Θ.Ε. ΠΛΗ6 / ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ # - Λύσεις Ασκήσεων Θέµα Α Έστω T t ο µέσος χρόνος µετάδοσης ενός πλαισίου δεδοµένων και Τ f, αντίστοιχα, ο χρόνος µετάδοσης πλαισίου επιβεβαίωσης αρνητικής, na, ή θετικής ac για το παραπάνω πλαίσιο. T d είναι η µέση καθυστέρηση µετάδοσης και επεξεργασίας προς µία κατεύθυνση ίδια και για τις δύο κατευθύνσεις. Βρείτε τον αναµενόµενο χρόνο T µεταξύ διαδοχικών µεταδόσεων πλαισίων σε ένα σύστηµα sto-and-wait. ιευκρινίζεται ότι δεν υπάρχουν άλλες καθυστερήσεις και δεν εµφανίζεται απώλεια πλαισίων. Β Έστω t η πιθανότητα σφάλµατος σε ένα πλαίσιο δεδοµένων και f η πιθανότητα σφάλµατος σε ένα πλαίσιο επιβεβαίωσης na ή ac. Βρείτε την πιθανότητα q ορθής λήψης και ορθής επιβεβαίωσης ενός πλαισίου δεδοµένων. είξτε ότι ο αναµενόµενος αριθµός µεταδόσεων ενός πακέτου σε σύστηµα sto-and-wait είναι /q υποθέστε ανεξαρτησία στα σφάλµατα σε όλες τις προσπάθειες µετάδοσης. Γ Λαµβάνοντας υπόψη τα Α και Β βρείτε τον αναµενόµενο χρόνο που απαιτείται για την ορθή µετάδοση ενός πλαισίου. Υπολογίστε για T t, T d Τ f., και t f -. Απαντήσεις Α Ο αναµενόµενος χρόνος Τ µεταξύ διαδοχικών µεταδόσεων στο σύστηµα sto-andwait δίνεται από την σχέση: TT t T f T d Πρόκειται για το άθροισµα του χρόνου µετάδοσης πλαισίου δεδοµένων, του χρόνου µετάδοσης της επιβεβαίωσης καθώς και του χρόνου µετάδοσης και επεξεργασίας και για τους δύο παραπάνω τύπους πλαισίου. Β Η πιθανότητα ορθής λήψης και ορθής επιβεβαίωσης ενός πλαισίου δεδοµένων αναφέρεται στην περίπτωση να µεταδοθεί χωρίς σφάλµα το πλαίσιο δεδοµένων πιθανότητα - t καθώς επίσης να µεταδοθεί χωρίς σφάλµα το πλαίσιο της επιβεβαίωσης πιθανότητα - f. εδοµένου ότι τα σφάλµατα εµφανίζονται ανεξάρτητα, η πιθανότητα ορθής λήψης και επιβεβαίωσης δίνεται από το γινόµενο των παραπάνω πιθανοτήτων, δηλαδή: q -t - f Για την ορθή µετάδοση ενός πλαισίου δεδοµένων, θεωρούµε ότι επαναλαµβάνονται ανεξάρτητες δοκιµές µετάδοσης οι οποίες αποτυγχάνουν µε πιθανότητα -q και επιτυγχάνουν µε πιθανότητα q. Οι δοκιµές επαναλαµβάνονται µέχρι να υπάρχει επιτυχηµένη µετάδοση. Η τυχαία µεταβλητή Χ που εκφράζει τον αριθµό των δοκιµών µέχρι και την επιτυχηµένη µετάδοση δίνεται από την γεωµετρική κατανοµή. Ένα πακέτο µεταδίδεται επιτυχώς µε µία προσπάθεια µε πιθανότητα q, µεταδίδεται δύο φορές µε πιθανότητα -qq, τρεις φορές µε πιθανότητα -q q. Ο αναµενόµενος αριθµός µεταδόσεων δίνεται από την σχέση: Ε{Χ} i iq q i q Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο - Παπαφλέσσα & Υψηλάντη 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 6-9, 6-6, Fax: 6-66
Γ Ο µέσος χρόνος που απαιτείται για την ορθή µετάδοσης ενός πακέτου προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό του χρόνου µεταξύ διαδοχικών µεταδόσεων και του µέσου αριθµού µεταδόσεων στο σύστηµα sto-and-wait για την επιτυχή µετάδοση πακέτου:. E { Χ} T Tt Tf Td. q.99 Θέµα Θεωρείστε ένα κυψελωτό σύστηµα µε αριθµό κυψελών ανά συστάδα cluster 7 και εξαγωνικό σχήµα κυψέλης ακτίνας. Να προσδιοριστεί η απόσταση επαναχρησιµοποίησης συχνοτήτων D. Αν οι σταθµοί βάσης εκπέµπουν µε ισχύ W και οι απώλειες µετάδοσης είναι αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της απόστασης από τον σταθµό βάσης έστω d, βρείτε το µέγιστο και ελάχιστο του λόγου σήµατος προς παρεµβολή σε db ενός χρήστη από σταθµό βάσης γειτονικής συστάδας. Υποθέστε την παρακάτω σχετική γεωµετρική τοποθέτηση των σταθµών βάσης. D Cell A Cell B Cluster Cluster ιευκρίνιση: Η ισχύς W του σήµατος εκποµπής σε απόσταση d από το σταθµό βάσης W δίνεται από την σχέση W ', όπου c µία σταθερά. c d Απάντηση Για τον υπολογισµό της απόστασης επαναχρησιµοποίησης ισχύει: D για και 7 η παραπάνω σχέση µας δίνει D9.65. α x D Cell A Cell B Cluster Cluster Ας θεωρήσουµε ένα τερµατικό το οποίο βρίσκεται στο σηµείο x σε απόσταση α από το σταθµό βάσης της κυψέλης A. Το τερµατικό αυτό ελέγχει η κυψέλη A ενώ δέχεται παρεµβολή από την εκποµπή, στην ίδια συχνότητα, του σταθµού της κυψέλης B. H ισχύς του σήµατος από τον σταθµό βάσης της κυψέλης Α στο σηµείο x είναι: W S c α Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο - Παπαφλέσσα & Υψηλάντη 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 6-9, 6-6, Fax: 6-66
Στο ίδιο σηµείο, η παρεµβολή από τον σταθµό βάσης της κυψέλης Β είναι: W I c D α Ο λόγος σήµατος προς παρεµβολή δίνεται από την σχέση: W S c α D α I W α c D α Τα σηµεία µεγιστοποίησης / ελαχιστοποίησης του λόγου S/I µπορούν να προσδιοριστούν µέσω της παραγώγου του S/I ως προς α. Συγκεκριµένα: ds/i D α D α Dα D dα α α α Η παράγωγος του λόγου S/I ισούται µε για αd. Στο σηµείο αd, ο λόγος εµφανίζει ελάχιστο όπως µπορεί να δειχθεί και µε την δεύτερη παράγωγο η οποία λαµβάνει θετική τιµή. Όταν α, η τιµή του λόγου S/I είναι άπειρο. Ουσιαστικά, ισούται µε: S W cd I W cd αφού η ισχύς εκποµπής είναι W. Από α, έως αd ο λόγος S/I φθίνει, κατά συνέπεια, το σηµείο στο οποίο έχουµε την µικρότερη τιµή του, ενώ βρισκόµαστε µέσα στα όρια της κυψέλης είναι για α. Οι αντίστοιχες τιµές του λόγου S/I σε db δίνονται παρακάτω. S log log cd I και S D D log log log I Θέµα Α Υποθέστε την αποστολή ενός αντικειµένου µεγέθους O bytes από τον server στον client. Το MSS έχει τιµή S56 bytes και το TT ισούται µε sec. Το πρωτόκολλο µεταφοράς χρησιµοποιεί στατικό παράθυρο µεγέθους W. Για ρυθµό µετάδοσης bs, προσδιορίστε την ελάχιστη δυνατή καθυστέρηση για την λήψη του αρχείου. Προσδιορίστε το ελάχιστο µέγεθος παραθύρου που επιτυγχάνει αυτή την καθυστέρηση. Επαναλάβετε τους παραπάνω υπολογισµούς για ρυθµούς µετάδοσης bs, Mbs και Mbs. Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο - Παπαφλέσσα & Υψηλάντη 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 6-9, 6-6, Fax: 6-66
Client Connection initialization Object equest Server TT S/ TT WS/ O/ Β Θεωρείστε ότι το TC µεταβάλλει το παράθυρο συµφόρησης κατά δύο αντί για ένα για κάθε επιστρεφόµενη επιβεβαίωση ACK κατά την διάρκεια της αργής εκκίνησης. ηλαδή, στο πρώτο παράθυρο µεταδίδεται ένα segent, στο δεύτερο παράθυρο µεταδίδονται segents, στο παράθυρο 9 segents, κλπ. Κ είναι ο αριθµός των παραθύρων στα οποία ολοκληρώνεται η µετάδοση του αντικειµένου µεγέθους O. Το µέγεθος του segent είναι S. Προσδιορίστε το K. Απαντήσεις Α Η ελάχιστη καθυστέρηση είναι DTTO/. Το ελάχιστο W το οποίο επιτυγχάνει αυτή την καθυστέρηση είναι: TT S / TT W in w : w S / S / Ανάλογα µε τους διαθέσιµους ρυθµούς µετάδοσης παίρνουµε τις παρακάτω τιµές W και ελάχιστης καθυστέρησης D. D W Kbs.77 sec Kbs. sec Mbs sec 5 Mbs. sec 5 B Εάν K είναι ο αριθµός των παραθύρων στα οποία ολοκληρώνεται η µετάδοση του αντικειµένου ισχύει: K in{ :... O / S} in : O / S in : O / S log O / S { } Θέµα Ένα νόµισµα στρίβεται τρεις φορές και µία τυχαία µεταβλητή Χ δηλώνει τον ολικό αριθµό των κεφάλων που εµφανίζονται. Η πιθανότητα εµφάνισης κεφαλής σε ένα στρίψιµο του νοµίσµατος δηλώνεται µε. Ποιες τιµές λαµβάνει η τυχαία µεταβλητή ; Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο - Παπαφλέσσα & Υψηλάντη 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 6-9, 6-6, Fax: 6-66
Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο - Παπαφλέσσα & Υψηλάντη 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 6-9, 6-6, Fax: 6-66 Ποια είναι η MF της τυχαίας µεταβλητής ; Προσδιορίστε και σχεδιάστε την CDF της. Ποια η πιθανότητα η Χ να υπερβαίνει το ; Απαντήσεις: Η τυχαία µεταβλητή µπορεί να λάβει τέσσερις διαφορετικές τιµές. όταν δεν εµφανιστεί καθόλου κεφαλή, στην περίπτωση που εµφανιστεί κεφαλή µόνο µία φορά, αν εµφανιστεί κεφαλή φορές και εάν το αποτέλεσµα κάθε πειράµατος είναι κεφαλή. Η µεταβλητή ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε n. ηλαδή: <,, Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής CDF δίνεται από την σχέση: F έτσι <,,,,,, F Το διάγραµµα της CDF παρουσιάζεται παρακάτω: - Η πιθανότητα το να υπερβαίνει το : Θέµα 5 Το νόµισµα Α έχει πιθανότητα ¼ να φέρει κεφαλή και πιθανότητα ¾ να φέρει γράµµατα. Το νόµισµα Β είναι «τίµιο». Κάθε νόµισµα στρίβεται τέσσερις φορές. Έστω µία τυχαία µεταβλητή Χ που δηλώνει τον αριθµό εµφάνισης κεφαλής για το νόµισµα Α και µία τυχαία µεταβλητή Υ που δηλώνει τον αριθµό εµφάνισης κεφαλής για το
Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο - Παπαφλέσσα & Υψηλάντη 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 6-9, 6-6, Fax: 6-66 νόµισµα Β. Ποια είναι η πιθανότητα ΧΥ; Ποια είναι η πιθανότητα ΧΥ; Ποια είναι η πιθανότητα ΧΥ; Απαντήσεις Οι τυχαίες µεταβλητές και ακολουθούν την διωνυµική κατανοµή µε n και / και / αντίστοιχα. Έτσι ισχύουν τα παρακάτω: 6 6 Αφού, οι και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές έχουµε:
Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο - Παπαφλέσσα & Υψηλάντη 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 6-9, 6-6, Fax: 6-66 96 6 i i i Ισχύει: 96 55/ ] [ ] [ ] [