X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν."

Λητώ Μαυρίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε κάθε στοιχείο του δειγµατικού χώρου. Προκύπτει µια συνάρτηση η οποία έχει πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο S και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών Χ(S). Η συνάρτηση αυτή ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή (random variable). X:S X(S) Η τυχαία µεταβλητή δηλαδή δεν είναι τίποτα άλλο από µια πραγµατική συνάρτηση που ορίζεται στα στοιχεία του δειγµατικου χώρου. Είναι τυχαία µε την έννοια ότι η τιµή της εξαρτάται από το τυχαίο αποτέλεσµα ενός πειράµατος που καθορίζει ένα στοιχείο του δειγµατικού χώρου (πεδίου ορισµού της τυχαίας µεταβλητής). Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν. S={KK, KΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Έστω Χ ο αριθµός των Κ που παρατηρήθηκαν. Χ: ΚΚ ΚΓ ΓΚ ΓΓ Χ(ΚΚ)= Χ(ΚΓ)= Χ(ΓΚ)= Χ(ΓΓ)= Το ενδεχόµενο Α={τουλάχιστον ένα Κ στις δύο δοκιµές} µπορεί να εκφραστεί µέσω της τυχαίας µεταβλητής Χ σαν {Χ } Εποµένως P(A)=P(Χ ) Οι πιθανότητες επάγονται στο πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβλητής µέσω των πιθανοτήτων που έχουν ορισθεί στο δειγµατικό χώρο. Στο παράδειγµα µας το πεδίο τιµών της Χ είναι το {,,} και οι πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές µέσω του S είναι ¼, ½, ¼. Οι τιµές µιας τυχαίας µεταβλητής δεν είναι δυνατό να προβλεφθούν µε βεβαιότητα, αλλά η πραγµατοποίησή τους συνοδεύεται από κάποια πιθανότητα. Αν το πεδίο τιµών της Τιµόθεος Αγγελίδης

2 Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 συνάρτησης Χ είναι ασυνεχές, τότε η συνάρτηση Χ λέγεται ασυνεχής (discrete), ενώ όταν είναι συνεχές, τότε η συνάρτηση Χ λέγεται συνεχής (continuous) τυχαία µεταβλητή. Κατανοµή Πιθανότητας Συµβολισµός: Συµβολίζουµε µε κεφαλαίο γράµµα το όνοµα της µεταβλητής και µε µικρό γράµµα τις τιµές που παίρνει. Κατανοµή Πιθανότητας µίας ασυνεχούς τυχαίας µεταβλητής Η συνάρτηση f()=p(x=) η οποία για κάθε τιµή της Χ µας δίνει την αντίστοιχη πιθανότητα µε την οποία η Χ παίρνει αυτή την τιµή, ονοµάζεται συνάρτηση πιθανότητας (probability function) της ασυνεχούς τυχαίας µεταβλητής Χ. Από τον παραπάνω ορισµό η συνάρτηση πιθανότητας P(X=) έχει τις εξής ιδιότητες:. P(X=), για κάθε R. Σ P(X=)=. P(X A)= Σ P(X=) για κάθε A. Για το παράδειγµα ρήψης των κερµάτων, η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=)={ / 4 / / 4 = =. = Πολλές φορές είναι χρήσιµο και σκόπιµο να έχουµε µία παράστατική µορφή της συνάρτησης πιθανότητας Τιµόθεος Αγγελίδης

3 Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Να εξετάσετε αν η ακόλουθη συνάρτηση µπορεί να θεωρηθεί ως µία συνάρτηση πιθανότητας f ( ) = { /, =,, Λύση Θα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες. Είναι θετική για κάθε.. To άθροισµα ισούται µε, δηλαδή = = Η συνάρτηση F()=P(X ) ονοµάζεται αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (cumulative distribution function) ή συνάρτηση κατανοµής (distribution function). Για µια ασυνεχή τυχαία µεταβλητή Χ, η συνάρτηση κατανοµής F() µπορεί να βρεθεί από τη συνάρτηση πιθανότητας f() ως: F ( X ) = P( X ) = u f ( u) Ποια είναι η συνάρτηση κατανοµής της f()=/( ) για χ=,,,.. και f()=, αλλού. Λύση F ( X ) = P( X ) = f ( u) = u - { < < < Για το παράδειγµα ρίψης ζαριού F (),- < < /4, < = { /4, <, < Τιµόθεος Αγγελίδης

4 Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Όταν η τυχαία µεταβλητή Χ είναι συνεχής, τότε το πεδίο τιµών της δεν είναι ένα σύνολο διακριτών τιµών, αλλά ένα διάστηµα, το οποίο περιλαµβάνει άπειρες τιµές. Άρα η πιθανότητα η Χ να πάρει µια συγκεκριµένη τιµή χ είναι µηδέν. ηλαδή, όταν η τυχαία µεταβλητή Χ είναι συνεχής, P(X=)=. Ορισµός Μια τυχαία µεταβλητή Χ λέγεται συνεχής αν υπάρχει µία µη αρνητική συνάρτηση f() που ικανοποιεί την εξίσωση πιθανότητας. - F () = f(t)dt Η συνάρτηση f() λέγεται συνάρτηση Αν η Χ είναι συνεχής P a < X < b ) = f ( t ) dt. Από τον ορισµό προκύπτουν ότι. f(). f()d = - ( b a Έστω η συνάρτηση c f ( ) = {, < <. Ποια πρέπει να είναι η σταθερά c ώστε η συνάρτηση f() να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Να βρεθεί η συνάρτηση κατανοµής F(). Λύση Πρέπει f ( ) d = c d = c = c{ - } = 9c = c = / 9 Κατά αναλογία, F ( ) = d = για <χ<. 9 7 Τιµόθεος Αγγελίδης 4

5 Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 X Ιδιότητες αθροιστικής συνάρτησης Η συνάρτηση F() = P(X ) έχει τις ιδιότητες. F(). F(+) = P(X<+)=. F(-) = P(X<-)= 4. F(X b )>F(X a ) για χ β >χ α, δηλαδή η συνάρτηση F(χ) είναι µη φθίνουσα. Συνάρτηση. Την πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή Χ να πάρει µια τιµή ανάµεσα στις τιµές χ α και χ β και συγκεκριµένα χ α <χ<=χ β, P(χ α <χ<=χ β ), την υπολογίζουµε ως F( b )=P(X b ) F( a )=P(X a ) Αν λάβουµε τον αθροιστικό νόµο των πιθανοτήτων F( b )= F( a )+ P(χ α <χ<=χ β ). Όπως και στην περίπτωση των ασυνεχών τυχαίων µεταβλητών, ισχύουν ότι. f() Τιµόθεος Αγγελίδης 5

6 Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7. f ) d = F( ) - F( ) = P( X ) b a - ( b a. f ( ) d = F(+) - F(-) = P(- X +) = a b Τιµόθεος Αγγελίδης 6

Σχετικά έγγραφα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο