Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Πράξεις Ρητών Παραστάσεων. Θεµατικές Ενότητες:. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων µε Κοινό Παρονοµαστή.. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων µε Μη Κοινό Παρονοµαστή. Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε κλασµατικές αλγεβρικές παραστάσεις µε ίδιο παρονοµαστή ενεργούµε όπως ενεργούσαµε όταν είχαµε να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε οµώνυµα κλάσµατα. Με άλλα λόγια χρησιµοποιούµε τον εξής κανόνα: α β α+β + = γ γ γ. (Προφανώς θα πρέπει γ 0) π.χ = = (µε + 0 ). α β α β = γ γ γ. (Προφανώς θα πρέπει γ 0) π.χ = = =... (Ποια είναι η συνέχεια?) (Προφανώς και πάλι ο περιορισµός µας είναι ότι 0 ). Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -6-

2 Οι παραπάνω κανόνες χρησιµοποιούνται και αντίστροφα, δηλαδή: α+β α β = + γ γ γ. (Προφανώς πάλι θα πρέπει γ 0 ) π.χ 3+ y 3 y 3 = + = + (µε y 0 0 και y 0). y y y y α β α β =. (Προφανώς πάλι θα πρέπει 0 γ γ γ γ ) π.χ ( ) = = και + 0 και ). (µε (*) Η παραπάνω διαδικασία λέγεται «ΙΑΣΠΑΣΗ» του κλάσµατος. Β. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΜΗ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε κλασµατικές αλγεβρικές παραστάσεις µε διαφορετικό παρονοµαστή ενεργούµε όπως ενεργούσαµε όταν είχαµε να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε ετερώνυµα κλάσµατα. Με άλλα λόγια χρησιµοποιούµε τον εξής κανόνα: α β αδ+βγ + =. (Προφανώς θα πρέπει γ 0 και δ 0) γ δ γδ π.χ 5 3y 5 3y 0 3y+ 0 + = + = + = 3y 3y 3y 6y 6y 6y (Προφανώς 6 y 0 0 και y 0 ). Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-

3 α β αδ βγ =. (Προφανώς θα πρέπει γ 0 και δ 0) γ δ γδ π.χ 3 3 = = (µε 3 0 0) Επίσης σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο σας για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε κλασµατικές αλγεβρικές παραστάσεις εφαρµόζουµε τη παρακάτω διαδικασία: (i) Παραγοντοποιούµε τους παρονοµαστές. (ii) Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών. (iii) Βρίσκουµε τα πηλίκα του Ε.Κ.Π µε κάθε παρονοµαστή. (iv) Πολλαπλασιάζουµε τους δύο όρους κάθε κλάσµατος µε το πηλίκο του Ε.Κ.Π δια του παρονοµαστή του, ώστε να γίνουν οµώνυµα. (v) Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα οµώνυµα κλάσµατα που προκύπτουν. (vi) Εκτελούµε τις πράξεις στον αριθµητή. (vii) Απλοποιούµε τη ρητή παράσταση. (*) Επειδή είµαι σίγουρος ότι δε καταλάβατε τίποτα από τα παραπάνω, αν τα κλάσµατα είναι ετερώνυµα τότε πρέπει να παραγοντοποιήσουµε τους παρονοµαστές (αν αυτό είναι εφικτό) µε σκοπό να βρούµε το Ε.Κ.Π τους. Αφού το βρούµε τότε εφαρµόζουµε τη γνωστή διαδικασία µε τα καπελάκια!!!! είτε επίσης µερικά παραδειγµατάκια.!!!(ειδικά το 4 ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -8-

4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 3 + y α+ α 5 α. + β. + 3 α 3α+ 3 6α 6 γ. δ. Λύση. α. ( + ) ( + ) + ( + ) 3 + y 3 y 3 y 3 y + = + = + = (προφανώς 0 ) β. α+ α 5 α+ α 5 + = + ( ) α 3α+ 3 6α 6 α 3 α+ 6 α 6( α )( α+ ) α+ 3 α+ α α 5 = + = α 3 α+ 3 α+ α 6 α α+ 3 α+ α + 5 = =... γ. ( ) ( ) = = + 3+ = = ( )( ) ( )( ) δ. ο Βήµα: Παραγοντοποιούµε τους παρονοµαστές. = ( ) + ο Βήµα: Τακτοποιούµε λίγο τους αντίθετους συντελεστές στους παρονοµαστές. = + ( + )( ) ( ) ( + )( ) ( ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -9-

5 3 ο Βήµα: Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών το οποίο είναι το ΕΚΠ.. ( + ) ( ) και τα Πηλίκα, δηλαδή Παρονοµαστης Κλασµατος ( + ) ( ) = ( + ) ( ) ( + ) ( ) = ( + ) ( ) ( + ) ( ) = + ( ) και τα τοποθετούµε σε καπελάκια πάνω από τα αντίστοιχα κλάσµατα. + + ( ) + + = + = ο Βήµα: ιατηρούµε τον κοινό παρονοµαστή και απλά προσθέτουµε τους αριθµητές = + = ο Βήµα: Κάνουµε τις πράξεις στον αριθµητή του κλάσµατος. 3 ( )( )... ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = = =. ίνεται η παράσταση. α. Να βρείτε τις τιµές της µεταβλητής χ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. β. Να απλοποιήσετε την παράσταση. Λύση. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -30-

6 α. Κάνοντας λίγο τις πράξεις έχουµε: ( )( + ) = = = Άρα θα πρέπει: 0 και 0 και 0, δηλαδή 0 και 0 ή 0 και β. Από το α. ερώτηµα έχουµε: ( )( + ) ( )( + ) + = = = ( ) είτε και αυτό όµως: + + = = + = 3. Να υπολογίσετε την παράσταση: y y + : + y y Λύση. y y y 3 3 y y y y y y y : : + + = + + = + : + y y y y y y y y y y y + y + y y y = : = y y y + y + y y y = = y + y ( + y)( y + y ) 3 3 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -3-

7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. + = + Σ Λ. α + = α+ α+ Σ Λ 3. = Σ Λ y y y = Σ Λ = 3 + Σ Λ 6. ( ) 3 + = 3 + Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες. α. α... + = α+ α+ β.... = γ = + + δ = 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α. Αν + + = 3, τότε Α. + = 3 Β. + = Γ. + = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -3-

8 β. Αν =, τότε 4 Α. 4 + = 5 Β. 4 + = 7 Γ. 4 + = 8 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να κάνετε τις πράξεις: i) + ii)5 iii) y α y 7 3 iv) v) vi) + + y y y y vii) viii) i) + ) α+ α+ 3 α Να κάνετε τις πράξεις: 3 i) + α β α β iv) + + α α α +α α y + ii) 5 5 iii) v) + y y y vi) αβ β α αβ αβ vii) 4 9y 3y 3y viii) i) + 5 ) 3 α β α+β y Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -33-

9 3. Να γίνουν οι πράξεις: i) + y y ii) + y + y α β β iii) β α α β 6 3 iv) + + y y v) α β α β y vi) : y y α β α β vii) + : y y 4. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 3 y + + i) ii) 3 α β iii) iv) v) y α β y y + y + + y α+β + y y y vi) vii) viii) i) + y y + y α β y + y y α+ α ) α α α α α+ α + 5. ίνονται οι παραστάσεις Α= 4 παραστάσεις A+ B και A B. και B=. Να υπολογίσετε τις ίνονται οι παραστάσεις Α Β= ( α+β ). Α= + α β και Β=α β+αβ. Να δείξετε ότι Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -34-

10 α α+β 7. Αν είναι A= β β και α Β= α β να δείξετε ότι Α Β=. 8. Να αποδείξετε ότι: α β α + αβ = β. α( α β) + + αβ 3 3 α + β α+ β 9. Να αποδείξετε ότι: αβ = ( α β) την παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε 0. Αν α+β = 3 και αβ =, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) + ii) α β α β + iii) + α β β α β α Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -35-