ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού χώρου διανυσµατικός υπόχωρος και βρείτε µία βάση και τη διάσταση αυτού είξτε ότι το υποσύνολο P {(,, ), (,, ) (,, ) } β) Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση είναι :, (,, ) ( +, + +, ) f f y z y z y z z β) ( µονάδες) Να δοθεί ο πίνακας αναπαράστασης της f ως προς την συνήθη βάση του ανηγµένη κλιµακωτή µορφή αυτού β) ( µονάδες) Να βρεθούν βάσεις για τον πυρήνα και την εικόνα της f β) ( µονάδες) Είναι η f επί; Είναι η f ένα προς ένα; και η Λυση: α) ( yz,, ) (,,) y+ z, δηλ y z και συνεπώς κάθε στοιχείο του Π είναι της µορφής ( y z, y, z) y(,,) + z(,,) όπου y, z αυθαίρετοι πραγµατικοί Αρα ο P είναι υπόχωρος ως το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών των (,,), (-,,) Επιπλέον τα διανύσµατα αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα οπότε µία βάση του P είναι {(,,), (-,,)}και dim P β) f(,,)(,,), f(,,)(,,), f(,,)(-,,-) άρα ο πίνακας της f ως προς την συνήθη βάση του είναι ο και η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του βρίσκεται ως εξής: β) ο ) Από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα της f έχουµε ότι (, yz, ) Kerfαν και µόνο αν z και y zδηλαδή Kerf { z(,,), z } spa {(,,)} µε βάση το µονοσύνολο {(,,)} ο Η εικόνα της f παράγεται από τα διανύσµατα που αντιστοιχούν στις δύο πρώτες στήλες του πίνακα της f τα οποία είναι και γραµµικά ανεξάρτητα οπότε αποτελούν και βάση της ηλαδή Im f spa {(,,), (,, )} β) Η f δεν είναι επί καθώς Im f είναι γνήσιος υπόχωρος του Η f δεν είναι - καθώς { } Kerf

2 Θέµα ο ( µονάδες) ίνεται o πίνακας A α) ( µονάδες) ικαιολογείστε άµεσα (χωρίς υπολογισµούς) γιατί ο Α έχει αναγκαστικά πραγµατικές ιδιοτιµές και διαγωνοποιείται α) ( µονάδες) Υπολογίστε την ορίζουσα του Α Τί συµπεραίνετε για µία από τις ιδιοτιµές του; α) (5 µονάδες) Βρείτε τις ιδιοτιµές και ένα αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε APDP -, όπου D διαγώνιος πίνακας Λυση α) Ο Α έιναι συµµετρικός (ΑΑ Τ ) πραγµατικός πίνακας άρα έχει πραγµατικές ιδιοτιµές και διαγωνοποιείται α) Η ορίζουσα του Α είναι µηδέν καθώς η δεύτερη γραµµή είναι διπλάσια της πρώτης, άρα µία ιδιοτιµή είναι µηδέν λ λ λ α) det( A λ I) λ ( λ) + ( ) λ λ λ ( λ)[( λ)( λ) )] [( λ) )] + ( )[ + λ] ( λ)[ λ 5 λ] + λ + λ λ 5λ λ + 5λ + 5λ λ + λ λ ( λ) Οι ιδιοτιµές είναι η µηδενική (διπλή) και Βάσεις των ιδιοχώρων: Για λ, βρίσκουµε την γενική λύση του οµογενούς συστήµατος ΑΧ: Από την κλιµακωτή µορφή, έχουµε Χ (- y+z, y,z) y (-,,)+ z (,,), µε βάση του ιδιοχώρου {(,,), (-,,)} Για λ, λύνουµε το οµογενές σύστηµα (Α-Ι)Χ: και βρίσκουµε βάση του ιδιοχώρου της ιδιοτιµής λ, το µονοσύνολο {(-,-,)} Αρα D και ένας αντιστρέψιµος Ρ ώστε APDP - είναι ο

3 Θέµα ο ( µονάδες) α) (8 µονάδες) ίνεται η συνάρτηση f( ), > Στο Οy επίπεδο θεωρούµε σηµείο Μ της γραφικής παράστασης της f µε συντεταγµένες (, f ()) και τις προβολές του Κ, Λ στους άξονες Ο, Οy αντίστοιχα Εστω Π() η περίµετρος του ορθογωνίου ΟΚΜΛ (δηλαδή το άθροισµα των µηκών των πλευρών του) ως συνάρτηση του Σε ποια υποδιαστήµατα του θετικού ηµιάξονα Ο είναι η Π() αύξουσα και σε ποιό φθίνουσα; Να βρεθεί η τιµή του για την οποία η περίµετρος του ορθογωνίου ΟΚΜΛ είναι ελάχιστη και η τιµή της ελάχιστης περιµέτρου β) ( µονάδες) Να υπολογίσετε τα όρια ( τα β), β) µε χρήση σειρών Taylor ) ( ) l( ) cos e β) lim, β) lim, β) lim + / si Λυση α) Το ορθογώνιο ΟΚΜΛ έχει διαστάσεις, και f () άρα Π()( + ) Υπολογίζουµε την 8 παράγωγο Π () ( - ) Εχουµε ότι Π ()> - 8 > >, αφού είναι θετικό 8 Παρόµοια για θετικό, Π ()< - < < Αρα η συνάρτηση Π() είναι φθίνουσα µεταξύ και και αύξουσα από το µέχρι το συν άπειρο και συνεπώς η ελάχιστη τιµή της είναι η Π() ( l( ) ) β) Για το lim µπορούµε να εφαρµόσουµε κατ ευθείαν τον κανόνα L Hopital + / l( ) ή µπορούµε να θεωρήσουµε το lim το οποίο είναι απροσδιόριστη µορφή επίσης + / Για το αντίστοιχο όριο του λόγου των παραγώγων έχουµε ( l( ) ) / ( ) l( ) l( ) lim lim lim, άρα και lim + / / / + / + / lim + / + ( ) cos β) Για το όριο lim, θεωρούµε τα αναπτύγµατα Taylor του cos και si γύρω από το : si + + O ( ) + O ( ) ( ) cos!!! + O! 5 si O ( ) + + ( ) + ( )! 5! O O! 5!! 5! / e β) Για το όριο lim, παρόµοια e ( + ) + ( + )!!! ( )! Θέµα ο ( µονάδες)

4 α) ( µονάδες) Να εξεταστεί η σύγκλιση των σειρών: α) (για ποιά συγκλίνει;), α) α)! + ( ) + + (να υπολογιστεί το άθροισµα) β) ( µονάδες) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα + π / β) d, β) 9 e d, β) cos( ) d,,,, π / Λυση + ( + ) α) ( + )! ( + ), µε κριτήριο λόγου, <, άρα συγκλίνει για κάθε! ( + )! α) + ( ) ( ) ( + ) ( ) + + /+ / / + / + + α), ο γενικός όρος / + + αποκλίνει) Αρα η σειρά αποκλίνει (γενικός όρος p-σειράς µε p /< που β) d ( l l )/ d C (έγινε χρήση της διάσπασης σε + A B απλά κλάσµατα +, από όπου προκύπτει ΑΒ/) ( )( ) β) ' + + e d e d e + β) π / π / π / si( ) si( π / ) si( π / ) si( π / ) cos( ) d π /,,,, Για k, το ολοκλήρωµα είναι Για k + έχει την τιµή /(k + ) και για k + έχει την τιµή -/(k + ) (k ακέραιος)

5 Θέµα 5 ο ( µονάδες) α) Μία τυχαία µεταβλητή έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θ e θ, f( ), < η οποία έχει την ιδιότητα PX ( ) PX ( > ) α) ( µονάδες) Με την βοήθεια αυτής της ιδιότητας υπολογίστε την πιθανότητα PX ( ) α) ( µονάδες) Στη συνέχεια βρείτε την παράµετρο θ ( > > ) P X X α) ( µονάδες) Τέλος, υπολογίστε την πιθανότητα ( ) β) Υπολογίσθηκε ότι το βάρος των φρούτων κάποιου είδους σε γραµµάρια που περνάει από ένα συσκευαστήριο Α είναι µια τυχαία µεταβλητή X που ακολουθεί την κανονική κατανοµή N (5, ), ενώ σε ένα συσκευαστήριο Β η αντίστοιχη τυχαία µεταβλητή Υ που εκφράζει το βάρος φρούτων του ( ) ίδιου είδους ακολουθεί την κανονική κατανοµή N ( ), β) (5 µονάδες) Επιλέγουµε τρία φρούτα από το συσκευαστήριο Α Ποιά είναι η πιθανότητα ένα από τα φρούτα αυτά να έχει βάρος µεγαλύτερο από γραµµάρια και δύο να έχουν βάρος µικρότερο ή ίσο από γραµµάρια; β) (5 µονάδες) Επιλέγουµε ένα φρούτο από το συσκευαστήριο Α και ένα φρούτο από το συσκευαστήριο Β Ποια είναι η πιθανότητα αυτά να έχουν συνολικό βάρος που ξεπερνάει τα γραµµάρια; ίνεται ότι Φ()8 Λύση : α) Από την δεδοµένη σχέση έχουµε : PX ( ) PX ( > ) PX ( ) PX ( ) PX ( ) Συνεπώς : α) θ θ θ θ PX ( ) θe d θe d e e θ θ Άρα e e θ l α) Από τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας έχουµε P([( X < ) ( X > )] ( X > )) P( X > ) P( X ) P( ( X > ) X > ) PX ( > ) PX ( > ) PX ( ) Αλλά θ θ θ θ PX ( ) θe d θe d e e Οπότε θ θ ( e ) e θ P( ( X > ) X > ) e θ θ ( e ) e και για την τιµή θ l που βρήκαµε από το προηγούµενο ερώτηµα l (( > ) > ) P X X e 5

6 X 5 5 β) PX ( ) P PZ ( ) Φ () 8, αφού προφανώς X 5 Z N(, ) Αν θεωρήσουµε σαν «επιτυχία» την περίπτωση που ένα φρούτο που επιλέγεται έχει βάρος µικρότερο ή ίσο από γραµµάρια και W είναι ο αριθµός των επιτυχιών στις επαναλήψεις του πειράµατος «µέτρηση βάρους φρούτου», τότε το W είναι τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή B (, 8) Η πιθανότητα που ζητείται θα υπολογισθεί ως εξής : PW ( ) (8) (587) 977 β) Η τυχαία µεταβλητή V X Y N, Συνεπώς δηλαδή την ( ) ( ) + ακολουθεί την κανονική κατανοµή N 5 +, + ( ) V PV ( > ) PV ( ) P PU ( ) Φ () V όπου προφανώς U N(, ) ΤΕΛΟΣ