] 0 γιατί αν ν άρτιος το P(-) = ( α ) 0 και αν ν περιττός το P(-) = (- α ) 0αφού α Ζ, P() = ( ν + 4 α + ) 0 γιατί µε α Ζ αν ν + 4 α + = 0 ν- + α + = 0 + ν- = - α 0 που είναι άτοπο γιατί το πρώτο µέλος είναι περιττός αριθµός και το δεύτερο µέλος άρτιος. P(-) = ((-) ν 4 α + ) 0 γιατί : i) Με ν άρτιος και α Ζ αν (-) ν 4 α + = 0 ν 4 α + = 0 ν- α + = 0 ν- + = α που είναι άτοπο γιατί το πρώτο µέλος είναι περιττός και το δεύτερο µέλος άρτιος. ii) Με ν περιττός και περιττός και α Ζ αν (-) ν 4 α + = 0 - ν 4 α + = 0 - ν- α + = 0 που είναι άτοπο γιατί το πρώτο µέλος είναι περιττός και το δεύτερο µέλος άρτιος. Εποµένως το P(x) δεν έχει ακέραιες ρίζες.. ίνεται το πολυώνυµο f(x) = α ν x ν + α ν- x ν- +.+ αx + α 0 µε α ν 0 και α i Ζ µε i = 0,,,.,ν. Αν f(0). f() είναι περιττός αριθµός να δείξετε ότι το πολυώνυµο f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα. Έστω ότι το πολυώνυµο f(x) έχει ακέραια ρίζα ρ τότε θα έχει και παράγοντα x ρ και θα γράφεται f(x) = ( x ρ ). Π(x) ( I). To πολυώνυµο Π(x) θα έχει ακέραιους συντελεστές δεδοµένου ότι και το f(x) έχει ακέραιους συντελεστές. Τότε f(0). f() = ρ(ρ ) Π(0). Π(() (). Επειδή Π(0). Π() είναι ένας ακέραιος αριθµός και ρ(ρ ), ως γινόµενο δύο διαδοχικών ακέραιων, είναι άρτιος ακέραιος

13 αριθµός το δεύτερο µέλος της () είναι άρτιος ενώ από την υπόθεση, το πρώτο µέλος είναι περιττός. Εποµένως οδηγηθήκαµε σε άτοπο, άρα το f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα.