ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

Transcript

1 ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z + a b και b c a c a b και a c a mb + nc Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 1 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 2 / 30 «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης»: a ακέραιος και d θετικός ακέραιος, υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι q, r 0 τέτοιοι ώστε: υπόλοιπο πηλίκο {}}{{}}{ 0 r < d και a = d q +r όπου: q = a div d και r = a mod d. Οταν a ακέραιος και d θετικός ακέραιος: a q = a div d = και r = a mod d = a q d Παραδείγµατα: 101 div 9 =? 101 mod 9 =? 11 div 3 =? 11 mod 3 =? Ισοτιµία Modulo m: Αν m ϑετικός ακέραιος και m (a b) τότε ο a είναι ισότιµος b modulo m Γράφουµε: a b (mod m) Αν m (a b) τότε γράφουµε a b (mod m) Προσοχή: a = b mod m είναι πολύ διαφορετικό από a b (mod m)!!! Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 3 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 4 / 30

2 Ιδιότητες Απόδειξη Πορίσµατος a b (mod m) a mod m = b mod m a b (mod m) a = b + km a b (mod m) και c d (mod m) = a + c b + d (mod m) a b (mod m) και c d (mod m) = ac bd (mod m) Πόρισµα: (a + b) mod m = ( (a mod m) + (b mod m) ) mod m ab mod m = ( (a mod m)(b mod m) ) mod m Είναι: a mod m = (a mod m) mod m b mod m = (b mod m) mod m Ισοδύναµα: a (a mod m) (mod m), b (b mod m) (mod m) από 1η ιδιότητα Από 3η και 4η ιδιότητα αντίστοιχα: (a + b) ((a mod m) + (b mod m)) (mod m) ab ((a mod m)(b mod m)) (mod m) Εφαρµόζοντας την 1η ιδιότητα και πάλι: (a + b) mod m = ( (a mod m) + (b mod m) ) mod m ab mod m = ( (a mod m)(b mod m) ) mod m Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 5 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 6 / 30 Αριθµητική mod m Ιδιότητες Κλειστότητα: a, b Z m a + m b Z + a m b Z m Ορίζουµε Z m = {0, 1, 2,..., m 1} και τις πράξεις: Πρόσθεση: a + m b = (a + b) mod m Πολλαπλασιασµός: a m b = (a b) mod m Προσεταιριστική: a, b, c Z m (a + m b) + m c = a + m (b + m c) (a m b) m c = a m (b m c) Αντιµεταθετική: a, b Z m a + m b = b + m a a m b = b m a Ταυτοτικά Στοιχεία: a Z m a + m 0 = 0 + m a = a a m 1 = 1 m a = a Αντίθετος: a Z m a + m (m a) = m 0 = 0 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 7 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 8 / 30

3 Πρώτοι Αριθµοί Απόδειξη Θεωρήµατος Θεωρούµε έναν σύνθετο αριθµό n. Τότε έχει έναν παράγοντα a µε 1 < a < n. Ορισµός: Ενας ακέραιος p 2 λέγεται πρώτος αν οι µοναδικοί ϑετικοί διαιρέτες του είναι ο ίδιος και το 1. ιαφορετικά, λέγεται σύνθετος. Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής: Κάθε ακέραιος 2 είτε είναι πρώτος, ή γράφεται µοναδικά ως γινόµενο πρώτων αριθµών σε αύξουσα σειρά. Θεώρηµα: Αν n σύνθετος, τότε έχει πρώτο διαιρέτη το πολύ ίσο µε n. Εποµένως ο n γράφεται ώς: n = a b, για κάποιον b. Θα δείξουµε ότι είτε a n είτε b n: Πράγµατι, αν a > n και b > n, τότε a b > n n = n. Εποµένως ο n έχει έναν παράγοντα (είτε τον a είτε τον b) που είναι n. Από Θεµελιώδες Θ. Αριθµητικής: Είτε ο παράγοντας αυτός είναι πρώτος (και n), ή γράφεται ως γινόµενο πρώτων - άρα έχει έναν πρώτο διαιρέτη. Ο διαιρέτης αυτός είναι παράγοντας του n το πολύ ίσος µε n. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 9 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 10 / 30 Το Κόσκινο του Ερατοσθένη Το Κόσκινο του Ερατοσθένη Μέθοδος εύρεσης όλων των πρώτων αριθµών το πολύ ίσων µε n Καταγράφουµε τους αριθµούς από το 2 έως το n. Για τον µικρότερο ακέραιο στην τρέχουσα ακολουθία, επαναλαµβάνουµε: Αρχική: Αποτ.: Τρέχουσα: Αποτ.: 2 ιαγράφουµε όλα τα ακέραια πολλαπλάσιά του εκτός από τον ίδιο. ιαγράφουµε τον ίδιο τον ακέραιο και τον ενσωµατώνουµε στο αποτέλεσµα. Τρέχουσα: Αποτ.: 2 3 Επιστρέφουµε το αποτέλεσµα. Τρέχουσα: Αποτ.: Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 11 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 12 / 30

4 Απειρία των Πρώτων Αριθµών Μέγιστοι Κοινοί ιαιρέτες Απόδειξη του Ευκλείδη (από τα Στοιχεία): µε απαγωγή σε άτοπο Εστω ότι υπάρχουν µόνο n πρώτοι αριθµοί για συγκεκριµένο ϕυσικό αριθµό n. Ορίζουµε τον αριθµό q = 1 + p 1 p 2 p 3 p n Θεµελιώδες Θ. Αριθµητικής: q πρώτος ή γράφεται σαν γινόµενο πρώτων. Παρατήρηση: Για i = 1,..., n, p i q, διότι αν p i q: Γνωρίζουµε επίσης ότι τετριµµένα p i (p 1 p 2 p 3 p n ). Εποµένως, p i q (p 1 p 2 p 3 p n ) p i 1 ΑΤΟΠΟ. Εποµένως: Είτε ο q είναι πρώτος (διαφορετικός από τους p 1, p 2, p 3,..., p n ), ή υπάρχει πρώτος παράγοντας του q διαφορετικός από τους p 1,..., p n. Ορισµός: Για ακεραίους a, b που δεν είναι και οι δύο 0, ο µέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι ο µέγιστος ακέραιος d τέτοιος ώστε d a και d b. Συµβολίζεται µε µκδ(a, b) = d. Ορισµός: Αν µκδ(a, b) = 1, οι a και b είναι πρώτοι µεταξύ τους. Εστω η παραγοντοποίηση των a και b σε πρώτους αριθµούς: a = p a1 1 pa2 2 pan n b = p b1 1 pb2 2 pbn n όπου οι p i εµφανίζονται και στα δύο γινόµενα, µε a i, b i = 0, αν χρειάζεται. Τότε: µκδ(a, b) = p min(a1,b1) 1 p min(a2,b2) 2 p min(an,bn) n Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 13 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 14 / 30 Ελάχιστα Κοινά Πολλαπλάσια Ο Αλγόριθµος του Ευκλείδη Ορισµός: Για ακεραίους a, b, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους είναι ο ελάχιστος ϑετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε a n και a n. Συµβολίζεται µε εκπ(a, b) = n. Εστω η παραγοντοποίηση των a και b σε πρώτους αριθµούς: a = p a1 1 pa2 2 pan n b = p b1 1 pb2 2 pbn n όπου οι p i εµφανίζονται και στα δύο γινόµενα, µε a i, b i = 0, αν χρειάζεται. Τότε: εκπ(a, b) = p max(a1,b1) 1 p max(a2,b2) 2 p max(an,bn) n : Εύρεση µκδ(287, 91). ιαιρούµε τον µεγαλύτερο από τους δύο µε τον µικρότερο: 287 = Εκτελούµε το ίδιο, µεταξύ του προηγούµενου διαιρέτη και του υπολοίπου: 91 = Εκτελούµε το ίδιο, µεταξύ του προηγούµενου διαιρέτη και του υπολοίπου: 14 = 7 2 Ο ΜΚ των 14 και 7 είναι ο 7: αυτός είναι και ο µκδ(287, 91) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 15 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 16 / 30

5 Σύνοψη Αλγορίθµου του Ευκλείδη Απόδειξη Ορθότητας Είσοδος: a, b Αρκεί να δείξουµε την ακόλουθη: 1. x := a 2. y := b 3. όσο y 0: 3.1 r := x mod y 3.2 x := y 3.3 y := r Παρατήρηση: ε γίνεται έλεγχος για τον µεγαλύτερο. Γιατί αυτό δεν είναι πρόβληµα; Πρόταση. Εστω a = b q + r. Τότε µκδ(a, b) = µκδ(b, r). Απόδειξη: ϑα δείξουµε ότι: (d a και d b) (d b και d r) Εστω ακέραιος d µε d a και d b. Τότε d (a b q), όπου a b q = r. (δες διαιρετότητα) Εστω ακέραιος d µε d b και d r. 4. επίστρεψε x Τότε d (b q + r), όπου b q + r = a. (δες διαιρετότητα) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 17 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 18 / 30 Ταυτότητα του Bézout Εύρεση Συντελεστών Bézout Θεώρηµα Bézout: Αν a, b Z +, τότε υπάρχουν ακέραιοι s, t τέτοιοι ώστε: µκδ(a, b) = s a + t b Οι ακέραιοι s και t λέγονται και συντελεστές Bézout. : Εκτέλεση Αλγορίθµου Ευκλείδη: 252 = = = = 2 18 Υπολ/µός Συντελεστών Bézout: 18 = = 54 1 ( ) = = 4 ( ) = µκδ(252, 98) = 18 : 18 = Οι συντελεστές Bézout µπορούν να ϐρεθούν από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη Εφαρµόζουµε πρώτα τον αλγόριθµο του Ευκλείδη. Ξεκινάµε από την προτελευταία σχέση που παράγει. Εκφράζουµε το υπόλοιπο σαν διαφορά. Αντικαθιστούµε από τις προηγούµενες σχέσεις. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 19 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 20 / 30

6 Επίλυση Γραµµικών Ισοτιµιών Modulo m Απόδειξη Πρόβληµα. Να ϐρεθούν όλοι οι ακέραιοι x που ικανοποιούν: a x b (mod m) Επίλυση µέσω του αντίστροφου ā του a modulo m (αν υπάρχει): a ā 1 (mod m) Θέωρηµα Αν a και m πρώτοι µεταξύ τους, τότε υπάρχει ένας αντίστροφος ā του a modulo m. Επιπλέον, είναι µοναδικός modulo m: δηλαδή, κάθε άλλος αντίστροφος του a είναι ισότιµος ā (mod m). Εχουµε ότι a και m πρώτοι µεταξύ τους, εποµένως από το Θ. Bézout: µκδ(a, m) = 1 = 1 = s a + t m για ακεραίους s και t. Ισοδύναµα: t m = s a 1, άρα: s a 1 (mod m) Εποµένως, ο s είναι αντίστροφος του a modulo m. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 21 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 22 / 30 Εύρεση του αντιστρόφου του 3 modulo 7: Ο αλγόριθµος του Ευκλείδη δίνει: 7 = Εύκολα προκύπτουν οι συντελεστές Bézout: 1 = Παρατήρηση 1: ο 2 είναι αντίστροφος του 3 modulo 7. Πράγµατι: 7 (3 ( 2) 1) 3 ( 2) 1 (mod 7) Να βρεθεί ο αντίστροφος του 101 modulo 4620 Αλγ. Ευκλείδη: Εύρεση Συντελεστών Bézout: 4620 = = = = 3 1 (23 7 3) = = = ( ) = = = ( ) = Παρατήρηση 2: οι 5, 9, 12 είναι επίσης αντίστροφοι του 3 modulo 7 και: 23 = = ( ) = ( 2) (mod 7) 9 ( 2) (mod 7) 12 ( 2) (mod 7) 3 = = 2 1 = ( ) = Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 23 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 24 / 30

7 (Συνέχεια) Να επιλυθεί η γραµµική ισοτιµία: 3x 4 (mod 7) Γνωρίζουµε ότι: 3, 7 πρώτοι µεταξύ τους και 2 αντίστροφος του 3 modulo 7: Εποµένως: 1 = = = Αρα: (mod 4620) ηλαδή: ο 1601 είναι αντίστροφος του 101 modulo ( 2) 1 (mod 7) Πολλαπλασιάζοντας µε 2 τη σχέση 3x 4 (mod 7) έχουµε: ( 2)3x ( 2)4 (mod 7) = 6x 8 (mod 7) Επειδή 6 1 (mod 7), θα πρέπει x 8 (mod 7), ή, ισοδύναµα: x 6 (mod 7) Πράγµατι, τότε: 3x 18 4 (mod 7). Αρα οι λύσεις είναι:..., ,... Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 25 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 26 / 30 Επιπλέον Παραδείγµατα Να βρεθεί ένας αντίστροφος του 19 modulo 141 Να βρεθεί ένας αντίστροφος modulo m στις παρακάτω περιπτώσεις: 19x 1 (mod 141) 55x 1 (mod 89) 89x 1 (mod 232) Αλγ. Ευκλείδη: 141 = = = = = 2 1 Εύρεση Συντελεστών Bézout: 1 = = 3 1 (8 2 3) = = 3 (19 2 8) 1 8 = = ( ) = Εποµένως: = ( ). Αρα, ο 52 είναι ένας αντίστροφος του 19 modulo 141. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 27 / 30 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 28 / 30

8 Να βρεθεί ένας αντίστροφος του 55 modulo 89 Αλγ. Ευκλείδη: 89 = = = = = = = = = 2 1 Εύρεση Συντελεστών Bézout: (παραλείπονται ενδιάµεσες αντικαταστάσεις, για λόγους οικονοµίας χώρου) 1 = = = = = = = = Εποµένως = ( ). Αρα, ο 34 είναι ένας αντίστροφος του 55 modulo 89. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών 29 / 30